16.3.2完全平方公式 课件2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3.2 完全平方公式 人教版(2024)八年级上册 第十六章 整式的乘法 学习目标 1 理解完全平方公式的结构特征，了解公式的几何背景 2 灵活应用完全平方公式进行计算 3 掌握添括号法则 探索新知 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p ＋1 )2＝ ＝ . (2) ( m＋2 )2＝ ＝ . p2＋ p ＋ p ＋ 12 m2＋2m＋2m＋ 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 ＋2p ＋ 12 m2＋4m＋ 22 探究完全平方公式 利用乘方的意义、多项式乘多项式的法则以及合并同类项 (p+1)2 =(p+1)(p+1)= ____________; (m+2)2 =(m+2)(m+2)= ____________; (p-1)2 =(p-1)(p-1)=_____________; (m-2)2 =(m-2)(m-2)=_____________; p2+2p+1 p2-2p+1 m2-4m+4 m2+4m+4 你能继续完成下列计算么？ 思考：观察上面的结果，你发现了什么规律？ （1） （2） p2+1+2p p2+1-2p 4m2+4+4m 4m2+4-4m 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 将这两个数用字母a和b表示，得到 (a-b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2+b2-2ab (a+b)2 =a2+ab+ab+b2 =a2+b2+2ab (a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这个公式叫完全平方公式. 归纳总结 方法一 图 ② 中正方形 ① 的边长为 a－b，面积为 (a－b)2. b a a b 图(2) ① ② ④ ③ 分析：如何用不同的方法表示正方形①的面积？ 方法二 把正方形 ① 的面积看成大正方形的面积 a2 减去右边和上边两个长为 a ，宽为 b 的长方形面积之和，即 2ab ，此时重复减了 ④ 的面积，即 b2 ，应将其补上，也就是 a2－2ab＋b2. (a－b)2 ＝a2－2ab＋b2. 积的次数和项数 相同的项 不同的项 和的完全平方公式 差的完全平方公式 问题3：观察这两个公式，回答下列问题. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 二次三项式 二次三项式 a2，b2 a2，b2 +2ab -2ab 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式还可以表示多项式吗？ 　　例 1　运用完全平方公式计算： 　　（1）(4m＋n)2； （2） 　　解：（1）(4m＋n)2＝(4m)2＋2 • (4m) • n＋n2 　　　　　　　　　　 ＝16m2＋8mn＋n2； 　　　　（2）　　　　 ＝y2－2 • y • ＋ 　　　　　　　　　　 ＝y2－y＋　． 归纳做题过程 第一步：选择公式． 第二步：准确代入公式． 第三步：化简． 　　例 2　运用完全平方公式计算： 　　（1）1022；　　　　　　　　　　（2）992. 　　　 （2）992 ＝(100－1)2 　　分析：（1）1022 ＝(100＋2)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝1002－2×100×1＋12 ( a ＋b )2 ＝a2＋2ab＋b2 ( a － b)2 ＝a2－2ab＋b2 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？ 思考 + a2 ab ab b2 = + (a+b)2=a2+2ab+b2 一级标题：黑体， 13 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？ 思考 (a−b)2 = (a−b)b (a−b)b b2   (a−b)2= a2−2ab+b2 一级标题：黑体， 14 (1) 1022； 解：(1) 1022 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. (2) 992 = (100 – 1)2 = 10000 - 200 + 1 = 9801. 例 运用完全平方公式计算： 方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【练一练】 利用乘法公式计算： (1) 982－101×99； (2) 20252－2025×4048＋20242. ＝(2025－2024)2＝1. 解：(1) 原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1＝－395. (2) 原式＝20252－2×2025×2024＋20242 典例精析 例运用完全平方公式计算: (1) 982; (2) 1022. (2) 1022 =10000+400+4 =10404. 解：(1) = (100+2)2 982 = (100-2)2 =10000-400+4 =9604. 随堂练习 灵活运用乘法公式计算： 已知(m+n+1)(m+n1)=63，则m+n= . 解：∵ (m+n+1)(m+n1) =(m+n)212=63 ∴(m+n)2=64 ∴m+n=8 8 1. 根据完全平方公式填空： (1)(x＋1)2＝x2＋2·x·1＋12＝ ⁠； (2)(－x＋1)2＝(－x)2＋2·(－x)·1＋12＝ ⁠； (3)(－2a－b)2＝(－2a)2＋2·(－2a)·(－b)＋(－b)2 ＝ ⁠. x2＋2x＋1　 x2－2x＋1　 4a2＋4ab＋b2　 2. 计算： (1)(5－a)2； 解：原式＝25－10a＋a2. (2)(－2m＋3)2； 解：原式＝4m2－12m＋9. (3)( x－5y)2；解：原式＝ x2－ xy＋25y2. 解：原式＝25－10a＋a2. 解：原式＝4m2－12m＋9. 解：原式＝ x2－ xy＋25y2. 解：（1）(x＋6)2 ＝x2＋2·x·6＋62 ＝x2＋12x＋36； 　3．运用完全平方公式计算： （1）(x＋6)2 ； （2）(y－5)2 ； （3）(－2x＋5)2 ； （4） ． 解：（2）(y－5)2 ＝y2－2·y·5＋52 ＝y2－10y＋25； 　　4．运用完全平方公式计算： （1）(x＋6)2 ； （2）(y－5)2 ； （3）(－2x＋5)2 ； （4） ． $