精品解析：广东佛山市南海区桂江第一初级中学2026-2027学年 九年级第一学期数学第一次教学质量检测

初三数学9月素质监测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以长方形也称为“矩形”，矩形的对称轴的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线被称为对称轴．据此分析判断即可． 【详解】解：矩形的对称轴为两组对边中点连线所在的直线，共条． 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数；根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【详解】解：选项：，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项：，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项：，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形． 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 6. 如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得，从而在等腰中利用三角形内角和求出． 【详解】解：是直角三角形，是斜边上的中线， ， ， ． 故选：． 7. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ． 8. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需先表示出二月、三月的产量，再根据三个月总产量列方程. 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台，三月份产量为台， ∵一、二、三月份共生产200台， ∴可列方程. 9. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成一般形式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 12. 已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 13. 已知是方程的一个根，试求的值______． 【答案】2009 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由是方程的一个根，将其代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 14. 若实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】两个等式结构相同，且，可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系结合完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵满足，满足，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，， ∵， 将，代入得：， ∴． 15. 如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形性质以及勾股定理得到，即，结合，推出，再根据中点四边形的知识证明四边形为矩形，根据矩形面积公式即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线的交点为O， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为边中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，中点四边形的知识，完全平方公式的变形，证明四边形为矩形是解题的关键． 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ∴，． 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 17. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 18. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积 【答案】（1） （2） （3）15， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解； （2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解； （3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ∴， 由已知可得，， 在矩形中，， 当时，四边形为矩形， ∴，得， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当，即时，四边形为菱形 即时，四边形为菱形，解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 当时，， 则周长为； 面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 （1）每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） （2）若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）元，件 （2）每件衬衫应降40元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 21. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得， 解得， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴原方程的解为，； 【小问2详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 五、解答题三（共2题，每题12分，共24分） 22. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）不变，， 如图，在上截取，连接， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质结合角平分线的定义求出，即可解答；②求出，由①知，易证，再证明，进而证明，推出四边形是平行四边形，，即可证明结论； （2）在上截取，连接．由（1）同理可得．证明出，得到，即可得解； （3）过D作交的延长线于点H，连接、．由（2）知，则点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，当与相等时，即A、D、P三点共线，即可求解． 【详解】解：（1）①∵正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴时，需先求得二者度数均为； ②略 （2）略 （3）如图，过D作交的延长线于点H，连接、． 由（2）知：， ∴点P在与成的直线上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称，， ∴， ∴， 当A、P、H三点共线时，即最短， 此时， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解此题的关键． 23. 【特例感知】 （1）在矩形中，设，，则对角线和a，b的数量关系为______． （2）【规律探究】如图（1），在中，设，，猜想对角线和a，b的数量关系，并证明你的猜想． （3）【知识应用】如图（2），在四边形中，，，，，，点M为的中点，求的长． 【答案】（1） （2）猜想：， 证明如下：过点作于，过点作，交延长线于． 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，． 由勾股定理： ， ， 将两式相加，代入、， 得： ， 又在中，， 代入，得． （3）． 【解析】 【分析】（1）因为矩形对角线相等且内角为直角，所以用勾股定理表示两条对角线的平方和，整理得到结果． （2）过点作于，过点作，交延长线于，将对角线放在直角三角形中，用勾股定理分别表示两条对角线的平方，再相加，结合平行四边形对边相等的性质，整理得到数量关系． （3）首先连接，因为，所以用勾股定理求出的长度；再延长到点E使，连接，构造平行四边形，利用（2）得到的平行四边形对角线平方和与边长的关系，代入已知边长计算的长． 【小问1详解】 解：矩形的内角为直角，由勾股定理得： ， 同理，因此． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：延长到点，使，连接、、． ∵，，， ∴由勾股定理得对角线， 即（负值舍去）． ∵是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形． 对平行四边形套用（2）的结论： ， 代入已知数值，，， 得， 计算得， ∴（负值舍去）， ∵， ∴．​ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学9月素质监测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以长方形也称为“矩形”，矩形的对称轴的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 6. 如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 8. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成一般形式：________． 12. 已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 13. 已知是方程的一个根，试求的值______． 14. 若实数m，n满足，，且，则的值为______． 15. 如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为__________． 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 18. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积 20. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 （1）每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） （2）若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 21. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 五、解答题三（共2题，每题12分，共24分） 22. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 23. 【特例感知】 （1）在矩形中，设，，则对角线和a，b的数量关系为______． （2）【规律探究】如图（1），在中，设，，猜想对角线和a，b的数量关系，并证明你的猜想． （3）【知识应用】如图（2），在四边形中，，，，，，点M为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $