4.5函数的应用（二）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数零点这一核心知识点，系统梳理从零点定义、方程根与零点关系，到零点存在性定理、二分法步骤的完整脉络，搭建从概念理解到方法应用的学习支架。 资料通过多样题型（如零点区间判断、参数范围确定）和真题例题，培养学生数学思维与问题解决能力，结合实际案例（如茶水温度模型）提升数学应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

函数的应用（二） 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【解题方法总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 题型一：求函数的零点或零点所在区间 例1.（1）（2025·安庆一中高三期末）函数的零点所在的区间为（       ） A． B． C． D． （2）（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·天津西青·月考）函数零点所在的大致区间为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （5）（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·福建厦门·期中）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3.（1）（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． （2）（浙江·高考真题）已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例4.（1）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（       ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·浙江绍兴·月考）已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点. A． B． C． D． 例5.（多选题）（2024·辽宁大连·高一大连二十四中校考期中）已知函数是定义在上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（ ） A．一定存在，使得 B．一定存在，使得 C．不一定存在，使得 D．不一定存在，使得 例6.（1）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且为增函数，若是的零点，恒成立，则整数的最大值是 . （2）（25-26高一上·浙江绍兴·月考）设为实数，若实数是关于的方程的解，则 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 例7.（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例8.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例9.（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 例10.（25-26高一上·广东深圳·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 例11.（1）（2025·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2）（25-26高一上·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 （3）（2025·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数，当时，方程的根的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （4）（2025·安徽滁州·高一校考开学考试）已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． （5）（2025·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． （6）（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 例12.（1）（多选题）（2025·广东东莞·高一校考期中）已知函数，下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若方程有两个不同的实数根，则 （2）（多选题）（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，其中，且，则（　　） A． B． C． D．函数有2个零点 （3）（多选题）（25-26高一上·浙江舟山·月考）高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以高斯命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，如，，记函数，则（   ） A． B．的值域为 C．在上有3个零点 D．，方程有两个实根 （4）（多选题）（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 例13.（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________. 例14.（2025·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足，则___________. 例15.（2025·山东滨州·高一山东省北镇中学校考竞赛）设是定义在上的奇函数，满足，当时，，若方程在上有四个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例16.（1）（25-26·广东·高一校联考阶段练习）若，分别是方程，的根，则（    ） A． B．2023 C． D．4046 （2）（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 题型四：零点比大小 例17.（1）（2025·浙江宁波·统考一模）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·河南·月考）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 例18.（1）（25-26高一上·广东·月考）设分别为函数的零点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·天津南开·月考）已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 题型五：唯一零点求值问题 例19.（1）（24-25合肥一中高三月考）已知函数有唯一零点，则（ ） A． B． C． D．1 （2）（25-26厦门市第一中学高一期中）已知函数有唯一零点，则的值为（    ） A． B． C． D． （3）已知函数有唯一零点，则负实数（    ） A． B． C． D．或 （4）已知函数有零点，则实数___________. 例20.（1）（2025·广西南宁·三模）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．2 （2）（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（    ） A． B． C． D．1 （3）（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． （4）（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 题型六：根据函数零点的存在情况求参数 例21.（1）（2025·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·辽宁本溪·高二校考期中）已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）（2026·浙江·高一校联考期中）已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 例22.（1）（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例23.（24-25高一下·安徽合肥·期末）设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例24.（1）（多选题）（2025·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）已知函数， 函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得没有零点 B．若，则有个零点 C．若，则有个零点 D．若有个零点，则的取值范围为 （2）（多选题）（25-26高一上·河南新乡·期中）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 （3）（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，若，则下列说法正确的是（   ） A．当方程有三个不同根时，三个根的乘积小于 B．当方程有四个不同根时，则 C．函数恰有个零点时， D．函数恰有个零点时， （4）（多选题）（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 （5）（多选题）（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 例25.（2025·福建·高一福建省罗源第一中学校联考期中）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．当 B． C．若在上恒成立，则的最小值为6 D．若关于的方程有三个不同的实数根则． 例26.（1）（2025·辽宁大连·高一校联考期中）已知函数，若函数，且函数有5个零点，则实数m的取值范围是 ． （2）（2025·广西南宁·高一南宁三中校联考阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不等实根，则的取值范围为 . （3）已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：等高线问题 例27.（1）（2025·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（安徽·2025-2026学年高一阜阳市第三中学12月二调）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2025·江苏苏州·高一统考期中）已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例28.（1）（2025·安徽安庆、池州、铜陵三市·高一下学期期末联考）设函数，若（其中），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·安徽·江淮十校高三第二次联考.安庆一中命题）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例29.（25-26·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同实根且，则的取值范围是 ；的值为 . 例30.（1）（25-26高一上·湖南·月考）设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，若存在，使，则的取值范围是 . （3）（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知，方程有四个不同根，则的取值范围是 ；四个不同根记为，，，，且满足，则的取值范围是 . 例31.（1）（多选题）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 （2）（多选题）（25-26高一上·福建福州·月考）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 （3）（多选题）（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（   ） A． B． C． D．函数有8个零点 （4）（多选题）（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 （5）（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有个不同的交点，各交点的横坐标为，且 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八：函数零点和问题 例32.（2025·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 例33.（1）（2025·福建南平·高一武夷山一中校考期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2）（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 例34.（1）（2025·浙江宁波·高一校联考期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若的图象与的图象交于四点，则的值为（    ） A． B． C． D． （2）（2025·浙江·高一舟山中学校联考期中）已知函数的定义域为R，设 且是奇函数，若函数f（x）与g（x）的图像的交点坐标分别为，则=（    ） A．0 B．-8 C．8 D．9 （3）（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（    ） A．2n B．3n C．4n D．5n 例35.（1）（2014·湖南·高考真题）已知函数与图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数，若图象上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例36.（25-26高三上·山西长治·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 题型九：二分法及应用 例37.（1）（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·陕西榆林·月考）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 （3）（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． （4）（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． （5）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是 ． （6）（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． （7）（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 例38.（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 例39.（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； （2）为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 例40.（25-26高一上·河南·期中）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天（）的销售单价（元）的解析式为（为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） （1）求实数的值； （2）根据表格判断①，②，③这三个函数模型中哪个模型最符合题意，并说明理由； （3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 例41.（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 例42.（25-26高一下·湖北武汉·期中）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； （2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） （3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 例43.（25-26高一下·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. （1）求的值； （2）若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） （3）该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 例44.（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 课后练习题 1.（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6.（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·云南普洱·期末）设函数若有4个不相等的实根，则的值不可能为（   ） A．1 B． C． D． 8.（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 9.（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 11.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知函数若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13.（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14.（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）给出下列结论，其中正确的结论是（    ） A．函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．若，则的值为 15.（多选题）（25-26高一下·河南平顶山·阶段检测）已知函数有两个零点，，则（    ） A． B． C． D．当取得最小值时， 16.（多选题）（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 17.（多选题）（25-26高一下·湖北鄂州·期中）如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．函数有2个零点 C．函数有2个零点 D．若，且，则的取值范围为 18.（多选题）（25-26高一上·广东汕头·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点为 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 19.（多选题）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．若关于x的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 D．记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 20.（多选题）（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 21.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 22.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 23.（25-26高一下·陕西西安·期末）已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 24.（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 25.（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 26.（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，求的取值范围． 27.（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数存在零点，求实数的取值范围； （3）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 28.（25-26高一上·福建三明·阶段检测）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型（不需要证明），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 29.（25-26高一上·重庆·期中）意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 30.（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 31.（25-26高一上·广东深圳·12月月考）设，. （1）请利用函数单调性定义证明在上单调递减. （2）若，成立，求实数a的取值范围. （3）给定实数b，讨论关于x的方程的解的个数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的应用（二） 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【解题方法总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 题型一：求函数的零点或零点所在区间 例1.（1）（2025·安庆一中高三期末）函数的零点所在的区间为（       ） A． B． C． D． 【详解】为上的递增函数，，， ，则函数的零点所在的区间为故选：B （2）（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B （3）（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】在定义域上单调递增，在内单调递增，在定义域上单调递增，，，根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确；，函数在定义域上单调递增，，故BCD错误．故选：A． （4）（25-26高三上·天津西青·月考）函数零点所在的大致区间为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上至多1个零点. 又，.所以函数在上有零点.综上，函数只在有1个零点.故选：B （5）（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为与均在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又，，， ，又，函数的零点所在区间是．故选：B． 例2.（25-26高一上·福建厦门·期中）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若 ，即和同号或至少一个为零，若或，则函数在端点有零点，若和同号，函数可能在区间内穿过零点，例如：由连续性，函数在内存在零点，因此，不能保证没有零点，即条件不充分；如果函数在 上没有零点，则对任意，有 ，由于函数连续，若 和 异号（即 ）， 则由零点存在定理，存在 使得，与“没有零点”矛盾，因此，没有零点时，和 必须同号（即），这蕴含，故“没有零点”蕴含“”，即条件是必要的.所以“”是“函数在区间上没有零点的必要不充分条件.故选：B 例3.（1）（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，因为函数在上都是增函数，所以函数在上单调递增，因为，所以，又因为，则或，若，由零点存在性定理；若，而，则，由零点存在性定理，综上所述，则C一定正确.故选：C. （2）（浙江·高考真题）已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示， 则当时，在下方，即；当时，在上方，即，故选：B 例4.（1）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（       ） A． B． C． D． 因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.故选：A． （2）（25-26高一上·浙江绍兴·月考）已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点. A． B． C． D． 【详解】由，当时，函数开口向上，且，则函数必然有两个零点，可设，要使在上存在零点， 则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点，则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在零点；要使在上存在零点，则或，即或，则，所以在上一定存在零点； 要使在上存在零点，则或，即或，而的取值不确定，所以在上不一定存在零点同理，当时，函数开口向下，且，要使在上存在零点，则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点；要使在上存在零点， 则，即，而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点，则或， 即或，则，所以在上一定存在零点；要使在上存在零点， 则或，即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在零点.综上所述，函数在一定存在零点.故选：C. 例5.（多选题）（2024·辽宁大连·高一大连二十四中校考期中）已知函数是定义在上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（ ） A．一定存在，使得 B．一定存在，使得 C．不一定存在，使得 D．不一定存在，使得 【详解】函数是定义在上的增函数，故，对任意值，，考虑，函数单调递增，则，，故存在使得，即， 对选项A：，存在，使得，正确；对选项B：，存在，使得，正确；对选项C：，存在，使得，错误；对选项D：，存在，使得，错误；故选：AB. 例6.（1）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且为增函数，若是的零点，恒成立，则整数的最大值是 . 【详解】因是的零点，则，即，且因为上的增函数， 由，可知，则，故由可得，因，则的最大值为4.故答案为：4. （2）（25-26高一上·浙江绍兴·月考）设为实数，若实数是关于的方程的解，则 【详解】由，得，即.令，则易得是增函数，所以，即.实数是关于的方程的解，则是方程的解，即方程的解.所以，所以.故答案为： 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 例7.（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数，在区间上单调递增，所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点，得即解得. 因此，实数的取值范围是.故选：B. 例8.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，故，解得， 故，而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数，故； 令，解得，又函数的零点在区间内，故令，则，令，解得，即实数的取值范围为，故选：B 例9.（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意，当时，解得，当 时，令得满足题意，当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意，当时，解得，所以，令解得，满足题意，综上所述有：. 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 例10.（25-26高一上·广东深圳·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 【详解】由函数图象可知，∴方程有且仅有1个解，A选项正确；由图象可知函数存在极大值和极小值，又∵，所以方程有且仅有3个解，B选项错误； ∵，∴，∴方程有且仅有3个解，C选项正确；由图象可知存在三个解即或，∴时，或，∴方程有且仅有9个解，D选项正确.故选：ACD. 例11.（1）（2025·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】求函数在区间上的零点个数，转化为方程在区间上的根的个数.由，得或，解得：或或，所以函数在区间上的零点个数为3.故选：A. （2）（25-26高一上·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【详解】因为，所以的周期为2，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递增，令，则，即求与在上交点个数，作出与图象，如图所示   所以与图象在上有11个交点，则函数在区间内的零点个数为11.故选：B （3）（2025·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数，当时，方程的根的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】  设，则，即，故，因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D. （4）（2025·安徽滁州·高一校考开学考试）已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，则在上单调递增，在上单调递减， 则；当时，则在上单调递增.作出函数的图象如图所示， 令，则，若函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个交点，所以，解得，故，令，即，令，则或，解得或，即或，则或，由图象可得有个实数根，有个实数根，故的零点个数为，故选：B． （5）（2025·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【详解】已知，当时， ，当时，，作出其图象如图示：可知值域为，设 ，则，则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题，而 ，作出函数的图象如图示： 可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间，不妨设交点横坐标为，当时，由图象和直线可知，二者有两个交点，即此时有两个零点； 当时，由图象和直线可知，二者有3个交点，即此时有3个零点，故函数的零点个数是5，故选：B. （6）（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【详解】设，则，若，则，解得或则或，当时，，不合题意，则，或，解得，此时方程仅一个根；若，则，解得或，即或，当时，或，方程即在仅一个根，方程，即，，且，，两根均为负，合题意，当时 ，，解得或，方程有两根，综上，方程的实根个数为6.故选：C. 例12.（1）（多选题）（2025·广东东莞·高一校考期中）已知函数，下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则或 D．若方程有两个不同的实数根，则 【详解】对于：当时，，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；对于：，，故选项不正确；对于：当时，，即，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；对于：函数在上单调递增，值域为，则时，，函数在上单调递减，值域为，则时，，因此，方程有两个不同的实数根，则，故选项正确.故选：ABC （2）（多选题）（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，其中，且，则（　　） A． B． C． D．函数有2个零点 【详解】对于A，由函数，可得，所以，所以A正确；对于B，根据二次函数与指数函数的图象与性质，画出函数的图象，如图所示，要使得，可得，即，所以B不正确；对于C，当时，，可得的对称轴为，所以， 由，令，可得，解得，所以，即，所以，所以C正确；对于D，由函数， 因为，可得，当时，方程，结合图象知，方程只有1个实数根；当时，方程，即， 可得，此时方程有2个实数根据，所以函数共有3个零点，所以D错误.故选：AC. （3）（多选题）（25-26高一上·浙江舟山·月考）高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以高斯命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，如，，记函数，则（   ） A． B．的值域为 C．在上有3个零点 D．，方程有两个实根 【详解】对A：，故A正确；对B：当时，，； 当时，，；当时，，；…依次类推，可得函数的图象如下： 所以函数的值域为：，故B错；对C：根据图象，在上，只有，即在上有2个零点，故C错；对D：，函数与的图象有两个交点，如下图： 所以，方程有两个实根，故D正确.故选：AD （4）（多选题）（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确：由对称性可知，而，所以，则，所以 ，当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令，则有两个不同根，，各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误；对于D，令在时有三个根：，而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确．故选：ABD. 例13.（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________. 【解析】由，即，即，令，则，即，即.由，得，设函数，显然该函数增函数，又，所以函数在上有唯一的零点，因此，即，所以. 例14.（2025·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足，则___________. 【解析】因为，所以，故，即， 即.由，得.令，因为增函数+增函数=增函数，所以函数在R上单调递增，而，故，解得，则. 例15.（2025山东滨州·高一山东省北镇中学校考竞赛）设是定义在上的奇函数，满足，当时，，若方程在上有四个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以函数图象关于对称，且， 又为奇函数，所以，故，即可得，所以的周期为，因为当时，，根据奇函数及函数图象关于成轴对称，利用函数周期为4，作出函数与图象，如图， 当时，方程在上有四个不同的实数解，则与图象有四个交点，需满足，即，解得； 当时，由图象可知，与图象在至多有2个交点，不符合题意.综上，.故选：B 例16.（1）（25-26·广东·高一校联考阶段练习）若，分别是方程，的根，则（    ） A． B．2023 C． D．4046 【详解】由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标，因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以线段的中点就是直线与的交点，由，得，即线段的中点为，所以. （2）（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 【详解】由题可得，可得，因为函数在上单调递增，所以，则.故选：D. 题型四：零点比大小 例17.（1）（2025·浙江宁波·统考一模）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，可得，所以，即；令，可得，即，所以，即；令，可得，由此可得，所以，即，作的图象，如图，   由图象可知，，所以.故选：D （2）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，得，则为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，由图可知，. 故选：C. （3）（25-26高一上·河南·月考）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标．在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图： 由图可知，.故选：B． 例18.（1）（25-26高一上·广东·月考）设分别为函数的零点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】对于，令，即，解得，所以. 对于，令，即，变形为.零点b可以看作，的交点的横坐标，对于，令，即，变形为.零点c可以看作，的交点的横坐标， 画出草图如下，可以知道. 故选：B. （2）（25-26高一上·天津南开·月考）已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则，即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则，即的零点为函数与交点的横坐标， 画出函数，，，的图象，如图所示，观察图象可知，函数，，的零点依次是点，，的横坐标，由图象可知.故选：C. （3）（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【详解】注意到在上单调递增， ，注意到，又，则，则，又，则；令，得；在R上单调递减，注意到.则，即.故选：D 题型五：唯一零点求值问题 例19.（1）（24-25合肥一中高三月考）已知函数有唯一零点，则（ C ） A． B． C． D．1 （2）（25-26厦门市第一中学高一期中）已知函数有唯一零点，则的值为（  D  ） A． B． C． D． （3）已知函数有唯一零点，则负实数（   A ） A． B． C． D．或 （4）已知函数有零点，则实数___________. 【详解】由可得，当且仅当时取等，又，当且仅当时取等，故，当且仅当，时取等.要使函数有零点，则且，化简得，解得.故答案为：. 例20.（1）（2025·广西南宁·三模）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．2 【详解】令，定义域为R,且，则为偶函数,由于曲线与恰有一个交点,则只有唯一的零点，即，解得.故选：D. （2）（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【详解】由于有唯一的零点，所以也有唯一的零点，由于均为偶函数，所以为偶函数，因此，故，故选：C （3）（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【详解】定义域为，，所以函数为偶函数，又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以，当时，函数有唯一零点，符合题意；当时，函数有零点，不符合题意舍；故选：C. （4）（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 【详解】由得，而，故为偶函数.由对称性，，从而当时，当时，，即无零点，由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意.故选：A 题型六：根据函数零点的存在情况求参数 例21.（1）（2025·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·辽宁本溪·高二校考期中）已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】作出函数的图象如图所示，   函数，且有5个零点，等价于有5个解，即或共有5个解，等价于的图象与直线，共有5个交点.由图得的图象与直线在4个交点，所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B （3）（多选题）（2026·浙江·高一校联考期中）已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】的图象如图所示，   令，则可化为， 因为方程恰有6个不相等的实数根，所以由图可知关于的方程在上有两个不同实根，令，则，即，解得，所以AD不符合题意，BC符合题意， 例22.（1）（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，所以或. 再由，图象如下：   显然与有三个交点，所以有三个不同的实数根.所以必须有四个不同的实数根，即与有四个交点，因，再结合图象分析判断可得.故选：D. （2）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，，则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根，而当时，，此时一定有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，得到，当时，结合题意得有两个不同的实根，此时与有两个不同的交点，且此时，，可得，即，因为仅存在一个整数，所以，解得，而，得到，故A正确.故选：A （3）（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】作出函数的图象： 函数的零点等价于方程， 当时，此时方程化为可得，由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故；当时，此时方程化为可得或， 由可得方程有一个解为，由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故；所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足，由于所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根，则满足或，解得，综上的取值范围为，故选：D 例23.（24-25高一下·安徽合肥·期末）设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因，则的一个周期为4.因时，，又是定义在上的偶函数，则，结合一个周期为4，可得大致图像如下.注意到恰有三个不同的实数根等价于在上的大致图像与函数在上的大致图像有三个不同交点，则由图可得：.故答案为：B 例24.（1）（多选题）（2025·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得没有零点 B．若，则有个零点 C．若，则有个零点 D．若有个零点，则的取值范围为 【详解】令，解得或；令，解得或或．根据函数图象的平移变换，可画出的简图，如图所示．   令，则，令，则．当时，只有1解，且，此时只有解，所以只有个零点．当时，有解，即或．有解；有解．所以有个零点．当时，有3解．当时，只有1解；当时，有解；当时，有解．所以有个零点．当时，有3解，即或1或3．只有1解；有2解；有3解．所以有6个零点．当时，有2解．当时，有2解；当时，有3解．所以有5个零点．当时，只有1解有2解，所以有2个零点．当时，只有1解，且，此时只有1解，所以只有个零点．综上所述，对任意的，都有零点，A错，若，则有个零点，B对，若，则有个零点，C对，若有个零点，则的取值范围为，D对，故选：BCD. （2）（多选题）（25-26高一上·河南新乡·期中）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A． B． C．8 D．16 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点，即方程有两个不等的实根，而方程有三个不等的实根得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点，故或，解得或.故选：CD. （3）（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，若，则下列说法正确的是（   ） A．当方程有三个不同根时，三个根的乘积小于 B．当方程有四个不同根时，则 C．函数恰有个零点时， D．函数恰有个零点时， 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若方程有三个不同根时，则，设方程的三个根分别为、、，且，则，，由可得，则，所以，因此，这三个根的乘积为，A对；对于B选项，由图象可知，当方程有四个不同根时，即当直线与函数的图象有个交点时，，B错；对于C选项，因为直线与函数图象的交点个数可能为、、、，令，， 因为函数恰有个零点，则函数有两个零点，设这两个零点分别为、，且， ，，由韦达定理可得，无解；、，由二次函数零点分布可得，解得，C对；对于D选项，函数恰有个零点时，，或，，当，时，由二次函数的零点分布可得，解得；当时，则，可得，此时，由，可得，，合乎题意，所以当函数有个零点时，，D对.故选：ACD. （4）（多选题）（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，令，则，   所以且，故，A错； 由，而从过程中对应从，注意端点值取不到，所以，B对；由，可得或，由图知，对应有2个不同解，故对应必有3个不同解，所以，C对；由图，当时原方程无解；当时，，此时原方程只有1个解，不符； 当时，且，此时原方程有1或2或3个解，不符；令，得或或，当时，或或，若，原方程无解；若，原方程有2个解；若，原方程有1个解，故原方程共有3个不同解，不符；当时，或或，原方程共有4个解，不符；当时，或或，若，原方程有2个解；若，原方程有2个解；若，原方程有1个解，故原方程共5个不同解，符合；当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符；当时，，原方程只有1个解，不符；综上，满足题设，D对.故选：BCD （5）（多选题）（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误，对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确对于D， 令，则或，作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则，由于，同理可得， 故，故D正确，故选：ACD 例25.（2025·福建·高一福建省罗源第一中学校联考期中）已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．当 B． C．若在上恒成立，则的最小值为6 D．若关于的方程有三个不同的实数根则． 【详解】设时，则，所以，又，所以当时，；当时，则，所以，又，所以当时，；当时，则，所以，又，所以当时，；所以由此可知时，；作出函数的部分图象，如下图所示：   则A正确，由图象可知，，所以，，，故B正确；在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：   由图象可知，当时，恒成立，所以的最小值为4，故C错误；令，则，则方程等价于，即，所以，或（舍去），在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图象，如下图所示：   由图象可知，当时， 即时，关于的方程有三个不同的实根，故D错误.故选：AB 例26.（1）（2025·辽宁大连·高一校联考期中）已知函数，若函数，且函数有5个零点，则实数m的取值范围是 ． 解：作出函数的图象如下：   ， 且函数有5个零点等价于有5个解，等价于或共有5个解等价于函数与，共有5个交点，由图可得与有两个交点，所以与有三个交点则直线应位于，之间，或与重合，所以或或故答案为： （2）（2025·广西南宁·高一南宁三中校联考阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不等实根，则的取值范围为 . 【详解】函数的图像如图， 关于的方程有4个不等实根，令，则的一个根在中，另一个根在中，所以，可得.故答案为：. （3）已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： 函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.故选：A 题型七：等高线问题 例27.（1）（2025·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】作出分段函数的图像，如图所示，   ，直线与函数图像有4个交点，则关于直线对称，所以，而，所以，所以， 所以，因为直线与函数图像有4个交点，所以，所以，根据对勾函数性质可知在上单调递减，所以，所以，故选：D （2）（安徽·2025-2026学年高一阜阳市第三中学12月二调）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】有四个不同的零点，即和有四个交点，它们的横坐标分别为，画出函数和的图象，根据图象可知和是和的交点横坐标，即方程的两根，所以是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，故有，得到，由，可得，令，令，则在上单调递减，所以，故，即所求式子的取值范围是.故选：D （3）（2025·江苏苏州·高一统考期中）已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】画出的图象，如下，   设，则， 令，解得或0，因为的对称轴为，由对称性可得，且，其中，因为，所以，故，又，故， .故选：A 例28.（1）（2025·安徽安庆、池州、铜陵三市·高一下学期期末联考）设函数，若（其中），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，作出函数的图象，如图，设，当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，且， 当时，由，解得或，于是，由，得，则，即，而，因此，令，显然函数在上递减，且，于是，所以的取值范围是．故选：D    （2）（2025·安徽·江淮十校高三第二次联考.安庆一中命题）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折，作出函数的大致图象，如图所示，   可知，，于是，所以，，即，所以，于是，，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围为.故选：C． （3）（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】作出函数的图象如下图所示：   若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，由可得或，解得或， 所以，，由得，即，所以，由图可知，点、关于直线对称，则，所以，其中，令函数，其中，则函数在上单调递增，所以，即，即.故选：D. （4）（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】作出函数与的图象如下图所示：   由图可得，当时，，由题意可知，关于的方程的两根分别为、，即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，由图可得，由得，则，可得，，所以，，所以，，因为函数在上为增函数，故当时，，因此，的取值范围为.故选：C. 例29.（25-26·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同实根且，则的取值范围是 ；的值为 . 【详解】由，即   由结合图象可知的取值范围是，是方程的两根，即，故，即，由题意得，是方程的两个根，即方程的两个根，所以，则故答案为：，. 例30.（1）（25-26高一上·湖南·月考）设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，函数当时，，可得的图象关于直线对称.作出的大致图象，如图所示. 由，可知.由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以当时，，所以， 则 .由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以，即， 即的取值范围是.故选：A. （2）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，若存在，使，则的取值范围是 . 【详解】因为，当时，，所以在上单调递减， 令，解得，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以的图象如图所示，   因为存在，使，令 ，则，由图可得，关于点对称，， 所以，则，所以，即的取值范围是.故答案为： （3）（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知，方程有四个不同根，则的取值范围是 ；四个不同根记为，，，，且满足，则的取值范围是 . 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知，要使方程有四个不同根，则的取值范围是.依题意，根据对称性可知， ，则，令，解得或；令，解得或.（），函数在区间上单调递减，，所以的取值范围是. 故答案为：； 例31.（1）（多选题）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【详解】根据题干可画出函数图象，如下图： 根据图象可知，，根据得不出，所以选项A正确，B错误；由于，所以，即， 所以，又在单调递增，因此，所以选项C正确；由于，所以，所以，又在上单调递增，所以，所以选项D正确。故答案为：ACD （2）（多选题）（25-26高一上·福建福州·月考）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 【详解】因为，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根，即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误；对于B：由图可知，即，解得，故B正确；对于C：由图象知，所以，且， 所以，又由，所以，故C正确； 对于D：对于函数，令，则，即，因为，，，可得， 当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根，综合得函数有个零点，故D错误.故选：BC. （3）（多选题）（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（   ） A． B． C． D．函数有8个零点 【详解】函数图象对称轴为，在上递减，在上递增，函数在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， ，在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 方程有四个不同的根，即直线与函数的图象有4个交点，对于A，，A正确；对于B，由，得或或或，因此，B正确；对于C，由，得，整理得，又，则，因此，C错误；对于D，令，由，得，解得或或或，当时，无解；当时，有2个解；当或时，各有3个解，因此函数有8个零点，D正确..故选：ABD （4）（多选题）（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【详解】函数的图象关于直线对称，在上单调递减，在上递增， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，在坐标系内作出函数的图象与直线， 方程有四个不等实根，即函数的图象与直线有4个交点，对于A，观察图象，得，A错误；对于B，当时，，观察图象，当时，，因此，B正确；对于C，观察图象，得，由，得，即，因此，C正确；对于D，由，得，，则，当且仅当，即时取得等号，D错误.故选：BC （5）（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有个不同的交点，各交点的横坐标为，且 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，依题意可得，作出函数在上的图象，   设直线与的图象分别交于、、、四点， 显然有、、，由知函数在区间上的图象关于直线对称，故可得：.对于A选项，由可得，，化简得，由基本不等式得：，故A项正确；对于B选项，当时，由可知其对称轴为直线，故，又因，故在时单调递增，则有，故B项正确； 对于C选项，由可得，， 化简得，故有，即C项错误；对于D选项，依题意，且，故，又因函数在区间上的图象关于直线对称，故，又由B项分析知，于是， 故得：，故D项正确.故选：ABD. 题型八：函数零点和问题 例32.（2025·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【详解】因为为奇函数，所以关于对称，则关于对称，即，当时，，当时，，则，所以，则，因为，则或，解得或，所以.故选：A 例33.（1）（2025·福建南平·高一武夷山一中校考期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：因为的定义域为，且是奇函数，所以，则的图象关于对称，且，当时，，又因为函数，所以的图象关于对称，所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，和的图象，如图所示：   由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，所以5个交点的横坐标之和为，故选：C （2）（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【详解】∵，∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的.根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增，故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.若是方程的解，即. 又，∴是方程的解，∴，则.故选：C. 例34.（1）（2025·浙江宁波·高一校联考期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若的图象与的图象交于四点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由函数，因为，满足，可得为定义域上的奇函数，图象关于原点对称，所以函数关于点成中心对称，又由函数是定义在上的奇函数，可得函数图象关于原点对称，所以函数的图象关于点成中心对称，因为若的图象与的图象交于四点，根据对称性，不妨设与关于对称，与关于对称，则且，所以.故选：B. （2）（2025·浙江·高一舟山中学校联考期中）已知函数的定义域为R，设 且是奇函数，若函数f（x）与g（x）的图像的交点坐标分别为，则=（    ） A．0 B．-8 C．8 D．9 【详解】令 ，则有 ， ∴ 是奇函数，即 关于 点对称；同理 也是关于 点对称；对于交点 不妨看作是根据从小到大排列的，则这9个交点必然是关于 点对称的，即有：  ， ；故选：A. （3）（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（    ） A．2n B．3n C．4n D．5n 【详解】由是R上的奇函数，则的对称中心为，由，显然的对称中心为，由函数与有n个交点分别为，，，， 所以，，所以.故选：D 例35.（1）（2014·湖南·高考真题）已知函数与图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题可得存在满足 ,令,因为函数和在定义域内都是单调递增的,所以函数在定义域内是单调递增的,又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),所以,故选：B. （2）（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数，若图象上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】在函数在上的图象上任取点，则，则点在函数的的图象上，即，即，所以，整理得，令，则函数有两个不等的正零点，所以，解得.故实数的取值范围是.故选：D. 例36.（25-26高三上·山西长治·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【详解】由于为奇函数，为偶函数，故和， 进而可得和，因此，从而，故为周期为4的周期函数，当时，，故，由于，结合，可得，故，又，故，即，故，因此，作出的一个周期内的函数图象，则直线与的两个交点关于直线对称，因此在内的两个零点之和为4，则在内的两个零点之和为12，故所有的零点之和为16，故选：A 题型九：二分法及应用 例37.（1）（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，所以下一步应考察的区间为.故选：C （2）（25-26高一上·陕西榆林·月考）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半，所以经过n次操作，区间长度变为原来的，用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作.故选：C （3）（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，且，，得在内有零点；由，且，，得在内有零点；所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为．故选：B （4）（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，则，，又，，由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是，故选：C. （5）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是 ． 【详解】由题得的定义域为，因为，当时，，当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点；因为，又当时，，当且仅当时等号成立，若要用二分法求的零点，需满足，所以，故答案为：． （6）（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号，对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点.故选：B （7）（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【详解】设函数的零点为，因为，，则，所以，区间长度为，取区间中点，，则，所以，区间长度为， 取区间的中点，，则，所以，区间长度为，取区间的中点，则或，此时区间长度为，故方程的一个近似解为，故选：B. 例38.（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，模型③为单调递增的函数，不符合，模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得，所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，所以推测实验室室温为； （ii）令，则，所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 例39.（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； （2）为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，由表格中的数据可得，解得所以，函数模型的解析式为， 令，预测2024年年末的会员人数为100千人． （2）由题意可得，令，则，令，，则函数的定义域上单调递增，又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，，即．所以的最小值为4． 例40.（25-26高一上·河南·期中）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成首次弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注.对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天（）的销售单价（元）的解析式为（为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） （1）求实数的值； （2）根据表格判断①，②，③这三个函数模型中哪个模型最符合题意，并说明理由； （3）根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【详解】（1）由题意得，解得. （2）模型③最符合题意.理由：因为表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，所以排除模型①.因为表示在两侧等距的函数值相等（即函数图象关于对称），而表格中的数据并未体现出此规律（），所以排除模型②. 将，分别代入模型③，得，解得，所以.经验证，，均满足该函数解析式，故选择模型③. （3）由（1）知，则 ，当且仅当，即时，等号成立，所以日销售收入在第8天最低，最低为5000元. 例41.（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【详解】（1）由题设，当时，令，又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人，所以，解得，所以，当时，，所以，故时，，所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2）（2）因为，所以由（1）可得： 当时，，当且仅当等号成立， 则时，（元），当时，在递减， 则（元）综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 例42.（25-26高一下·湖北武汉·期中）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； （2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） （3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 【详解】（1）由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快， 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求，根据题意可得，解得，，则，此时，，， 故符合题意. （2）由，可得，所以，故，所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段. （3）由题意可得， 因为，即，所以，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，故当时，， 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为，因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，所以，解得，符合题意； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）.综上所述. 例43.（25-26高一下·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. （1）求的值； （2）若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） （3）该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【详解】（1）由题意知，，即，所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即，所以，故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度；当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度，又当时，，因此，，故.当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的.：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值；：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 例44.（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓，对于模型②：，当时无意义，不符合题意；对于模型③：，会员人数增速随增大而变快，不符合题意；对于模型①：，会员人数增速随增大而减缓，符合题意；所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知选择模型①：，将数据组代入，得，解得，所以，令时，即，解得，所以所求函数模型的解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万. 课后练习题 1.（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，.因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点.又，，所以函数在内有唯一零点，即方程的实数解位于区间内. 2.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，函数，故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立，函数在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B 3.（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，所以仅有1个零点.故选：B 4.（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得， 故，即的图象关于点对称；由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓，当时，，当时，，为增函数，其图象也关于点对称，作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点，所以函数的所有零点之和是1.故选：B 5.（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为；区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到，因为，所以，所以；故选：C 6.（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【详解】设函数的零点为，因为，，则，所以，区间长度为，取区间中点，，则，所以，区间长度为， 取区间的中点，，则，所以，区间长度为，取区间的中点，则或，此时区间长度为，故方程的一个近似解为，故选：B. 7.（25-26高一上·云南普洱·期末）设函数若有4个不相等的实根，则的值不可能为（   ） A．1 B． C． D． 【详解】当时，，令，解得或，所以当时，，即将轴下方图像翻折上去，所以，若有4个不相等的实根，即与要有四个不同的交点，作出函数的函数图像：   由图可知：若有4个不相等的实根，则，故ABD可能，C不可能； 故选：C. 8.（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，因为，，，所以，此时区间长度为，又，，所以，此时区间长度为，又，，所以，此时区间长度为又，，所以，此时区间长度为，所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 9.（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知，同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数，因为，，由零点存在定理可知，因为，故，故. 10.（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以，令，则，由图可知，当时，与无交点； 当时，与有2个交点；当时，与有1个交点.令，则，化简得，解得，，要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点，满足题意，此时的取值范围为；或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点，满足题意，此时的取值范围为，当时，，此时只有1个零点，不合题意，综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 11.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】分段函数：，：开口向上抛物线，对称轴，最小值 ；：指数函数，单调递减，值域；要存在使 ，直线 需与两段曲线交于三点，因此，是抛物线部分的两个交点，关于对称轴对称，由韦达定理知：；由图得 ，因此总和：， 当时，此时，则， 此时，即.当时，此时，则， 综上所述，，即的取值范围为. 12.（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知函数若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】作出函数的图象如图所示， 则，所以，，，，由，得，得， 所以，，于是， 又，，所以，即的取值范围是. 13.（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数，给出下列四个结论. ①若函数有4个零点，则实数k的取值范围为 ②关于x的方程（）有个不同的解 ③对于实数，不等式恒成立 ④当（）时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】当时，； 当 时，； 当，则， ； 当，则， ； 当，则， ； 当，则，；依次类推，作出函数的图像： 对于①：函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m， l的斜率之间，又因为，，所以，故①正确；对于②：令，则，且，当，时，与均有2个交点，当时，与有1个交点，所以有个交点，故②正确；对于③：对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故③正确；对于④：当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形，所以函数的图象与x轴围成的图形的面积为，故④正确；综上所述：所有正确结论的个数为4. 14.（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）给出下列结论，其中正确的结论是（    ） A．函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．若，则的值为 【详解】对于A选项，二分法精确度为，所以，可得，故至少运算次，A对；对于B选项，因为，所以为减函数，因为函数（且）在上是减函数，则，解得，当时，在上单调递增，故舍去， 当时，在上单调递减，满足题意，所以实数的取值范围是，B错； 对于C选项，函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，C对；对于D选项，因为，所以，因为，所以， 所以，D对.故选：ACD. 15.（多选题）（25-26高一下·河南平顶山·阶段检测）已知函数有两个零点，，则（    ） A． B． C． D．当取得最小值时， 【详解】由题意可得，A错误.当时，，则.由二次函数的性质可知，，则，所以的取值范围是，B正确.因为，所以，所以.因为，所以，C正确. 因为，，，则，当且仅当时等号成立，此时，设，因为，且函数连续，所以存在，满足，所以有负数解，此时，D正确.故选：BCD 16.（多选题）（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 【详解】对于A，由题意，，故A正确；对于B，当时，由，可得，解得，因，故得；当时，由可得，或，解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误；对于C，设，则方程，即，由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，设，依题意，需使，解得，故C正确； 对于D，作出函数的图象，由时，≤5，且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，，由图知，， 则，解得＝4，又由解得，由解得x＝1，则有，于是，因函数在单调递减，故， 则，故D正确.故选：ACD. 17.（多选题）（25-26高一下·湖北鄂州·期中）如图，已知函数的图象由曲线与线段构成，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．函数有2个零点 C．函数有2个零点 D．若，且，则的取值范围为 【详解】对于A，的图象与直线有2个公共点，所以函数有2个零点，A正确. 对于B，的图象与函数的图象有2个公共点，所以函数有2个零点，B正确. 对于C，如下图，的图象与函数的图象有1个公共点， 所以函数仅有1个零点，C错误. 对于D，函数，且的图象经过定点，当时，，不合题意；当时，是增函数，所以，得，所以的取值范围为，D正确.故选：ABD 18.（多选题）（25-26高一上·广东汕头·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的零点为 B．若有四个零点，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是. 【详解】A．因为，所以，所以函数的零点为，所以A错误；B．函数，，若有四个零点，则与有四个交点，由的图象知，B正确； C.，当，所以，当，，即得，所以，所以C正确； D．令，的对称轴为，则实根的个数即为函数与函数图象交点个数，当时，函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点，且2个交点关于对称，则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；当时，函数与函数的图象有2个交点，，时，可得或，时，，可得，，，即函数与函数的图象有5个交点，则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，即函数与函数的图象有2个交点，分别为，即，或，，当时，函数与函数无交点，不符合题意；当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，所以4个交点横坐标之和为4，则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意，综上，实数的取值范围是，D正确  .故选：BCD 19.（多选题）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象上有且仅有一对关于原点对称的点 B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C．若关于x的方程恰有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 D．记函数，有个零点，则正整数的取值集合为 【详解】对于A：设，且点关于原点对称的点也在上，不妨设， 选项A等价于存在唯一的，使；即， 化简得：，当，，故故此时方程（1）无解； 当时，方程（1）化为：，即，令， 分别作出两函数在上的图像， 由图象知：在上只有一个交点；综上：方程（1）在上只有一个解，故A正确；对于B：令，得：，选项B等价于与有三个交点，分别作出与的图象， 由图可知：当介于直线之间时，直线与有三个交点，此时，，故B正确；对于C：由，得， 解得：或，选项C等价于或，解的个数和为4，即和与的交点个数和为4，分别作出它们的图象， 由图可知：当时，，所以与的左侧有一个交点，故与共有2个交点；与有3个交点，共5个交点，故C错误； 对于D：令，得：，选项D等价于方程（2）解的个数，令，得：；作出的图象如下： 当时，与由1个交点，此时交点横坐标为， 与有1个交点，故此时有1个零点；当时，与有2个交点，此时交点横坐标分别为，与只有1个交点，与有3个交点，故此时有4个零点；当时，与有3个交点，令，得， 交点横坐标分别为：，此时与有1个交点，与有3个交点，与有3个交点，共7个交点，故此时有7个零点；当时，与有3个交点，令，得，交点横坐标分别为：， 此时与有1个交点，与有2个交点，与有3个交点，共6个交点，故此时有6个零点；，当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：，此时与有1个交点，与有3个交点，共4个交点，故此时有4个零点；当时，与有2个交点，交点横坐标分别为：，此时与只有1个交点，与有2个交点，共3个交点， 故此时有3个零点；综上：函数，的零点个数分别为：，故D正确.故选：ABD 20.（多选题）（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，解得，令，解得，此时， 令，解得，此时，令，解得，此时，令，解得，此时，则，如图，作出符合题意的图象，因为方程有四个不等的实数解， 所以与有四个不同的交点，则，故A错误，对于B，令，解得， 令，解得，令，解得，令，解得，则 ，故B正确，对于C，由已知得，， 则， 而，可得，故C正确，对于D，由题意得 ， 而，因为，所以， 则，令，由指数函数性质得在上单调递增，当时，，当时，，可得，即，故D正确.故选：BCD 21.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【详解】设，令，去分母，得，整理得，即，，，即，. 22.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【详解】依题意可得，，则，， 令，则，且，又在上单调递增，则有唯一解，所以，得，所以． 23.（25-26高一下·陕西西安·期末）已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为，若有6个根，结合图象可知方程在上有2个不相等的实根，不妨设，，则，解得，故m的取值范围为. 24.（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增，又有，，由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 25.（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 【详解】作出函数的图象，如图所示： 因为方程有三个实数根，即直线与的图象有三个交点，由图象可知，所以实数的取值范围为；令，得，令，得或，又因为，所以，由题意可得， 即所以，所以， 令，则，令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以在上单调递增，所以,即的取值范围是. 26.（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【详解】（1）由，得，所以，即，解得， 故的取值范围为. （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即，设，即与有两个不同的交点，的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则，又当时，，所以结合图像可知，故的取值范围为. 27.（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数存在零点，求实数的取值范围； （3）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为，即，所以对任意恒成立，  解得； （2）由（1）得：，所以，                                                     因为函数存在零点，所以，即方程有解，令， 因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：，即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为，解得，不合题意，  舍去，                                            ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根，则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根，则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 28.（25-26高一上·福建三明·阶段检测）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型（不需要证明），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【详解】（1）由于可以取，不符合对数函数的定义域，排除； 注意到关于是递增的，根据指数函数的单调性，是减函数，也不成立， 故符合的函数模型是，由，整理可得，解得， ，经检验也成立，则 （2）在国道上所需时间是，设用电量为， 则，当，用电量最小为； 在高速上所需时间是，设用电量， 则，当，用电量最小为. 故国道上行驶，高速上行驶，总耗电量最小，共 29.（25-26高一上·重庆·期中）意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【详解】（1）∵，，∴，∴对任意实数，为定值，定值为. （2）， ，得证. （3）依题意可得，因为在上均单调递增，易知在上单调递增，且，即，由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，，可得，两边同时取对数可得，所以，因为在上单调递增，所以，因此，可得． 例30.（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：， 当时，函数为增函数，则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为. （2）证明：若，则， ，设， 则，两式相加得，即，则，故. （3）解：，设，当时，， 则函数等价于，若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点，即在区间上有解， 所以，在区间上有解，所以，， 设，则，则，因为函数在区间上单调递增，且，，当时，，所以，，所以，实数的取值范围是. 31.（25-26高一上·广东深圳·12月月考）设，. （1）请利用函数单调性定义证明在上单调递减. （2）若，成立，求实数a的取值范围. （3）给定实数b，讨论关于x的方程的解的个数. 【详解】（1）证明：，且，则，因为，则，则，即，所以在上单调递减； （2）因为， 所以，可得，整理得，所以或，解得或，又不等式成立，所以或， 又 ，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以或； （3）由于，当且仅当时，等号成立，则，且，则为偶函数，又在上单调递减，则在上单调递增；方程，整理得， 所以，设，则，恒成立， 则方程化为， 设，任取，则， 因为，所以，故，即，所以在上单调递减，所以，故当时，方程无解；当时，方程的解为，即为方程的唯一解；当时，方程有唯一解，又有互为相反数的两根；综上，当时，原方程无解；当时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $