浙江省杭州第二中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

参考答案 题号 1 3 4 6 8 10 11 答案 A A B A 马 A ACD ACD ACD 43-3 12. 10 18.2+5) 1 14.e 15.(1)0.01 (2)中位数为78，平均数为76.5 【详解】1)由领率分布直方图可知，10(a+0.020+0.025+0.035+a)=L,解得a=0.01 (2)由(1)知a=0.01.因此各组的频率分别为0.10,0.20,0.25,0.35,0.10， 对应这100名学生各组的人数分别为10,20,25,35,10， 各组的组中值分别为55,65,75,85,95， 55×10+65×20+75×25+85×35+95×10 X- =76.5 则 100 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5. 由0.1+0.2+0.25=0.55>0.5可得中位数位于[70,80]， 设为x, .1+0.2+x-70 则 10x025=0.5→x=78 即中位数为78 16.1)连接BC,交BC于点2，则P为BC的中点 连接P吧，因为P为AC中点，所以P2IAB 又POC平面PBC,AB￠平面PBC 所以AB,∥平面PBC A B (2)直三棱柱ABC-ABC中A4上平面ABC, 三棱柱中各棱长均为1，所以△ABC为正三角形， 又P为AC中点，所以BP⊥AC, BpV⑤ 2 如图所示，以PA,PB所在直线为x,'轴，以过P且平行于AM的直线为z轴建立空间直角坐标系， rao,g4ga号)-cl 所以 -gm号0x- 设平面PAB的法向量为成=(x,少2)， mP4=x+2=0 2 则( P= 2=0 令x=2,则平面P4B的一个法向量为m=(2,0,-)】 ZA A B 设平面PCB的法向量为i=(x,V,2) 2r+0 PG- n.P8= 则 2=0 令x=2,则平面P℃B的一个法向量为i=(2,01)】 cosmi)= m.n4-13 园√5×√55 3 故二面角C-BP-A的余弦值为5. 1 27 m> 17.(1)2(2)(i)4(i 0<< 4 x 18.)2+y2-1 (2)(i)=y=-y+1 (i)Smin =2 Vx-2+y=2(x-1}+y21 【详解】(1)由题意得， x-2 2,x-2Y 2,相到之+少产=1 (2)(i)设直线4B为x=my+1,A(,乃)，B(2,) X=2 联立椭圆方程可知， (m2+2)）y2+2my-1=0 -2m -1 y+y2=1 由韦达定理可知， m2+2.y= m2+2, 4m2 -=0+P-4yVm+2y+m+2 42√2Vm2+1 则 m2+2 +为=m(+2)+2=4 m2+2 D5+龙.片+丛）】 -m 因为D为AB中点，所以(22 即（m2+2'm2+2 一m三一m 直线OD为 y=-2X,x=2时，y=-m,则E(2,-m),所以直线r刻车为=2 =63=-m1=-1 1 r 又直线AB斜率 m ”m,所以∠BFE恒为2.所以当△BEF为等腰直角三角形时， 满足lBF=EF BF=Vg-1)2+号=Vm2y号+号=2小N1+m2,EF=V0-22+m2=V1+m2 若BF=EF,解得=1，即= +1？=1 当=1时，2 解得为=0，所以0=m1+1,解得m=-1,直线1为x=-y+1 当=-1时，2 +2=1 ,解得七=0，所以0=m-1+1,解得m=1,直线1为x=y+1 (i)可将四边形OAEB面积分为△OAB和△EAB. d=- 、1 -上m--n 点O到AB的距离Vm+1,点E到AB的距离 m2+1 M=Vm+14-为=Vm+22m+1_22(m2+ m2+2 (m2+2) ge+d2C本H52际L 所以 (m2+2) 所以S最小值为√2，此时m=0, 19.(1)由三角不等式K-S-+少-可知在4,4，，a中插入缺失的极值点后邻差和不 会减小， 若a:,a+1,…,a+1在同一个单调区间，则 f(az)-f(af(axa)-f(ax.2)++f(a)-f(axf(a)-f(au) ∴.Sn≤0-1+1-(-1+-1-0=4 _3π ≥4时，取4=04三)a=7an=2π易知S。三 =2m8-人=)= n=3时， e4经.8-（州1--3.4受. 3π 若 2,4=2π即可： 若 2,S,≤0-+1-（=3 e2登，4>受w-n.a网， 令8(a)=/(a)-f(aHf(a,)-f(a,则 (a)sma g(a).g. =maxf(a)-f(a,1-f(a)+1-f(a),f(a)-(-1)+f(a)-(-1}<3 .S3=3 n,n=2,3 综上所述， S.=4,n24 c2)Ss-/(0)-f0Hf(0-f(2H…f(9)-f1o=2 设满足f(0)=m且5%=2的函数f()共有T种， 由10-f()也满足S6=2知7。=T。m. T,=C0+2.C。=100.T=C0+3.C0=145.☑2=T=T4=T,=2C10+4.C=200 2=2G+++++5=180 满足Sm6=2的函数/()个数为1890. i)易知(a)f(a,Hr(a,）)f(a月=10，f(a)=10-fa,)=f(a,)=0或10 函数f()共有11"种，其中函数值不取0的有10"种，不取10的有10”种，0,10都不取的有9种」 ∴函数值0,10都取的共111-210+9种， 在其中考虑反面，即所有的0在一侧，所有的10在另一侧。 设K0,K1,,K0中共取了i个0或10,2≤i≤11，则不满足题意的取法有 2c6-09=22c92992xuc92c9） =2×11(1+9)°-9）-(+9"-g"-11-9）=2-100+2.9 (111-2x10+9）-(2-100+2.9）=11"-22-100-9 满足S,=20的函数f()个数为11"-22-100-9”。 杭州二中高三年级2026学年第一学期10月月考 数学试卷 一、单选题 1．若为复数，，则（ ） A． B． C． D． 2．“”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．记为等差数列的前项和．若的公差为，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A． B． C． D． 6．已知直线分别与曲线和切于点，，且与轴交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．，抛物线，的焦点分别为，，坐标原点．过的直线交点，，过的直线交点，，且，则（ ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 9．已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．有3个零点 D．的最小值为 10．若随机变量的取值为，，…，，且，，，为常数，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 11．四棱锥，底面是边长为1的正方形，如图为一种平面展开图，下列说法正确的是（ ） A． B． C．凹八边形的周长大于 D．若四棱锥各面不全等，则有45种不同的平面展开图 三、填空题 12．已知，，是的三个内角，，，则________． 13．已知双曲线的半焦距为，若，则它的离心率的取值的范围是________． 14．，的极值点为，在直线的下方，则的最小值是________． 四、解答题 15．2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 16．已知直三棱柱中各棱长均为1，为中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17．已知函数，． （1）求的极值点； （2）若方程有两个不同的根，， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 18．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点． （i）若为等腰直角三角形，求的方程； （ii）求四边形面积的最小值． 19．定义函数（定义域为）的最大元邻差和 ， 其中，． （1）若函数，，请直接写出． （2）若依次从点集中任取一个点折线相连得到函数，． （i）求满足的函数个数； （ii）求满足的函数个数． 学科网（北京）股份有限公司 $