4.5.函数的应用（二）（讲义）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 课标要点 1.1.结合实际情境抽象指数、对数、幂函数模型，认识三类函数应用特征，掌握函数零点概念，明确函数零点与方程解的关系。 2.能根据实际变化规律建立函数模型，区分一次、二次与指对幂函数，建立识别函数类型、分析增长规律、构建应用模型的三层解题逻辑，掌握二分法基本应用。 3.会利用函数模型、零点定理求解问题，能判断零点存在情况、求方程近似解，结合实际情境检验结果的合理性。 学习重难点 重点： 1.指数、对数、幂函数模型的特征辨析，函数零点的定义及零点与方程根的关系。 2.根据实际问题建立指对幂函数模型，掌握二分法求方程近似解的基本步骤。 3.一辨析不同函数的增长差异，能利用零点存在定理进行基础判断与计算。 难点： 1.理解零点存在定理的隐含条件，结合单调性判断零点个数，解决含参数零点问题。 2.精准区分各类函数增长差异，在复杂情境中准确选择、匹配函数模型。 3.挖掘实际问题隐藏数量关系，构建函数模型，结合实际意义检验、取舍解的取值。 知识点 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与_________有交点⇔函数有_________． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 随学随练 1.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 知识点 二次函数的零点（重点） 二次函数的图象与零点的关系 图象 与x轴的交点 ________________ ________________ 无交点 零点个数 ________ ________ ________ 随学随练 1.若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点 用二分法求方程的近似解 1．对于一般的函数，，若函数的图象是一条________的曲线，________，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 2.用二分法求函数零点近似值的步骤： 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的____________. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若(此时)，则就是函数的零点; （ii）若(此时零点)，则令_______; （iii）若(此时零点)，则令________. （iiii）判断是否达到精确度：若________，则得到零点近似值(或)，否则重复第（ii）至(iiii)步. 随学随练 1.若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 知识点 函数模型的应用 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在（0，＋∞）上的增减性 _________ _________ _______ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 随学随练 1.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 拓展 几种函数模型的增长差异 ①当时，指数函数是______，并且当越______时，其函数值的增长就越快. ②当时，对数函数是______，并且当越______时，其函数值的增长就越快. ③当时，幂函数显然也是______，并且当时，越______，其函数值的增长就越快. ④一般地，虽然指数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，______的增长速度越来越快，即使______的值远远大于______的值，______的增长速度最终都会超过并远远大于______的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于______的增长最终会快于______的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有______. ⑤一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，______保持固定的增长速度，而______的增长速度越来越慢.不论______的值比______的值大多少，在一定范围内，______可能会大于______，但由于______的增长慢于______的增长，因此总会存在一个，当时，恒有______. 活学活用 1.冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 题型 函数零点个数的判断 ▌例1．若、分别是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)在(0，+∞)上是单调函数，若f=3，则f(x)的零点为(　　) A.2 B.1 C.4 D.6 ▌对点练1-2．(2026·毕节模拟)已知函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6的零点个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 ▌对点练1-3．若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为________. ▌对点练1-4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 题型 二次函数的零点 解题贴士：对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；(4)区间端点值. ▌例1．已知函数的图象过点．求： (1)的值； (2)的零点． ▌对点练1-1．(多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- ▌对点练1-2．（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ▌对点练1-3．(多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- ▌对点练1-4．设方程x2-2ax-a=0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(-∞，-1)∪ D. 题型 由函数的零点个数求参数的范围 ▌例1．设，若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．设函数若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．(2026·乌鲁木齐期中)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.  ▌对点练1-3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 ▌对点练1-4．已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 题型 零点的存在性定理 ▌例1．已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-1．若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 ▌对点练1-2．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 ▌对点练1-3．函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，10) C.(10，100) D.(100，+∞) ▌对点练1-4．二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 由表判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　) A.(-3，-1)和(2，4) B.(-3，-1)和(-1，1) C.(-1，1)和(1，2) D.(-∞，-3)和(4，+∞) 题型 二分法求方程的近似解 ▌例1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是哪一个？ ▌对点练1-1．下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A．B． C． D． ▌对点练1-2．下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 题型 函数模型的应用 ▌例1．为了预防流感病毒，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式为___________； （2）据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． ▌对点练1-1．在某密码系统中，生成密码需要从含有 个符号的字符集中随机选择字符. 密码熵 (单位: 比特) 的计算公式为 ，其中 为密码长度. 根据密码熵估计表，当 时， 比特. 若某用户将密码长度从 增加到 ， 则密码熵的增加量约为（    ） A．26.2 比特 B．39.3 比特 C．52.4 比特 D．69.9 比特 ▌对点练1-2．（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 ▌对点练1-3．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风________周． ▌对点练1-4．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 基础通关 1.（26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 2.（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（26-27高一上·全国·课后作业）若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 4.（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知是函数的零点，则实数的值为________． 5.（26-27高一上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 6．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 7.（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 8.（25-26高一上·四川泸州·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10.已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 素养提升 11.（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此零点所在的区间是______. 12.已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13.（多选）若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 14.已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，． (1)若为奇函数，求的值； (2)若有两个不同的零点和． （i）求的取值范围； （ii）是否存在正实数，使得恒成立？若存在，请给出一个满足条件的；若不存在，说明理由． 迁移创新 16.（多选）若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数.下列命题正确的是（   ） A．是“学步”函数 B．（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C．若是的“学步”函数，且时，，则时，. D．若是的“学步”函数，则在上至少有个零点 17.已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 18.已知二次函数. (1)若满足：，一次函数. ①求证：两函数的图象交于不同两点； ②求线段在轴上的射影的长的取值范围. (2)当时，方程的两个根满足：. ①求证： 是方程的根； ②若是方程的另外两个实根，且，试比较这四个根的大小． 19．为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 20.已知偶函数的图象与直线有且只有一个公共点． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的最小值； (3)将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，并令函数．若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 课标要点 1.1.结合实际情境抽象指数、对数、幂函数模型，认识三类函数应用特征，掌握函数零点概念，明确函数零点与方程解的关系。 2.能根据实际变化规律建立函数模型，区分一次、二次与指对幂函数，建立识别函数类型、分析增长规律、构建应用模型的三层解题逻辑，掌握二分法基本应用。 3.会利用函数模型、零点定理求解问题，能判断零点存在情况、求方程近似解，结合实际情境检验结果的合理性。 学习重难点 重点： 1.指数、对数、幂函数模型的特征辨析，函数零点的定义及零点与方程根的关系。 2.根据实际问题建立指对幂函数模型，掌握二分法求方程近似解的基本步骤。 3.一辨析不同函数的增长差异，能利用零点存在定理进行基础判断与计算。 难点： 1.理解零点存在定理的隐含条件，结合单调性判断零点个数，解决含参数零点问题。 2.精准区分各类函数增长差异，在复杂情境中准确选择、匹配函数模型。 3.挖掘实际问题隐藏数量关系，构建函数模型，结合实际意义检验、取舍解的取值。 知识点 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与_________有交点⇔函数有_________． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 【答案】 （1） （2）轴 零点（3） 随学随练 1.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 知识点 二次函数的零点（重点） 二次函数的图象与零点的关系 图象 与x轴的交点 ________________ ________________ 无交点 零点个数 ________ ________ ________ 【答案】 2 1 0 随学随练 1.若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 知识点 用二分法求方程的近似解 1．对于一般的函数，，若函数的图象是一条________的曲线，________，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 【答案】 连续 2.用二分法求函数零点近似值的步骤： 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的____________. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若(此时)，则就是函数的零点; （ii）若(此时零点)，则令_______; （iii）若(此时零点)，则令________. （iiii）判断是否达到精确度：若________，则得到零点近似值(或)，否则重复第（ii）至(iiii)步. 【答案】 中点 随学随练 1.若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 【答案】 知识点 函数模型的应用 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在（0，＋∞）上的增减性 _________ _________ _______ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 【答案】 单调递增 单调递增 单调递增 随学随练 1.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】B 【难度】0.85 【详解】设训练个单位数据的时间为，训练个单位数据的时间为， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 拓展 几种函数模型的增长差异 ①当时，指数函数是______，并且当越______时，其函数值的增长就越快. ②当时，对数函数是______，并且当越______时，其函数值的增长就越快. ③当时，幂函数显然也是______，并且当时，越______，其函数值的增长就越快. ④一般地，虽然指数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，______的增长速度越来越快，即使______的值远远大于______的值，______的增长速度最终都会超过并远远大于______的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于______的增长最终会快于______的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有______. ⑤一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，______保持固定的增长速度，而______的增长速度越来越慢.不论______的值比______的值大多少，在一定范围内，______可能会大于______，但由于______的增长慢于______的增长，因此总会存在一个，当时，恒有______. 【答案】 增函数 大 增函数 小 增函数 大 指数函数 一次函数 对数函数 活学活用 1.冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为261小时，在的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最高不能超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 题型 函数零点个数的判断 ▌例1．若、分别是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【分析】利用函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，结合与的交点确定，代入的分段表达式后，分别在和两个区间解方程，并检查解是否在对应区间内即可. 【详解】因为满足，满足，所以，， 即点在上，点在上， 由于与关于对称，且自身关于对称， 所以与关于直线对称，因此，所以， 所以函数， 当时，关于的方程，即，即， 解得，，满足题意； 当时，关于的方程，即，解得，满足题意. 所以关于的方程的解的个数是. ▌对点练1-1．(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)在(0，+∞)上是单调函数，若f=3，则f(x)的零点为(　　) A.2 B.1 C.4 D.6 答案　B 解析　因为f(x)在(0，+∞)上单调，令t=f(x)+(t>0)，则f(x)=t-，且f(t)=3， 从而t-=3，解得t=4(负值舍去)， 所以f(x)=4-(x>0)， 由f(x)=0得x=1，所以f(x)的零点为1. ▌对点练1-2．(2026·毕节模拟)已知函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6的零点个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　C 解析　由题意，令[f(x)]2-5f(x)+6=0， 解得f(x)=2或f(x)=3，作出y=f(x)的大致图象， 如图，由图可知，直线y=2与y=f(x)的图象有3个交点，直线y=3与y=f(x)的图象有4个交点，所以原方程有7个解， 即函数y=[f(x)]2-5f(x)+6有7个零点. ▌对点练1-3．若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为________. 【答案】 【难度】0.46 【分析】先由得函数的周期，再结合所给区间即一个周期上的解析式，从而可得函数在上的图象，再根据分三段讨论：①上，再分三段，及上判断与交点个数；②，判断与交点个数为；③，再分三段，及上判断与交点个数，从而可得所求函数的零点个数. 【详解】因为，所以为一个的周期函数， 又时，，区间的长度为，刚好是一个周期， 函数图象是开口向下的抛物线的一部分，顶点，两端点函数值为，通过周期平移可得函数在上的图象， 分区间讨论函数的零点： ①，在上单调递增， 在，上，与各有个交点， 在上，，而，所以与无交点. 因此，在上与共有个交点，即函数在上有个零点. 如图： ②，，解方程，即，解得（舍去）， 所以函数在上有个零点. ③，对数函数在上单调递增， 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 所以，在上与共有个交点， 因此函数在上有个零点. 如图： 综上①②③，函数在区间上有个零点. ▌对点练1-4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【难度】0.45 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）． 方程的解为或，由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 题型 二次函数的零点 解题贴士：对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值. ▌例1．已知函数的图象过点．求： (1)的值； (2)的零点． 【答案】(1) (2)3， 【难度】0.93 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数零点的定义，通过解一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以，即， 解得． （2）由（1）得，令， 即．解得，或， 所以函数的零点为3，． ▌对点练1-1．(多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- 答案　ABD 解析　对于A，由题意得解得0<m<1，A正确； 对于B，f(1)=2m-2<0，解得m<1，B正确； 对于C，解得-<m<0，C错误； 对于D，解得m<-，D正确. ▌对点练1-2．（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】AC 【难度】0.68 【分析】根据函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】由题知，令，则， 所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以当时，，A正确； 当时，， 当时，， 因为是定义在上的偶函数， 所以，，B错； 当时，令，解得， 又因为是定义在上的偶函数， 所以，的解集为，C正确； 由上述可知，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为是定义在上的偶函数， 所以要使有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 即与两函数有两个交点， 则需满足或，D错. ▌对点练1-3．(多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- 答案　ABD 解析　对于A，由题意得解得0<m<1，A正确； 对于B，f(1)=2m-2<0，解得m<1，B正确； 对于C，解得-<m<0，C错误； 对于D，解得m<-，D正确. ▌对点练1-4．设方程x2-2ax-a=0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(-∞，-1)∪ D. 答案　C 解析　设f(x)=x2-2ax-a，则其图象的对称轴方程为x=a， 由x1<x2<1可得 解得a<-1或0<a<. 题型 由函数的零点个数求参数的范围 ▌例1．设，若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】首先根据解析式作出函数的图像，上下平移直线，使其与图像有且仅有两个交点，得出的范围. 【详解】由题意可知，当时，，则此时在上为单调递减，且值域为. 当时，由 可知，函数是以为周期的周期函数， 且， 结合函数的图像，当满足时，与有且仅有两个交点， 即有且仅有两个解. ▌对点练1-1．设函数若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】画出函数的图象，利用转化思想，把问题转化为两个函数图象之间的交点问题，最后利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】画出的图象如下图． 方程有三个不同的实数解，等价于函数与函数有三个不同的交点， 当时，函数， 该二次函数开口向上，最低点为，且， 所以由数形结合思想可知：． ▌对点练1-2．(2026·乌鲁木齐期中)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.  答案　(2，4) 解析　令t=2x，因为x∈(0，2)，所以t∈(1，4)， 则方程t2-at+3=0在(1，4)内有2个根， 即a=t+在(1，4)内有2个解， 即直线y=a与函数g(t)=t+的图象在(1，4)内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，g(t)=t+在(1，)上单调递减，在(，4)上单调递增， 又因为g(1)=4，g()=2，g(4)=， 所以2<a<4， 故实数a的取值范围为(2，4). ▌对点练1-3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】BD 【难度】0.55 【分析】根据分段函数单调性的性质、值域的性质、函数零点的性质，结合数形结合思想逐一判断即可. 【详解】A：当时，， 当时，，因为， 所以此时不等式的解集为. 当时，， 当时，，此时不等式的解集为， 所以原不等式的解集为，因此本选项说法不正确； B：因为函数是实数集上的增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当函数为上的增函数时，必有， 在同一直角坐标系内，函数和的图象如下图所示，显然两个函数都是实数集上的增函数，且，当时， 由数形结合思想可知：当时，，当时，， 所以不等式的解集为，因此本选项说法正确； C：函数在上的值域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，该函数的值域为， 当时，该函数的值域为. 若函数的值域为， 当时，则有，由选项B的解答可知该不等式的解集为， 当时，则有，解得该不等式的解集为， 综上所述：实数的取值范围是，所以本选项说法不正确； D：因为函数的零点为， 函数的零点为， 所以当函数恰有两个零点时，实数的取值范围是，因此本选项说法正确. ▌对点练1-4．已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______． 【答案】. 【难度】0.62 【分析】方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 题型 零点的存在性定理 ▌例1．已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.9 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. ▌对点练1-1．若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 【答案】C 【难度】0.85 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若且连续，则满足零点存在性定理的两个条件， 所以在区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． ▌对点练1-2．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 答案　C 解析　由题知f(0)f(1)<0， 所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点， 又f(1)f(2)>0， 因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点. ▌对点练1-3．函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，10) C.(10，100) D.(100，+∞) 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且函数f(x)是定义域上的增函数， f(1)=-1<0，f(10)=1->0， ∴在(1，10)内，函数f(x)存在零点. ▌对点练1-4．二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 由表判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　) A.(-3，-1)和(2，4) B.(-3，-1)和(-1，1) C.(-1，1)和(1，2) D.(-∞，-3)和(4，+∞) 答案　A 解析　易知f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲线，又f(-3)f(-1)=6×(-4)=-24<0. 所以f(x)在(-3，-1)内有零点， 故方程ax2+bx+c=0在(-3，-1)内有根. 同理方程ax2+bx+c=0在(2，4)内有根. 题型 二分法求方程的近似解 ▌例1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是哪一个？ 【答案】①③ ▌对点练1-1．下列函数图象与轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【详解】二分法求零点有两个条件：1.函数在区间上连续；2.区间两端函数值异号，即（图像穿过轴）.    对于，图像与轴相交但没有穿过轴，不满足，错误； 对于，零点处图像与轴相切，零点两侧函数值都大于等于，同号，错误； 对于，连续曲线，存在区间使得两端函数值一正一负，穿过轴，正确； 对于，函数在零点处不连续，不满足二分法前提，错误. ▌对点练1-2．下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. ▌对点练1-3．下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. ▌对点练1-4．已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 题型 函数模型的应用 ▌例1．为了预防流感病毒，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式为___________； （2）据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】 / 【难度】0.65 【分析】（1）将、代入函数，求出的值，可得出答案； （2）当时，解不等式，可得出答案. 【详解】（1）从图中可以看出：当时，，即，解得， 所以，从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式为； （2）当药物释放完毕后，即当时，由可得，解得， 因此从药物释放开始至少需要经过小时后，学生才能回到教室． ▌对点练1-1．在某密码系统中，生成密码需要从含有 个符号的字符集中随机选择字符. 密码熵 (单位: 比特) 的计算公式为 ，其中 为密码长度. 根据密码熵估计表，当 时， 比特. 若某用户将密码长度从 增加到 ， 则密码熵的增加量约为（    ） A．26.2 比特 B．39.3 比特 C．52.4 比特 D．69.9 比特 【答案】B 【难度】0.85 【详解】根据密码熵计算公式 ， 时， ，由此可得 ， 时，密码熵 ，当 时，密码熵 ， 密码熵的增加量 . ▌对点练1-2．（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（    ） A． B． C．采用方案①效率更高 D．无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】根据方案① 可得出关于的等式，求出其值，可判断A选项；根据方案② 求出，可判断B选项；比较、的大小，可判断C选项；求出两个方案的平均生产速度，比较大小可判断D选项. 【详解】由方案① ， ，解得 ，故A正确； ，故B错误； 因为，所以采用方案① 效率更高，故C正确； 方案① 的平均生产速度为 个每小时，方案② 设总零件数为， 所以两部分的时间分别为，， 平均生产速度为 个每小时， 故方案② 平均速度低于方案① ，所以无论生产零件总数为多少，效率更高的都是方案① ，故D正确. ▌对点练1-3．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风________周． 【答案】26 【难度】0.65 【分析】由可得解析式，据此结合对数运算性质可得答案. 【详解】因，从而， 则，则.为使该住房装修完成后达到安全入住的标准， 则. ▌对点练1-4．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 【答案】 14 【难度】0.7 【分析】代入已知条件求出参数，注意后段降温要更新初始温度，再借助对数运算求解时间. 【详解】由题，当时，， 则，当从50℃再下降到40℃时， . 基础通关 1.（26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】C 【详解】函数的零点个数是方程的解的个数， 由，解得． 所以函数的零点有2个． 2.（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 3.（26-27高一上·全国·课后作业）若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】由题意，，∴， 又， 即， ∴， ∴. 4.（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知是函数的零点，则实数的值为________． 【答案】0 【分析】根据零点的定义求解即可. 【详解】令，即，解得，所以． 故实数的值为0. 5.（26-27高一上·全国·课后作业）设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 6．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 7.（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 8.（25-26高一上·四川泸州·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，的物块经过后的温度， 的物块经过后的温度. 要使得两块物体的温度之差不超过，则， 即，解得. 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】由题意得， 故， 在上至少有1个零点， 故在区间上的零点至少有3个. 10.已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 【答案】(1) (2) （或） (3) 【难度】0.67 【详解】（1）已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得， 移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. （2）当时，，由（1）知，令，得， 设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. （3）由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为 素养提升 11.（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此零点所在的区间是______. 【答案】 【分析】根据零点存在定理的定义判断即可. 【详解】根据零点存在定理，若，则在开区间内存在零点. 已知初始区间，中点，且， 所以零点落在区间. 12.已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 13.（多选）若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.45 【分析】画出函数图象，方程问题转化为函数图像交点的问题即可求解，再结合对称性及对数的运算性质依次判断求解即可. 【详解】由题意得有四个零点， 所以有四个根， 所以和函数图像有四个交点，且交点横坐标为， 因为为正数，且，所以选项A错误； 根据题意可得，， 得到，根据对称性有 所以，故选项B正确； 而，且，故选项C正确； 而， 当且仅当时成立，所以等号取不到，故选项D错误， 14.已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【分析】分析函数性质，结合函数性质画出函数图象，解方程可得或，结合图象及条件列不等式即可得结论. 【详解】，的定义域为. ，则函数为偶函数. 当时，，函数在上单调递减，且，时，； 函数为偶函数，函数在上单调递增； 函数的值域为，图象如图所示： ， ，解得或. 方程有个不同的根， 函数的图象与直线和直线的图象共有3个交点. ，得. 实数的取值范围为. 15．已知函数，． (1)若为奇函数，求的值； (2)若有两个不同的零点和． （i）求的取值范围； （ii）是否存在正实数，使得恒成立？若存在，请给出一个满足条件的；若不存在，说明理由． 【答案】(1)0 (2)（i） （ii）不存在，理由如下： 不妨设，由（i）可得， 又， 故， 当时，，，故， 因此当无限趋近于0时，可以无限变大，所以不存在正实数满足条件． 【难度】0.45 【分析】（1）由奇函数的定义可得，解得，再代入检验确实是奇函数即可； （2）（i）由可得，令，则方程有两个不等正根，据此列出不等式即可求解；（ii）不妨设，可得，取，，因此即可得知不存在正实数满足条件． 【详解】（1）设函数定义域为， 由题意得， 即， 即， 即， 故. （2）（i）由得， 令，则方程化为， 因此有两个不同的零点和等价于上述方程有两个不等正根， 故，解得， 所以的取值范围是． 迁移创新 16.（多选）若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数.下列命题正确的是（   ） A．是“学步”函数 B．（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C．若是的“学步”函数，且时，，则时，. D．若是的“学步”函数，则在上至少有个零点 【答案】BD 【难度】0.4 【分析】对A直接代入定义判断可得，对B根据定义及充要条件的定义判断可得，对C根据“学步”函数的定义得，由此递推次得，当时，，进而可得，代入上式与题中所给式子不符可得，对D由定义可得，进而可得，分类讨论并结合零点存在性定理，得函数在区间上至少有一个零点，再将区间分成共个，从而可得结果. 【详解】对A选项，若，代入定义得对任意恒成立， 则，矛盾，因此不是“学步”函数，A错误. 对B选项，必要性：若（）为“学步”函数， 代入定义得对任意恒成立，因，故，必要性成立； 充分性：反之若，则， 所以（）为“学步”函数，充分性成立. 因此充要条件就是，B正确. 对C选项，是的“学步”函数，代入定义得， 即对任意恒成立， 且时，，则时，. 当时，，因此， 又因为 . 与选项中当时，不符，故C错误. 对选项D，若是的“学步”函数， 代入定义得，即， 因此对任意有， 因为连续，若，由零点存在性定理，函数在区间内必有一个零点； 若，则本身就是零点. 因此函数在区间上至少有一个零点. 将分为，共个区间，每个区间至少有个零点， 因此在至少有个零点，故D正确. 17.已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 【答案】①②④ 【难度】0.48 【分析】依题意可得函数的图象与直线没有交点，所以或恒成立，从而得到或恒成立，然后再逐一判断即可得出答案. 【详解】因为方程无实数根，即函数的图象与直线没有交点， 所以或恒成立. 因为或恒成立， 所以没有实数根，故①正确； 若，则不等式对一切实数都成立，故②正确； 若，则不等式对一切实数都成立， 所以不存在实数，使，故③错误； 若，则 ，可得 ， 因此不等式对一切实数都成立，故④正确； 18.已知二次函数. (1)若满足：，一次函数. ①求证：两函数的图象交于不同两点； ②求线段在轴上的射影的长的取值范围. (2)当时，方程的两个根满足：. ①求证： 是方程的根； ②若是方程的另外两个实根，且，试比较这四个根的大小． 【答案】(1)①联立得，则 ，， ，所以 ，故两函数的图象交于不同两点； ② (2)①当时，方程即，两根为，故，代入得，故是方程的根； ② 【难度】0.42 【分析】（1）①联立两函数解析式得到一元二次方程，结合条件推导得，证明方程判别式大于 0，即可说明两函数图象交于不同两点；②利用韦达定理表示出两交点横坐标的差（即x轴上的射影长），通过换元将表达式转化为关于的函数，结合不等式求出参数范围，进而得到射影长的取值范围； （2）①根据方程根的定义，由，直接代入复合函数，验证等式成立即可；②对因式分解，拆分为两个二次方程，通过代入已知根判断第二个二次函数的函数值符号，结合开口方向确定根的分布，最终比较出四个根的大小. 【详解】（1）①略 ②设，则， ， 由一次函数，得，又故，且， （2）①略 ② 时，， ， 令 ，则， 因此， 方程等价于，即 的两根为（已知 ）， 的两根为， 设（开口向上），代入 ，得， 由，得，代入得， 结合韦达定理，即，代入得，由，得； 同理可得， 结合开口向上的二次函数性质：对应区间，故，对应或，结合，得， 综上，四个根的大小关系为. 19．为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 【答案】(1)； . (2)把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择函数模型更合适． 设至少个月后蒲草覆盖面积能达到，. 令，两边取常用对数可得， 即， 则至少14个月后，即至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到. 【难度】0.67 【分析】（1）代入题目数据，解对应方程可得答案； （2）先通过计算时，两模型方程的值，比较值与的差值，可选出恰当模型，然后由对数运算性质结合题目参考数据可得答案. 【详解】（1）若选择模型， 则，故函数模型为； 若选择模型， 则，故函数模型为. （2）略 20.已知偶函数的图象与直线有且只有一个公共点． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的最小值； (3)将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，并令函数．若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【难度】0.41 【分析】（1）由偶函数的性质及交点个数由有且只有一个解求参数值，即可得； （2）根据已知有，从而有，再应用基本不等式求目标式的最小值； （3）令，结合的函数图象，问题化为在区间和内各有一个解，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由为偶函数，知， 由与的图象只有一个交点，令， 即方程有且只有一个解， 所以，解得， 所以； （2）由，即，即， 又，所以，即， 由于，当且仅当时取到等号， 所以的最小值为4； （3）由题意，，， 令，则方程， 可化为，即， 考虑到在上单调递减，在上单调递增，大致图象如下： 所以要使方程有三个不同的实数解， 只需方程在区间和内各有一个解， 设，则在区间和内各有一个零点， 则，得， 或（另一个零点在内），得， 综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $