专题02 勾股定理与折叠问题6大题型36题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题02 勾股定理与折叠问题 基础·固本强基 题型1 长方形中折痕过对角线模型 题型2 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（重点） 提升·进阶突破 题型3 长方形中折痕过一顶点模型（重点） 题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（难点） 拔高·压轴破难 题型5 长方形中折痕过任意两点模型（难点） 题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 长方形中折痕过对角线模型（共4小题） 【模型】长方形沿折痕折叠，折痕过对角线交点，利用全等与勾股定理求折痕或边长。 【步骤】先标折叠前后对应边角，找全等三角形得等边，设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，勿把折痕当对角线；注意折痕过对角线交点带来的中点条件，设未知数时选好直角边。 1．（25-26八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 2．（25-26八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型2 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（共4小题） 【模型】直角三角形沿过斜边中点的直线翻折，利用斜边中线等于斜边一半，结合勾股定理求线段。 【步骤】先找斜边中点及中线，标翻折前后等边等角，设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。 【易错】斜边中线等于斜边一半，勿与中位线混淆；翻折后对应边角相等，注意中点条件，设未知数时选准直角三角形。 5．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得 ，利用折叠的性质得，设，则，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 6．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 7．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【答案】 【分析】由折叠可知，是的垂直平分线，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】设 ， 将三角形沿直线折叠，点与点 重合， ． ，， ， ， 在中，，即， 解得． 8．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ． 答：的长为． 提升·进阶突破 题型3 长方形中折痕过一顶点模型（共7小题） 【模型】长方形沿过一顶点的折痕折叠，使某顶点落在对边或邻边上，用勾股定理求折痕或边长。 【步骤】标折叠前后对应边角，设未知数表示折叠后线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出未知量。 【易错】折叠后对应边角相等，落点位置要分清；设未知数时选准直角边，勿把折痕当边，注意长方形对边相等条件。 9．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 11．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 12．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在对角线上点处，则的面积是 __________ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，勾股定理求出，由折叠可得，，，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ，，， 由折叠可得，，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在长方形纸片中，，．将这张纸片沿过点的直线翻折，使点落在长方形内的点处，折痕交边于点．若直线恰好经过点，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．通过折叠得到对应边相等，结合长方形的边长，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 在中，． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1) ①即为所求， ； ② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（共8小题） 【模型】直角三角形沿过一个顶点的直线翻折，使某点落在一边上，用全等和勾股定理求线段长。 【步骤】标翻折前后对应边角，设未知数表示相关线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出未知量。 【易错】翻折后对应边角相等，落点位置要分清；勿把折痕当直角边，设未知数选准直角三角形，注意原图直角条件。 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 由题意得是直角三角形，，可知，在中，，代入求值即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴即 ∴是直角三角形， ∵为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处， ∴ ∴ ∴   设，则 在中， ∴，解得 故选：C. 17．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， 依题意，，，， ∴，， 在中， 即， 解得：，即， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在三角形纸片中，，如果在边上取一点，以为折痕，使三点共线（是对称点），那么的周长为____________．    【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题，利用折叠的性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设 由折叠可得：，，，再利用勾股定理建立方程，求出的长，结合，得到即可求的周长． 【详解】在三角形纸片中，， 设， 由折叠可得：，，， ∴ 解得：， ∴，， 则的周长． 故答案为：12． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 21．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理解出x的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，则，，， ∵在中，， 即， 解得：， 即． 22．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 根据勾股定理求出，由折叠的性质得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 拔高·压轴破难 题型5 长方形中折痕过任意两点模型（共7小题） 【模型】长方形沿过任意两点的折痕折叠，利用全等得等边等角，结合勾股定理求线段长。 【步骤】标折叠前后对应边角，设未知数表示折叠后线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出未知量。 【易错】折痕过任意两点位置多变，须先确定落点；折叠前后对应边角相等，设未知数选准直角边，勿把折痕当已知边。 24．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 25．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由折叠可知，设，则，利用勾股定理建立方程求出的长，进而计算三角形面积． 【详解】解：由折叠的性质可知， 设，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即， ． 26．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 27．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 28．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】设，则，由折叠的性质得到，在中，，解得，即可求得三角形的面积． 【详解】解：长方形纸片中，， 设，则， 将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合， ， 在中，， ， 解得， ， ． 29．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是________． 【答案】/ 【分析】连接，，设与相交于点O，先求出，设，则，由折叠性质得，，，，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理求出得，由菱形的面积公式得菱形的面积，即，据此可得折痕的长． 【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是长方形，且，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由折叠性质得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， ∴， 解得：， 即折痕的长是． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（共6小题） 【模型】直角三角形沿过任意两点的直线翻折，使某点落在一边上，用全等和勾股定理求线段。 【步骤】标翻折前后对应边角，设未知数表示相关线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出未知量。 【易错】折痕过任意两点位置不定，须先确定落点在哪边；翻折后对应边角相等，设未知数选准直角三角形，勿把折痕当边。 31．（25-26八年级下·安徽池州·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得， ， 解得：， ． 32．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 33．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 34．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 35．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，在中，，，，点D为边上的中点，将沿对折，使点C落在同一平面内的点处，连接．则 （1）的长为______； （2）的长为______． 【答案】 【分析】设交于E，由得，由可求、，在中用勾股定理即可得答案． 【详解】解：设交于E ，如图： ∵点D为边上的中点，， ∴， ∵将沿对折，使点C落在同一平面内的点处， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由上计算得到，， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 36．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02勾股定理与折叠问题 题型图谱导航总览 题型1长方形中折痕过对角线模型 基础固本强基 题型2直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（重点） 题型3长方形中折痕过一顶点模型（重点） 提升进阶突破 题型4直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（难点） 题型5长方形中折痕过任意两点模型（难点） 拔高·压轴破难 题型6直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1长方形中折痕过对角线模型（共4小题） 【模型】长方形沿折痕折叠，折痕过对角线交点，利用全等与勾股定理求折痕或边长。 【步骤】先标折叠前后对应边角，找全等三角形得等边，设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程 求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，勿把折痕当对角线；注意折痕过对角线交点带来的中点条件，设未知 数时选好直角边。 1.(25-26八年级下新疆克拉玛依期末)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处 BC交AD于点E.若AB=4,AD=8,则线段BE=」 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 2.(25-26八年级上·重庆奉节期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将△ABD沿BD折 叠，使点A落在点P处，PD交CB于点Q,则CQ的长为 B 3.(25-26八年级下·广东东莞期中)如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使△ABC落在△AEC的位置， 且CE与AD相交于点F. (I)求证：EF=DF: 2若4B=25,BC=6,求4F 4.(25-26八年级上：广东深圳期中)如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B位 置，AB与CD交于点E,且AB=8,AD=4. 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D G B (1)求证：AE=EC: (2)求EC的长： (3)点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G,PH⊥EC于H.请直接写出PG+PH的值. 题型2直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型（共4小题) 【模型】直角三角形沿过斜边中点的直线翻折，利用斜边中线等于斜边一半，结合勾股定理求线段。 【步骤】先找斜边中点及中线，标翻折前后等边等角，设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求 解。 【易错】斜边中线等于斜边一半，勿与中位线混淆；翻折后对应边角相等，注意中点条件，设未知数时 选准直角三角形。 5. (25-26八年级下湖北武汉期中)如图，一张三角形纸片ABC,∠C=90°，BC=6cm,AB=10cm 将纸片沿直线DE折叠，使点A与点B重合，则CD的长是() A E D 9 7 A.4cm B.2cm C.4 cm D.3cm 6.(2026江苏徐州中考真题)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点B处，若∠C=90°， AB=5cm,BC=3cm,则△BCD的周长为 cm 3/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 7.(25-26八年级下河北唐山期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,将三角形沿直线 DE折叠，使点B与点A重合，则CD的长为 -·B 8.(25-26八年级上江苏徐州期中)如图，在Rt△ABC纸片中，∠A=90°，AB=3,AC=4,折叠 △ABC,使C、B两点重合，折痕为DE,D、E分别在BC、AC上，连接BE,求BE的长. A 提升进阶突破 题型3长方形中折痕过一顶点模型（共7小题） 【模型】长方形沿过一顶点的折痕折叠，使某顶点落在对边或邻边上，用勾股定理求折痕或边长。 【步骤】标折叠前后对应边角，设未知数表示折叠后线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出 知量。 【易错】折叠后对应边角相等，落点位置要分清；设未知数时选准直角边，勿把折痕当边，注意长方形 对边相等条件。 -------- ---------- 9 (25-26八年级下·广西崇左·期中)如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在边BC的点F处，已知 AB =8cm,BC=10cm EF ,则线段的长为() 4/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 10.(25-26八年级上广东深圳期中)如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的 方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为AE,点B落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF,点E 与点D恰好重合，此时CF与AB的比是() B D B'D B'D(E) C A. 2 B.2-1 C.2 D.5 11.(25-26八年级下·辽宁铁岭期中)如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线 DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=5,DC=3,则BF的长是 D 12.(25-26八年级上山西晋中期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AD=14cm,AB=24cm,点E为 边BC的中点，连接DE,点F在边AB上，连接DF,将△ADF沿DF翻折得到△DFA'.若点A'恰好落在 线段DE上，则线段AF的长为 cm 5/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B E A 13.(25-26八年级下·广西南宁·期中)如图，在长方形ABCD中，BC=8,CD=6,点E在边AD上，将 △ABE沿着BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则△BDE的面积是 、 O B 14.(25-26八年级上·山西运城期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=5,AD=3.将这张纸片沿 过点A的直线翻折，使点D落在长方形内的点E处，折痕交CD边于点H.若直线HE恰好经过点B,则 AH的长为 DH B 15.(25-26八年级上：江苏常州期中)在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10, BC=AD=8 D B 图(1) 图(2) 备用图 D B B 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图(1)，P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）· ①如图(2)，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图(2)中作出折痕AP,画出△AEP,(不写做 法，保留作图痕迹)并直接写出此时DE= ②在①的条件下，求BP的长 (②)己知卫为射线DC上的一个动点，将△AD沿直线A犯翻折，点D落在直线B吧上的点D处，求D№的长. 题型4直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型（共8小题） 【模型】直角三角形沿过一个顶点的直线翻折，使某点落在一边上，用全等和勾股定理求线段长。 【步骤】标翻折前后对应边角，设未知数表示相关线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出未知 量。 【易错】翻折后对应边角相等，落点位置要分清；勿把折痕当直角边，设未知数选准直角三角形，注意 原图直角条件。 16.(25-26八年级上四川成都期中)如图，在△ABC中，AB=10,BC=8,AC=6,D为BC边上 点，连接AD,将△ABC沿AD进行折叠，使得点B落在AC边延长线上的点B处，则BD的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 17.(25-26八年级下·安徽阜阳期中)如图，在RIAABC中，∠B=90°，AB=3Cm,AC=5cm,将 △ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE,则△ABE的周长等于Cm, 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°，AC=6, BC=8,现将三角形纸片折叠，使得点C与AB边上的点D重合，折痕为AE,则CE的长为一。 A 19.(25-26八年级上北京朝阳·期中)如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8AB=10 如果在AC边上取一点E,以BE为折痕，使B,C,D三点共线(A,D是对称点)，那么△CED的周长为 B D 20.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=12,BC=5,将直角边 BC沿BP折叠，使它落在斜边AB上，点C与点C重合，则线段AP的长度为 A C P C5-----B 21.(25-26八年级下湖北荆门期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,AC=5,把△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点D处，则BE= 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(24-25八年级上甘肃白银期中)如图，己知△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,点D是 AC边上的一个动点.将△ABC沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E,若点E在AB边上，则DE的 长度为 图1 图2 23.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在R1aABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D是BC上 的一动点，将△ACD沿AD折叠得到△ADE,设AE与BC相交于点F,当△EFD为直角三角形时，CD= 拔高压轴破难 题型5长方形中折痕过任意两点模型（共7小题） 【模型】长方形沿过任意两点的折痕折叠，利用全等得等边等角，结合勾股定理求线段长。 【步骤】标折叠前后对应边角，设未知数表示折叠后线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出未 知量。 9/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】折痕过任意两点位置多变，须先确定落点；折叠前后对应边角相等，设未知数选准直角边，勿 把折痕当已知边。 24. (25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔期中)如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠， 使C点与A点重合，则AF的长是() D E A.5 B.25 c v5 D.25 25.(25-26八年级下·辽宁抚顺期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,4D=18,将此长方形折 叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的面积为() -D C E A.12 B.24 C.36 D.48 26.(25-26八年级上·四川成都期中)如图，在长方形ABCD中，AB=8,AD=16,将此长方形沿EF 折叠，使点D与点B重合，则AE的长度为() D A.4 B.5 C.6 D.7 27.(25-26八年级下·福建南平·期中)如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠，使点 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF,若AB=4,AD=8,则AE的长为一 28.(25-26八年级下·安徽蚌埠期中)如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形 纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的面积为cm. 29.(25-26八年级上山东济南期中)如图，在长方形ABCD中，点E,点F分别为边AB,CD上的点， 将长方形ABCD纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，若AB=8,AD=6,则折痕EF的长是 D E G 30.(25-26八年级上·浙江金华期中)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5,BC=AD=3. D D D 图① 图② 图③ (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长： (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求△BDE的面积： (3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP,A'B,AP分别交CD边于点E,F,且 DF=A'F,求CE的长 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边)翻折模型（共6小题） 【模型】直角三角形沿过任意两点的直线翻折，使某点落在一边上，用全等和勾股定理求线段。 【步骤】标翻折前后对应边角，设未知数表示相关线段，找直角三角形，用勾股定理列方程，解出未知 量。 【易错】折痕过任意两点位置不定，须先确定落点在哪边；翻折后对应边角相等，设未知数选准直角三 角形，勿把折痕当边。 31. (25-26八年级下安徽池州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,将它的锐角 A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E,交AB边于点F,则DE的长为() 25 A.2 B.3 e号 D.8 32.(25-26八年级下·安徽六安期中)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8,点E为AC上 点，且CE=2,点D为边AB上，点，连接DE,将△ADE沿DE折叠得到△ADE,若EA的延长线恰好 经过点B,则AD的长为() D A.2 B.3 C.4 D.6 33.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在Rt△ABC中，AB=6，BC=9,∠B=90°，将△ABC沿 MN所在直线折叠（点M、N分别在ACBC上），使点C与AB的中点D重合，则线段BN的长为 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 34.(25-26八年级下安徽蚌埠期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D,E分别 是AB和BC边上的点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B. B (1)若B是AC的中点，则CE的长为 (2)若点B在线段AC上（含端点），则CE的取值范围为 35.(25-26八年级下安徽芜湖期中)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=9,点D为 BC边上的中点，将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C处，连接BC'.则 (1)CC的长为一： (2)BC'的长为 36.(24-25八年级下福建三明期中)如图，在RIAABC中，∠C=90°，AC=12,BC=10,D是BC的 中点，E是1C边上一动点.将△CDE沿DE所在直线折叠得到△CDE.当△MBC是直角三角形时，AC 的长为 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14/14