专题05 二次根式的运算与规律、新定义型问题9大题型50题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题05 二次根式的运算与规律、新定义型问题 基础·固本强基 题型1 判断是否为二次根式（重点） 题型2 判断是否为最简二次根式（重点） 题型3 判断是否为同类二次根式（重点） 题型4 利用同类二次根式求参数（重点） 提升·进阶突破 题型5 利用二次根式的性质化简（重点） 题型6 二次根式的混合运算（重点） 拔高·压轴破难 题型7 二次根式中的新定义型问题（难点） 题型8 二次根式中的分母有理化（难点） 题型9 二次根式中的规律探究问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 判断是否为二次根式（共5小题） 【模型】形如√a且a≥0的式子叫二次根式，根号下须为非负数。 【步骤】先看是否含二次根号，再看被开方数是否非负，若含字母需列不等式判断取值范围，最后下结论。 【易错】根号下为负数不是二次根式；含字母时须讨论取值，勿只看形式；π等常数可作被开方数，注意根指数为2。 1．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 2．（25-26八年级下·广东湛江·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二次根式的定义判断即可，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】二次根式的定义为形如的式子，据此逐一判断： ∵ 选项A中，可能为负数，不满足被开方数非负，∴ 不一定是二次根式； ∵ 选项B中根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，∴ 一定是二次根式． ∵ 选项C中根指数为3，属于三次根式，∴ 不是二次根式； ∵ 选项D中的被开方数，式子无意义，∴ 不是二次根式； 3．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断即可，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：选项A中，被开方数，无意义，不是二次根式； 选项C是三次根式，根指数为3，不是二次根式； 选项D是一次多项式，不是根式，不符合二次根式定义； 选项B中，根指数为2，且被开方数，满足二次根式的定义， 故二次根式是． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如的式子叫做二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式，不是二次根式； B．是分式，不是二次根式； C．是三次根式，根指数为3，不是二次根式； D．根指数为2，被开方数，是二次根式． 5．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 题型2 判断是否为最简二次根式（共5小题） 【模型】被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，即最简二次根式。 【步骤】先看被开方数是否含分母，再看是否含能开尽方的因数或因式，两者都无才是最简二次根式。 【易错】被开方数有分母须化去，能开尽方的因数须开出；小数、分数要先化简；勿把含根号的分数漏判，注意字母因式次数。 6．（26-27八年级上·北京·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数），逐一判断各选项． 【详解】解：选项中，，被开方数含分母，不是最简； 选项中，，可化简为整数，不是最简； 选项中，，可化简，不是最简； 选项中，，被开方数7是质数，无平方因数，是最简二次根式． 7．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：被开方数含分母，不是最简二次根式； ，，二者被开方数均含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 符合最简二次根式的要求． 8．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，判断是否最简二次根式的关键看被开方数是否含有分母，以及是否含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：， ， ， 只有是最简二次根式． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，，， ∴选项均不是最简二次根式， 选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 10．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列式子中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式． 题型3 判断是否为同类二次根式（共5小题） 【模型】几个二次根式化成最简后，被开方数相同，则为同类二次根式。 【步骤】先将各二次根式化成最简二次根式，再比较被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。 【易错】须先化最简再比较，勿直接看原式；被开方数相同才同类，根号前系数无关；注意化简彻底，勿漏开尽方因数。 11．（26-27八年级上·陕西·期中）下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数是2，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意． 12．（25-26八年级下·北京·期中）下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项化简，判断被开方数是否为3即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 对于选项C：是整数，与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 对于选项D：，与是同类二次根式，能合并，故D正确． 13．（25-26八年级下·广东广州·期中）下列各组二次根式中，能进行合并的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】能合并的二次根式的判定标准是，化为最简二次根式后，被开方数相同，因此本题先将各选项中的非最简二次根式化简，再对比被开方数即可得到结果． 【详解】解：A选项：，与的被开方数不同，不能合并； B选项：，与的被开方数不同，不能合并； C选项：，与的被开方数不同，不能合并； D选项：，与的被开方数相同，能合并． 14．（25-26八年级下·山东威海·期中）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：选项A：，与化简后被开方数不同，A不符合要求； 选项B：，与化简后被开方数不同，B不符合要求； 选项C：，，化简后被开方数都是3，C符合要求； 选项D：与都是最简二次根式，被开方数不同，D不符合要求． 15．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故A不符合题意； B选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故B不符合题意； C选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故C不符合题意； D选项，是最简二次根式，被开方数为，，被开方数为，， ∴不是同类二次根式，故D符合题意． 题型4 利用同类二次根式求参数（共5小题） 【模型】同类二次根式化简后被开方数相同，由此建立方程求参数。 【步骤】先分别化简各二次根式，令被开方数相等，列方程解参数，再代回检验是否满足非负。 【易错】须先化最简再令被开方数相等，勿用原式；解出参数要检验被开方数非负，注意系数无关，别漏增根。 16．（25-26八年级下·山东德州·期中）最简二次根式与可以合并，则m=______． 【答案】4 【分析】最简二次根式可以合并，说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义，被开方数相等，据此列方程求解即可. 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ，解得. 17．（25-26八年级下·北京西城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 19．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【答案】8 【分析】先把化简为，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式建立方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 20．（25-26八年级上·河北·期中）如果两个最简二次根式与能够合并，那么a值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式；两个最简二次根式能够合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：由题意得，最简二次根式与是同类二次根式，因此被开方数相等，即． 解方程：， ， 所以． 故答案为：． 提升·进阶突破 题型5 利用二次根式的性质化简（共5小题） 【模型】利用√(a²)=|a|及积商算术根性质，把二次根式化为最简形式。 【步骤】先判断被开方数正负，用√(a²)=|a|去根号，再分解因数开尽方，化去分母，得最简结果。 【易错】√(a²)=|a|，须先判a正负再脱绝对值；开方结果非负；化去分母时注意分子分母同乘，勿漏绝对值符号。 21．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）化简的结果是________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知，，且， ， ． 22．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）若，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的化简，根据的取值范围判断和的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的定义化简即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，对原式变形得， ， ，根据绝对值的定义去绝对值， ． 23．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】由数轴可知：，得到，进而化简代数式即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 24．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （3）将已知等式两边分别平方，根据对应相等，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 25．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 题型6 二次根式的混合运算（共10小题） 【模型】按实数运算顺序和法则，对二次根式进行加、减、乘、除、乘方混合运算。 【步骤】先化各根式为最简，再按先乘除后加减、有括号先算括号的顺序运算，最后合并同类二次根式。 【易错】须先化简再合并，只有同类二次根式才能加减；乘除法注意根号内外分别运算，结果化最简，勿漏符号和分母有理化。 26．（26-27八年级上·福建·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先利用二次根式和绝对值的性质化简，再进行加减运算即可； （）利用平方差和完全平方公式进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．（26-27八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可； （）利用平方差公式和二次根式的除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．（26-27八年级上·内蒙古·期中）计算： (1)： (2)． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（26-27八年级上·福建·期中）计算： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘法、化简绝对值及零指数幂，再算加法． （2）先化简，去括号，再算加减法． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，绝对值的化简，掌握相关运算法则是解决问题的关键． 30．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简绝对值，零指数幂，再进行二次根式的加减运算即可． （2）利用完全平方公式以及平方差公式展开，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．（26-27八年级上·陕西·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先化简各数，然后再进行加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （3）先计算二次根式的乘除法，化简二次根式，再算加减，即可解答； （4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 34．（26-27八年级上·山西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)44 (3) (4)12 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后利用二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 35．（26-27八年级上·山西·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】（1）先进行除法运算，再进行加减运算即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）利用平方差公式和二次根式的性质，进行计算即可； （4）根据二次根式的混合运算法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 拔高·压轴破难 题型7 二次根式中的新定义型问题（共5小题） 【模型】按题目新定义的新运算或新规则，代入二次根式进行化简与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，将二次根式代入新运算，按定义展开计算，再化简结果并检验。 【易错】：须严格按新定义形式代入，勿套用旧运算法则；注意被开方数非负与字母取值，结果化最简，勿漏定义中的限制条件。 36．（25-26八年级下·河南新乡·期中）定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若m与是关于的友好二次根式，求的值； (2)若与是关于的友好二次根式，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据题意，得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． ∴． ∴． ∴． 37．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． 38．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【详解】（1）解：由“友好二次根式”的定义得； （2）解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． （3）解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 39．（25-26八年级下·安徽池州·期中）定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 40．（25-26八年级下·江西赣州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 【答案】(1)B (2)2 (3) 【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； （2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； （3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到的值，再相消求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和互为倒数； （2）解：∵， 又， ∴； （3）解：， ， ， ∴， 得，，即， 两边平方得，， 解得， 经检验，是原方程的解． 题型8 二次根式中的分母有理化（共5小题） 【模型】将分母中的根号化去，使分母变为有理数，即分母有理化。 【步骤】：先看分母形式，单项式乘同根号，多项式乘共轭因式，展开化简后得最简结果。 【易错】单项分母乘同根号，多项式分母乘共轭；分子分母须同乘，勿漏乘分子；化简要彻底，注意符号与平方差公式。 41．（26-27八年级上·北京·期中）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由 ，可得与互为倒数，即 或 ，类似地， ，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： (1) ， 为正整数） (2)若 ，则 (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴； （3）解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 42．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： (1) ， ． (2)若，则 ． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接套用题目中的规律计算即可； （2）根据规律列等式求解； （3）先拆分每一项，再利用裂项相消法计算求和，中间项相互抵消后得到最终结果． 【详解】（1）解：对于，，可得， 根据题目规律得， 对于，，可得， 根据题目规律得； （2）已知，根据规律可得， 整理得，解得， 由二次根式的非负性可知， ∴； （3）根据题意可知，原式中每一项满足分子， 因此可得， ∴原式 ． 43．（26-27八年级上·山东·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第个等式： ， 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算： ______________； (2)计算： ______________； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）根据题目例子进行分母有理化即可； （2）根据题目例子进行分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，进而裂项相消，再简化计算后运用平方差公式进一步计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 44．（26-27八年级上·山西·期中）在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深邃的智慧与美感． 如乘法， ，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号的运算叫做分母有理化． (1)的有理化因式______；的有理化因式______． (2)分母有理化得______；分母有理化得______． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据分母有理化的定义求解； （2）根据分母有理化的定义求解； （3）先对二次根式进行分母有理化，然后再进行二次根式的运算法则进行计算． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ， 的有理化因式是； （2）解：， 分母有理化得； 分母有理化得； （3）解： ． 45．（25-26八年级下·北京·期中）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：________，________，________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）按照题目给出的分母有理化方法计算； （）先对分母有理化化简，相加消去无理数得到整数和，再整体平方求值； （）先对括号内每一项拆分化简，化简括号内式子，再用平方差公式相乘计算结果． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； ． （3）解： 题型9 二次根式中的规律探究问题（共5小题） 【模型】从二次根式算式中找被开方数与结果的变化规律，归纳通式并验证。 【步骤】先算前几个特例，观察被开方数与结果的变化，归纳猜想通式，代入验证，再用二次根式性质证明。 【易错】须多算几组找规律，勿凭一组下结论；归纳通式要检验，注意被开方数非负；化简要彻底，勿漏字母取值范围。 46．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 【答案】(1)解：， 证明如下： . (2)解：， 证明如下： （，为正整数）； (3) 【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，猜想符合定义的结果并证明即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示，再证明即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值，进一步求解平方根． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴， ∴． 47．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）观察下列各式及其验证过程： ；． 验证： ； ． (1)按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程； (2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并写出验证过程． 【答案】(1)， 验证过程为： (2)， 验证过程如下： 【分析】（1）根据材料提示的方法进行计算即可求解； （2）根据材料提示，利用二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 48．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 49．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 50．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6个等式，可得答案； （2）由（1）归纳可得答案； （3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （5）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； （6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； （5）解： ； （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次根式的运算与规律、新定义型问题 题型图谱导航总览 题型1判断是否为二次根式（重点） 题型2判断是否为最简二次根式（重点） 基础固本强基 题型3判断是否为同类二次根式（重点） 题型4利用同类二次根式求参数（重点） 题型5利用二次根式的性质化简（重点） 提升进阶突破 题型6二次根式的混合运算（重点） 题型7二次根式中的新定义型问题（难点） 拔高·压轴破难 题型8二次根式中的分母有理化（难点） 题型9二次根式中的规律探究问题（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1判断是否为二次根式（共5小题) 【模型】形如√a且a≥0的式子叫二次根式，根号下须为非负数。 【步骤】先看是否含二次根号，再看被开方数是否非负，若含字母需列不等式判断取值范围，最后下结 论。 【易错】根号下为负数不是二次根式：含字母时须过论取值：.勿只看形式：.工等常数可作被开方数，注 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 意根指数为2。 (25-26八年级下·新疆喀什·期中)下列各式中，一定是二次根式的是() A.V-2 B.V3 C.Va+1 D.Va2-1 2.(25-26八年级下广东湛江·期中)下列各式中，一定是二次根式的是() B.v2 c v D 3.(25-26八年级下·西藏日喀则期中)下列式子是二次根式的是() A V5 B. c西 D.x+1 4. (25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)下列式子是二次根式的是() 2 A.2x B. C.2 D.2 5.(25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测)下列式子一定是二次根式的是() A.V1 B.vr C.Vx2+1 D迈 题型2判断是否为最简二次根式（共5小题） 【模型】被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，即最简二次根式。 【步骤】先看被开方数是否含分母，再看是否含能开尽方的因数或因式，两者都无才是最简二次根式。 【易错】被开方数有分母须化去，能开尽方的因数须开出；小数、分数要先化简；勿把含根号的分数漏 判，注意字母因式次数。 6. (26-27八年级上北京期中)下列各式中，是最简二次根式的是() A2.5 B V4 C V20 Dv 7.(25-26八年级下·湖南湘西期中)下列各式是最简二次根式的是（) A.V2 B.5 C.⑧ D.12 8.(25-26八年级下·云南玉溪期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是() 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.7 C.√28 D.V49 9.(25-26八年级下·陕西西安·期中)下列是最简二次根式的是(). A.√20 B.V0.5 C.5 10.(25-26八年级下新疆鸟鲁木齐·期中)下列式子中，最简二次根式是() 1 A. B.V3x3 C.Vx2+y2 D.V0.1x 题型3判断是否为同类二次根式（共5小题） 【模型】几个二次根式化成最简后，被开方数相同，则为同类二次根式。 【步骤】先将各二次根式化成最简二次根式，再比较被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。 【易错】须先化最简再比较，勿直接看原式；被开方数相同才同类，根号前系数无关；注意化简彻底， 勿漏开尽方因数。 √2 11.(26-27八年级上陕西期中)下列二次根式中能与 合并的是() A.V⑧ B.√4 C.10 12,(2526八年级下北京期中)下列二次根式，能与5合并的是《) 4.v2 B vG D.vi2 13.(25-26八年级下广东广州期中)下列各组二次根式中，能进行合并的是()· A.2与6 B.3 c.v2与 D.V2与⑧ 14.(25-26八年级下·山东威海期中)下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() ” 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 A.8与V5 B.√2与12 V3与V27 D.√7与14 15.(25-26九年级下·山东烟台期中)下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是()· A.√8与V32 B.-V0.1与√40 c.Vi2b与3ab D.vab与vab 题型4利用同类二次根式求参数（共5小题) 【模型】同类二次根式化简后被开方数相同，由此建立方程求参数。 【步骤】先分别化简各二次根式，令被开方数相等，列方程解参数，再代回检验是否满足非负。 【易错】须先化最简再令被开方数相等，勿用原式；解出参数要检验被开方数非负，注意系数无关，别 漏增根。 16. (25-26八年级下山东德州期中)最简二次根式Vm-1与V 可以合并，则= 17.(25-26八年级下北京西城期中)V2 与最简二次根式m+ 是同类二次根式，则m”为 √20 18.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中) 与最简二次根式 Vm+1 能合并，则m一 19,(25-26八年级下山东烟台期中)已知最筒二次根式 -5与二次根式27是同类二次根式，则x的 值为一· 20.(25-26八年级上河北期中)如果两个最简二次根式V3a-8与7-2a 与 能够合并，那么a值为 提升进阶突破 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5利用二次根式的性质化简（共5小题) 【模型】利用√(a2)=a及积商算术根性质，把二次根式化为最简形式。 【步骤】先判断被开方数正负，用√(a)=a去根号，再分解因数开尽方，化去分母，得最简结果。 【易错】√(a2)=|a,须先判a正负再脱绝对值；开方结果非负；化去分母时注意分子分母同乘，勿漏 绝对值符号。 21.(25-26八年级下·黑龙江牡丹江期中)化简 a的结果是 2.(25-26八年级下安徽宜城期中)若0≤x≤1，则VF-Vx-= 23.(25-26八年级下·湖北恩施期中)己知实数4，b,c在数轴上的位置如图所示，则化简 la-d+a+b-V(c-b}的结果为， 32十。十支 24.(25-26八年级下·湖南湘西·期中)我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平 方，如3-5,5=5列，下面我们观察：人5--（可-2x1x5+P=2-25+1=3-22,反之， 3-22=2-22+1=(V2-,3-22=2-1 (1)直接写出答案： V3+2W2=V4+2W5= (2)化简： V5-V24 )若Va士26=vm±V历，则a与m,n的关系是什么？b与m,n的关系又是什么？ 25.(25-26八年级下·重庆铜梁·期中)阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公 式及二次根式的性质化简.例如： 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-26=3+2-2W6-vy2+2-2x2x5-3-2=3-2=5-5; V3+22=V3+2x1x2=P+2+2x1x2=1+2=l+2=1+2. 解决下列问题： (1)化简： V9-4v5 (2)化简并求出： 52-14W5+7+4W5的值. (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为 4V15 平方米，形成新 正方形花圃ABCD,求出新正方形花圃ABCD的边长. 题型6二次根式的混合运算（共10小题) 【模型】按实数运算顺序和法则，对二次根式进行加、减、乘、除、乘方混合运算。 【步骤】先化各根式为最简，再按先乘除后加减、有括号先算括号的顺序运算，最后合并同类二次根 式。 【易错】须先化简再合并，只有同类二次根式才能加减；乘除法注意根号内外分别运算，结果化最简， 勿漏符号和分母有理化。 26.(26-27八年级上福建期中)计算： m2-27+5-, 2(万+v67-6)+2- 27.(26-27八年级上重庆期中)计算： 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 wis-8-号 2i3+3i3-3+i2+2 28.(26-27八年级上内蒙古期中)计算： 3+23-2)-24÷6. √80-√45 (2)V5 29.(26-27八年级上福建期中)计算： 6x5+1-间+5-5j ga0-回 30.(26-27八年级上辽宁期中)计算： l-同5+3y-(-2025 26-2-(6+6-】 31.(26-27八年级上陕西期中)计算： w+G-524 a+55-2-2+ 32.(25-26八年级上陕西西安期中)计算： 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @y月w8v a2a+5-8x6+. 20+5+50 (3)V5 ④(5+25-2+23-1 33.(25-26八年级上广东深圳期中)计算： ①2+v27-V3 ②2x8-v2V2 is-25+2+w5-a- ④(5-2°+(5+25-2) 34.(26-27八年级上山西期中)计算： ws-5。 )5-2-(5+23-2: w行市) 35.(26-27八年级上山西期中)计算： 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+27-2 (1)5 a3+3gm 3 6(5+(5-+27 ④+3)3-3)-(2-3 拔高压轴破难 题型7二次根式中的新定义型问题（共5小题） 【模型】按题目新定义的新运算或新规则，代入二次根式进行化简与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，将二次根式代入新运算，按定义展开计算，再化简结果并检验。 【易错】：须严格按新定义形式代入，勿套用旧运算法则；注意被开方数非负与字母取值，结果化最 简，勿漏定义中的限制条件。 36.(25-26八年级下河南新乡期中)定义：若两个二次根式的代数式m,n满足mn=P,且P是有理数， 则称m与n是关于P的“友好二次根式”. 3 (①若m与3是关于6的友好二次根式，求m的值： 6 2-5与4+v5m是关于之的友好二次根式，求m的值。 (2)若 3,(24-25八年级下湖北武汉期中)定义：若石+6(a-b)-c,c是有理数，则称G+6与 √a-√b是关于c的“美好数”例如： (5+25-2)=(3-(2=1,则称5+2与5-2是关 于1的“美好数”. 02+6 关于的“美好数”是一 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ②化简：9+而++++9+VI2: 6)考'是0-关于9的“美好数”，请直接写出 y2-8y+2025 的值. 38.(25-26八年级下·浙江杭州期末)新定义：如果两个含有二次根式的代数式a,b满足ab=C,且c 是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好二次根式”. 例如：a=5+反，b=5-反，因为ab=(5+25-2列-3-2=1，所以5+2与3-反是关 于1的“友好二次根式”. 0考25与5是关于”的“友好二次根武”，求”的值。 a若P与7-5 是关于4的“友好二次根式”，求的值. ③)若2+V5与6+V5m是关于3的“友好=次根式”，其中m是有理数，求m的值。 9.(25,2西八年缓下安微池州期中)定义：我们将人a+)与(a-)称为一对“有理式”，因为 (a+万)(a-)=(@-(b矿=a-b,通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有 些思可以通过构适这种“有理式”来解流。例：已知8--5-，求8-+3-的值，可以 这样解答：因为(8--5-列(8-+3-习-(8-可-(5-可=8--3+x=5,所以 8-+v5-=5.已知：V20-+8-=6,根据“有理式”的定义，试解决以下问题： √20-x-V8-x (1)求代数式 的值： (2)结合己知条件和第(1)问的结果，解关于的方程： V20-x+V8-x=6 40,(25.26八年级下江西赣州期未)定义：我们将a+)与石-⑥)称为一对“对偶式” 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为(a+vb)(a-6)=(@-(b°=a-b,可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 偶式”来解决。 例如：已知2-x-8-=2,V2-x+V8- 求 “的值，可以这样解答： 因为12-x-8-xx(2-x+8-=(12-x-(8-x=2-x-8+x=4 所以v12-x+8-x=2 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： 2+V3,2-V3 (1)对偶式 与 之间的关系是_： A.互为相反数B.互为倒数 C.绝对值相等 (2)已知： V18-x+V6-x=6m18-x-V6-x= ,则 ③)2知10+x+V2+x=4 求x的值. 题型8二次根式中的分母有理化（共5小题) 【模型】将分母中的根号化去，使分母变为有理数，即分母有理化。 【步骤】：先看分母形式，单项式乘同根号，多项式乘共轭因式，展开化简后得最简结果。 【易错】单项分母乘同根号，多项式分母乘共轭；分子分母须同乘，勿漏乘分子；化简要彻底，注意符 号与平方差公式。 41. (26-27八年级上北京期中)我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数. 在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由 1 (2+1(2-)=1，可得2+1与2-1互为倒数，即2+1 1_=2-1或2-1 √2+1，类似地， (5+25-)=1,可得5+25-5或555+5 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据小明发现的规律，解决下列问题： 1 1 (四7+6-，n+1+m-(n为正整数) = 1一=23-a,则a=- (2)若23+a 1 1 1 )求2+1+3+2+4+5++1o0+99的值. 42.(25-26八年级下湖北恩施期末)在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于 m 1 a±6a≠6.a≥0b20),若a-b=m则后士6a年6.如：5-25+2， m 63万5+5，w6而-6 根据小明发现的规律，完成下列问题： 5 7 07-2-,n+7+n-(n20) 6一=5-x,则x=- (②)若15+x 2. 2.2 2 2 ③)求5++5+5+7+5+9+V7+…+2027+202s的值. 43.(26-27八年级上山东期中)数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式. 第1个等式： 1 2-1 2-1-2-1 2+12+12-2-1 第2个等式： 5-V2 5-迈.5-2 3+2(W3+2)W3-2)3-2 请你根据上述方法完成下列题目： 1 (1)计算：10+V9 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)i计算：n+n-1= tg+e*a+v+svm水a 1 44.(26-27八年级上山西期中)在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一 组平仄相倚的诗行.当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们一一这对共轭的“平方差公式”，携手登场. 如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明.这不仅是理性的运算， 更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深邃的智慧与美感. 如乘法(5+2)(5-2)=(3-(2=1， (、5+)(5-5)=(5-(5=2,它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其 中一个是另一个的有理化因式. 5+2（3+5+回_可+26+回5+26. 除法5-23-2V3+2) (5-(2 11x√2 2√2 2x2(2 2 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号的运算叫做分母有理化， 5的有理化因式一， 3+v5 的有理化因式 1 (②)万分母有理化得一：√2+分母有理化得一 1 11 3)求5+i+5+3+7+5+3+7的值. 一十 十 十 45.(25-26八年级下·北京·期中)阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会遇 2√22 到如，√5，√3+1，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简. 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22×V52W5 (-)3V3x53: √2√2x5V10 (二)5√5x55； 2x3-)2x5-》_25-D=V5-1 (三)V3+1(N3+10(3-1)(3)2-122 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 3 √2 2 (1)化简：V ,5 5+5= 2-1 V2+1 x= y= (2)已知：√2+1， √2-1，求(x+y)的值. 1 1 (2+万+3+2++ ×V2026+1 (3)计算： √2026+√2025 题型9二次根式中的规律探究问题（共5小题） 【模型】从二次根式算式中找被开方数与结果的变化规律，归纳通式并验证。 【步骤】先算前几个特例，观察被开方数与结果的变化，归纳猜想通式，代入验证，再用二次根式性质！ 证明。 【易错】须多算几组找规律，勿凭一组下结论；归纳通式要检验，注意被开方数非负；化简要彻底， 漏字母取值范围。 2 822×2 2 46。(25-26八年级下安微合肥期末)【阅读材料】先来看一个有趣的现象：2学V兮3=2↓ 这个根号里的2经过适当的演变，竞然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具 有这现象的数还有许多，例如： 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 ()【猜想】VP24 并证明你的猜想： (2)【推理证明】请你用一个正整数n(n为“穿墙”数，n≥2)表示含有上述规律的等式，并给出证明. .99 ③)【创新应用】按此规律，若a+方-a√6(a,b为正整数)，求2a+b的平方根 47.(25-26八年级下·河南濮阳·期末)观察下列各式及其验证过程： 323 验证： 2 23-2+2 2(22-1)+2 22-1 212+ 3 33-3+3 3(32-1)+3 3 32-1 3-3+8. (1)按照上面结论猜想V15的结果，并写出验证过程： (2)根据上述各式反映的规律，写出用n(n为正整数，且n≥2)表示的等式，并写出验证过程. 48.(25-26八年级上·吉林长春·期中)【观察思考】观察下列等式特征，探索规律. V1×3+1=V4=2 第①个等式： V2×4+1=V9=3 第②个等式： V3×5+1=V16=4 第③个等式： V4×6+1=V25=5 第④个等式： 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V5×7+1= (1)计算： V16×18+1= (②)若Vm(n+2)+1=20 则正整数n=一： 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： V1×3+1-V3×5+1+V5×7+1-V7x9+1+…+V17×19+1-V19x21+1 49.(25-26八年级下·安徽六安·期中)观察下列等式： 第1个等式： ++2=1+-月 第2个等式： +z+1+及月 第3个等式： ++-1+6): …按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第5个等式： :第n个等式： (用含n的等式表示) 1,1 ，11 1 V++2+1+27++…+1+2025+2026. 1+ (2)请用(1)中你发现的规律计算： 50.(25-26七年级下·湖南岳阳期中)请阅读以下材料完成以下题目. 【阅读材料一】观察下列等式： 11 .11 第1个等式： ++2=1+行2： 1.1 1+ 第2个等式： 23： 1,1 =1+11 第3个等式： V++ 34 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 11 第4个等式： V++5=1+ 45;… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：-： (2)写出第n个等式：；（用含n的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第0式：P=x1x2x3=1, 第@式：P+2=x2x3x5=5 6 第③式：1P+2+32=×3×4×7=14 6 第0成：户2+34f-名45x9-0, 6 请你思考后解答下列问题： (③)12+2+32++202=- 12+22+32+.+n2= (4 (用含”的式子表示)： (⑤)计算：2P+22+232++392+402: 【拓展应用】： (⑤计算： w+安*y高 17/17