第五章 -3二次函数的应用-第3课时 销售利润问题2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的销售利润应用，通过“王阿姨销售盆栽”情境导入，先利用调查数据建立售价与销量的一次函数关系，再引导学生推导利润与售价的二次函数表达式，搭建从一次函数到二次函数应用的学习支架。 其亮点在于以真实销售情境为载体，培养学生用数学眼光观察数据规律，通过分涨价、降价两种情况建立函数模型，体现数学思维的严谨性，用函数表达式和图表清晰呈现变量关系，落实数学语言表达。方法总结步骤明确，助力学生形成解决问题的框架，既提升学生应用能力，也为教师提供完整教学流程与实例。

2.4 二次函数的应用 第3课时 销售利润问题 主题情境·绽放的财富密码 九年级上│BS 第五章 二次函数 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 2.能正确分析和表示商品销售问题中变量之间的二次函数关系，并求出最大(小)值. 学习目标 情境串新知 王阿姨以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，王阿姨调查了附近A、B、C、D、E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表： 花卉店 A B C D E 售价(元/盆) 18 20 22 26 30 日销售量(盆) 54 50 46 38 30 情境串新知 问 题1 根据王阿姨的调查发现，该种盆栽花卉的售价y(元/盆)与日销售量x(盆)之间有什么关系？ 分析：观察表格可知日销售量是售价的一次函数. 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0) 将(20，50)和(30，30)分别代入，得 解得 ∴ y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋90. 情境串新知 问 题2 (1)如果王阿姨将该种盆栽花卉定价为m元，每天所获得的利润为w元，那么请你写出w与m之间的关系式？ 解：单盆利润为(m－15)，日销售量为(－2m+90)， 总利润为w＝(m－15)(－2m+90)＝－2m²+120m－1350. 日销售额＝ 售价×日销售量; 单盆利润＝ 售价－进价; 总利润＝ 单盆利润×日销售量. 情境串新知 问 题2 (2)利用函数图象描述出所获利润w与售价m之间的关系. 当m＜30时，所获利润随售价的增加而增加； 当m＝30时，所获利润最大； 当m＞30时，所获利润随售价的增加而减少. w＝－2m²+120m－1350 情境串新知 问 题2 (3)王阿姨在销售该种花卉中要想每天获得400元以上的利润，应如何定价？ -2m²+120m-1350＝400 方法一： 要想每天获得400元以上的利润，每盆定价在25元~35元之间. 情境串新知 问 题2 (3)王阿姨在销售该种花卉中要想每天获得400元以上的利润，应如何定价？ 方法二： 解：设应定价为m元， 由题意，得 (m－15)(－2m＋90)＝400， 整理得 m²－60m＋875＝0， 解得 答：要想每天获得400元的利润， 每盆定价在25元~35元之间. 情境串新知 问 题2 (4)当售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ w＝－2m²+120m－1350 解：设每天的利润为w元， 由题意，得 w＝(m－15)(－2m＋90) ＝－2m²＋120m－1350 ＝－2(m－30)²＋450， 因为－2＜0， ∴当m＝30时，w有最大值，最大值为450， 答：售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润. 情境串新知 问 题4 王阿姨计划推出促销活动，若盆栽花卉现在的售价为每盆30元，每星期可卖出200盆. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10盆；每降价1元，每星期可多卖出20盆. 在促销期间，如何定价才能使利润最大？ 调整价格包括涨价和降价两种情况. 情况一：涨价销售 单盆售价/元 销售量/盆 每星期销售额/元 总进价/元 正常销售 涨价销售 30 200 60 000 30＋x 200－10x (30＋x)(200－10x) 15×200 15(200－10x) 所得利润＝每星期销售额－总进价： 情境串新知 单盆售价/元 销售量/盆 每星期销售额/元 总进价/元 正常销售 涨价销售 30 200 60 000 30＋x 200－10x (30＋x)(200－10x) 15×200 15(200－10x) 怎样确定x的取值范围？ 解：设每盆涨价x元，每星期售出商品的利润为w₁元. 由题意，得 w₁＝(30＋x)(200－10x)－15(200－10x) 整理得 w₁＝－10x²＋50x＋3000(0≤x≤20)， ∴当 时， w₁＝－10×(2.5)²＋50×2.5＋3000＝3062.5. 答：每盆涨价 2.5 元，即售价32.5元时，利润最大，最大利润是 3062.5元 . 得：0≤x≤20. 情境串新知 问 题4 王阿姨计划推出促销活动，若盆栽花卉现在的售价为每盆30元，每星期可卖出200盆. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10盆；每降价1元，每星期可多卖出20盆. 在促销期间，如何定价才能使利润最大？ 情况二：降价销售 单盆售价/元 销售量/盆 每星期销售额/元 总进价/元 正常销售 降价销售 30 200 60 000 30－n 200＋20n (30－n)(200＋20n) 15×200 15(200＋20n) 所得利润＝每星期销售额－总进价： 情境串新知 单盆售价/元 销售量/盆 每星期销售额/元 总进价/元 正常销售 降价销售 30 200 60 000 30－n 200＋20n (30－n)(200＋20n) 15×200 15(200＋20n) 怎样确定n的取值范围？ 得：0≤n≤15. 解：设每盆降价n元，每星期售出商品的利润为w₂元. 由题意，得 w₂＝(30－n)(200＋20n)－15(200＋20n) 整理得 w₂＝－20n²＋100n＋3000(0≤n≤15)， ∴当 时， w₂＝－20×(2.5)²＋100×2.5＋3000＝3125. 答：每盆降价 2.5 元，即售价27.5元时，利润最大，最大利润是 3125元 . 情境串新知 思 考 由情况一、情况二的讨论及现在的销售状况，应如何定价能使利润最大？ 情况一：涨价销售 每盆涨价 2.5 元，即售价32.5元时，利润最大，最大利润是 3062.5元 情况二：降价销售 每盆降价 2.5 元，即售价27.5元时，利润最大，最大利润是 3125元 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价27.5元时，利润最大. 情境串新知 方法总结 求解最大利润问题的一般步骤： (1)根据题意找出或列出“成本”“售价”“销量”所表示的数或代数式； (2)根据“总利润＝(售价－成本)×销量”或“总利润＝售价×销量－总成本”列函数关系式； (3)根据题干信息及实际意义，确定自变量x的取值范围； (4)通过公式法或配方法，结合函数增减性求得在自变量取值范围内的最大利润. 涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0. 情境串新知 1.(2025南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆； B型客车租车费用为3000元/辆. 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200－50m)元/辆；租用B型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆. 随堂练习 解：设A型客车每辆载客量为x人，根据题意，得 解得x＝60． 经检验，x＝60是原分式方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人. (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 随堂练习 (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 解：设租A型客车m辆，B型客车(10－m)辆，租车总费用为w元， 则60m＋45(10－m)≥530，解得m≥ . w＝(3 200－50m)m＋3 000×0.8×(10－m) ＝－50m2＋800m＋24 000． ∵－50<0，且对称轴为直线m＝ ∴当m≤8时，w随着m的增大而增大． ∵m取正整数，且m≥ ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为27 000元． ∴本次研学活动学校的最少租车费用为27 000元. 随堂练习 2.(2024 大庆)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克)，当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z(千克)与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元)． (1)k＝_________，b＝_________； 解：(1)由题意得， ∴ －1 30 随堂练习 (2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式； 解：由题意，当1≤x≤20时，由(1)得y＝－x+30， ∴M＝(x+10)(－x+30)＝－x2+20x+300， 当20≤x≤30时，M＝15(x+10)＝15x+150， ∴ 在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克)，当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z(千克)与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元)． 随堂练习 (3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 解：由题意，当1≤x≤20时，M＝－x2+20x+300＝－(x－10)2+400． ∵－1＜0， ∴当x＝10时，M取最大值为400， ∴此时销售额不超过500元， 当20＜x≤30时，令M＝15x+150＞500， ∴x＞ ∴共有7天销售额超过500元． 随堂练习 3.(2024新疆)某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y₁(万元)与销售量x(吨)的函数解析式为：y₁＝5x；成本y₂(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点． 随堂练习 把(2，4)代入可得： ， 解得a＝1， ∴成本y₂关于销售量x的函数解析式为 解：(1)∵点 是抛物线的顶点， ∴设成本y₂关于销售量x的函数解析式为 (1)求出成本y₂关于销售量x的函数解析式； 随堂练习 (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (2)由图可知，当x＝ 时，y₂最小值为 ， ∵ ， ∴ ， ∴利润 ， ∴当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元. 随堂练习 (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？(注：利润＝销售额－成本) (3)设销售利润为W万元， 则 ， ∵－1＜0，0.4≤x≤3.5，∴当x＝3时， ， 答：当销售量是3吨时所获利润最大，最大利润是7万元. 随堂练习 求解最大利润问题的一般步骤： 找关系 根据题意，列出 “成本”“售价”“销量” 对应的数或代数式. 列函数 ①总利润 = (售价 − 成本) × 销量 ②总利润 = 售价 × 销量 − 总成本 定范围 ①涨价：保证销量≥ 0 ②降价：保证单件利润 ≥ 0 求最值 用公式法或配方法，结合函数增减性，在自变量取值范围内求最大利润 课堂小结 $