专题02 简单几何体（必备知识+19题型+分层检测）（期中复习讲义）高二数学上学期沪教版必修第三册

专题02 简单几何体（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 柱体、椎体、 多面体与旋转体、球 1.知识目标：准确理解和记忆简单几何体（柱体、锥体、多面体、旋转体、球）的定义、结构特征、相关概念，能够清晰区分不同几何体的差异。 2.技能目标：熟练运用柱体、锥体、球的体积和表面积公式进行计算，包括根据已知条件准确找出公式所需的参数，如底面积、高、半径、母线长等；能够解决涉及组合体（由两个或多个简单几何体组合而成）的体积和表面积计算问题。 3.思维目标：培养空间想象能力，能够根据文字描述或简单的图形画出相应的几何体，分析其内部的线面关系；提升逻辑推理能力，在推导和运用公式的过程中，理解公式的由来和适用条件，能够进行相关的证明和计算。 1. 题型分布：选择题和填空题一般考查对几何体基本概念、性质的理解，以及简单的体积和表面积计算；解答题通常会结合多个知识点，如组合体的体积和表面积计算，或者与立体几何中的线面关系（后续章节内容）综合考查。 2.命题趋势：近年来，对简单几何体的考查越来越注重实际应用，可能会出现以生活中的物体为背景，要求计算其体积或表面积的题目；同时，对组合体的考查也较为常见，需要考生具备较强的空间想象能力和综合运用知识的能力。另外，对公式的推导和证明在一些考试中也有涉及，以考查学生对知识的理解深度。 知识点01 柱体 考点1：多面体的定义及其相关概念 定义 图形及表示 相关概念 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 1．多面体至少有四个面.在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分． 2．连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．；例如，在下图中，连接 ，则 为该多面体的一条对角线． 3．一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面．在下图中，连接 ， ，则得到多面体的一个截面 ． 多面体的概念注意以下两个方面：（1）多面体是由三角形或平面多边形围成的，围成一个多面体，至少要4个面，一个多面体有几个面围成就称为几面体.（2）多面体是一个封闭的几何体，包括其内部的部分. 考点2：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 棱柱的结构特征与分类 结构特征 分类 底面互相平行且全等: 侧面都是平行四边形; 侧棱都相等,且互相平行 (1)按侧棱与底面是否垂直分类 ①直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是正多边形的直棱柱; ②斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱 (2)按底面的多边形的边数分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.圆柱 （1）圆柱的定义及相关概念 定义 图示 相关概念 如右图，将矩形ABCD绕其一条边 AB所在直线旋转一周，所形成 的几何体叫做圆柱 轴:AB所在直线 底面:线段AD和BC分别旋转而成的圆面; 侧面:线段CD旋转而成的曲面; 母线:CD叫做该圆柱的母线; 高:圆柱的两个底面间的距离(即 AB的长度) （2）圆柱的截面 ①轴截面:过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面 ②横截面:任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面 考点3：祖暅原理 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. 祖暅 [gèng]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。 祖暅原理 （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 考点4：柱体的体积 （1）祖睢原理 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积,那么这两个几何体的体积必相等， （2）柱体的体积公式 几何体 体积公式 棱柱 圆柱 （为圆柱的底面积， 为圆柱的高， 为圆柱的底面半径） 5.柱体的表面积 柱体的表面积:两个底面的面积再加上所有侧面的面积； 柱体的侧面积:所有侧面的面积之和 几何体 图形 表面积公式 直棱柱 （ 为直棱柱的底面周长， 为直棱柱的高） 圆柱 为圆柱的母线长， 为圆柱底面的半径） 知识点02 锥体 考点1：棱锥 1.棱锥 （1）定义及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 有一个面是三角形或平面多边 形，且不在这个 面上的棱都有一个公共点,这样的多面体叫做棱锥 底面:三角形或平面多边形; 侧面:有公共顶点的各个三角形面; 侧棱:不在底面上的棱; 顶点:所有侧棱的公共点; 高:顶点到底面的距离 （2）结构特征与分类 结构特征 分类 底面是多边形; 侧面都是三角形; 侧面有一个公共顶点 (1)按底面多边形分类:三棱锥、四棱锥…… (2)正棱锥:底面是正多边形,且底面中心与顶点的连线垂直于底面的棱锥;特别地,侧棱长与底面边长相等的三棱锥叫做正四面体 2.圆锥 定义 将直角三角形 AOB绕其一条直角边AO所在直线旋转一周,所形成的几何体 图形及表示 相关概念 轴:AO所在直线;顶点:母线的交点(即点A);底面:直角边OB旋转而成的圆面;侧面:斜边 AB旋转而成的曲面;母线:斜边 AB;高:圆锥的顶点到底面间的距离(即 AO 的长度) 结构特征 底面是圆面;轴垂直于底面;所有的母线都相等且交于一点 知识点03 棱台与圆台 （1）台体的定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体.大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台.如果棱锥被一个平行于底面的平面所截,那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台.其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台 （2）圆台与棱台 几何体 图示 相关概念 圆台 底面:原圆锥的截面和底面， 轴:原圆锥的轴; 侧面:原圆锥的侧面在截面和底面之间的部分; 母线:原圆锥的母线在截面和底面之间的部分 棱台 底面:原棱锥的截面和底面; 侧面:除上、下底面外,其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与底面的公共点 4.锥体与台体的体积 几何体 体积公式 锥体 （S为底面多边形的面积，ん为棱锥的高） （r为圆锥底面圆的半径，ん为圆锥的高） 台体 （分别为上、下底面面积，ん为高） （分别为上、下底面半径,ん为高） 5.锥体与台体的表面积 图形 面积公式 正棱锥 (c为底面周长,h为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高) 正棱台 （、c分别为上、下底面周长,为斜高,即侧面等腰梯形的高) 圆锥 (r为底面半径,为母线长) 圆台 （ 分别为上、下底面半径,为母线长) 知识点06 多面体与旋转体 考点1：:多面体 1.多面体的定义及有关概念 定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体，可用面的数量命名（如四面体、六面体等），面数最少为4（四面体，即三棱锥）。 多面体由平面多边形围成，包含内部平面部分；类比平面多边形由三角形拼合，空间多面体可由四面体拼合而成。 1.多面体至少有4个面。 2.截面：几何体与平面相交所得的平面图形（含内部）。 2.正多面体 定义：所有面为全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱数相等。 常见正多面体：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。 凸多面体与凹多面体 凸多面体：任意面延展为平面后，其余面均在该平面同一侧（如正四面体、正方体）。 凹多面体：任意面延展为平面后，其余面不都在同一侧。 特别提醒：教材中若无特别说明，多面体均指凸多面体。$ 考点2：旋转体 1.旋转体的定义及有关概念 定义：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 常见旋转体：①矩形 圆柱，②直角三角形 圆柱，③直角梯形 圆台，④半圆 球。 2.旋转面的定义及有关概念 定义：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面 考点3：多面体的欧拉定理 1.定理内容 简单多面体的顶点数 、棱数 、面数 满足：. 利用欧拉定理时，需注意定理使用条件，正确计算 、、. 正多面体的唯一性证明 假设正多面体每个面为正 边形，每个顶点有 条棱，则：（每棱被 2 个面共用），（每棱连接 2 个顶点）.代入欧拉定理得： ，化简为 . 由于、 ，讨论得唯一解对应五种正多面体. 知识点07 球 考点1：球的定义 定义 图形及表示 相关概念 将圆心为的半 圆面绕其直径所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球，记作球 (1)球面:半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面; (2)球心:点O; (3)半径:原半圆的半径; (4)直径:原半圆的直径 考点2：球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 考点3：平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 考点4：地球的经纬度 名称 定义 特点 经线 过地球北极点和南极点的大圆的半圆周称为经线 指示南北方向;所有经线都呈半四状且长度相等;两条正相对的经线形成一个经线圈 纬线 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆的圆周称为纬线 指示东西方向:每条纬线都是一个圆;纬线的长度不相等(赤道是最大的纬线) 考点5：球的体积公式 设球的半径为 ，球的体积只与半径 有关，是以 为自变量的函数．事实上，如果球的半径为 ，那么它的体积 ． 考点6：球的表面积 设球的半径为 ，球的表面积只与半径 有关，是以 为自变量的函数．事实上，如果球的半径为 ，那么它的表面积 . 题型1 棱柱的结构特征和分类 1．（24-25高二上·上海·期中）给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、线面垂直证明线线垂直、判断命题的真假 【分析】举例说明即可判断命题；根据线面垂直的性质和三垂线定理即可判断命题. 【详解】对于命题：如图即为反例，故命题为假命题；    对于命题：如图所示，在该棱锥中，底面. 在底面中，，，….    根据三垂线定理，则所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断命题的真假 【分析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，①为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，②是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，③是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，④是真命题. 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 3．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类、证明线面垂直 【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 题型2 棱柱的展开图及最短距离问题 4．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】先分析出取到最小值时点的位置，然后将将底面沿着翻折，使其和平面共面，转化为平面问题处理. 【详解】 作，垂足为，连接， 根据直棱柱性质可得，平面，平面，则， 显然，当在上，两个等号同时成立， 于是使得取到最小值的点落在线段上. 如图所示直三棱柱，将底面沿着翻折，使其和平面共面，如下图， 过作，垂足为，交于，则此位置的点为所求， 根据题干数据，，， 由，故，于是，， 设，则，由，解得， 故，故； 故答案为： 【点睛】关键点睛：立体几何折线段最值问题都会展开几何体为一个平面处理，待求表达式中含有，联想到含的直角三角形的边长关系，是解题突破口. 6．（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，即可得周长的最小值. 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于空间中线段和最值问题，常常把两个平面折叠成一个平面，再结合平面的性质运算求解. 7．（22-23高二上·上海徐汇·期末）在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】设G关于平面对称的点为，的周长，再通过建系以及转化思想转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况，由此可得结果. 【详解】 设G关于平面对称的点为，连接，则， ，的周长， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，， 设，则，所以 即点到与距离和的最小值， 设关于x轴对称的点为， 则 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况. 题型3 圆柱的结构特征辨析 8．（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】作出辅助线，当与重合时，最小，此时，当越接近于时，越大，故的取值范围是. 【详解】如图所示，点为上底面的圆心，下底面的直径为，为下底面的圆心， 连接，则， 过点作⊥，交圆于点，则， 连接，由勾股定理得， 当与重合时，最小，此时， 当越接近于时，越大，故的取值范围是.    故答案为： 9．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 【答案】 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围. 【详解】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为， 连接，过作，垂足为， 则， 据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化， 由图2可知，当点与点重合时，， 此时取得最大值为， 如图3所示，当点与点重合时，， 此时取得最小大值为， 综上所述，面积的范围为. 故答案为： 10．（23-24高二上·上海普陀·期中）我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是 ． 【答案】尺 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将圆木看作圆柱体，并沿母线剪开，利用长方形对角线为葛藤生长的最短长度求结果. 【详解】将圆柱形圆木沿一条母线剪开,两个侧面展开图沿母线拼接，得如下长方形尺，尺，    所以葛藤最少长为尺. 故答案为：尺 题型4 柱体体积的有关计算 11．（24-25高二上·上海崇明·期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积、的关系是 . 【答案】相等 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据祖暅原理可得答案. 【详解】根据祖暅原理可得相等. 故答案为：相等. 12．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据圆柱的体积公式来求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·期中）若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由轴截面为正方形，易得到底面半径和高，代入体积公式即可． 【详解】由轴截面是边长为2的正方形可得，圆柱底半径为1，高为2， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【答案】/0.1875 【知识点】柱体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】分别取的中点，连接，结合棱柱的结构特征可得几何体是三棱柱，再证明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解. 【详解】连接,分别取其中点，连接，如图，    则，且，可得几何体是三棱柱， 又，且，于是平面， 而平面，则，同理，又平面， 因此平面，即三棱柱是直三棱柱， 由正方体的棱长为1，得， 所以直三棱柱的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题中信息，作出几何体，再证明该几何体是直三棱柱是本题的关键. 题型5 棱柱表面积的有关计算 15．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱柱的结构特征和分类、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】首先证得，然后分别求出三个侧面的面积相加即可求出结果. 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作，证明. 16．（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据长方体的三个不同表面的面积分别为，，，求得相邻的三条棱长，再利用长方体的对角线长公式求解. 【详解】解：设长方体的相邻的三条棱长为a，b，c， 因为长方体的三个不同表面的面积分别为，，， 所以，解得， 所以长方体的对角线长为， 故答案为： 17．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【答案】36 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正棱柱的侧面积公式求解. 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得， 故答案为：36 18．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】棱柱表面积的有关计算、证明面面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据多面体表面积的求法求解. （2）证明出线面垂直，从而证明面面垂直； （3）证明出，从而证明出线面平行. 【详解】（1）正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. （2）如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 题型6 圆柱表面积的有关计算 19．（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，结合数据得到矩形的长和宽，即可计算圆柱的侧面积. 【详解】圆柱侧面展开图为矩形，长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱的高. 故圆柱的侧面积为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】求底面圆的半径后可求侧面积. 【详解】因为底面积为，故底面半径为3，而高为4， 故侧面积为， 故答案为： 21．（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】先根据侧面积公式表示出侧面积，然后利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 22．（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据条件，可求出圆柱的底面直径，母线长，然后根据圆柱的表面积公式求解 【详解】由于圆柱的轴截面是正方形，面积为，即正方形的边长是， 则圆柱的母线长是，底面直径是， 于是圆柱的底面积是，侧面积是， 于是表面积是. 故答案为： 23．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】圆柱表面积的有关计算、证明面面垂直、几何图形中的计算 【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解. （2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可. （3）先分析得将绕着旋转到，使其与共面，且在的反向延长线上，当，，三点共线时，的最小值为，通过解三角形求即可. 【详解】（1）根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为 （2）由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 （3） 将绕着旋转到，使其与共面， 且在的反向延长线上，当，，三点共线时， 的最小值为， 因为，，，， ，所以，，，所以在三角形中， 由余弦定理可得， 所以的最小值为. 24．（24-25高二上·上海徐汇·期中）（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1； 假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上； 假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直； 假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上． ①求“十字”捆扎中彩带的总长度； ②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 【答案】（1）应选择圆柱体礼盒更经济实惠； （2）①16；②，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带 【知识点】圆柱表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，将两种礼盒的总造价相比即可得出结论； （2）①直接利用题意即可求出采用“十字”捆扎中彩带的总长度； ②求出“对角”捆扎中彩带的总长度，比较大小，即可得到答案. 【详解】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，正方体礼盒、圆柱形礼盒的总造价分别为， 显然都是正数，所以， 所以工厂应选择圆柱体礼盒更经济实惠； （2）①采用“十字”捆扎中彩带的总长度为； ② 由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带. 题型7 棱锥的结构特征和分类 25．（24-25高二上·上海·期中）设四面体中，有k条棱长为a，其余条棱长为1． (1)时，求a的取值范围； (2)时，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】（1）不妨设，可折叠三角形，观察的长度即可； （2）分别讨论两边在一个三角形内和两边为四面体对棱这两种情况，结合等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质求解的范围. 【详解】（1）设，固定，让绕转动， 当接近时，接近于0；当与接近于共面时，a接近于， 故；    （2）第一种情况，两边在一个三角形内时：    假设时，E为D在底面射影， 由题意得，假设中点为，连结，假设， 则，即， 解得，则且， 即，故，则， 综上，； 第二种情况，两边不在一个三角形内时： 假设， 发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故， 假设，取中点，连接， 则， 由两边之和大于第三边可知：，解得：，故，    综上，. 【点睛】关键点点睛：等腰三角形性质和三角形两边之和大于第三边的性质，是解决第二问的关键. 26．（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为 ． 【答案】 【知识点】棱锥的结构特征和分类、正棱锥及其有关计算 【分析】根据给定条件，取的中点，证明并求出即可. 【详解】依题意，三棱锥是棱长为2的正四面体，取的中点，连接， 由为的中点，得，因此，， 所以到的距离为. 故答案为：    27．（24-25高二上·上海·期中）以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 【答案】②④ 【知识点】求线面角、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析 【分析】根据几何体的结构特征及性质判断各个命题的真假即可. 【详解】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，故①错误； ②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，故②正确； ③正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，故③错误； ④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，故④正确. 所以真命题有②④. 故答案为：②④. 28．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥的4个面无限延展后把空间分成 个部分. 【答案】15 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据三棱锥的几何特征分析即可求解. 【详解】三个侧面平面两两相交，可以将空间分成8个部分， 再增加一个底面，其中有1个封闭的空间，另外还有6个部分， 所以三棱锥的4个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为：15. 题型8 圆锥的结构特征辨析 29．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 30．（24-25高二上·上海·期中）空间中存在三条不同的直线，直线与直线所成角为，直线与直线所成角为，直线与直线所成角的取值范围为 ．（用弧度制表示）. 【答案】 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角、圆锥的结构特征辨析 【分析】过三条直线外任一点分别作的平行线，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所所成角的最小值与最大值即可. 【详解】过三条直线外任一点分别作的平行线， 则直线与直线所成角即所成角为， 直线与直线所成角即所成角为， 直线与直线所成角即即所成角. 如图，根据题意构造两个圆锥，由题意知，    其中底面圆心为，轴所在直线为， 小圆锥的母线所在直线为，轴截面； 大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上. 由题意，， 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为. 当移动到，移动到时，可得与所所成角的最大， 最大值为， 当与所在直线重合，直线绕点在小圆锥表面从连续运动至， 直线与所成角连续变化且越来越大，从增至. 所以与所成角的取值范围为. 故答案为：. 31．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算 【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 32．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】由题意可得，几何体如下图所示： 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， 即原圆锥的母线长为. 故选：A. 题型9 圆锥中截面的有关计算 33．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 34．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】先计算出圆锥的高，然后分析轴截面三角形顶角的大小，结合三角形面积公式求解出截面面积的最大值. 【详解】圆锥的高为， 因为，且为锐角， 所以，所以， 不妨设任意两条母线的夹角为， 则截面面积， 当且仅当时取等号，此时两条母线的夹角为， 所以， 故答案为：. 题型10 圆锥的展开图及最短距离问题 35．若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与轴的夹角大小 . 【答案】/30° 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥中截面的有关计算 【分析】若圆锥母线、底面半径分别为易得，即可求母线与轴的夹角. 【详解】若圆锥母线、底面半径分别为，则，即， 令圆锥的母线与轴的夹角为，则，故. 故答案为： 36．（24-25高二上·上海·期中）某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、弧长的有关计算 【分析】设圆锥的底面半径为，根据条件，利用弧长公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，由题有，解得. 故答案为：. 37．（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【答案】9 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 38．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    题型11 锥体体积的有关计算 39．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 40．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题、弧长的有关计算 【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 41．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据三棱锥的体积公式直接求得结果. 【详解】因为， 点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点， 所以， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 42．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【答案】1 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、证明线面平行 【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到点的轨迹，进而求得取得最小值时点的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，    而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 43．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）绕边旋转，再根据圆柱的表面积公式即可得解； （2）绕边旋转，先将四边形绕直线旋转一周得出的几何体体积转化为圆柱与圆锥的差再加两个圆锥的体积计算即可. 【详解】（1）若将矩形绕直线旋转一周，则可得到以为底面半径以为高的圆柱， 因为，所以, 该圆柱体的体积为； （2） 过B作的垂线，垂足为M,,延长使交于, 过D作的垂线，垂足为N,延长使交于, 因为,以为斜边的直角三角形， 斜边上的高，, 若将矩形绕直线旋转一周，旋转一周， 所得几何体为相同的两个圆锥，几何体的底面半径为，两个圆锥的高为， 四边形绕直线旋转一周得出的几何体体积为四边形绕直线旋转一周得出的圆柱体积减去三角形绕直线旋转一周得出的圆锥体积， 四边形绕直线旋转一周得出以为底面半径，高为的圆柱, 在中，, 绕直线旋转一周得出为底面半径，高为的圆锥， 所得几何体体积为. 44．（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】（1）根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出、、的值，结合余弦定理计算即可． （3）计算长，证明平面，利用三棱锥体积转化即可得三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，交于点，则为的中点， 又因为为的中点，连接，则， 平面，平面， 平面； （2）由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 在中，，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角为； （3）因为正方形，所以，且，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以. 题型12 圆锥表面积的有关计算 45．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 46．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、二倍角的正弦公式 【分析】根据圆锥底面积和侧面积公式可求得之间的比例关系，结合二倍角正弦公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，轴截面顶角为， 圆锥的底面积与侧面积之比为，，即， ，，， . 故答案为：. 47．（24-25高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】圆锥的侧面积. 故答案为：. 48．（24-25高二上·上海浦东新·期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)元 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）求出外层圆柱体积减去内层圆锥体积即可求得这种“笼具”的体积； （2）易知纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和，再由“笼具”个数以及每平米的单价可得总价. 【详解】（1）根据题意可知这种“笼具”的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积； 由圆柱的底面周长为可知，底面圆半径为cm，又高为cm， 所以圆柱体积为 由圆锥的母线长为30cm可知圆锥的高cm， 因此圆锥体积为； 所以这种“笼具”的体积为 （2）易知制作1个“笼具”所使用的纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和； 圆柱侧面积为，圆柱上底面面积； 圆锥侧面积为； 因此制作100个“笼具”需要的网材料面积为， 根据材料的造价为每平方米8元，可知共需元. 49．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、求异面直线所成的角、求线面角 【分析】（1）根据表面积公式即可求解； （2）根据线线平行可得为异面直线与所成的角，即可利用三角形的边角关系求解； （3）根据线面垂直可得即为直线与平面所成角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）圆锥的底面圆半径为2，， 故母线长， ． （2）底面，底面，， 又，即，，平面， 平面， 取中点，连接，则，且． 为异面直线与所成的角． 由平面，，可得平面，平面，得． 在中，求得， 在中，可得． 所以异面直线与所成的角的大小为 （3）底面，底面，， 又是中点，故， 平面， 平面， 故即为直线与平面所成角， 由于，， 故， 因此. 题型13 由平面图形旋转得旋转体 50．（24-25高二上·上海·期中）将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体 【分析】判断几何体为圆柱，根据圆柱的体积公式可得结果. 【详解】由题意知，形成的几何体为圆柱，且底面圆的半径，圆柱的高， 所以底面圆的面积， 所以圆柱的体积， 故答案为：. 51．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据旋转体在性质，结合圆锥和圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】过作于点， 由于，，，， 所以，进而，故 因此，又，所以四边形为直角梯形， 所以折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转体为：以绕形成的圆锥和以梯形绕着形成的圆台，挖去以绕形成的小圆锥，如图示：, 故表面积为, 故答案为：    题型14 球的结构特征辨析 52．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】球的截面的性质及计算、球的结构特征辨析 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 53．（22-23高二上·上海静安·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 C．圆柱的母线垂直于底面 D．过球面上两点的大圆有且只有一个 【答案】D 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱柱的结构特征和分类、球的结构特征辨析、线面角的概念及辨析 【分析】选项A根据直棱柱的定义，结合线面垂直判定定理即可；选项B画出正四棱锥验证线面角是否相等即可，选项C有圆柱的特征及结构即可判断，选项D根据球截面的特性即可判断. 【详解】选项A，如图所示，在四棱柱中， 若侧面和侧面为相邻的矩形， 因为， 底面，则底面， 由直棱柱定义可知四棱柱为直棱柱，故A正确； 选项B，如图在正四棱锥中， 由正四棱锥可得，底面，底面为正方形，且侧棱相等， 所以侧棱与底面所成角分别为：，故选项B正确， 选项C，由圆柱的特征及结构可知，圆柱的母线都垂直于底面， 故C正确， 若球面上所取的任意两点与球心在同一直线上，则过这两点的大圆有无数个， 故D错误； 故选：D. 题型15 球的截面的性质及计算 54．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 55．（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小；当截面过球心时，截面面积最大，进而利用图形求解即可. 【详解】如图：设的中心为，球的半径为，连接，则点在上， 连接. 因为三棱锥为正三棱锥，且，， 所以，， 在中，，即， 解得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 故选：A 题型16 求球面距离 56．（22-23高二上·上海静安·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【知识点】求球面距离、弧长的有关计算 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 57．（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 【答案】3 【知识点】球的截面的性质及计算、求球面距离 【分析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案. 【详解】设小圆的半径为，则，解得， 又球的半径为5，故线段. 故答案为：3 题型17 球的体积的有关计算 58．（24-25高二上·上海·期中）若一个球的半径为3，则其体积为 . 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 所以球的体积为. 故答案为： 59．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 题型18 柱体体积的有关计算 60．（24-25高二上·上海·期中）小玲在一个棱长为的密封正方体盒子中，放入一个半径为的小球．无论她怎么摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积为 ．（结果中保留） 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成. 【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的，如下图， 所以8个顶点部分体积为， 棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的，如下图， 12条棱部分不能到达的体积是， 所以不能到达的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得小球不能到达的位置可分为正方体的顶点与棱到球面两种情况，从而得解. 61．（24-25高二上·上海·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示： 其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 因为四边形和为矩形，则， 可得， 同理可得：，， 所以， 可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又因为，和区域内的几何体的体积之和； 区域内的直三棱柱体积， 所以的体积为. 故答案为： 62．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 题型19 球的表面积的有关计算 63．（24-25高二上·上海·期中）在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则对于下列结论，说法正确的是（    ） ①该圆锥的外接球体积为；②三棱锥的内切球表面积为 A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据题意分析可得，，设圆锥的外接球半径为,则，解出，即可求得该圆锥的外接球体积，即可判断①；即可已知，可得三棱锥是顶角为直角的正三棱锥，求出三棱锥的各个面的面积及体积，再利用等体积法求出内切球的半径，即可求得三棱锥的内切球表面积，进而判断②. 【详解】 因为为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心， 是底面圆的内接正三角形，， 则， 设圆锥的外接球半径为, 则，解得， 所以圆锥的外接球体积为， 故①为假命题； 因为为线段的中点， 则， 故，则， 同理，且三棱锥是正三棱锥， 又， ， ， 设三棱锥的内切球的半径为， 则， 即，解得，即， 所以三棱锥的内切球的表面积，故②为真命题． 故选：B. 64．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、求线面角、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意求得的长以及外接球的半径即可得解. 【详解】在正四棱柱中，平面， 则为直线与底面所成的角， 依题意可得，又，所以， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 所以正四棱柱的外接球表面积为.    故答案为：. 65．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若球的半径为2，则此球的表面积是 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】利用球的表面积公式直接计算可得结果. 【详解】由球的半径为2，可得此球的表面积是. 故答案为： 66．（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】作出圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径、高与球半径关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论． 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解决跟球和圆柱有关的问题时，一般是作出其轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决. 67．（24-25高二上·上海静安·期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 【答案】3 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】两个球的表面积之比就是半径之比的平方，直径求出半径之比即可. 【详解】根据相似比的意义，两个球的表面积之比就是半径之比的平方，所以所以. 故答案为：3. 68．（24-25高二上·上海·期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】画出球心截面图，分析求出球的半径求解即可. 【详解】球心的截面图如图， 则，由截面圆的周长为，得， 解得，球的半径是， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 69．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【答案】(1) (2)克 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是， 得球的半径与圆柱底面半径均为， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以个“浮球”的表面积为， 因此，个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 70．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【答案】(1)17 (2)880元 【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合祖暅原理判断即可. 【详解】夹在两个平行平面间的两个几何体A、B在同一高处的截面面积总相等，则A、B的体积相等，即， 令是棱长为的正方体，是高为，底面积为的三棱锥，则A、B的体积都为，相等， 而A、B在同一高处的截面面积不全相等，因此不能推， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】找到圆锥高和底面半径的关系，建立方程求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海松江·期中）在正方体中，所在直线与平面所成的角为 . 【答案】 【分析】由正方体的结构特征有所在直线与平面所成角为，即可求其大小. 【详解】由题设知，面，所以所在直线与平面所成角为， 设正方体棱长为2，则，则. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）表面积为的球的体积为 . 【答案】 【分析】利用球体的表面积公式求出球体的半径，然后利用球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，可得， 故该球的体积为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】根据线线垂直可得平面得是四面体的底面上的高，接着计算的面积及长度，再由三棱锥的体积公式计算即可得解． 【详解】由于E为棱的中点，且为等边三角形，故， 又，，且，平面， 平面，故是四面体的底面上的高， ，， ． 三棱锥的体积． 故答案为： 三、解答题 7．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据长方体结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）利用长方体、棱锥的体积公式求多面体体积. 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；    （2）由题设，剩下的多面体的体积. 8．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的余弦值后可求异面直线与所成角的余弦值； （2）利用等积法可求三棱锥的体积. 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为. （2）. 9．（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，底面正三角形边长为2，侧棱长为6. (1)求的表面积与体积； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；连接，设为正三角形的中心，则底面．求解，再由棱锥体积公式求解． （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1） 取的中点，连接， 在中，可得． ． 正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， 正三棱锥的侧面积是． 正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，． 则正三棱锥的表面积为； 连接，设为正三角形的中心，则底面． 且． 在中，． 正三棱锥的体积为． （2）设点到平面的距离为， 由, 可得：， 解得： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据面面平行的性质定理得出四边形为平行四边形，进而根据线面垂直的判定定理以及性质定理证明，即可得出①；根据①的结论，得出四边形的面积，利用二次函数的性质求解判断②；将四棱锥分割为三棱锥与，利用棱锥的体积公式求解判断③． 【详解】对于①，如图，连接． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得． 所以四边形为平行四边形． 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 因为分别是的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四边形为菱形，故①正确； 对于②，∵由题意得，，， ∴在矩形中，可得， ∴四边形的面积， ∵，∴当时，有最小值1；没有最大值．故②错误； 对于③，如图，连接， ∴四棱锥被分割为三棱锥与三棱锥， ∵平面，平面，∴． 又，平面，， 所以平面， 所以，点到平面的距离等于， 即点到平面的距离等于， ∵，平面，平面， ∴平面． 又，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，为， 同理，点到平面的距离也为， 而， ∴四棱锥的体积 ， 则为常值函数．故③正确． 故选：C． 二、填空题 2．（24-25高二上·上海·期中）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 【答案】 【分析】根据题意画出示意图，分别作出正四棱锥和正三棱锥的高，设棱锥的棱长为，求出三个高的值，再求比值即可得到结果. 【详解】如图：    正四棱锥和正三棱锥组成了一个三棱柱，设正三棱锥和正四棱锥的棱长均为，    连接相交于点，在正四棱锥中平面，∴， 取中点，连接，取的三等分点，连接，在正三棱锥中平面，∴， 在三棱柱中，∵平面，平面，平面，∴， 在正方形中，，∴， 在正三角形中，，则，则， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 【答案】①③④ 【分析】根据题设有，利用线面平行的判定判断①；应用线面平行的判定得到面，问题化为求点到平面的距离，应用等体积法求点面距判断②；进而利用等面积法求点到的距离判断③；利用余弦定理得到关于的表达式，进而判断是否能成立判断④. 【详解】①当点是中点时，则是中点，易知， 又面，面，故直线平面，对； ②由题设，易知，面，面，故面， 所以直线到平面的距离，即点到平面的距离， 由，，， 故到距离为，则， 所以，可得，错；    ③令点到的距离，则，对； ④由题设，易得，且， ， 所以， ， 在中， 由，显然时，能成立，故存在点使得，对. 故答案为：①③④ 4．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌 千克.（结果精确到0.01）      【答案】 【分析】分别求出一个底面六棱柱的表面积以及上面圆柱的表面积，然后求出一个零件的表面积，利用每平方米用锌千克，求出所用锌的总数． 【详解】把六棱柱的底面分为六个全等的等边三角形， 每个等边三角形的面积为， 六棱柱的底面积为， 六棱柱的侧面积为， 六棱柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积和六棱柱的部分底面积重合 零件的表面积 电镀10000个零件需锌（千克）． 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 【答案】/0.5 【分析】先作出辅助线，得到面面平行，故平面即为平面，平面即为平面，计算出，，，计算出. 【详解】取的中点，的中点，的三等分点分别为， 其中靠近，连接，， 由中位线可知， 因为平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面， 且到平面的距离，到平面的距离，平面与的距离，三者相等， 故平面即为平面，平面即为平面， 故，， 设四面体的体积为， 由于，， 故点到底面的距离为点到平面的距离的， 故，同理可得， 故， 所以. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解. 【详解】设, 因为两两垂直，扩展为长方体， 所以该长方体的体对角线为球的直径， 所以， ， 因为 所以， 当且仅当时取得等号， 故答案为：2. 三、解答题 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果. （2）根据给定条件，利用几何法求出直线和夹角. （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接， 由，O为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）在三棱柱中，， 由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为. （3）连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 8．（24-25高二上·上海·期中）在四棱锥中，底面为梯形.，为正三角形，且，，四棱锥的体积为. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证平面，即可利用线面平行的性质定理即可证明； （2）由线线垂直可得平面，即可利用面面垂直的判定定理证明； （3）取的中点，连接，，利用面面垂直的性质定理证明平面，由棱锥的体积求出的长，然后在三角形中，利用边角关系求解即可． 【详解】（1）证明：因为，平面，平面， 则平面，又平面， 且平面平面， 则； （2）证明：因为，所以， 因为，则， 又，即， 又，平面，， 故平面，又平面， 则平面平面； （3）由（2）知，平面平面， 取的中点，连接，， 因为为正三角形，为的中点，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 在中，， 则四棱锥的体积， 解得，取中点，连接，， 则，即即为直线与所成角或其补角， 在中，， 在中，， 在中，， 又，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． 9．（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】(1)陀螺体积、表面积分别为，； (2)(). 【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. （2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 10．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，面积的取值范围是. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 试卷第1页，共3页 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单几何体（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 柱体、椎体、 多面体与旋转体、球 1.知识目标：准确理解和记忆简单几何体（柱体、锥体、多面体、旋转体、球）的定义、结构特征、相关概念，能够清晰区分不同几何体的差异。 2.技能目标：熟练运用柱体、锥体、球的体积和表面积公式进行计算，包括根据已知条件准确找出公式所需的参数，如底面积、高、半径、母线长等；能够解决涉及组合体（由两个或多个简单几何体组合而成）的体积和表面积计算问题。 3.思维目标：培养空间想象能力，能够根据文字描述或简单的图形画出相应的几何体，分析其内部的线面关系；提升逻辑推理能力，在推导和运用公式的过程中，理解公式的由来和适用条件，能够进行相关的证明和计算。 1. 题型分布：选择题和填空题一般考查对几何体基本概念、性质的理解，以及简单的体积和表面积计算；解答题通常会结合多个知识点，如组合体的体积和表面积计算，或者与立体几何中的线面关系（后续章节内容）综合考查。 2.命题趋势：近年来，对简单几何体的考查越来越注重实际应用，可能会出现以生活中的物体为背景，要求计算其体积或表面积的题目；同时，对组合体的考查也较为常见，需要考生具备较强的空间想象能力和综合运用知识的能力。另外，对公式的推导和证明在一些考试中也有涉及，以考查学生对知识的理解深度。 知识点01 柱体 考点1：多面体的定义及其相关概念 定义 图形及表示 相关概念 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 1．多面体至少有四个面.在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分． 2．连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．；例如，在下图中，连接 ，则 为该多面体的一条对角线． 3．一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面．在下图中，连接 ， ，则得到多面体的一个截面 ． 多面体的概念注意以下两个方面：（1）多面体是由三角形或平面多边形围成的，围成一个多面体，至少要4个面，一个多面体有几个面围成就称为几面体.（2）多面体是一个封闭的几何体，包括其内部的部分. 考点2：棱柱与圆柱 1.棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 棱柱的结构特征与分类 结构特征 分类 底面互相平行且全等: 侧面都是平行四边形; 侧棱都相等,且互相平行 (1)按侧棱与底面是否垂直分类 ①直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是正多边形的直棱柱; ②斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱 (2)按底面的多边形的边数分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2.圆柱 （1）圆柱的定义及相关概念 定义 图示 相关概念 如右图，将矩形ABCD绕其一条边 AB所在直线旋转一周，所形成 的几何体叫做圆柱 轴:AB所在直线 底面:线段AD和BC分别旋转而成的圆面; 侧面:线段CD旋转而成的曲面; 母线:CD叫做该圆柱的母线; 高:圆柱的两个底面间的距离(即 AB的长度) （2）圆柱的截面 ①轴截面:过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面 ②横截面:任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面 考点3：祖暅原理 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等. 祖暅 [gèng]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。 祖暅原理 （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”. （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. 考点4：柱体的体积 （1）祖睢原理 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积,那么这两个几何体的体积必相等， （2）柱体的体积公式 几何体 体积公式 棱柱 圆柱 （为圆柱的底面积， 为圆柱的高， 为圆柱的底面半径） 5.柱体的表面积 柱体的表面积:两个底面的面积再加上所有侧面的面积； 柱体的侧面积:所有侧面的面积之和 几何体 图形 表面积公式 直棱柱 （ 为直棱柱的底面周长， 为直棱柱的高） 圆柱 为圆柱的母线长， 为圆柱底面的半径） 知识点02 锥体 考点1：棱锥 1.棱锥 （1）定义及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 有一个面是三角形或平面多边 形，且不在这个 面上的棱都有一个公共点,这样的多面体叫做棱锥 底面:三角形或平面多边形; 侧面:有公共顶点的各个三角形面; 侧棱:不在底面上的棱; 顶点:所有侧棱的公共点; 高:顶点到底面的距离 （2）结构特征与分类 结构特征 分类 底面是多边形; 侧面都是三角形; 侧面有一个公共顶点 (1)按底面多边形分类:三棱锥、四棱锥…… (2)正棱锥:底面是正多边形,且底面中心与顶点的连线垂直于底面的棱锥;特别地,侧棱长与底面边长相等的三棱锥叫做正四面体 2.圆锥 定义 将直角三角形 AOB绕其一条直角边AO所在直线旋转一周,所形成的几何体 图形及表示 相关概念 轴:AO所在直线;顶点:母线的交点(即点A);底面:直角边OB旋转而成的圆面;侧面:斜边 AB旋转而成的曲面;母线:斜边 AB;高:圆锥的顶点到底面间的距离(即 AO 的长度) 结构特征 底面是圆面;轴垂直于底面;所有的母线都相等且交于一点 知识点03 棱台与圆台 （1）台体的定义 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体.大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台.如果棱锥被一个平行于底面的平面所截,那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台.其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台 （2）圆台与棱台 几何体 图示 相关概念 圆台 底面:原圆锥的截面和底面， 轴:原圆锥的轴; 侧面:原圆锥的侧面在截面和底面之间的部分; 母线:原圆锥的母线在截面和底面之间的部分 棱台 底面:原棱锥的截面和底面; 侧面:除上、下底面外,其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与底面的公共点 4.锥体与台体的体积 几何体 体积公式 锥体 （S为底面多边形的面积，ん为棱锥的高） （r为圆锥底面圆的半径，ん为圆锥的高） 台体 （分别为上、下底面面积，ん为高） （分别为上、下底面半径,ん为高） 5.锥体与台体的表面积 图形 面积公式 正棱锥 (c为底面周长,h为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高) 正棱台 （、c分别为上、下底面周长,为斜高,即侧面等腰梯形的高) 圆锥 (r为底面半径,为母线长) 圆台 （ 分别为上、下底面半径,为母线长) 知识点06 多面体与旋转体 考点1：:多面体 1.多面体的定义及有关概念 定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体，可用面的数量命名（如四面体、六面体等），面数最少为4（四面体，即三棱锥）。 多面体由平面多边形围成，包含内部平面部分；类比平面多边形由三角形拼合，空间多面体可由四面体拼合而成。 1.多面体至少有4个面。 2.截面：几何体与平面相交所得的平面图形（含内部）。 2.正多面体 定义：所有面为全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱数相等。 常见正多面体：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。 凸多面体与凹多面体 凸多面体：任意面延展为平面后，其余面均在该平面同一侧（如正四面体、正方体）。 凹多面体：任意面延展为平面后，其余面不都在同一侧。 特别提醒：教材中若无特别说明，多面体均指凸多面体。$ 考点2：旋转体 1.旋转体的定义及有关概念 定义：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 常见旋转体：①矩形 圆柱，②直角三角形 圆柱，③直角梯形 圆台，④半圆 球。 2.旋转面的定义及有关概念 定义：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面 考点3：多面体的欧拉定理 1.定理内容 简单多面体的顶点数 、棱数 、面数 满足：. 利用欧拉定理时，需注意定理使用条件，正确计算 、、. 正多面体的唯一性证明 假设正多面体每个面为正 边形，每个顶点有 条棱，则：（每棱被 2 个面共用），（每棱连接 2 个顶点）.代入欧拉定理得： ，化简为 . 由于、 ，讨论得唯一解对应五种正多面体. 知识点07 球 考点1：球的定义 定义 图形及表示 相关概念 将圆心为的半 圆面绕其直径所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球，记作球 (1)球面:半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面; (2)球心:点O; (3)半径:原半圆的半径; (4)直径:原半圆的直径 考点2：球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 考点3：平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 考点4：地球的经纬度 名称 定义 特点 经线 过地球北极点和南极点的大圆的半圆周称为经线 指示南北方向;所有经线都呈半四状且长度相等;两条正相对的经线形成一个经线圈 纬线 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆的圆周称为纬线 指示东西方向:每条纬线都是一个圆;纬线的长度不相等(赤道是最大的纬线) 考点5：球的体积公式 设球的半径为 ，球的体积只与半径 有关，是以 为自变量的函数．事实上，如果球的半径为 ，那么它的体积 ． 考点6：球的表面积 设球的半径为 ，球的表面积只与半径 有关，是以 为自变量的函数．事实上，如果球的半径为 ，那么它的表面积 . 题型1 棱柱的结构特征和分类 1．（24-25高二上·上海·期中）给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 2．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 题型2 棱柱的展开图及最短距离问题 4．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 5．（24-25高二上·上海·期中）在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为 . 6．（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 7．（22-23高二上·上海徐汇·期末）在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为 . 题型3 圆柱的结构特征辨析 8．（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是 . 9．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 10．（23-24高二上·上海普陀·期中）我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是 ． 题型4 柱体体积的有关计算 11．（24-25高二上·上海崇明·期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积、的关系是 . 12．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 13．（24-25高二上·上海·期中）若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 14．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    题型5 棱柱表面积的有关计算 15．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    16．（24-25高二上·上海·期中）已知长方体的三个不同表面的面积分别为，，，则长方体的对角线长为 . 17．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 18．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 题型6 圆柱表面积的有关计算 19．（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 20．（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 . 21．（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 22．（24-25高二上·上海静安·期中）已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为 . 23．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的表面积； (2)证明：平面平面； (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 24．（24-25高二上·上海徐汇·期中）（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1； 假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上； 假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直； 假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上． ①求“十字”捆扎中彩带的总长度； ②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 题型7 棱锥的结构特征和分类 25．（24-25高二上·上海·期中）设四面体中，有k条棱长为a，其余条棱长为1． (1)时，求a的取值范围； (2)时，求a的取值范围． 26．（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为 ． 27．（24-25高二上·上海·期中）以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 28．（24-25高二上·上海·期中）三棱锥的4个面无限延展后把空间分成 个部分. 题型8 圆锥的结构特征辨析 29．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 30．（24-25高二上·上海·期中）空间中存在三条不同的直线，直线与直线所成角为，直线与直线所成角为，直线与直线所成角的取值范围为 ．（用弧度制表示）. 31．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 32．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 题型9 圆锥中截面的有关计算 33．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 34．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 题型10 圆锥的展开图及最短距离问题 35．若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与轴的夹角大小 . 36．（24-25高二上·上海·期中）某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ． 37．（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 38．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    题型11 锥体体积的有关计算 39．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 40．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 42．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    43．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 44．（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 题型12 圆锥表面积的有关计算 45．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 46．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 47．（24-25高二上·上海·期中）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ． 48．（24-25高二上·上海浦东新·期中）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 49．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 题型13 由平面图形旋转得旋转体 50．（24-25高二上·上海·期中）将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 . 51．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    题型14 球的结构特征辨析 52．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 53．（22-23高二上·上海静安·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 C．圆柱的母线垂直于底面 D．过球面上两点的大圆有且只有一个 题型15 球的截面的性质及计算 54．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 55．（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型16 求球面距离 56．（22-23高二上·上海静安·期中）上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 57．（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 题型17 球的体积的有关计算 58．（24-25高二上·上海·期中）若一个球的半径为3，则其体积为 . 59．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 题型18 柱体体积的有关计算 60．（24-25高二上·上海·期中）小玲在一个棱长为的密封正方体盒子中，放入一个半径为的小球．无论她怎么摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积为 ．（结果中保留） 61．（24-25高二上·上海·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为 . 62．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 题型19 球的表面积的有关计算 63．（24-25高二上·上海·期中）在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则对于下列结论，说法正确的是（    ） ①该圆锥的外接球体积为；②三棱锥的内切球表面积为 A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题 64．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 65．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若球的半径为2，则此球的表面积是 . 66．（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 67．（24-25高二上·上海静安·期中）若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 68．（24-25高二上·上海·期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为6的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是 ． 69．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 70．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 4．（24-25高二上·上海松江·期中）在正方体中，所在直线与平面所成的角为 . 5．（24-25高二上·上海·期中）表面积为的球的体积为 . 6．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ． 三、解答题 7．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 8．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 9．（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，底面正三角形边长为2，侧棱长为6. (1)求的表面积与体积； (2)求点到平面的距离. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 2．（24-25高二上·上海·期中）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 3．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 4．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌 千克.（结果精确到0.01）      5．（24-25高二上·上海·期中）如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 6．（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 三、解答题 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 8．（24-25高二上·上海·期中）在四棱锥中，底面为梯形.，为正三角形，且，，四棱锥的体积为. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 9．（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 10．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $