专题03 勾股定理与最短路径问题4大题型28题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题03 勾股定理与最短路径问题 基础·固本强基 题型1 圆柱中的最短路径模型（重点） 题型2 阶梯中的最短路径模型（重点） 提升·进阶突破 题型3 长方体中的最短路径模型（重点） 拔高·压轴破难 题型4 构造直角三角形中的最短路径模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 圆柱中的最短路径模型（共7小题） 【模型】圆柱侧面展开为长方形，两点间最短路径转化为展开图上两点间线段，用勾股定理求解。 【步骤】将圆柱侧面展开成长方形，确定两点在展开图中的位置，构造直角三角形，用勾股定理算线段长。 【易错】展开时注意底面周长与高的对应，勿把弧长当直线；两点可能绕半周或整周，需判断最短路径走法再计算。 1．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，圆柱的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 【答案】25 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱展开图如下， 由题意可知，，， 由勾股定理可得：， ∴爬行的最短路程为． 3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________． 【答案】13 【分析】画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接， 根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：，， 由勾股定理得：． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图所示，底面周长为24，高为5的圆柱表面上有一只蚂蚁（A处）和一滴蜂蜜（B处）．蚂蚁从A处出发沿着圆柱表面爬行，可通过或两种不同路径到B处吃蜂蜜，那么蚂蚁爬行的最短路径长是______． 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开为长方形，根据两点之间线段最短，确定最短路径为展开图中、两点间的线段长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长方形，如图 所以展开图中，点与点的水平距离为， 根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的最短路径即为展开图中线段的长度， 由勾股定理得，最短路径长为． 5．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 【答案】17 【分析】将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与蜂蜜相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 题型2 阶梯中的最短路径模型（共5小题） 【模型】阶梯侧面展开为长方形，最短路径转化为展开图上两点间线段，用勾股定理求解。 【步骤】将阶梯表面展开成长方形，确定起点终点位置，构造直角三角形，用勾股定理算线段长。 【易错】展开时横向总长为各级宽之和，纵向总高为各级高之和；勿逐级分段求折线，须整体展开后两点连线才是最短。 8．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 9．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________． 【答案】13 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，画出展开图，然后利用勾股定理求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为13． 故答案为： 10．（25-26八年级下·吉林松原·期中）2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 【答案】20 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 从点滑到点，滑行的最短路程是． 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图所示，长方形地面上有一块地毯(阴影部分)，地毯因使用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径，且点、均在边上，点、均在边上，已知，，，，若一只蚂蚁要从点爬到点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，最短路径的计算，理解最短路径，正确运用勾股定理是做题的关键．根据题意得到半圆的周长为，得到展开后图形的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，连接， 根据题意得到半圆的周长为：， ． 在长方形中，，，， 在中， 由勾股定理得，， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 提升·进阶突破 题型3 长方体中的最短路径模型（共8小题） 【模型】长方体表面展开，最短路径转化为展开图上两点间线段，用勾股定理求其长度。 【步骤】将长方体相邻两面展开成平面，确定起点终点位置，构造直角三角形，用勾股定理算线段长并比较取最小。 【易错】长方体有三组相对面，展开方式不唯一，须逐一展开比较取最短；勿漏展开方案，注意长宽高对应，别把空间对角线当表面路径。 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 14．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【答案】A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 15．（26-27八年级上·河北·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为___________ 【答案】/厘米 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴（负值舍去）． 16．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一个正六棱柱礼品盒底面边长为，盒子高为．在正六棱柱礼盒的侧面上从顶点到顶点镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少是____________． 【答案】130 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用正六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将正六棱柱侧面展开后，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图所示，正六棱柱侧面展开后，这圈彩带的长度最短为的长， 由勾股定理得， 这圈彩带的长度至少为， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 19．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)解：如图： (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 拔高·压轴破难 题型4 构造直角三角形中的最短路径模型（共8小题） 【模型】化曲为直、化折为直，把最短路径转化为直角三角形斜边，用勾股定理求解。 【步骤】展开或平移图形化折为直，确定起点终点，构造直角三角形，用勾股定理算斜边，得最短路径长。 【易错】展开须沿路径经过的面进行，勿漏面或多面；平移后两点连线才最短，注意直角边对应横向与纵向总长，勿把斜边当直角边。 21．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 22．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【答案】 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． 23．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 24．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 25．（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 27．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 28．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)10 (3)①；②5 【分析】（1）构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长； （2）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （3）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值 【详解】（1）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为5； （2）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10； （3）解：①如图，作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图， 当、、三点共线时，有最大值为． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03勾股定理与最短路径问题 题型图谱导航总览 题型1圆柱中的最短路径模型（重点） 基础固本强基 题型2阶梯中的最短路径模型（重点） 提升进阶突破 题型3长方体中的最短路径模型（重点） 拔高·压轴破难 题型4构造直角三角形中的最短路径模型（难点） 题型精练•靶向突破 基础固本强基 题型1圆柱中的最短路径模型（共7小题） 【模型】圆柱侧面展开为长方形，两点间最短路径转化为展开图上两点间线段，用勾股定理求解。 【步骤】将圆柱侧面展开成长方形，确定两点在展开图中的位置，构造直角三角形，用勾股定理算线段 长。 【易错】展开时注意底面周长与高的对应，勿把弧长当直线：两点可能绕半周或整周，需判断最短路径 走法再计算。 1. (25-26八年级下四川绵阳·期中)如图，一圆柱体的底面周长为10cm,高AB为12cm,BC是直径， 只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为() 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.17cm B.13cm 12cm 2√61cm C. D 20 2. (25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中)如图，圆柱的底面圆的半径为元cm,高为15cm,一只蚂蚁从 点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程为 cm D B 3.(25-26八年级下·广东珠海·期中)如图，圆柱高为l2cm,底面周长为10©m,一只蚂蚁沿着圆柱侧面 从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是 cm 4.(25-26八年级下陕西西安·期中)如图所示，底面周长为24，高为5的圆柱表面上有一只蚂蚁(A 处)和一滴蜂蜜(B处)·蚂蚁从A处出发沿着圆柱表面爬行，可通过A→C→B或A→D→B两种不同 路径到B处吃蜂蜜，那么蚂蚁爬行的最短路径长是· D 5. (25-26八年级下·重庆渝北：期中)如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12Cm,底面 周长为l6cm,在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点B正对面的容器 外壁，且离容器上沿5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 cm 蚂蚁A B 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上贵州贵阳期中)如图，圆柱的高为l4cm,底面圆周长为24cm，,在圆柱下底面的点 A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离下底面9m的点C处（圆柱外表面）的食物， (I)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点A爬到C点时的最短路径： (2)另一只蚂蚁在点B处，求蚂蚁从点B爬到C点时的最短路径， 7.(25-26八年级上广东深圳期中)如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点A 是圆柱下底面外壁的一点，点B是上底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G处有一 食物. (1)若圆柱高为9cm,底面半径为6Cm,将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入 木棒的最大长度 (2)若圆柱高为9cm,底面周长为24cm,水深2cm,一只蚂蚁在点A处. ①蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，则爬行的最短路程 cm ②蚂蚁从点A处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程 cm 题型2阶梯中的最短路径模型（共5小题) 【模型】阶梯侧面展开为长方形，最短路径转化为展开图上两点间线段，用勾股定理求解。 【步骤】将阶梯表面展开成长方形，确定起点终点位置，构造直角三角形，用勾股定理算线段长。 【易错】展开时横向总长为各级宽之和，纵向总高为各级高之和；勿逐级分段求折线，须整体展开后两 点连线才是最短。 8.(25-26八年级下·青海西宁·期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20m、 3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是() 20 A.20 B.24 C.25 D.35 9.(25-26八年级上·贵州贵阳·期中)如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中 AE =2,DE=4,BC=5 若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是 B 10.(25-26八年级下·吉林松原·期中)2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子 U型池场地金牌的运动员，如图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑 行的部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=18m,点E在CD上，CE=2m.从A点滑到E点， 滑行的最短路程是 m. (边缘部分的厚度忽略不计，兀取3) B A 11. (25-26八年级上·陕西汉中·期中)如图所示，长方形地面ABCD上有一块地毯（阴影部分），地毯因使 用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径EF=HG= 元，且点EF均在边AB 上，点G、H均在边CD上，已知AE=DH,BF=CG,AE+BF=17,BC=10,若一只蚂蚁要从A点爬 到C点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为 4/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级上河南郑州期中)综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB=dm. 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发 沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 20 20 蚂蚁 B 蜂蜜 B ⊙ 单位：dm 图1 图2 图3 图4 提升进阶突破 题型3长方体中的最短路径模型（共8小题） 【模型】长方体表面展开，最短路径转化为展开图上两点间线段，用勾股定理求其长度。 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】将长方体相邻两面展开成平面，确定起点终点位置，构造直角三角形，用勾股定理算线段长并 比较取最小。 【易错】长方体有三组相对面，展开方式不唯一，须逐一展开比较取最短；勿漏展开方案，注意长宽高 对应，别把空间对角线当表面路径。 13.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，长方体的长BE=20Cm,宽AB=10cm,高AD=15cm 点M在CH上，且CM=5Cm.如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点M,那么它爬行的最短路 程是( ) Q M D F B A.152cm B.10v5em C.30cm D.(5+5i3)cm 14.(25-26八年级下·山东德州·期中)如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为4cm,盒子高为12cm 点B在顶点A正上方Tcm处.用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B,再用黄色彩带从点B开 始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为()Cm B A.38 B.28 c.13+v193 D.25+V60i 15.(26-27八年级上：河北期中)如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从 点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5cm 2cm 4cm P 16.(25-26八年级上：河南平顶山期中)如图，长方体的底面边长分别为lcm和2cm,高为4cm,点P在 边BC上，BP=1Cm.若一只蚂蚁从A点开始经过3个侧面爬行一圈到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长 为」 cm B 4cm 2cm Icm 17.(25-26八年级上福建宁德·期中)如图，一个正六棱柱礼品盒底面边长为20cm,盒子高为50cm.在 正六棱柱礼盒的侧面上从顶点A到顶点A'镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少是 cm 18.(25-26八年级上·全国·期中)【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为l2cm,圆柱的高为8cm, 在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点 B在点A的正下方. 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (I)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是_，（填字母） C A B D (②)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A,求所需金属丝的最短长度 (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm,4dm,3dm(即AB=5dm,BC=4dm AE=3dm)的无盖长方体木箱.现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜.请你为蚂蚁 设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程.（木板的厚度忽略不计) 19.(25-26八年级上辽宁沈阳·期中)如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表 C ABB A ABCD 面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面 和而 爬行；②沿面 ABB A BCC B AADD ABCD 和而 爬行；③沿面 和面 爬行 D 3cm月 D 16cm M 12cm 9cm 图1 图2 (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形： AB=4,BC=2,BB=1 (2)若 ,请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的食物(P是长方体的顶点，P=3Cm),请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少. 20.(25-26八年级上山西运城期中)学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团.学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望 小学，让更多的同学感受科技带来的魅力.现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄， 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为25cm×16cm×16cm;第二种长 方体纸箱，尺寸规格为38cm×35cm×2lcm,其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为2cm×4cm,并且扣手到 所在面相对两条边的距离相等 16cm 25cm 21cm ▣2cm 4cm 35cm 16cm 38cm 【问题解决】 (I)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_cm (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳 子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度.（提示：需考虑扣手的大小） A D 16cm /25cm 21cm'C白 35cm 16cm 38cm 38cm 图1 图2 拔高压轴破难 题型4构造直角三角形中的最短路径模型（共8小题) 【模型】化曲为直、化折为直，把最短路径转化为直角三角形斜边，用勾股定理求解。 【步骤】展开或平移图形化折为直，确定起点终点，构造直角三角形，用勾股定理算斜边，得最短路径 长。 【易错】展开须沿路径经过的面进行，勿漏面或多面；平移后两点连线才最短，注意直角边对应横向与 纵向总长，勿把斜边当真角边： 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(25-26八年级下·山东青岛期中)如图，某公园内有一条“L型”景观水道，∠C=90°，水道的宽度 为2米，水道分为东西方向和南北方向两段.两个凉亭分别位于A,B两点，其中A位于南北方向水道的 西侧，B位于东西方向水道的南侧，已知A,B两点在东西方向上的水平距离为17米，在南北方向上的竖 直距离为10米.现要建造两座与水道垂直的景观桥DD'和EE'(桥长均为2米)，使得从A处到B处的游 (AD+DD'+D'E'+EE+EB) 览路径 最短，则最短路径的长为米 ◆东 D B 22.(25-26八年级下安徽毫州期中)如图，在R△MBC中，∠C=90,则NAC+BC 表示线段AB的 长度，受此启发，学生在求y=V8-x+4+VP+16的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点P 为BD上一动点.∠B=∠D=90°，AB=4,CD=2,BD=8,设BP=x. P 图1 图2 (1)PD= (2)y的最小值是 23.(25-26八年级上四川成都期中)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB1BD, ED⊥BD;连接AC、CE.已知AB=3,DE=2,BD=12,设CD=x. A (I)①用含x的代数式表示AC+CE的长； 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②求出AC+CE的最小值. (②根据(1)中的规律和结论，重新构图求出代数式V+1+V8-+25的最小值。 )若正实数a,b,c满足a+b=5-c,请构图求出代数式V+9+F+16+P+2 的最小值， 24.(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. Bh (1)则AC的长为 (用含x的代数式表示)，CE的长为 (用含x的代数式表示)； (②)当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值： (③)根据(2)中的规律和结论，则代数式？+4+2-+9的最小值为 ④仿照上面的方法，则代数式V4,+9-V?+4(x是任意实数)的最大值为 25.(25-26八年级下·北京·期中)先阅读以下材料，然后解答后面的问题 例：求代数式VP+3+v2-+2 的最小值.分析：F+3和2-+2 是勾股定理的形式， Vx2+3 是直角边分别是×和3的直角三角形的斜边，√2-+2是直角边分别是2-x和2的直角三角 形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF,并使直角边BC和EF在同一直线上（图I),向右 平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B 在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值， 11/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12-x 12-x C x B(E) 2 D 图1 图2 (四代数式V+32+V2-+22 的最小值为 ②变式训练：求代数式V+25+8-+9 的最小值一 ③)解决问思：己知正数满足V25-7+44-F=1B,则*的值为 26.(25-26八年级下·安徽蚌埠·期中)综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式P+3+12-+2的最小值，+3可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， V2-+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边。因此，构造两个直角三角形，使它们的一 个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时BC=x+12-x=12,AB=3,CD=2 原问题就变成“点E在线段BC的何处时，AE+DE的值最小？” 图1 图2 图3 解决方法：如图2，连接AD,交BC于点E,此时当点E与点E重合时，AE+DE的值最小，依据为 ① 一，将AB延长至点F,使得BF= ②一（填线段），连接DF,则 AF=AB+BF=3+2=5,BC=DF=12,易求得AD=③，即AE+DE的最小值为AD的长 (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③」 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5k,A村庄到河岸的垂直距离为2km,B村庄到河岸的垂直距离为 3水m,且A,B之间的水平距离为12m,现计划在河上建一座垂直于河岸的桥P9,使得从A到B的路程 最短，求出这个最短路程的长 27.(25-26八年级下·河南许昌期中)【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要 的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题 例：求代数式V+3+V2-9+2 的最小值. 分析： V+32和V02-+2 很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“ VF+3”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“V2-+2 ”表示直角边分别是 (12-x ABCn△DEF 、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角 和 ，并使直 角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时 CF=x+12-x=12AC=3DF=2; B CF 问题就变成“点”在线段 的何处时， AB+DB 最短？” B(E)12-x F 2 H 图1 图2 图3 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 备用图 (1)根据：两点之间 得到：线段AD就是AB+DB的最小值，如图3连接AD,延长AC至H, 使CH=FD=2,连接HD,可证：四边形CHDF是矩形，AH= .DH= 一，在 Ra1D中，由勾股定理可求得AD的长，2+3+V2-+2 的最小值是 【模型应用】 (②代数式V+4+V5-+1 的最小值是 【模型拓展】 8)根据以上学习，结合备用图解决问思：已知正数产满足V36-?+v64-子=10，求心的值 28.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来 的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题. -b±Vb2-4ac 比如 2a 的几何意义是以a,b为直角边的直角三角形斜边长，故当0<x<3求 Vx+9+V(3-x+1的最小值时，可数形结合构造两个分别以x,3和3-x,1为直角边的直角三角形 (如图)，B=∠D=90,MB=3,BP=x,CD=1,DP=3-x,由勾股定理知P=F+9, CP=V《(3-x+1,细心观察发现BP与DP的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几 何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，V+9+(3-x+1 的最小值为线段AC的长. 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Bx P P'3-x D Bx P(P)3-x x P 3D (①)根据上述方法，求？+9+3-+1的最小值（线段4C的长）. (②根据上述规律和结论，请构图求代数式V?+9+(8-+9的最小值（其中0<x<8)； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选二题进行解答（其中x>0)： V36-x2+V64-x2=10 ①解方程： ②求代数式Vx+4+16-+1的最大值. 15/15