精品解析：江苏省通州高级中学2026-2027学年上学期第一次阶段测试高二数学试卷

江苏省通州高级中学2026~2027学年上学期第一次阶段测试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 则有， 所以. 故选：D. 2. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 3. “直线，相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】已知直线，相互垂直， 则，解得或， 若，则直线互相垂直，满足必要性； 两直线垂直时，或，不一定是，不满足充分性， 故“直线，相互垂直”是“”的必要不充分条件． 4. 已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解不等式即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以k的取值范围是， 故选：C. 5. 过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标，利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程． 【详解】过的直线方程为 ，的中点为，所以的垂直平分线为， 故，解得，即圆心坐标为， 半径为，所以圆的方程为， 故选：B 6. 由直线上的一点向圆：引切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，结合圆的切线的性质分析可得四边形面积，又由，据此分析可得当取得最小值时，切线长取得最小值，此时四边形PACB面积取得最小值，结合直线与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】 根据题意，连接 ， 圆：的圆心为，半径， 设， 则四边形面积， 又由， 则当取得最小值时，切线长取得最小值， 此时四边形面积取得最小值， 而的最小值为圆心到直线的距离，设其最小值为， 则， 则 ； 故四边形面积的最小值为 ； 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质，属于基础题． 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意曲线表示圆的上半部分，直线绕定点旋转，数形结合求临界点对应的参数k，即可得答案. 【详解】曲线表示圆的上半部分， 直线过定点，如下图示， 当过直线与圆的左上部相切时且，可得， 当直线过图中两点时，其中，则， 结合图知，曲线与直线有两个交点，则. 故选：B 8. 若圆上存在点满足，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由得到，从而两圆有公共点，利用圆心距和两圆半径的关系可得不等式，求出答案 【详解】设点，由得， 因为圆上存在点满足， 故圆与圆有公共点， 其中的圆心为，半径为2， 所以， 两边平方得，，故恒成立， 两边平方得，解得， 所以a的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 10. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. C. 圆与圆的公共弦所在直线方程为 D. 圆与圆的公共弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆心距和两圆半径的比较，即可得出两圆相交，判断选项AB，联立两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，判断C，利用点到直线的距离公式和勾股定理即可求解公共弦长判断选项D. 【详解】由题知，，，，， 则，B正确； 又，即， 所以圆与圆相交，有两条公切线，A错； 联立得， 故圆与圆的公共弦所在直线方程为，C正确； 点到的距离为， 所以圆与圆的公共弦长为，D正确. 故选：BCD 11. 已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦长有最小值 B. 有最大值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定；对B，连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定；对C，由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定；对D，设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定. 【详解】如图： 对于A，由圆，可得圆心，半径， 由直线，可得，所以直线过定点，且点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线时，弦取得最小值，但，直线的斜率为， 所以无法成立，弦长没有最小值，故A错误； 对于B，因为是弦中点，连接，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点），方程为，其中圆心为，半径， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为，要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 由直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，设，且，，可得，， 所以， 因为动点的轨迹方程为，设，可得， 因为直线与圆必有公共点， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 13. 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可. 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 14. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，若求的最大值，转化为求的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 若求的最大值，转化为求的最大值， 设关于直线的对称点为B，设B坐标为， 则 ，解得，故B， 因为，可得， 当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线. （1）求过点A且与直线垂直的直线方程； （2）直线为过点A且和直线平行的直线，求平行直线，的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直，则斜率乘积为，设出直线方程为，代入点，解出即可. （2）根据两直线平行则斜率相等，设出直线方程为，再利用平行线之间距离的公式即可求出两直线距离. 【小问1详解】 设过点且与直线垂直的直线方程为. 把点的坐标代入可得:,解得. 过点且与直线垂直的直线方程为. 【小问2详解】 设过点且和直线平行的直线的方程为:. 把点的坐标代入可得:,解得. 直线的方程为:. 平行直线的距离. 16. 已知在中，点，角的平分线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为． （1）求点的坐标及直线的方程； （2）求点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，联立方程组，求得的坐标，由边上的高所在直线方程，得到直线的斜率为，结合点斜式方程，求得得直线方程； （2）设关于直线的对称点为，列出方程组，求得，根据题意，得到点在直线上，求得的直线方程为，联立方程组，求得点的坐标. 【小问1详解】 设，联立方程组，解得，所以点的坐标为， 因为边上的高所在直线的方程为，可得斜率为， 可得直线的斜率为， 所以的直线方程为，即. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 可得，解得，所以， 因为角的平分线所在直线的方程为，可得点在直线上， 可得，所以的直线方程为，即， 联立方程组，解得，所以点的坐标为. 17. 已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 【答案】（1）（i）或. （ii）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 将圆化成标准方程为， 所以圆心为，半径， （i）当过点切线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到直线的距离为，满足要求； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即； 综上，满足条件的切线方程为或. （ii）由（i）不妨设点，又，所以，且， 由圆的性质可得，， 所以. 【小问2详解】 设，则，， 由圆的性质可得，所以， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 18. 已知圆过与两点，且关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点 （i）若的面积为2，求的斜率 （ii）若为线段的中点，求的方程． 【答案】（1）； （2）（i）或1；（ii）或； 【解析】 【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，圆心在直线上，联立两直线得到圆心和半径，得到圆的方程； （2）（i）分直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式和三角形面积得到方程，求出直线斜率； （ii）设，所以，均在圆上，代入圆的方程，得到方程组，求出或，进而得到或，求出直线方程. 【小问1详解】 圆过与两点，故圆心在线段的垂直平分线上， 其中，故，线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即， 又圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 联立与得， 所以圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 （i）当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 中，令得，无解，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，即， 圆心到直线的距离为，， 因为的面积为2，所以，解得，负值舍去， 所以，解得或1， 所以直线的斜率为或1； （ii）设，因为为线段的中点，所以， 由题意可知，均在圆上，所以， 即，两式相减得， 代入得， 解得或， 故或， 故或， 所以直线的方程为或， 即或； 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． （1）若，求直线的方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆上一点的切线方程，由点在两条切线上，得到两点共同满足的方程，即为切点弦方程； （2）先写出通用切点弦方程，求圆心到的距离，结合弦长公式，分析距离的最大值，从而求出弦长最小值； （3）设切线斜率，由相切条件得到斜率的一元二次方程，用韦达定理与斜率差公式表示，进而求最小值． 【小问1详解】 已知圆心，设切点，取切线上任意异于点的一点，则， 故， 则，展开整理得，， 故过点的切线方程为， 点在切线上，故， 整理可得， 同理，切点也满足此方程，故切点弦的方程为． 【小问2详解】 结合（1）结论，对任意参数，切点弦的方程为：， 圆心到直线的距离， 当且仅当时取最大值， 弦长，故的最小值为． 【小问3详解】 设过点的切线斜率为，则切线方程为， 即， 由相切关系得，即，整理得 ， 两条直线对应的斜率，则 ， 切线与轴交点纵坐标为，即， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省通州高级中学2026~2027学年上学期第一次阶段测试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 3. “直线，相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 由直线上的一点向圆：引切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为 A. 1 B. C. D. 3 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上存在点满足，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. C. 圆与圆的公共弦所在直线方程为 D. 圆与圆的公共弦长为 11. 已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦长有最小值 B. 有最大值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：截圆：的弦长为__________． 13. 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 14. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线. （1）求过点A且与直线垂直的直线方程； （2）直线为过点A且和直线平行的直线，求平行直线，的距离. 16. 已知在中，点，角的平分线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为． （1）求点的坐标及直线的方程； （2）求点的坐标． 17. 已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 18. 已知圆过与两点，且关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点 （i）若的面积为2，求的斜率 （ii）若为线段的中点，求的方程． 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． （1）若，求直线的方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $