专题04 平方根与立方根10大题型50题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题04 平方根与立方根 基础·固本强基 题型1 无理数的识别（重点） 题型2 求一个数的平方根、算术平方根、立方根（重点） 题型3 实数与数轴（重点） 题型4 实数的比较大小（重点） 题型5 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型6 利用平方根与立方根的定义解方程（重点） 提升·进阶突破 题型7 程序设计与实数运算（重点） 题型8 平方根与立方根的综合问题（难点） 拔高·压轴破难 题型9 与算术平方根有关的规律问题（重难点） 题型10 与立方根有关的规律问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 无理数的识别（共5小题） 【模型】无限不循环小数即无理数，常见形式为开不尽方的数、π及含π的式子。 【步骤】先化简，再看是否为无限不循环小数；开方看能否开尽，分数看是否化有限或循环小数。 【易错】带根号不一定是无理数，如√4=2；分数不一定是有理数，须看化简结果；π是无理数，但22/7是分数为有理数。 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对各选项逐一判断即可求解． 【详解】解：∵ ，2是整数，属于有理数，∴A项不符合题意； ∵ 是有限小数，可化为分数，属于有理数，∴B项不符合题意； ∵ 是无限不循环小数，属于无理数，∴C项符合题意； ∵ 是分数，属于有理数，∴D项不符合题意； 故选C． 2．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先明确无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见无理数有含的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类．逐个判断所给数的类型，统计无理数个数即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，因此是无理数； 综上所述，无理数共有个． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． 4．（25-26七年级下·江西赣州·期中）在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 2025是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，仍含开方开不尽的部分，属于无理数； （相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； 所以，无理数共4个． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有下列各数：，（相邻两个之间依次多一个），，，其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：是有限小数，是分数，二者都属于有理数； 是无限不循环小数，（相邻两个之间依次多一个）是无限不循环小数，是无限不循环小数，是无限不循环小数，这四个数都属于无理数； ∴无理数共有个． 题型2 求一个数的平方根、算术平方根、立方根（共5小题） 【模型】平方根、算术平方根、立方根分别对应平方、立方运算的逆运算。 【步骤】先看是哪种根；平方根求正负两值，算术平方根取正值，立方根一值；再检验。 【易错】平方根有正负两值，算术平方根只取正值；负数无平方根但有立方根，勿把算术平方根当平方根，注意根号前的符号。 6．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的平方根是________，___________． 【答案】 3 【详解】解：的平方根是；． 7．（25-26七年级下·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 2 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 8．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）25的平方根是___________；的立方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，掌握平方根与立方根的性质是解题的关键．根据正数的平方根有两个，且互为相反数，负数的立方根是负数，即可求解． 【详解】解：，的平方根是； ，的立方根是． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）8的立方根是 ___，16的平方根是____，的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义求解，计算的算术平方根时，需先化简，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：， 的立方根是， ， 的平方根是， ，，且算术平方根为非负数， 的算术平方根是． 10．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 【答案】 【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果． 【详解】解：； ∵，， ∴的算术平方根为6； ∵，的平方根为； ∴的平方根为． 题型3 实数与数轴（共5小题） 【模型】实数与数轴上的点一一对应，数轴是实数的几何表示。 【步骤】先画数轴定原点、正方向、单位长度；再根据实数正负和大小在数轴上找对应点，比较大小。 【易错】数轴三要素缺一不可；实数与点一一对应，勿说有理数与点一一对应；比较大小看数轴右边总比左边大，注意负数。 11．（25-26七年级下·广东肇庆·期中）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知点表示的数在和之间，分别估算各数所在的范围，确定符合条件的数即可． 【详解】解：由数轴可知点表示的数在和之间， ， ， 故A选项不符合题意； ， ， 故B选项不符合题意； ， 故C选项不符合题意； ， ， 故D选项符合题意． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的一边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，以矩形的对角线为半径画弧，交数轴于点，若，则点对应的数为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵点对应的数为，点对应的数为2， ∴． ， ∴点对应的数为． 14．（25-26八年级下·北京·期中）如图，数轴上点O为原点，点表示的数为1，，且，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先理解题意，得出，运用勾股定理得，再根据以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，即可作答． 【详解】解：∵数轴上点O为原点，点表示的数为1，，且， ∴， ∴， ∵以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C， ∴， 即点C所表示的数为． 15．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∵点表示的数为，点在点的右侧， ∴点所表示的数为． 题型4 实数的比较大小（共5小题） 【模型】实数比较大小可借助数轴、差值或平方等转化为统一形式再判断。 【步骤】先化简各数，再选方法：数轴看右大左小，或作差与0比，或平方后比较，得出结论。 【易错】负数比较绝对值大的反而小；带根号先平方再比，勿直接看被开方数；作差后须判断符号，别忘统一形式再比较。 16．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】对于非负数，如果，那么，据此判断两个绝对值的大小关系，根据两个负数比较大小的规则，结合绝对值的大小关系，得出两个负数的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 18．（25-26七年级下·广东广州·期中）比较大小： （1）______6； （2）______． 【答案】 【详解】（1）解： ∵，，且， ； （2）解： ∵，，且，，， ， ∴． 19．（25-26七年级下·青海西宁·期中）比较大小：______．______． 【答案】 【分析】通过比较和的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较和的大小，然后比较和的大小即可． 【详解】解：①，，， ∴． ， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·青海西宁·期中）比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】先通过被开方数的大小关系判断无理数的大小，再根据实数的大小比较法则比较即可求解． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 即， ． 题型5 利用算术平方根的非负性解题（共5小题） 【模型】算术平方根值非负，几个非负数之和为零则每个非负数均为零。 【步骤】先识别算术平方根等非负项，令各项分别等于零，列方程组，解出未知数，再代入求值。 【易错】非负性含算术平方根、绝对值、偶次方；和为0则每项为0，勿漏项；被开方数须非负，求出结果要检验是否满足。 21．（25-26七年级下·四川绵阳·期中），则_____． 【答案】 【分析】本题利用算术平方根和绝对值的非负性，由两个非负数的和为，可推出每个非负数分别为，求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：，，， ，， 解得，， . 22．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到等式，再利用非负数的性质求出和的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ∵， ，， 解得，， 将，代入得． 23．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 24．（25-26七年级下·广东江门·期中）若实数m，n满足，则的算术平方根为________． 【答案】1 【分析】根据求出实数，得到代数式的值，再求算术平方根即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，且，解得， ，则的算术平方根为1． 25．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型6 利用平方根与立方根的定义解方程（共5小题） 【模型】把方程化为x²=a或x³=a形式，用平方根、立方根定义求未知数。 【步骤】先移项化简成x²=a或x³=a，再开平方取正负或开立方取一值，最后写出解并检验。 【易错】平方根有两解须取正负，勿漏负根；立方根只有一解，符号与被开方数一致；开方前须化为标准形式，注意整体思想。 26．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 27．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 28．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 29．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：原式变形为， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：原式变形为， ∴． ∴． 30．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解： 开平方，得． 当时，解得 ； 当时，解得． 所以或； （2） 解： 整理，得． 开立方，得 ． 解得． 提升·进阶突破 题型7 程序设计与实数运算（共5小题） 【模型】用程序按实数运算法则输入、计算并输出结果，实现数的开方与四则运算。 【步骤】先输入数据并确定运算类型，按实数法则列式，调用开方等函数计算，最后输出结果并检验。 【易错】负数开平方无意义，须判非负；平方根取正负、算术平方根取正；注意浮点误差与精度，别把整数除法当实数除法。 31．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 32．（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【分析】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 33．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 34．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 35．（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：略； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 题型8 平方根与立方根的综合问题（共5小题） 【模型】同一字母的平方根与立方根相互转化，借助被开方数关系建立方程求解。 【步骤】先由平方根、立方根定义表示被开方数，建立等式或方程，解出未知数，再代回求原数并检验。 【易错】平方根有正负两值，算术平方根只取正；立方根一值且符号不变；被开方数须非负，勿混淆平方根与立方根定义。 36．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 37．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 38．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 39．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解可得； （2）将、的值代入，再根据平方根的定义计算可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是4， ∴， 解得：； （2）解：， 则的平方根为． 40．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 拔高·压轴破难 题型9 与算术平方根有关的规律问题（共5小题） 【模型】被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动成对应规律，借位移动求值。 【步骤】先观察被开方数小数位变化，确定算术平方根小数点移动位数，按规律移动小数点，写出结果并验证。 【易错】被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位；注意方向一致，勿把平方根规律当立方根，结果须非负。 41．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数 (2)①，，3，，，；②对于任意实数． 【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答； （2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答． 【详解】（1）解：①，，， ， ， . ②对于任意非负数. （2）解：①，， ， ，，. ②归纳总结：对于任意实数. 42．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 43．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 45．（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】观察给出的前4个等式，可以发现统一特征：第k个等式中，根号内的减数分子为，分母为，化简后的最终结果为． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：． 题型10 与立方根有关的规律问题（共5小题） 【模型】被开方数小数点移动与立方根小数点移动成对应规律，借位移求立方根。 【步骤】先观察被开方数小数位变化，确定立方根小数点移动位数，按规律移小数点，写出结果并检验。 【易错】：被开方数小数点每移三位，立方根小数点移一位；方向一致，勿与平方根规律混淆，立方根符号与被开方数相同。 46．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 47．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 48．（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【答案】(1)①两；②9；③3，39 (2)①；② 【分析】（1）①由可知是两位数； ②由可知的个位上的数是9； ③由可知的十位上的数是3，进而得出； （2）①的立方根是负数，由可知是两位数；由可知的个位上的数是8；由可知的十位上的数是4；进而得出，即可求出的值； ②由于，仿照①的步骤求出即可求解． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数； ②的个位上的数是9，而， 的个位上的数是9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵110592的个位上的数是2，而， ∴个位上的数是8， ∵划去后面的三位得到数，而，， ， 十位上的数为4， ∴， ∴； ②∵， ，，， ， 是两位数， ∵个位上的数是，而， 个位数是1， ∵划去后面的三位得到数，而， ∴， 十位数为8， ∴， ∴． 49．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 50．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． $专题04 平方根与立方根 基础·固本强基 题型1 无理数的识别（重点） 题型2 求一个数的平方根、算术平方根、立方根（重点） 题型3 实数与数轴（重点） 题型4 实数的比较大小（重点） 题型5 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型6 利用平方根与立方根的定义解方程（重点） 提升·进阶突破 题型7 程序设计与实数运算（重点） 题型8 平方根与立方根的综合问题（难点） 拔高·压轴破难 题型9 与算术平方根有关的规律问题（重难点） 题型10 与立方根有关的规律问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 无理数的识别（共5小题） 【模型】无限不循环小数即无理数，常见形式为开不尽方的数、π及含π的式子。 【步骤】先化简，再看是否为无限不循环小数；开方看能否开尽，分数看是否化有限或循环小数。 【易错】带根号不一定是无理数，如√4=2；分数不一定是有理数，须看化简结果；π是无理数，但22/7是分数为有理数。 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（25-26七年级下·江西赣州·期中）在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有下列各数：，（相邻两个之间依次多一个），，，其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2 求一个数的平方根、算术平方根、立方根（共5小题） 【模型】平方根、算术平方根、立方根分别对应平方、立方运算的逆运算。 【步骤】先看是哪种根；平方根求正负两值，算术平方根取正值，立方根一值；再检验。 【易错】平方根有正负两值，算术平方根只取正值；负数无平方根但有立方根，勿把算术平方根当平方根，注意根号前的符号。 6．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的平方根是________，___________． 7．（25-26七年级下·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 8．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）25的平方根是___________；的立方根是___________． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）8的立方根是 ___，16的平方根是____，的算术平方根是_____． 10．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 题型3 实数与数轴（共5小题） 【模型】实数与数轴上的点一一对应，数轴是实数的几何表示。 【步骤】先画数轴定原点、正方向、单位长度；再根据实数正负和大小在数轴上找对应点，比较大小。 【易错】数轴三要素缺一不可；实数与点一一对应，勿说有理数与点一一对应；比较大小看数轴右边总比左边大，注意负数。 11．（25-26七年级下·广东肇庆·期中）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（     ） A． B． C．2 D． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的一边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，以矩形的对角线为半径画弧，交数轴于点，若，则点对应的数为（    ） A．2 B． C． D． 14．（25-26八年级下·北京·期中）如图，数轴上点O为原点，点表示的数为1，，且，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数为（     ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 题型4 实数的比较大小（共5小题） 【模型】实数比较大小可借助数轴、差值或平方等转化为统一形式再判断。 【步骤】先化简各数，再选方法：数轴看右大左小，或作差与0比，或平方后比较，得出结论。 【易错】负数比较绝对值大的反而小；带根号先平方再比，勿直接看被开方数；作差后须判断符号，别忘统一形式再比较。 16．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 17．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 18．（25-26七年级下·广东广州·期中）比较大小： （1）______6； （2）______． 19．（25-26七年级下·青海西宁·期中）比较大小：______．______． 20．（25-26七年级下·青海西宁·期中）比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 题型5 利用算术平方根的非负性解题（共5小题） 【模型】算术平方根值非负，几个非负数之和为零则每个非负数均为零。 【步骤】先识别算术平方根等非负项，令各项分别等于零，列方程组，解出未知数，再代入求值。 【易错】非负性含算术平方根、绝对值、偶次方；和为0则每项为0，勿漏项；被开方数须非负，求出结果要检验是否满足。 21．（25-26七年级下·四川绵阳·期中），则_____． 22．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 23．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 24．（25-26七年级下·广东江门·期中）若实数m，n满足，则的算术平方根为________． 25．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 题型6 利用平方根与立方根的定义解方程（共5小题） 【模型】把方程化为x²=a或x³=a形式，用平方根、立方根定义求未知数。 【步骤】先移项化简成x²=a或x³=a，再开平方取正负或开立方取一值，最后写出解并检验。 【易错】平方根有两解须取正负，勿漏负根；立方根只有一解，符号与被开方数一致；开方前须化为标准形式，注意整体思想。 26．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 27．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 28．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求的值： (1)； (2) 29．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 30．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 提升·进阶突破 题型7 程序设计与实数运算（共5小题） 【模型】用程序按实数运算法则输入、计算并输出结果，实现数的开方与四则运算。 【步骤】先输入数据并确定运算类型，按实数法则列式，调用开方等函数计算，最后输出结果并检验。 【易错】负数开平方无意义，须判非负；平方根取正负、算术平方根取正；注意浮点误差与精度，别把整数除法当实数除法。 31．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 32．（25-26七年级下·河南商丘·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 33．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 34．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 35．（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 题型8 平方根与立方根的综合问题（共5小题） 【模型】同一字母的平方根与立方根相互转化，借助被开方数关系建立方程求解。 【步骤】先由平方根、立方根定义表示被开方数，建立等式或方程，解出未知数，再代回求原数并检验。 【易错】平方根有正负两值，算术平方根只取正；立方根一值且符号不变；被开方数须非负，勿混淆平方根与立方根定义。 36．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 37．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 38．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 39．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 40．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 拔高·压轴破难 题型9 与算术平方根有关的规律问题（共5小题） 【模型】被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动成对应规律，借位移动求值。 【步骤】先观察被开方数小数位变化，确定算术平方根小数点移动位数，按规律移动小数点，写出结果并验证。 【易错】被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位；注意方向一致，勿把平方根规律当立方根，结果须非负。 41．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 42．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 43．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 45．（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 题型10 与立方根有关的规律问题（共5小题） 【模型】被开方数小数点移动与立方根小数点移动成对应规律，借位移求立方根。 【步骤】先观察被开方数小数位变化，确定立方根小数点移动位数，按规律移小数点，写出结果并检验。 【易错】：被开方数小数点每移三位，立方根小数点移一位；方向一致，勿与平方根规律混淆，立方根符号与被开方数相同。 46．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 47．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 48．（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 49．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 50．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． $