第三章 函数的概念与性质重难点检测卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域可知，解出的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】因为函数的定义域为，函数， 所以，解得：或, 所以函数的定义域为， 故选：D 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 4．下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义、性质，结合代入法进行判断即可. 【详解】对于A，分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 对于B，由函数的解析式可知，故B错误； 对于C，是一个分段函数，故C正确； 对于D，分段函数的定义域不都是，如，故D错误． 5．函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断函数在R上单调递减，根据分段函数在R上单调递减即要在每一段上都单调递减，即可求出a的取值范围，另外还要考虑分界点处的大小关系. 【详解】因为对任意  都有 成立， 所以函数在R上单调递减， 所以设在上单调递减， 即，即. 设在上单调递减， 为二次函数开口向上，对称轴为直线. 所以，即. ，， 因为在R上单调递减，所以， 即，解得. 综上所述，a的取值范围是. 6．若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，所以转化为，即可得到. 【详解】由题意知， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立，所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 7．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 8．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据求出的值，可得出函数的解析式，再结合幂函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，则，解得，所以， 函数的定义域为，故函数是非奇非偶函数， 且该函数在上单调递增，ABD都错，C对. 故选：ABD. 10．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（    ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．企业最大年产量应不超过4800台 D．企业不亏本的最大年产量为500台 【答案】BC 【分析】确定得到A错误，根据二次函数性质计算最值得到B正确，考虑利润为0时得到，解得C正确，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：， 故当时，有最大值为，正确； 对选项C：当时，销售收入最多为， 设最大产量为，取，解得，正确； 对选项D：当产量在为4800台时，利润为0，错误； 故选：BC 11．为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【分析】根据题意，列出符合要求的分段函数，结合总费用，求出旅游的人数. 【详解】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 【答案】 【分析】不等式 可化为，结合单调性定义证明在上单调递减，结合函数的定义域及单调性解不等式可得结论. 【详解】由题意知： 可得， 故 且，所以 令，不妨设，可得，则 即，所以在上单调递减， 则不等式， 因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 13．利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 14．设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）略 （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 16．已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 17．已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 18．已知幂函数是非奇非偶函数. (1)求函数的解析式； (2)已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据幂函数的定义，建立方程求得参数，结合奇偶函数的定义，分情况验根，可得答案； （2）（i）根据奇函数的性质，可得函数解析式；（ii）根据函数解析式作图，结合图象建立不等式，可得答案. 【详解】（1）由题知，，即， 即，解得或， 当时，，是非奇非偶函数， 当时，，是偶函数， 所以的解析式是. （2）当时，， （ⅰ）设，则，所以， 又为奇函数，所以，所以当时，. 即. （ⅱ）作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 19．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 4．下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 5．函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 8．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 10．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（    ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．企业最大年产量应不超过4800台 D．企业不亏本的最大年产量为500台 11．为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 13．利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 14．设 是定义在上的奇函数，则______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 16．已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 17．已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 18．已知幂函数是非奇非偶函数. (1)求函数的解析式； (2)已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 19．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 学科网（北京）股份有限公司 $