16.3.2完全平方公式 （教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.2 完全平方公式 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 完全平方公式两个基本形式 两数和的完全平方：两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍。 $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 两数差的完全平方：两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的2倍。 $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 通用口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号跟着前面走。 2. 公式适用特征 完全平方公式针对二项式的平方，整体结构为：两个数（式）的和或差的平方。公式中的a、b可以是数字、单项式、多项式，适用范围广，是整式运算必考核心公式。 3. 重要变形公式（考试高频） 1. $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$ 2. $$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$ 3. $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$ 变形公式多用于整体代入求值、已知两数和与积求平方和的题型。 4. 几何意义 $$(a+b)^2$$表示边长为$$a+b$$的大正方形面积，可拆分为边长为a、b的两个小正方形和两个长a宽b的长方形面积之和，直观验证完全平方公式。 二、重点易错点汇总 1. 致命公式混淆：严禁出现 $$(a\pm b)^2=a^2\pm b^2$$，漏掉中间2ab项，是全班最高频错题。 2. 中间项符号错误：和的平方中间为正，差的平方中间为负，符号与原式二项式中间符号一致。 3. 系数漏平方：当首项、尾项带有系数时，整体平方，例如 $$(2a-b)^2 eq2a^2-4ab+b^2$$，正确为$$4a^2-4ab+b^2$$。 4. 区分平方差与完全平方：平方差是“两项结果”，完全平方是“三项结果”，做题先判断结构。 5. 整体思想缺失：式子是多项式整体平方时，不会把括号内整体看作a、b，导致展开错误。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 计算$$(x+3)^2$$的结果是（ ） A. $$x^2+9$$ B. $$x^2+3x+9$$ C. $$x^2+6x+9$$ D. $$x^2-6x+9$$ 2. 下列运算正确的是（ ） A. $$(a-1)^2=a^2-1$$ B. $$(a+2)^2=a^2+4a+4$$ C. $$(2b)^2=2b^2$$ D. $$(x-y)^2=x^2-y^2$$ 3. 计算$$(2x-1)^2$$的结果是（ ） A. $$4x^2-4x+1$$ B. $$4x^2-1$$ C. $$2x^2-2x+1$$ D. $$4x^2+4x+1$$ 4. 已知$$a+b=5，ab=6$$，则$$a^2+b^2$$的值为（ ） A. 13 B. 19 C. 25 D. 37 5. 若$$x^2+kx+9$$是完全平方式，则k的值为（ ） A. 6 B. -6 C. ±6 D. ±3 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. $$(a+5)^2=$$________。 2. $$(m-4)^2=$$________。 3. $$(3x+2y)^2=$$________。 4. $$a^2+$$________$$+16=(a+4)^2$$。 5. 已知$$(x-y)^2=4，xy=1$$，则$$x^2+y^2=$$________。 （三）解答题（共60分） 1.（15分）运用完全平方公式计算： （1）$$(2a-3)^2$$ （2）$$(-x+4y)^2$$ （3）$$99^2$$ 2.（15分）化简：$$(x+2)^2-(x-1)(x+1)$$ 3.（15分）先化简，再求值：$$(2x-1)^2-4x(x+1)$$，其中$$x=2$$。 4.（15分）已知$$a+b=6，ab=7$$，求$$(a-b)^2$$的值。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. C 解析：$$(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=x^2+6x+9$$。 2. B 解析：A缺中间项应为$$a^2-2a+1$$；C应为$$4b^2$$；D是平方差公式，结果为$$x^2-2xy+y^2$$，只有B正确。 3. A 解析：$$(2x-1)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2-4x+1$$。 4. A 解析：$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13$$。 5. C 解析：$$x^2+kx+9=(x\pm3)^2$$，展开得$$k=\pm6$$。 （二）填空题解析 1. $$a^2+10a+25$$ 解析：直接套用和的完全平方公式展开。 2. $$m^2-8m+16$$ 解析：套用差的完全平方公式展开化简。 3. $$9x^2+12xy+4y^2$$ 解析：首尾分别平方，中间两倍首尾积。 4. $$8a$$ 解析：$$(a+4)^2=a^2+8a+16$$。 5. 6 解析：$$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=4+2=6$$。 （三）解答题解析 1. 解：（1）原式$$=4a^2-12a+9$$；（2）原式$$=(4y-x)^2=16y^2-8xy+x^2$$；（3）原式$$=(100-1)^2=10000-200+1=9801$$。 2. 解：原式$$=x^2+4x+4-(x^2-1)=x^2+4x+4-x^2+1=4x+5$$，区分完全平方与平方差公式分别展开，再合并。 3. 解：原式$$=4x^2-4x+1-4x^2-4x=-8x+1$$，代入$$x=2$$得：原式$$=-16+1=-15$$。 4. 解：$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=36-28=8$$，利用变形公式整体代入求解。 课时总结：本节核心掌握两个完全平方公式，牢记“平方结果是三项式，必有两倍中间项”，杜绝漏写2ab的经典错误。熟练掌握公式正用、简便运算、配方题型、整体代入求值四大考点，能精准区分完全平方与平方差公式。本节是整式乘法重难点，也是后续因式分解、分式化简、二次根式求值的核心基础。 人教版数学（新教材）八年级上册 16.3.2完全平方公式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十六章 整式的乘法 素养目标 1. 理解完全平方公式 (a±b)2 ＝ a2±2ab＋b2.(重点) 2. 经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景. 3. 能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想. (难点) 素养目标 知识回顾 计算： (1)(a+3b)(a-3b)； (2) (3+2a)(-3+2a)； (a+b) (a-b) = a2-b2. 两个数的和 两个数的差 平方差 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. = a2-9b2 ; 解：(1)原式= a2-(3b)2 =4a2-9. (2)原式=(2a+3)(2a-3) =(2a)2-32 3 新知导入 【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (p+1)2 = = = ； (m+2)2 = = = . p2+2p+1 m2+4m+4 (p+1)(p+1) (m+2)(m+2) 多项式乘多项式 两数的和的平方 p2 + p + p + 12 m2 +2m+2m+22 两数的平方和加上它们积的2倍. 4 探究新知 【发现】两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍. 验证： 对于任意数字，探究上述发现是否仍成立？ (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2. = a2 + ab + ab + b2 两个数的和的平方 两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍 5 探究新知 【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ( p − 1 )2 = = = ； ( m − 2 )2 = = = . p2 − 2p+1 m2 − 4m+4 (p−1)(p−1) (m−2)(m−2) 多项式乘多项式 两个数的差的平方 p2 − p − p + 12 m2−2m−2m+22 两数的平方和减去它们的积的2倍 6 探究新知 【发现】两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍. 验证： 对于任意数字，探究上述发现是否仍成立？ 两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍 (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-2ab+b2. = a2 - ab - ab + b2 两个数的差的平方 7 归纳总结 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 和的平方 平方 积的二倍 平方 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 差的平方 平方 积的二倍 平方 8 探究新知 (a+b)2 = a2+2ab+b2. (a–b)2 = a2–2ab+b2. 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； 4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 9 探究新知 你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？ b a a b a2 ab ab b2 图 1 (a-b)2 a b b a ab ab b2 图2 10 探究新知 b a a b a2 ab ab b2 图 1 如图，边长为 (a + b) 的正方形的面积是 . (a+b)2 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和： . a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 【结论】 (a+b)2 = a2+2ab+b2 11 探究新知 如图，边长为 (a − b) 的正方形的面积是 . (a − b)2 它的面积还可以表示为： . a2 − ab − ab+b2 = a2+2ab+b2 【结论】 (a − b)2 = a2 − 2ab+b2 (a-b)2 a b b a ab ab b2 图2 12 例题练习 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2； (2) 解：(1) (4m+n)2 =(4m)2+2(4m)n+n2 = 16m2+8mn+n2； (a+b)2=a2+2ab+b2 a2 +2ab b2 13 例题练习 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2 -2ab b2 (2) ( y  )2 = y22y +( )2 = y2  y + . 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2； (2) 14 1. 给出下列算式： ； ； ； .其中错误的 有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 举一反三 15 2. 如果,则 的值是( ) A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】 , , , . D 返回 举一反三 例题练习 = (100 –1)2 =10000 –200+1 解： 1022 =10000+400+4 =10404. 992 =9801. (1) 1022； (2) 992. 运用完全平方公式计算： = (100+2)2 17 探究新知 思考： (a+b)2 与 (ab)2 相等吗？ (ab)2 与 (ba)2 相等吗？ (ab)2 与 a2b2 相等吗？ (ab)2=[(a+b)]2=(a+b)2 相等 相等 (ab)2(a2b2)=2b22ab 不一定相等 若2b22ab=0，则(ab)2=a2b2 (ba)2=[(ab)]2=(ab)2 18 探究新知 回顾之前所学的去括号法则吗？试着去掉下面式子中的括号. a+(b+c)= a–(b+c)= a+b+c 把上面两个等式的左右两边对换，等式仍成立，即， a + b + c = a + (b + c)；a - b - c = a - (b + c). 添括号法则 a-b-c 19 探究新知 将等号左右两边对换，等式仍然成立. abc=a(b+c) 符号不变 符号不变 添上“+( )”，括号里的各项都不变符号. 符号改变 符号改变 添上“( )”，括号里的各项都改变符号. a+b+c=a+(b+c) 20 归纳总结 添括号法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ； 不变符号 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号. 改变 21 例题练习 运用乘法公式计算: (1) (x+2y–3)(x–2y+3) (2) (a+b+c)2. 解: (1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)] = x2–(2y–3)2 = x2–(4y2–12y+9) = x2–4y2+12y–9. (2)原式=[(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 平方差公式 完全平方公式 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 22 当堂练习 QING JING YIN RU 1.计算：(2x-y)2=（　　） A. 4x2-4xy+y2 B. 4x2-2xy+y2 C. 4x2-y2 D. 4x2+y2 (2x)2 -2·2x·y+y2 4x2 -4xy+y2 A 2.将1052变形正确的是（ ） C A. 1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5) C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52 当堂练习 QING JING YIN RU 3.已知a+b=3,ab=1,则a2+b2的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 A 4.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ ） A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28 D 5.古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（    ）中可以很清晰地看出公式 成立. B A. B. C. D. 易错提醒： 中间项的符号可以是正也可以是负，与题目中的正负号无关. 当堂练习 QING JING YIN RU 7. 已知(m+n+1)(m+n1)=63，则m+n= . 8 6.如图1是一个宽为a、长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．则根据这两个图形间的关系，得到代数式 (a + b)2 , (a - b)2 ,4ab三者之间的数量关为                         ． (a + b)2 = (a - b)2 +4ab 8.若4+4=0，则 . 4 9.若4m+16可以配成一个完全平方式，则m . 16 当堂练习 QING JING YIN RU 10.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. (4) (-4a+5b)2 =(5b-4a)2 =(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2 ； (5) (x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2 . (4) (-4a+5b)2 ； (5) (x+7y)2 . 当堂练习 QING JING YIN RU 11．利用完全平方公式计算： (1)5012; (2)2992； (3)1992－202×198; (4)472－94×27＋272. 解：(1)原式＝(500+1)2=5002+2×500×1+12=251 001. (2)原式＝(300-1)2=3002-2×300×1+12=89 401. (3)原式＝(200-1)2-(200+2)(200-2) =2002-2×200×1+12-(2002-22)= -395. (4)原式＝(47-27)2= 400. 当堂练习 QING JING YIN RU 12.运用乘法公式计算： (1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； (2) (a + b + c)2. 原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)] 解：(1) (2) 原式 = [(a + b) + c]2 = x2 – (2y – 3)2 = x2 – (4y2 – 12y + 9) = x2 – 4y2 + 12y – 9. = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2. 3. 如图，可验证的乘法公式是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 29 4.若，则 的值为____. 5.若，则代数式 为______. 6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式 的值是___. 8 返回 举一反三 30 小结 完全平方公式 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 内容 字母表示：(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 和 (或差) 两数的_________的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 . 2 倍 31 谢谢观看 THANKS $