专题01 勾股定理及勾股定理逆定理8大题型40题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01 勾股定理及勾股定理逆定理 基础·固本强基 题型1 勾股数的判断（重点） 题型2 求图形面积（重点） 题型3 判断能否构成直角三角形（重点） 提升·进阶突破 题型4 用勾股定理解三角形（重点） 题型5 勾股定理与网格问题（难点） 题型6 勾股定理的应用（重点） 拔高·压轴破难 题型7 勾股定理的证明方法（难点） 题型8 利用勾股定理的逆定理求解（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股数的判断（共5小题） 【模型】三正整数满足a²+b²=c² 。 【步骤】算出两短边平方和，等于最长边平方则为勾股数 。 【易错】最长边未必最大数，须先排序；平方和比较对象勿弄反。 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：1、三个数都是正整数；2、两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．∵，，， ∴该组数不是勾股数，不符合题意； B．∵不是正整数， ∴该组数不是勾股数，不符合题意； C．∵不是正整数， ∴该组数不是勾股数，不符合题意； D．∵，，即，且10，24，26都是正整数， ∴该组数是勾股数，符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．10，11，12 C．0.7，2.4，2.5 D．9，12，15 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证各选项即可得到答案. 【详解】解：A、，，都不是正整数，不符合勾股数定义，故本选项不符合题意； B、∵ ，，∴ ，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、0.7，2.4，2.5都不是正整数，不符合勾股数定义，故本选项不符合题意； D、∵ ，，∴ ，且9，12，15都是正整数，符合勾股数定义，故本选项符合题意． 4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B．13，14，15 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B、最大数为15，，，，故该选项不符合题意； C、最大数为，，满足平方和关系，故该选项符合题意； D、，，，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意． 5．（25-26八年级下·广西百色·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，， B．5，6，7 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，三个数不是整数，不是勾股数，不符合题意； B选项，，，，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意； C选项，，且均为正整数，是勾股数，符合题意； D选项，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 题型2 求图形面积（共5小题） 【模型】以直角三角形三边为边作正方形，两直角边正方形面积和等于斜边正方形面积。 【步骤】确定直角边与斜边，分别算三边对应正方形面积，验证两小面积和等于大面积。 【易错】须先分清直角边和斜边，斜边对应最大正方形；面积和是两直角边，勿把斜边当直角边代入。 6．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 7．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【分析】根据图形和题意，可知阴影部分的面积为，然后根据勾股定理可知，进而可以求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：由已知可得，阴影部分的面积为， ∵，， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 9．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 10．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 【答案】 【分析】先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，再在和中用勾股定理得，，最后将数据代入化简即可． 【详解】由题意可知，，，，． 是的边上的高， 在和中，由勾股定理得，， 即，， 可得，， ，， ，即． 题型3 判断能否构成直角三角形（共5小题） 【模型】三角形三边满足两短边平方和等于最长边平方。 【步骤】先排序三边定最长边，算两短边平方和与最长边平方，相等则直角。 【易错】必须先确定最长边，不能用任意两边；平方和须是两短边，勿与最长边平方弄反。 11．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理与三角形三边关系，先验证三边能否构成三角形，再对能构成三角形的验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断是否能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项A，，，，不能构成直角三角形，A错误； 对于选项B，，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，B正确； 对于选项C，三边长为，，，，不满足三角形三边关系，不能构成直角三角形，C错误； 对于选项D，，，，不能构成直角三角形，D错误． 12．（25-26八年级下·河南漯河·期中）下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是（     ） A．，， B．， C． D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A、，满足勾股定理的逆定理，故A能构成直角三角形，不符合要求； B、，满足勾股定理的逆定理，故B能构成直角三角形，不符合要求； C、设，则，，，，满足勾股定理的逆定理，故C能构成直角三角形，不符合要求； D、，不满足勾股定理的逆定理，故D不能构成直角三角形，符合要求． 13．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）的三边长分别为，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合要求； B、，，，不能构成直角三角形，不符合要求； C、，，能构成直角三角形，符合要求； D、，，，不能构成直角三角形，不符合要求． 14．（25-26八年级下·北京·期中）若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（    ） A． B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一计算即可得出结论． 【详解】解：对选项A，设，，， ，，， A不是直角三角形， 对选项B，最长边为， ，，， B不是直角三角形， 对选项C，最长边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理， C是直角三角形， 对选项D，最长边为， ，，， D不是直角三角形． 15．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． 提升·进阶突破 题型4 用勾股定理解三角形（共5小题） 【模型】直角三角形中，已知两边求第三边，或已知三边关系结合方程求边长。 【步骤】：先确定直角与斜边，标出已知边和未知边，选勾股定理列方程，解方程求出未知边。 【易错】：须先分清斜边与直角边，未知边不一定是斜边；开方取正值，勿忘单位，方程列错会导致结果错误。 16．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）在中，，若，，求的周长． 【答案】的周长为 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再将三边长度相加得到三角形的周长． 【详解】解：，，， ， 的周长为． 17．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】24 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，， ∴． 18．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 【答案】(1)13 (2)20 【分析】利用直角三角形勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条边的长度即可求出第三条边的长度． 【详解】（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 19．（25-26八年级下·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 20．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)4或 【分析】（1）根据勾股定理构建方程求解即可； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 题型5 勾股定理与网格问题（共5小题） 【模型】以网格交点为顶点，用横纵格数作直角边构造直角三角形，借勾股定理求斜边或判断。 【步骤】先定网格中的起点终点，数出横向和纵向格数作两直角边，用勾股定理算斜边，再比较或判断。 【易错】数格数别漏格或多格，斜边不一定是整数需保留根号；网格中线段未必水平竖直，须构造直角三角形再计算。 21．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出线段长即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出结论即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可知中，，． ，且， ∴ ∴是直角三角形． 22．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，4×4的正方形网格的每个小正方形的边长都是1． (1)在图中画出，使得，，； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）利用勾股定理，数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解： ,,, 如图，即为所求； （2）的面积． 23．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均位于正方形网格的格点之上． (1)直接写出的三边长（结果应化简为最简二次根式）：_______，_______，_________； (2)证明：是直角三角形． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理求解即可； （2）由（1）可得，根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ； （2）证明：，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，可得：是直角三角形． 24．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在如图所示的的方格中，每个小方格的边长都为1．试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上． (1)三边都是整数； (2)斜边为； (3)直角边为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作三边长分别为3，4，5的，即可； （2）作三边长分别为1，3，的，即可； （3）作直角边为的等腰直角三角形，即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 25．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求的面积． (2)是直角吗？为什么？ (3)点A到的距离为______． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据割补法计算即可； （2）根据勾股定理逆定理判断即可； （3）根据等面积法计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即是直角； （3）解：设点A到的距离为h， ∵，， ∴， 解得：， 即点A到的距离为． 题型6 勾股定理的应用（共5小题） 【模型】将实际问题抽象为直角三角形，已知两边求第三边，或已知三边判断直角。 【步骤】审题找直角，构造直角三角形，标出已知边和未知边，选勾股定理列式求解，回归实际作答。 【易错】须先分清直角边与斜边，未知边未必是斜边；单位统一，实际问题取近似值，结果要符合实际意义。 26．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 27．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 28．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 29．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度； (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）由题意可得，，，根据勾股定理求出，即可； （2）由题意可得，，求出，根据勾股定理求出，即可得到他应该往回收线的距离． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， ∴（米）， 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该往回收线米． 30．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 拔高·压轴破难 题型7 勾股定理的证明方法（共5小题） 【模型】用割补拼接图形，以面积不变建立等式，推导出直角三角形三边平方关系。 【步骤】构造含直角三角形的规则图形，用两种方法表示同一面积，列等式化简，得a²+b²=c²。 【易错】图形拼接须无重叠无遗漏，面积表达式要对应同一图形；化简时注意等式两边运算，勿把斜边与直角边混淆。 31．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【答案】(1) 解：是直角梯形； 由图可知梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． (2) 解：将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： 【分析】（1）由图中给出的三个三角形组成一个直角梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，列出等式即可求出勾股定理； （2）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 32．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 33．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 34．（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：连接，， ， 如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中， ∴ ， ∴， 整理可得：； (3) 【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可； ②利用等面积法得到，化简即可； （2）利用梯形的面积公式得到，再由得到，即可得到，整理式子即可． （3）由求出的值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②： ； （2）略； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：或（舍去）， ∴在中，． 35．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 图2中图形的面积：， ， ， ； （3） 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键. （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解. 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即 故答案为：； （2） 略 （3）解：设的周长为， ， 根据（2）中的结论，在中，， ， 化简，得， 整理，得， ， 长方形的面积为：. 题型8 利用勾股定理的逆定理求解（共5小题） 【模型】三角形三边满足两短边平方和等于最长边平方，则此三角形为直角三角形。 【步骤】先排序三边确定最长边，算两短边平方和与最长边平方，相等则判定为直角三角形。 【易错】必须先确定最长边，不能用任意两边；平方和须是两短边，勿与最长边平方弄反，计算时别漏平方。 36．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 37．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【详解】（1）解：∵的长是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 38．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，得出，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： 在中， ∵，， ， 是直角三角形， ， ∵垂线段最短， ∴是从村庄P到l的最近路线； （2）解：设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 39．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）2025年重庆“五一”特展展出的西南地区最大恐龙模型长26米，某恐龙馆计划据此设计改造成一款可触摸恐龙模型，为增加稳定性，避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡风险，该模型一条支架与另一条支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)当同学们到恐龙馆参观时，想知道模型中各段支架的长度，容易测量，但不好测量的长，导游小姐姐看到大家的难题，给出了一个有用的信息：支架比长，你能根据导游小姐姐提供的信息验证支架的长度是否真的是吗？请写出你的验证过程． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴由勾股定理得：， 且， ， ； (2) 是． 证明：由（1）可得 ， 设，则， 由勾股定理得： 故： 解得： ∴． 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和运用，（）根据勾股定理先计算的长，再根据已知条件证得即可． （）设，则，代入到求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 40．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)15 (2)元 (3)小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】（1）运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）运用勾股逆定理进行列式计算，可得，再计算出总面积即可求解； （3）先计算出，则可计算出小华的方法费用为（元），利用等面积法计算出，则可计算出小明的方法费用为（元），可得小华设计的方案所需费用较少为700元． 【详解】（1）解：当测量时，， ∴． （2）解：如图，连接， ， ， ，， 四边形的面积， 建造绿化地的总费用为（元）． （3）解：，，， ， ， ， ， 小华设计的铺设管道方案所需的费用为（元），小明设计的铺设管道方案所需的费用为（元）， ∵． 答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01勾股定理及勾股定理逆定理 题型图谱导航总览 题型1勾股数的判断（重点） 基础固本强基 题型2求图形面积（重点） 题型3判断能否构成直角三角形（重点） 题型4用勾股定理解三角形（重点） 提升·进阶突破 题型5勾股定理与网格问题（难点） 题型6勾股定理的应用（重点） 题型7勾股定理的证明方法（难点） 拔高·压轴破难 题型8利用勾股定理的逆定理求解（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1勾股数的判断（共5小题） 【模型】三正整数满足a2+b2=c2 【步骤】算出两短边平方和，等于最长边平方则为勾股数 【易错】最长边未必最大数，须先排序；平方和比较对象勿弄反。 1.(25-26八年级上：广东茂名·期中)在下列各组数中，不是勾股数的一组数是() A.1,1,2 B.3,4,5 C.7,24,25 D.5,12,13 2.(25-26八年级下河北石家庄·期中)下列各组数中，是勾股数的是() 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24,25,8 B. 1.5,2,2.5 A. C.12,g 10,24,26 D 3. (25-26八年级下·陕西西安·期中)下列各组数中，是勾股数的是() A V25√5 B.10,11,12 C.0.7,2.4,2.5 D.9,12,15 4.(25-26八年级下·河南许昌·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的 数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() 111 A.34'5 B.13,14,15 C.5,43 D.V5,45 5.(25-26八年级下广西百色期中)下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2V5 B.5,6,7 C.6,8,10 D.0.3,0.4,0.5 题型2求图形面积（共5小题） 【模型】以直角三角形三边为边作正方形，两直角边正方形面积和等于斜边正方形面积。 【步骤】确定直角边与斜边，分别算三边对应正方形面积，验证两小面积和等于大面积。 【易错】须先分清直角边和斜边，斜边对应最大正方形；面积和是两直角边，勿把斜边当直角边代入。 6. (25-26八年级下·陕西商洛期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,BC为边向外部作 正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则AC的长为」 甲 7.(25-26八年级下河北唐山期中)如图，∠4CB=90°，AB=3,以Rt△ABC的三边为直角边分别向外 作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级下·福建莆田期中)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a,b,C,d.若a=2,b+c=12,则AD= D d 6 B 9.(25-26八年级下福建南平·期中)如图，直角三角形ABC两直角边长分别为5和12，以直角三角形的 三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为： A B 10.(25-26八年级下·湖北武汉期中)如图，AD是△ABC的边BC上的高，分别以线段AB,AC,BD, CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为， 8..8,及.若8=4.品=7，则与之间清足的 数量关系为 A S2 S B S D 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3判断能否构成直角三角形（共5小题) 【模型】三角形三边满足两短边平方和等于最长边平方。 【步骤】先排序三边定最长边，算两短边平方和与最长边平方，相等则直角。 【易错】必须先确定最长边，不能用任意两边：平方和须是两短边，勿与最长边平方弄反。 11.(25-26八年级下·四川绵阳·期中)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.5,12,13 C.32,42,52 D.4,5,6 12.(25-26八年级下·河南漯河期中)下列以线段4，b,c的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是 () A.a=9.b=41c=40 B.a=b=5 c=52 C.a:b:c=l:3:2 D.a=l1.b=12c=15 13.(25-26八年级下·贵州遵义·期中)△ABC的三边长分别为a,b,c,由下列条件能判断△ABC为直角三角 形的是() A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=1b=1.c=2 D.a=4,b=5,c=6 14.(25-26八年级下·北京·期中)若三角形的三边a,b,c满足下列条件，则其中直角三角形是() A.a:b:c=2:3:4 B.a=5b=5c=2 C.a=9.b=12c=15 D.a=b=4c=45 15.(25-26八年级下·安徽准北期中)已知a,b，C为△ABC的三条边，则下列命题为真命题的是 () A.若a=5,b=12,c=14,则△ABC为直角三角形 B.若a2-b2=c2,则△ABC为直角三角形 ” 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a:b:c=2:3:4,则△ABC为直角三角形 D.若a=9,b=12,c=16,则△ABC为直角三角形 提升进阶突破 题型4用勾股定理解三角形（共5小题） 【模型】直角三角形中，已知两边求第三边，或已知三边关系结合方程求边长。 【步骤】：先确定直角与斜边，标出己知边和未知边，选勾股定理列方程，解方程求出未知边。 【易错】：须先分清斜边与直角边，未知边不一定是斜边；开方取正值，勿忘单位，方程列错会导致结绮 果错误。 16. (25-26八年级下陕西宝鸡期中)在△ABC中，∠C=90°，若AC=6,AB=8,求△ABC的周长. B 17.(25-26八年级下河南新乡·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=15,AD=20, CD=7,求BC的长. B 18. (25-26八年级下湖北孝感期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b, c. (1)若a=5,b=12,求c: (2)若a=15,c=25,求b. 19.(25-26八年级下·江西南昌·期中)在 Rt△ABC,∠C=90°，a,b,c ∠A,∠B,∠C 中， 分别表示 的对边， 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)已知a=5,b=12,求c； (2)已 b=m2-1(m>1),c=m2+ ,求a(用含m的式子表示). 20.(25-26八年级下贵州遵义期中)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB-BC=2,动点P从点B出发， 沿射线BC以2个单位s的速度移动，设运动的时间为t秒： B P (1)求线段BC的长： (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 题型5勾股定理与网格问题（共5小题) 【模型】以网格交点为顶点，用横纵格数作直角边构造直角三角形，借勾股定理求斜边或判断。 【步骤】先定网格中的起点终点，数出横向和纵向格数作两直角边，用勾股定理算斜边，再比较或判 断。 【易错】数格数别漏格或多格，斜边不一定是整数需保留根号：网格中线段未必水平竖直，须构造直 三角形再计算。 21. (25-26八年级下·广西百色期中)如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在 格点上 ()直接写出AB=-,BC=-,AC=: (2)判断△ABC的形状，并说明理由. 6/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(25-26八年级下·浙江温州期中)如图，4×4的正方形网格的每个小正方形的边长都是1. ①在图中画出41BC,使得AB=1,BC=22AC=B (2)求△ABC的面积. 23.(25-26八年级下广西河池期中)如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶 点称为格点，△ABC的三个顶点均位于正方形网格的格点之上. (I)直接写出△ABC的三边长（结果应化简为最简二次根式）：AB= ,BC=, AC= (2)证明：△ABC是直角三角形. 24.(25-26八年级下·湖北黄石期中)如图，在如图所示的4×4的方格中，每个小方格的边长都为1.试 在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各项点都在方格的格点上， 图① 图② 图③ (1)三边都是整数； 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②斜边为V10 5 (3)直角边为 的等腰直角三角形 25.(25-26八年级下广东东莞期中)如图，每个小正方形的边长为1. (I)求△ABD的面积. (2)∠BCD是直角吗？为什么？ (3)点A到BD的距离为 题型6勾股定理的应用（共5小题） 【模型】将实际问题抽象为直角三角形，已知两边求第三边，或已知三边判断直角。 【步骤】审题找直角，构造直角三角形，标出已知边和未知边，选勾股定理列式求解，回归实际作答。 【易错】须先分清直角边与斜边，未知边未必是斜边；单位统一，实际问题取近似值，结果要符合实际 意义。 26. (25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不 可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道 上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物 体C到滑块B的水平距离是6dm,物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm.(实验过程中，绳子始终保持绷 紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以 IC- B 图1 图2 (1)求绳子的总长度： (2)如图2，若滑块B向左滑动了9dm,求此时物体C升高了多少dm？ 27.(25-26八年级下·重庆期中)如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C,铁路上有A、B两 处观测点，观测点A距离鸟类巢穴80m,观测点B距离鸟类巢穴60m,两观测点A、B相距100m.火车行 驶时会对周围52m范围造成噪声污染. 北 (I)求点C到铁路AB的距离： (2)当一列长度为260m的火车以30m/s的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪 声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略 不计). 28. (25-26八年级下山西大同期中) 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 路灯维修工人使用一架长2.5m的绝缘梯AC,斜靠在路灯杆上.此时，工人怀疑灯杆 项目背景 可能倾斜，不再垂直于地面。 A 测量示意图 说明：点A、B、C、D在同一竖直平面内 B 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题解决： ()初始时，工人测量梯子底端C到灯杆底部B的距离BC=0.7m,梯子顶端A离地高度AB=2.4m.请你 判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (②)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端A下移到A',底端C则沿射线BC方向移动到点C, 量得CC'=0.8m,求AA的长， 29.(25-26八年级上湖南长沙期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节. 某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下 操作： ①测得水平距离BD的长为5米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为13米 ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为1.7米. (I)根据以上操作，求风筝的垂直高度CE: (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿CD方向下降7米到点M,那么他应该往回收线多少米？（结果 保留根号) 30.(25-26八年级下·广西河池期中)如图1，某公园内有一条笔直的马路EF,马路EF同侧有观景台A、 凉亭B,己知AC⊥EF于点C,BD⊥EF于点D,AC=700m,BD=100m,CD=800m. A A : F EC D ECG D 图1 图2 请结合所学知识，解决下列问题： 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)【基础应用】 观景台A与凉亭B之间的直线距离AB=」 m;(直接写出结果) (2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G,使G到A,B两处的距离相等，该 自动售货点G应修建在离点C多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路E℉边上设置一个便民服务点M,使得M到A、 B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）. 拔高压轴破难 题型7勾股定理的证明方法（共5小题) 【模型】用割补拼接图形，以面积不变建立等式，推导出直角三角形三边平方关系。 【步骤】构造含直角三角形的规则图形，用两种方法表示同一面积，列等式化简，得a2+b2=c2。 【易错】图形拼接须无重叠无遗漏，面积表达式要对应同一图形：化简时注意等式两边运算，勿把斜边！ 与直角边混淆。 31 (25-26八年级下·福建南平·期中)如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分 别为a和b,斜边长为c,图2是以C为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形. 图1 图2 图3 (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理： (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）· 32.(25-26七年级下·云南昭通期中)赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股 定理证明方法，记载于三国时期.图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的 直角边长都为b,斜边长都为c:大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×2b+(a-b,由此推 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2. D b 图① H 图② 图③ (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠A=∠D=∠BCE=90°，请你利用图②推导 勾股定理， (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积.如图③，己知 △HMN中， HM=13,MN=15,HN=14,作MK⊥HN,就可以计算出△HMN的面积.请你完善解答过程， 求出△HMN的面积 33.(25-26八年级下广东东莞·期中)回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被 广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一，历史上不同时代、不同国家的 人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜， a b Q a b Q b 图1 图2 图3 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究.他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直 角边分别为a、b,斜边为c)拼成如图1所示的图形.从面积的角度思考，证明了勾股定理. ()请你根据上述思路证明：a2+b2=c2. 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若b=2a,那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于_ 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a=3,b=5,那么空白部分的面积等于· (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC=2, 求该风车状图案的面积。 34.(25-26八年级下·广西百色·期中)【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的 方式摆放，点E与点B重合，点C,B,F在一条直线上，连接AD,△ABC的三边长分别为a,b,C (a>b) 利用四边形ACFD的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理. B(E)b B(F) 图1 图2 (I)①根据梯形面积公式得到：S梯形4CD= a+ba+),根据面积求和符到： S四边形ACFD=SMBC十S△BDF+SAABD= (用含a,b,c的式子表示)： ②利用面积的等量关系，整理得出： (2)【探究】童童将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示， AB与DE交于点O.童童在图2中也尝试利用四边形ACFD的面积对勾股定理进行证明.请你帮助她完成 证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为112.5，AC的长为9，求BC的长. 35.(25-26八年级上福建期中)借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮 助我们更好的探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法.请你根据已有 的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 (1)用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式： (2)图2是由两个边长分别为a,b,C的直角三角形和一个两条直角边都是C的直角三角形拼成，试用 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据(1)、(2)中的结论，解决以下问题： (3)如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD,垂足为N,AC=BD=4,CN=a,BN=b,△BCN周长 为4，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积. a b a b 6 图1 图2 图3 题型8利用勾股定理的逆定理求解（共5小题） 【模型】三角形三边满足两短边平方和等于最长边平方，则此三角形为直角三角形。 【步骤】先排序三边确定最长边，算两短边平方和与最长边平方，相等则判定为直角三角形。 【易错】必须先确定最长边，不能用任意两边；平方和须是两短边，勿与最长边平方弄反，计算时别漏！ 平方。 36.(25-26八年级下·贵州遵义·期中)如图，四边形ABCD是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形， 己知AD=4dm,AB=12dm,BC=13dm,CD=3dm,且∠ADC=90° D (I)求点A到点C的距离： (②)根据要求，该零件需要A,B,C三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这 个零件是否合格. 37.(25-26八年级下·辽宁葫芦岛期中)某小区的两个喷泉A,B的位置如图所示，两个喷泉间的距离 AB的长为25m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MW的长为12m,BM的长为l5m. (I)求供水点M到喷泉A的距离： (2)请求出喷泉B到小路AC的最短距离 38.(25-26八年级下·福建莆田·期中)如图，在一条东西走向的公路1的一侧有一村庄P，村庄P与公路 I原来由两条笔直小路PB,PA相连接，其中PA=AB,由于某种原因，由村庄P到A的小路无法通行， 现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路PC(A,C,B在同一条直线上)，测得PB=13km, BC=5km,PC=12km ()问是否为从村庄P到公路1的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线PA的长. 39.(25-26八年级下·重庆潼南期中)2025年重庆“五一”特展展出的西南地区最大恐龙模型长26米， 某恐龙馆计划据此设计改造成一款可触摸恐龙模型，为增加稳定性，避免在互动过程中模型出现关节卡顿、 失衡风险，该模型一条支架AC与另一条支架DC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实 施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下： AB=6m,BC=8m,AD=26m,CD=24m,∠ABC=90° 15/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)AC与DC垂直吗？请说明理由： (②)当同学们到恐龙馆参观时，想知道模型中各段支架的长度，容易测量AB=6m,BC=8m,但不好测量 AD的长，导游小姐姐看到大家的难题，给出了一个有用的信息：支架AD比CD长2m，你能根据导游小 姐姐提供的信息验证支架AD的长度是否真的是26m吗？请写出你的验证过程， 40.(25-26八年级下·陕西渭南期中)某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部 分)，现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计.如图， AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,CD上E,F两点为浇灌点. 小华设计的铺设管道方案：从水源点G处直接铺设管道引水分别到浇灌点E,F, 小明设计的铺设管道方案：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点 H处分别向浇灌点E,F铺设管道， 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量A,C两点之间的距离，就确定了 ∠ABC=90° D 街 道 B 街道 (1)施工人员测量出A,C两点之间的距离为 m (2②)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用： (3)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设 管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用. 16/16