专题03 特殊平行四边形中的特殊几何模型6大题型30题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题03 特殊平行四边形中的特殊几何模型 拔高·压轴破难 题型1 特殊平行四边形中的手拉手模型（难点） 题型2 特殊平行四边形中的一线三等角模型（难点） 题型3 特殊平行四边形中的半角模型（难点） 题型4 特殊平行四边形中的重叠模型（难点） 题型5 特殊平行四边形中的十字架模型（难点） 题型6 特殊平行四边形中的中点模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 拔高·压轴破难 题型1 特殊平行四边形中的手拉手模型（共5小题） 【模型】共顶点的两个特殊平行四边形，利用边角相等构造全等或旋转，得线段相等。 【步骤】先找共顶点与相等边角，确定旋转中心与旋转角，证三角形全等，得对应边角相等，再结合勾股或方程求解。 【易错】须找准共顶点和对应边角，勿混旋转方向；全等条件要写全，对应关系勿错；矩形菱形正方形性质不同，注意区分。 1．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 (1)如图，在正方形和正方形中，连接，．请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接，．请判断与的数量关系及线段与所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2)解：，线段与所在直线所夹锐角的度数为，理由如下：如图，延长和，并交于点，与交于点， ∵菱形和菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∴线段与所在直线所夹锐角的度数为． 【分析】（1）根据正方形的性质可以间接证明，再运用全等三角形的性质即可求解； （2）延长和，并交于点，与交于点，根据菱形的性质可以间接证明，再运用全等三角形的性质可以推出，，最后根据三角形内角和的定义即可求解． 【详解】（1）略． （2）略． 2．（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； (2) 解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； (3)，与所在直线所夹锐角的度数为，理由见解析． 【分析】（1）由正方形和正方形证得，即可求得； （2）由正方形和正方形证得，即可求得； （3）由菱形和菱形证得，可求得，，延长交的延长线于点，交于点，再求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，与所在直线所夹锐角的度数为，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 与所在直线所夹锐角的度数为． 3．（25-26八年级下·海南海口·期末）点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接． (1)如图1， ①求证：， ②判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，请求出的长． 【答案】(1)①如图1，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ②四边形是正方形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； (2)解：，理由如下： 如图，过点D作于点H，则， ，， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是正方形，， ，， ， 即； (3) 【分析】（1）①如图1，由正方形得到，再根据和，证明； ②根据得到，即可证明，则得到四边形是矩形，结合得四边形是正方形； （2）过点D作于点H，证明得到，再根据，得到，即可得到，则； （3）如图，过D作于点H，先求出，再由（2）知，，得到，，即可求出，最后根据计算即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）解：如图，过D作于点H， 在中，，， ， 由（2）知，， ，， 在中，， ． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1) 证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，，理由如下： ， ， ， 四边形和四边形为菱形， ，， 在和中， （）， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 直线与的夹角度数为； (4) 【分析】（1）利用正方形的边、角相等证得，进而得出，结合三角形内角和推出两线段夹角； （2）将旋转前后的角同减公共角得到一组等角，然后根据证得全等三角形，得到，再结合对顶角相等、三角形内角和求出夹角； （3）将，同减公共角推出，根据证得，进而得到，再利用三角形内角和、对顶角相等求出夹角； （4）在以为圆心、为半径的圆上，求出菱形对角线长，用圆外一点到圆最短距离得最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为． （2）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，且， ∴， ∴， 即直线与直线的夹角度数为． （3）略 （4）解：如图，以点为圆心，长为半径作圆，连接，交于， 根据题意可知，点在以为圆心、为半径的圆上运动，当点在上时，线段取得最小值， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为． 题型2 特殊平行四边形中的一线三等角模型（共3小题） 【模型】同一直线上三个相等角，两侧三角形相似，结合特殊平行四边形边角关系求解。 【步骤】先找一线上的三个等角，证两侧三角形相似，利用对应边成比例，结合平行四边形边角条件列方程求解。 【易错】须先证角相等再证相似，对应边勿写反；特殊平行四边形性质不同，注意区分；等角位置要找准，勿漏隐含直角条件。 6．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】（1）略 （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 7．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 8．（25-26八年级上·湖北孝感·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【详解】（1）解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． （2）证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 题型3 特殊平行四边形中的半角模型（共6小题） 【模型】特殊平行四边形中，一个角含其半角，通过旋转或截长补短构造全等求解。 【步骤】先找半角与完整角关系，旋转或截长补短构造全等三角形，得对应边相等，再结合勾股或方程求解。 【易错】旋转角等于半角，须找准旋转中心；截长补短要证共线；特殊平行四边形性质不同，勿混用，注意全等对应关系。 9．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上． (1)如图1，若E是的中点，，求证：； (2)如图2，若，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，如果，那么的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来． 【答案】(1)证明：如图1所示，连接， 在菱形中，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)证明：如图2所示，连接， 由（1）知，是等边三角形，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形 (3)存在，周长的最小值为 【分析】（1）证明为等腰三角形即可解答； （2）连接，证明，可得，即可解答； （3）根据垂线段最短，可得当时，有最小值，再利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由垂线段最短可知：当时，有最小值， ，， ， ， ， 根据（2）中可得为等边三角形， 周长的最小值为． 10．（25-26八年级下·山东威海·期末）【模型分析】 (1)如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，可得结论：．请对该结论进行证明； 【模型拓广】 (2)一般化推广： 如图Ⅱ，在四边形中，，，点 ，分别在边，上，若结论仍然成立，则与间的数量关系是 ．（直接写答案，不用证明） (3)生活化应用： 如图Ⅲ，点在的边上，，，，延长到，使，与交于点，，求的值． 【答案】(1)证明：延长到点，使，连接． ∵在正方形中，，， ∴， ，． ， ． ， ， ． ， ． (2) (3) 【分析】（1）延长到G，使，连接，证明，，可得，进而可得结论； （2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论； （3）过点作，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，证明四边形是正方形．得出．由（1）可得：．证明四边形是平行四边形．得出．设为，则，，．在中，根据勾股定理可得，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作，过点作，交于点，过点作，交于点，连接． ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴ ∴四边形是正方形． ， ． 由（1）可得：． ∵， ∴四边形是平行四边形． ． 设为，则，，． 在中，可得． 解得，． ∴． ∴． 11．【问题情境】如图①，在四边形中，，分别为，上的点．连接，已知，平分，平分． (1)若，，为的中点，则四边形的形状为_____，的长为________； 【拓展应用】 (2)如图②，在中，，于点，若，，求的长．小明给出如下思路： 如图③，作出点分别关于，的对称点，延长，相交于点，连接，． 设，…… 按小明的思路探究续写完整的解答过程． 【答案】(1)正方形； (2) 【分析】（1）首先利用角的和差关系证明四边形是矩形，再通过证明，，得到，进而证明四边形是正方形；设，在中，根据勾股定理列方程并解方程，即可得到答案. （2）通过证明，，得到，进而得到四边形是矩形，证明，得证四边形是正方形，设，在中，根据勾股定理列方程并解方程，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 又，， ， ， 同理可证， ， 四边形是正方形； ， 为中点， ， ， 设，则，， 在中，，即， 整理得：， 解得； （2）解：是点关于，的对称点， ，，，， 又， ，， ，， ， ， 又， ，， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形， 设，则，， ，， ，， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得， 的长为. 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：； 探究2：证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：略 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）【问题背景】 (1)正方形中，E、F分别为边、上一点，，求证：． 【类比分析】 (2)矩形中，M、N分别为边、上一点，、交于点P，若，，，，求的长． 【思维拓展】 (3)在中，点D，E分别在边，上，连接，交于点F．若，，，且，则______． 【答案】(1)证明：延长到点G，使得，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）延长到点G，使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可证明结论； （2）在上取点Q，使得，连接，，设，过点B作，交的延长线于点E，过点B作于点F，过点Q作于点G，过点M作于点H，设，，先证明，，然后根据勾股定理求得，再利用面积的不同算法得到，所以得到方程，求解方程即得答案； （3）以、为边向上作平行四边形，过点M作于点Q， 于点P，连接，，，先用面积法得到，再根据全等三角形的判定与性质证明，所以，最后分别求出和值即可． 【详解】（1）略 （2）解：在上取点Q，使得，连接，， 设， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 过点B作，交的延长线于点E，过点B作于点F，过点Q作于点G，过点M作于点H， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同时， ， 把②代入①，得， 整理得， ， ， 即的长为． （3）解：以、为边向上作平行四边形，过点M作于点Q， 于点P，连接，，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得 ，， 在中，， ． 14．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）完成以下问题 (1)已知四边形是菱形，，的两边，分别与边，相交于点，，且． 【特殊情况】 如图1，当点是线段的中点时，直接写出线段，之间的数量关系______； 【类比探究】 如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：； 【拓展运用】 (2)如图3，四边形是一个菱形花园，，，现计划用篱笆围成一块三角形区域，、分别在边、上，且．为了节约材料，所需的篱笆长度（即的周长）最短，求出所需的篱笆长度（即的周长）的最小值，并说明理由． 【答案】(1)； 证明：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； (2)当时，所需的篱笆长度最短，最小值为米．理由如下： 连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作，垂足为，则当时，最短，即点与点重合， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值， ∴当时，所需的篱笆长度最短，最小值为米． 【分析】（1）连接，根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质证明，即可得到；证明：连接，证明，即可得到； （2）证明为等边三角形，则的周长，当时，最短，利用含角直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 略 （2）略 题型4 特殊平行四边形中的重叠模型（共4小题） 【模型】两个特殊平行四边形部分重叠，利用重叠部分边角相等构造全等或相似求解。 【步骤】先确定重叠区域与对应边角，找相等线段或角，证全等或相似，利用对应关系列方程，结合勾股求解。 【易错】须分清重叠部分与原图形对应边角，勿重复计算；特殊平行四边形性质不同，注意区分；全等相似条件写全，对应关系勿错。 15．（25-26八年级下·河北保定·期中）综合与实践 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于正方形面积的，请给出证明． (2)如图2，连接．若正方形的顶点B在线段上，则线段，满足关系，请你给出证明． (3)如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，请直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积正方形面积的； (2) 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 根据正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明全等三角形； （2）连接，证明得出相等的角，得出是直角三角形，然后利用勾股定理证明； （3）连接，过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质证明和，得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 16．（25-26八年级下·湖北·期中）的对角线、相交于点，另有一个与之全等的绕着点转动，与相交于点，与相交于点，且． (1)【链接教材】如图1，若和均为正方形，四边形为两个正方形重叠部分．则下列结论正确的是_________(填序号即可)： ①；②；③；④连接，总有． (2)【类比迁移】如图2，若和均为矩形，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)【拓展应用】如图3，若和均为菱形，且，，直接写出转动过程中的最大值为_________． 【答案】(1)①②③④； (2) 猜想，证明如下： 如图，延长交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； (3) 【分析】（1）先由正方形性质得到、及，结合旋转后推得，用证明，由此得到；再通过面积转化，将四边形的面积转化为的面积，验证面积结论；最后由全等得到，推得，在中用勾股定理验证线段平方关系，从而判断四个结论均正确； （2）构造辅助线延长交于，连接，先利用矩形对角线与的性质，用证明，得到、，再结合，推出垂直平分，故，最后在中用勾股定理推导出目标关系式； （3）先利用菱形性质计算对角线相关线段长度，再通过作、，结合菱形角平分线性质及，用证明，得到；设参数表示与，进而用表示、，推导出的面积表达式为关于的二次式，根据平方的非负性，当时取得最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴，，，故②正确； ∴， 又∵正方形中，， ∴，故③正确； 如图，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④正确； 综上，答案为①②③④； （2）解：略； （3）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∵为对角线交点， ∴，，，， ∴，， 如图，过点作于，于， ∵在菱形的角平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在四边形中，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 设， 则，， 过点作交延长线于点． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 17．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为________；线段，，之间的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，点是矩形对角线的中点，点又是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明： 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点，现要在菱形菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园边上围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 【答案】（1）①证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②；； （2），理由如下： 连接，如下图所示： ∵为矩形中心， ∴， 延长交与点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴； （3）需要篱笆 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据证明即可；②根据，得出，根据，求出结果即可，根据，得出，根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交与点，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）取的中点，连接，过点作于点，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）①略 ②∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）取的中点，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴， 设，则， ， ∴， ∴， 解得，负值舍去， ， ∴， ∴菱形菜园需要篱笆． 18．（25-26八年级下·河南新乡·期末）【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分．正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 (1)图1中，连接，线段、、之间的数量关系是________； 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的对角线相交于点O，点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形中，，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点N、M，矩形可绕点E旋转．已知，，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： 延长交于点G，连接，，， 矩形的对角线相交于点O， ，，， ，， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ； (3)或10 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （2）延长交于点G，连接，，，先证明，得到，，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （3）设， ①当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点P，连接， 由（2）知，再结合勾股定理列方程求解即可； ②当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点Q，连接，，先证明，并进一步证明，，即可根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：线段的长为或10．理由如下： 设， ①当点N在线段上时， 过点C作，交的延长线于点P，连接， 由知， ，， ， 由（2）知， ， 在中，， ， ， 解得； ②当点N在线段的延长线上时， 过点C作，交的延长线于点Q，连接，， 点E为梯形对角线的中点， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， 综上所述，线段的长为或10． 题型5 特殊平行四边形中的十字架模型（共8小题） 【模型】特殊平行四边形中两条互相垂直的线段，借助边角关系构造全等或相似求解。 【步骤】先找两条垂直线段，利用平行四边形边角条件证三角形全等或相似，得对应边相等，再结合勾股或方程求解。 【易错】垂直线段未必是对角线，须找准对应三角形；特殊平行四边形性质不同，勿混用；全等条件写全，对应边角勿错。 19．（25-26八年级下·四川成都·期末）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对正方形截两条互相垂直的直线得到的线段长度关系进行了如下探究： 如图，在正方形中，点为射线上的一个动点，连接，线段的垂直平分线分别交直线、于、两点，交直线于点． (1)【初步感知】：当点在线段上时，如图1，求证：； (2)【深入探究】：在（1）的条件下，如图2，连接交直线于点，试探究线段与之间的数量关系； (3)【拓展延伸】：过点且垂直于的直线与直线相交于点，当时，求的值． 【答案】(1)证明：过点作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）过点作，由题意易得，则有四边形是矩形，，然后可得，进而可得，则问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）连接，由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，则，由可设，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，故设， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 20．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知四边形是正方形，点E是上一点，点M，N分别是上的动点，已知于点F． (1)如图，当点M与点D重合时，证明：； (2)如图，当点F为的中点时，连接交于点G．证明：； (3)如图，当点M与点A重合时，连接，取的中点P，连接．求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，即； (2)证明：如图，连接． ∵，点F为的中点， ∴直线为的垂直平分线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在四边形中，， 又∵点F是的中点， ∴． (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接，证明，推出，进而推出，根据斜边上的中线的性质，即可得出结论； （3）在上截取，连接，易得是的中位线，得到，证明，推出，勾股定理得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接． ∵点P为的中点， ∴是的中位线． ∴． 由（1）法可得， ∴， ∴． 在正方形中，， ∴，即 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴. 21．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结． 【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)连结，若，则的长为 ． (3)【应用】如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明：过点作交于点． 由【感知】同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）过点作交于点．由【感知】同理可得，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可得到； （2）由直角三角形斜边中线得到，由（1）得； （3）由直角三角形斜边中线得到，， 由【感知】同理可得，则，如图，与交于点，最后根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵的中点，， ∴， 由（1）得， ∴； （3）解：∵正方形， ∴， ∵的中点，， ∴，， ∵， 由【感知】同理可得， ∴， 如图，与交于点， ∵ ∴ ． 22．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在正方形中，点为线段的中点，连接，过点作交于点，且垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，延长，过点作，交射线于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵在正方形中， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由(1)知，又知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)证明：如图3，连接， 由(1)知， ∴， 由(2)知，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【分析】(1)根据已知条件运用“”证得，可得结论； (2)根据已知条件运用“”证得，可得结论； (3)连接，根据已知条件运用“”证得，得，，再由，证得是等腰直角三角形可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）点E是矩形边上一点，连接，点F在上，过点F作交于G，交于H． (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，，连接、，若，求的长； (3)如图3，当，时，连接、，若，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，结合题意可得四边形为正方形，则，证明四边形为矩形，得出，，再证明，即可得证； （2）过点作于点，求出，，由（1）可得，设，则，证明，得出，代入计算即可得出结果； （3）过点作于点，交于，设，，则，，证明，求出，证明四边形为矩形，得出，，证明，求出，求出，则，解得，从而可得，进而得出垂直平分，即，证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过点作于点， ， ∵，， ∴，， 由（1）可得：， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，过点作于点，交于， ， ∵，， ∴设，，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）【初识图形】 （1）如图1，，分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； （2）如图2，矩形中，点，分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 （3）如图3，中，，分别为，边上的点，，，为的中点，连接，作交于点，交于点．直接写出的长为 ． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了正方形、矩形及直角三角形中的全等三角形与相似三角形的判定与性质，关键是利用垂直关系推导角的等量关系，结合图形的边、角性质证明三角形全等或相似，进而通过相似比计算线段的比值． （1）在正方形中，先由推出，再结合正方形的边相等、角为直角的性质，证明，从而得到，故比值为； （2）在矩形中，先由勾股定理求出，再作于，利用推出，结合直角相等证明，从而得到，代入边长计算得比值为； （3）在中，先求出的长度，再作交的延长线于，利用推出，证明，再由证明，通过相似比计算与的比值为． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：在矩形中，，，由勾股定理得， 如图，过作于，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴，且， ∴， ∴； （3）解：在中，，，为中点， ∴， 由勾股定理得， 如图，过作交的延长线于， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴，设，，则， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）按要求完成以下问题 问题发现 (1)基本模型十字架模型 如图所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，请证明命题：若，则有结论． (2)模型运用 ①如图，在正方形中，，点在线段上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．若，求的值． ②如图，正方形，为延长线上一点，，的垂直平分线分别交、于点和点，连接交于点，连接，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ (2)①；② 【分析】（1）根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，即可得； （2）①设、相交于点，由翻折得垂直平分，故，结合正方形性质及勾股定理求出长，在中利用等积法求出，即可得，由（1）中结论得，最后由即可求解；②连接、、，由正方形对角线垂直平分得，由是的垂直平分线得，过作于点，于点，由平分得，证得，证四边形为矩形得，故，等量代换得，即，在中利用勾股定理求出长，即可得长． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，设、相交于点， 由翻折得垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 正方形中，即，由（1）得， ∴； ②如图，连接、、， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴垂直平分，平分，， ∴， 过作于点，于点，则， ∵在对角线上，平分， ∴， ∵为的垂直平分线，在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，解得， ∴． 26．（25-26八年级下·河南安阳·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中是“神奇四边形”的是________（填序号） (2)如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点，，，分别是，，，的中点，试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由； (3)如图3，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接．若，正方形的边长为6，则线段长为________． 【答案】(1)④ (2)①四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； （3）延长交于点，由勾股定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，即可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”． （2）略 （3） 解：延长交于点， 由折叠的性质得，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴在中，为斜边上的中线， ． 题型6 特殊平行四边形中的中点模型（共4小题） 【模型】特殊平行四边形中出现中点，利用中线、中位线或倍长中线构造全等求解。 【步骤】先找中点及关联线段，选中位线或倍长中线构造全等，得对应边角相等，再结合勾股或方程求解。 【易错】中点模型有中线、中位线、倍长中线之分，勿混用；特殊平行四边形性质不同，注意区分；倍长后须证共线，全等对应勿错。 27．（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)4；12；； (2)证明：连接，交于点J，交于点K， ∵点H和点G分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为， ∴，， ∴， 同理可得出：， ∵， ， ∴． (3)48 【分析】（1）先利用三角形中位线的判定定理和性质得出，过点A作交的延长线上，设与交点P，再通过矩形的判定和性质得出，根据矩形的面积公式求解，最后由三角形面积和距离的面积猜想出两者的关系即可． （2）连接，交于点J，交于点K，得出是的中位线，即，设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为，根据三角形以及四边形面积公式得出，同理可得出：，进而可得出． （3）利用中位线的判定和性质进一步证明四边形是菱形，利用菱形的性质求出菱形的面积，再根据结论（2）即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别是边和的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴， 过点A作交的延长线与点，设与交点为P， 则， ∴四边形为矩形，四边形和四边形都为矩形， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故猜想：； ∵，，，， ∴． （2）略； （3）解：连接，，，，，， ∵、、、分别是边、、、中点， ∴，，，分别是，，，的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 由（2）的结论可知：． 28．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)， (3)，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； (4)的最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （3）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （4）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形， 中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等， 只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （3）略 （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：； 又， ， 的最小值为． 29．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形         B．矩形        C．菱形        D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)解：四边形中点四边形是正方形， 理由：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形， ∴四边形中点四边形是正方形． (3)①， 证明：如图，记、的中点分别为E、F，连接， ∵四边形中，，， ∴四边形中点四边形是正方形，即四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）①如图，记、的中点分别为E、F，连接，易得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；②设交于点O，连接、、，当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长，再结合①的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形的中点四边形一定是正方形， 理由：∵正方形的对角线相等且互相垂直， ∴正方形的中点四边形是正方形； （2）略 （3）①略； ②如图，设交于点O，连接、、， 当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵，即， ∴都是直角三角形， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴的最小值， 由①知； 又∵， ∴，即， ∴的最小值为． 30．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），； （3）证明：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4），理由如下： 如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）略 （4）略 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03特殊平行四边形中的特殊几何模型 题型图谱导航总览 题型1特殊平行四边形中的手拉手模型（难点） 题型2特殊平行四边形中的一线三等角模型（难点） 题型3特殊平行四边形中的半角模型（难点） 拔高·压轴破难 题型4特殊平行四边形中的重叠模型（难点） 题型5特殊平行四边形中的十字架模型（难点） 题型6特殊平行四边形中的中点模型（难点） 题型精练·靶向突破 拔高压轴破难 题型1特殊平行四边形中的手拉手模型（共5小题） 【模型】共顶点的两个特殊平行四边形，利用边角相等构造全等或旋转，得线段相等。 【步骤】先找共顶点与相等边角，确定旋转中心与旋转角，证三角形全等，得对应边角相等，再结合勾 股或方程求解。 【易错】须找准共顶点和对应边角，勿混旋转方向；全等条件要写全，对应关系勿错：矩形菱形正方形； 性质不同，注意区分。 (25-26八年级下山西大同期末)综合与探究 1/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图l,在正方形ABCD和正方形BEFG中，连接AG,CE,请判断线段AG与线段CE之间的数量关系， 并说明理由： (2)如图2，若四边形ABCD与四边形BEFG都为菱形，且∠GBE=∠ABC=60°，连接AG,CE.请判断 AG与CE的数量关系及线段AG与CE所在直线所夹锐角的度数，并说明理由. 2.(2026甘肃平凉·一模)解答下列各题： 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点E在线段AB上，点G在CB的延长线上，连接AG、CE 判断线段AG与线段CE之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，连接AG、CE.判断线段AG与线段CE之间的数量关系， 并说明理由； (3)如图3，若四边形ABCD与四边形BEFG都为菱形，且∠GBE=∠ABC=60°，连接AG、CE.猜想线段 AG与线段CE的数量关系及AG与线段CE所在直线所夹锐角的度数，并说明理由， 3.(25-26八年级下·海南海口·期末)点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，E点为正方形ABCD外 一点，且BE⊥CE',BE=BE',延长AE交CE于点F,连接DE E B 图1 图2 图3 (1)如图1， 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：△AEB≌ACE'B ②判断四边形BEFE的形状，并说明理由； (②)如图2，若DA=DE,请猜想线段CF与E'F的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若AB=15,BE=9,请求出DE的长. 4.(25-26九年级上福建宁德期中)在矩形ABCD中，点E为射线BD上一点，连接AE,以AE为一边， 在AE的右侧作正方形AEFG. G F 图1 图2 (I)若AB=AD,如图1，连接AF,当射线AF与射线BD的交点H在线段BD上时. 求证：①△ADHAEFH: ②点F一定在射线CD上： (2)如图2，若AB=30,AD=40,连接DF,求DF的最小值. 5.(25-26八年级下福建泉州期末)【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究 活动. D D 图1 图2 图3 备用图 【操作发现】 (I)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.线段DG与线段BE之间的数量关系是 直线DG与直线BE的夹角度数为 ；(注：两条直线的夹角是指两条直线相交所 形成的小于等于90°的角) (2)如图2，当正方形AEFG绕点A旋转时，线段DG与线段BE之间的数量关系是 直线DG 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与直线BE的夹角度数为， 【深入探究】 (3)如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE,∠DAB=∠GAE=60°，猜想线段 DG与BE的数量关系及直线DG与BE的夹角度数，并说明理由。 【迁移探究】 (4)如图3，在(3)的条件下，AB=4,在菱形AEFG绕点A旋转过程中，求线段CE的最小值. 题型2特殊平行四边形中的一线三等角模型（共3小题） 【模型】同一直线上三个相等角，两侧三角形相似，结合特殊平行四边形边角关系求解。 【步骤】先找一线上的三个等角，证两侧三角形相似，利用对应边成比例，结合平行四边形边角条件列 方程求解。 【易错】须先证角相等再证相似，对应边勿写反：特殊平行四边形性质不同，注意区分：等角位置要找 准，勿漏隐含直角条件。 6.(25-26九年级上贵州贵阳·期中)某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究， 有如下探究过程： B 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)如图①，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，将DE绕点E顺时针旋转9O°后得EF,若点F恰好 落在BC边上，求证：△ADE≌△BEF; 【问题探究】 (2)如图②，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，将DE绕点E顺时针旋转90°后得EF,连接 BF,DF.若AB=4,求点F到BC的距离： 【拓展延伸】 (3)如图③，在菱形ABCD中，点E为AC边上任意一点，点F在DC上，∠DEF=∠DAC,ACBD交 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点O.若AC=8,BD=6,当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，求EF的长. 7.(25:26九年级上重庆南岸期未)在菱形4BCD中， ∠B=a(90≤a<180),点E是边BC上一点，连 接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF,连接CF】 图1 图2 图3 (1)如图1，a=90°，求∠DCF的度数： (2)如图2,90°<a<180°，用∠DCF的度数（含a的代数式表示）； (3)如图3，a=120°，AB=2,点M是DC边上一动点，连接MF,若MF=AB,N是CM延长线上一点， 且MN=CF,连接FN,请直接写出FN的最大值. 8.(25-26八年级上湖北孝感·阶段检测)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： D 1△ 2 B A 图1 图2 图3 (I)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 I+L2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌， 推理依 据是 一.进而得到AC=一，BC=.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等 角”模型； (2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线 AF交于点G.求证：点G是DE的中点： (3)如图3，己知四边形ABCD和DEFG,∠ADC=∠EDF=9O°，AD=CD,DE=DF,△AFD的面积为 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SADCE S2 S S2 的面积为2，试猜想和○的数量关系，并说明理由。 题型3特殊平行四边形中的半角模型（共6小题） 【模型】特殊平行四边形中，一个角含其半角，通过旋转或截长补短构造全等求解。 【步骤】先找半角与完整角关系，旋转或截长补短构造全等三角形，得对应边相等，再结合勾股或方程 求解。 【易错】旋转角等于半角，须找准旋转中心：截长补短要证共线：特殊平行四边形性质不同，勿混用， 注意全等对应关系。 9 (25-26八年级下·安徽芜湖期末)如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上】 图1 图2 (I)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF; (②)如图2，若LEAF=60°，求证：△AEF是等边三角形： (3)在(2)的条件下，如果AB=10,那么△AEF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来. 10.(25-26八年级下·山东威海·期末)【模型分析】 图1 图Ⅱ 图Ⅲ (I)如图I,在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，若∠EAF=45°，可得结论： EF=BE+DF.请对该结论进行证明： 【模型拓广】 (2)一般化推广： 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图Ⅱ，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=18O°，点E,F分别在边BC,CD上，若结论 EF=BE+DF仍然成立，则∠EAF与∠BAD间的数量关系是_·（直接写答案，不用证明） (3)生活化应用： 如图Ⅲ，点D在△ABC的边AC上，CD=2,AD=3,∠ACB=90°，延长CB到E,使CE=5,DE与 BC AB交于点F,∠BFE=45°，求BE的值. 11.【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E,F分别为BC,CD上的点.连接EF, 己知AG⊥EF,AE平分LBAG,AF平分LDAG D E B D G 图① 图② 图③ (1)若∠EAF=45°，AB=4,E为BC的中点，则四边形ABCD的形状为一，DF的长为 【拓展应用】 (2)如图②，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,若AD=12,BD=6,求CD的长.小明给出如 下思路： 如图③，作出点D分别关于AB,AC的对称点E,F,延长EB,FC相交于点G,连接AE,AF 设CD=x,… 按小明的思路探究续写完整的解答过程 12.(24-25九年级上·吉林长春·期中)模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过 抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程. 【模型探究】 探究1.知图O,点D是。ABC中BC上的一点，且BD=DC,过点6作BF∥AC交AD的延长线于点F, 2 BF 则AC 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 探究2.如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.∠DAE=45°，交BC于点D、E.求证： AE2=DE·BE 【模型应用】 如图③，点E为正方形ABCD边AD的中点，连接BE,作∠EBF=45°，交CD于点F,连接AC,分别交 BE、BF于点M、N,若AB=2,则MN=- B 图① 图② 图③ 13.(25-26八年级下·湖北武汉阶段检测)【问题背景】 M D (1)正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上一点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF. 【类比分析】 (2)矩形ABCD中，MN分别为边AD、AB上一点，BM、DN交于点P,若∠MPD=45°，DM=BN, AM=3,AN=2,求MD的长， 【思维拓展】 (3)在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，连接AE,CD交于点F.若AB=4,BC=3, ∠CDB=45°，且AE=CD,则CF-AF=」 14.(25-26八年级下~陕西榆林期末)完成以下问题 D D B 图1 图2 图3 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，△EAF的两边AE,AF分别与边CB,DC相交于点E,F, 且∠EAF=60° 【特殊情况】 ① 如图1，当点“是线段C的中点时，直接写出线段1B,F E BC 之间的数量关系一： 【类比探究】 ② E BC E _B C BE=CF 如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合)，求证： 【拓展运用】 (2)如图3，四边形ABCD是一个菱形花园，AB=10m,∠ABC=60°，现计划用篱笆围成一块三角形区域 AEF,E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=60°.为了节约材料，所需的篱笆长度（即△AEF的周 长)最短，求出所需的篱笆长度（即△AEF的周长）的最小值，并说明理由 题型4特殊平行四边形中的重叠模型（共4小题） 【模型】两个特殊平行四边形部分重叠，利用重叠部分边角相等构造全等或相似求解。 【步骤】先确定重叠区域与对应边角，找相等线段或角，证全等或相似，利用对应关系列方程，结合勾 股求解。 【易错】须分清重叠部分与原图形对应边角，勿重复计算；特殊平行四边形性质不同，注意区分：全等 相似条件写全，对应关系勿错。 15 (25-26八年级下·河北保定·期中)综合与实践 C C E 图1 图2 图3 (D如图L,正方形1BCD ABCO ABCO 的对角线相交于点O,O又是正方形 的一个顶点，无论正方形 绕 9/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于正方形ABCD面积的4，请给出证明. (2)如图2，连接 .若正方形1BCD AC AB CB,OB 顶点B在线 AG上，则线段· 满足关系 AB2+CB2=20B2 请你给出证明. (3)如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=∠B, 1 S四边形ABCF= S菱形aD,BE=2EC=2,请直接写出AE的长. 2 16.(25-26八年级下湖北期肿)口18CD的对角线1C、BD相交于点0，另有一个与之全等的 ABCO 与4B相交于点5，C0与BC相交于点F,且40G=2BMD A0 绕着点转动， 图1 图2 图3 四【链接教材】如图1，若MBCD和4BC 和 均为正方形，四边形 OEBF 为两个正方形重叠部分.则下列 结论正确的是 (填序号即可)： @AM02A0：②Og=OP：③4Sm:④连接，总有E+CF2=2 (②【类比迁移】如图2，若1BCD和4BCO 和 均为矩形，连接BF,猜想1E,BF,CF之间的数量关系， 并证明； (3)【拓展应用】如图3，若1BCD和4B,C 和 均为菱形，且 A0C=∠BAD=60°，AB=12,直接写出 10/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转动过程中 的最大值为 17.(25-26九年级上江西宜春期末)【课本再现】 ABCD 如图1，正方形 的对角线相交于点0，点0又是正方形 .0 ABCO 的一个顶点，而且这两个正方形的边 OEBF ABCO 长都为2，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点转动 【问题发现】 (1)①如图1，求证：△AEO≌aBF0: ②如图1，四边形OEBF的面积为. 一；线段AE,CF,EF之间的数量关系是」 【类比迁移】 (2)如图2，点是矩形1BCD对角线1C的中点，点0又是矩形 0的一个顶点，与40边4相交 ABC 于点E,G 与边CB相交于点F,连接EF,矩形 CB BCO 可绕若点O旋转，猪想MB,CF,F之间的 数量关系，并进行证明： 【拓展应用】 (3)如图3，有一个菱形菜园ABCD,AC,BD为人行步道，且交于点O,现要在菱形菜园ABCD的右 下角建一四边形储藏间OECF.己知点E在BC上，点F在CD上，∠ABC=∠EOF=6O°.若四边形储藏 v3m2 ABCD 间 OECF 的占地面积为 (人行步道的面积忽略不计)，要在菱形菜园 边上围一圈篱笆，请直 接写出需要篱笆多少米？ D 1 A 0 B B F C 图1 图2 图3 18.(25-26八年级下·河南新乡·期末)【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD ABCO 方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形 的对角线相交于点O,点O又是正方形 的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分.正方形可绕点O旋 转 C 图1 图2 图3 备用图 【问题发现】 (I)图1中，连接EF,线段AE、CF、EF之间的数量关系是 【类比迁移】 ②如图2，矩居D的对角线相交F点0，点O足矩形48C0 一个顶点， A0与边MB相交于点B, co 与边8C相交于点R,连接F,判断线段4B、CF、EF之间的数量关系，并说明理由。 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC,∠DAB=90°，点E为梯形对角线AC的中点，四边形EFGH 为矩形，∠HEF的两边分别与直线AB、BC相交于点N、M,矩形EFGH可绕点E旋转.已知AB=6, BC=8,当AW=5时，请直接写出线段CM的长. 题型5特殊平行四边形中的十字架模型（共8小题） 【模型】特殊平行四边形中两条互相垂直的线段，借助边角关系构造全等或相似求解。 【步骤】先找两条垂直线段，利用平行四边形边角条件证三角形全等或相似，得对应边相等，再结合勾 股或方程求解。 【易错】垂直线段未必是对角线，须找准对应三角形：特殊平行四边形性质不同，勿混用；全等条件写 全，对应边角勿错。 19. (25-26八年级下·四川成都·期末)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对正方形截两条互相垂直的直 线得到的线段长度关系进行了如下探究： 12/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，在正方形ABCD中，点M为射线BC上的一个动点，连接AM,线段AM的垂直平分线分别交直线 AB、CD于E、F两点，交直线AM于点H, D E H M M M 图1 图2 备用图 (I)【初步感知】：当点M在线段BC上时，如图1，求证：EF=AM; (2)【深入探究】：在(1)的条件下，如图2，连接BD交直线EF于点G,试探究线段HG与EF之间的数 量关系： (⊙)【拓展延伸1：过点A且垂直于AM的直线与直线CD相交于点p,当DF-DP时，求的值 BM 20.(25-26八年级下·安徽安庆期末)已知四边形ABCD是正方形，点E是CD上一点，点M,N分别是 AD,BC AE⊥MW 上的动点，已知 于点F (I)如图，当点M与点D重合时，证明：AE=MN: D(M) E B ②如图，当点P为AB的中点时，连接BD交MN于点G证明：FG=)AE! 2 G B N 13/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE (3)如图，当点M与点A重合时，连接NE,取NE的中点P,连接BP,求BP的值. A(M) D E B 21.(25-26八年级下·河南洛阳期末)在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）， 连结BE. D G M 图① 图② 图③ 【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F,易证△ABF≌aBCE.(不需要证明) 【探究】如图②，取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G. (1)求证：BE=FG (2)连结CM,若CM=1,则FG的长为_. (3)【应用】如图③，取BE的中点M:连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG.若 CM=3,则四边形GMCE的面积为_， 22.(25-26八年级下·山东济南期末)如图1，在正方形ABCD中，点M为线段AB的中点，连接DM, 过点C作CG⊥DM交AD于点G,且垂足为点H E 图1 图2 图3 (I)求证：GD=BM, 14/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()②如图2，延长DM,过点B作BE CH,交射线DM于点E,求证：BE=DH; (3)如图3，在(2)的条件下，连接AE,求证：∠AED=45°」 23.(25-26九年级上·湖北恩施期末)点E是矩形ABCD边BC上一点，连接AE,点F在AB上，过点F 作FG⊥AE交CD于G,交AE于H. A D D D G G HY F B B E E E 图1 图2 图3 (I)如图1，当AB=BC时，证明：AE=FG; (2)如图2，当AB=BC=12时，CE=2BE,连接EF、EG,若∠FEG=90°，求BF的长： 64=5. AH (3)如图3，当BF -3时，连接E、BG,若∠FBG=90,求HG的值. ，CE 24.(25-26九年级上·贵州毕节阶段检测)【初识图形】 E F 图1 图2 (I)如图1，E,F分别为正方形ABCD的CD边和BC边上的点，连接AE,DF,且AE⊥DF,则 AE DE (2)如图2，矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，连接BD,EF,且BD⊥EF,AB=3, EF BD=5,求BD的值； 【类比探究】 (3)如图3，Rt△ABC中，D,F分别为AC,BC边上的点，AB=6,AC=8,D为AC的中点，连接 15/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF BD,作AF⊥BD交BD于点E,交BC于点F,直接写出BD的长为_ 图3 25.(26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试)按要求完成以下问题 MB B O H E 图1 图2 图3 问题发现 (1)基本模型十字架模型 如图I所示，在正方形ABCD内，点E在边DC上，点F在边BC上，AE、DF交于点H,请证明命题： 若AE⊥DF,则有结论AE=DF.', (2)模型运用 ①如图2，在正方形ABCD中，AB=4,点E在线段CD上（不与C、D重合），连接AE,将△ADE沿 AE翻折，得到△AD'E,连接DD并延长交BC于点F.若DE=3,求FD'的值. ②如图3，正方形ABCD,E为BC延长线上一点，DE=5,DE的垂直平分线MF分别交AB、CD于点 M和点N,连接AC交MN于点G,连接BG,求线段BG的长 26.(25-26八年级下·河南安阳期末)我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”· 16/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E E 图1 图2 图3 ()我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形：③菱形；④正方形，其中是“神奇四边形”的是 (填序号) (②)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G，,连 接AG,EG ①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”： ②如图2，点M,N,P,分别是AB,AG,GE,EB的中点，试判断四边形MNPO是不是“神奇四 边形”，并说明理由： (3)如图3，点F,R分别在正方形ABCD的边AB,CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边 B'C'恰好经过点A,过点A作AO LFR于点O,连接BO.若AB'=2,正方形的边长为6，则线段BO长 为 题型6特殊平行四边形中的中点模型（共4小题） 【模型】特殊平行四边形中出现中点，利用中线、中位线或倍长中线构造全等求解。 【步骤】先找中点及关联线段，选中位线或倍长中线构造全等，得对应边角相等，再结合勾股或方程求 解。 【易错】中点模型有中线、中位线、倍长中线之分，勿混用；特殊平行四边形性质不同，注意区分；筒 长后须证共线，全等对应勿错。 27.(25-26八年级下四川乐山期末)某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位 线相关的面积问题进一步探究. 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 D H MDNC B 图1 图2 图3 ()【问题探究】如图1，在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是边AB和AC的中点，在△ABC 内作矩形EMNF,点M、N在BC边上，若△ABC面积为24，AD=6.请计算EF的长和矩形EMNF的 面积，并猜想△ABC面积和矩形EMNF面积的关系： (②)【知识迁移】如图2，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，试说 1 明边形a一2影n: (3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，若 HF⊥GE,且HF=8,GE=6,求四边形ABCD的面积. 28.(25-26八年级下·福建泉州期末)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四 边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做 “中方四边形”· A D W 图1 图2 【概念理解】： ()下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A,平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD的对角线AC,BD的关系； 【拓展应用】： 18/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2，己知四边形ABCD是“中方四边形”，M、N分别是AB、CD的中点. (3)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由. (4)若AC=2,求AB+CD的最小值 29.(25-26八年级下·江苏泰州阶段检测)性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四 边形的中点四边形是正方形. 图1 图2 ()初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是 A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形 (2)拓展运用：如图1，△ABC为锐角三角形，以△ABC的两边AB、AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG,连接BE、EG、GC,，判断四边形BEGC的中点四边形的形状，并说明理由 (3)素养提升：如图2，四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,M、N分别为AB、CD的中点. ①探究MN与AC的数量关系，并证明. ②若AC=4,求AD+BC的最小值. 30.(25-26九年级上辽宁阜新期中)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四 边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做 “中方四边形”. 概念理解： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是_· A.平行四边形 B.矩形 C.菱形D.正方形 性质探究： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD的对角线AC,BD 的关系： 问题解决： 19/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接 BE,EG,GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，己知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点， (4)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由. M W 图1 图2 图3 20/20