第四章 投影与视图（复习课件）数学新教材北师大版九年级上册

第四章 投影与视图 复习课件 北师大版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 基础达标 能力提升 素养目标 02 握核心技能 熟练掌握平行投影、中心投影的性质及应用，精通三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，能规范绘制简单几何体、组合几何体的三视图，能根据三视图还原几何体形状、计算几何体相关数据。 01 理解核心概念 准确理解中心投影、平行投影、正投影的定义与本质区别，清晰掌握主视图、左视图、俯视图的概念，明确三视图的成像原理与几何意义，能区分生活中不同类型的投影现象。 03 提升综合能力 提升空间想象能力、几何直观能力和数形转化能力，能独立解决投影计算、三视图绘制、几何体还原、视图综合应用等各类题型，提高知识迁移和综合解题能力。 04 体验数学思想 深度体验数形结合、空间转化、建模思想，感受几何知识与现实生活的紧密联系，培养严谨的几何推理思维和规范的解题习惯。 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.区分平行投影与中心投影，解决投影相关的相似三角形计算问题； 2. 组合几何体三视图的绘制与正误判断； 3. 根据三视图精准还原不规则几何体，并估算几何体的组成、尺寸； 4. 规避视图绘制中虚线、实线使用及尺寸对应易错点。 平行投影、中心投影的性质辨析及实际应用； 2. 三视图的绘制规则、规范画法； 3. 根据三视图还原几何体、判断几何体形状； 4. 利用投影、视图知识进行简单几何计算。 4 知识图谱 投影 三视图 平行投影 中心投影 正投影 由点光源发出的光形成的投影 由平行光线形成的投影 同一时刻，同一地点，物高与影长之比相等 投影线垂直于投影面产生的投影 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图 俯视图：在水平面内得到的由上到下观察物体的视图 左视图：在侧面内得到的由左到右观察物体的视图 三视图定义 画三视图 由三视图描述基本几何体或实物的形状 主视图与俯视图：长对正 主视图与左视图：高平齐 左视图与俯视图：宽相等 投影与视图 投影类型 光源特征 投影线特征 影子变化规律 常见实例 中心投影 点光源 （灯光、路灯） 交于光源一点 物体离光源越近，影子越大；反之越小 路灯下人影、台灯影子 平行投影 平行光源 （太阳光） 互相平行 同一时刻，不同物体高度与影长成正比 阳光下树影、建筑影子 正投影 平行光源 垂直于投影面 投影形状与物体对应面形状一致 三视图绘制、物体垂直投影 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 投影是光线投射物体形成的影子，根据光源类型分为中心投影和平行投影，正投影是特殊的平行投影， 1. 三类投影区别 6 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 2.投影性质 （1）平行投影的性质： ►投影线互相平行 ►同一时刻、同一地点，竖直物体的高度之比等于影长之比，可结合相似三角形进行长度计算； （2）中心投影的性质 ►中心投影投影线相交于一点 ►无固定比例关系，影子大小由物体与光源、投影面的距离决定； （3）图形的正投影： ►线段正投影规律 平行长不变， 倾斜长变短 垂直成一点 ►平面正投影规律 平行于投影面，投影与原图全等； 垂直于投影面，投影为线段； 倾斜于投影面，投影缩小且变形 7 位置 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 光源 物体 投影面 在光源与投影面之间 投影面 点光源 (投影中心) 投影线 物体 投影 3.中心投影光线汇聚于一点，呈放射状； 8 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 在灯光下，等高的物体垂直于地面放置时，物体离点光源越近，它的影子越_____，离点光源越远，它的影子越_____ 。 短 长 4.中心投影影长变化规律 注意： 1.在中心投影下，不同物体的影长之比一般不等于物体的高度之比. 2. 在中心投影中，若不改变物体的位置，只改变投影方向，物体的影子会随着投影方向的改变而改变. 9 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 5. 中心投影的相关结论及应用 基本图形 对应关系 物高 与影 长的 关系 等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体，它的影子短; 离点光源远的物体，它的影子长 等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长; 离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短 常见 应用 (1)已知灯的位置画物体在灯光下的影子. (2)根据灯光下两个或两个以上的物体及其影子判断灯的位置 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 物体上各点与投影中对应点的连线互相平行或在同一条直线上 5.平行投影光线均匀平行分布； 11 等高的物体垂直于地面放置时，它们在太阳光下的影子的长度_____， 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 相等 相等 成比例 A B C D E F 等长的物体平行于地面放置时，它们在太阳光下的影子的长度_____ ， 不等高的物体垂直于地面放置时，它们在太阳光下的影子的长度与物高_______ 。 6.平行投影影长特点； 同一地点，同一时刻： 12 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 同一物体，同一地点，不同时刻： 北半球从早晨到傍晚，物体影子的指向 是：________________________； 一天之中，同一物体的影子长度变化规律 是：______________________ 。 西→西北→北→东北→东 长→短→最短→短→长 7.太阳光下影子变化规律； 13 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 8.正投影的特点 平行光线与投影面不垂直 平行光线与投影面垂直 正投影 斜投影 光线与投影面呈90°垂直关系。 线段正投影：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平面正投影：平行形不变，倾斜缩小且形变，垂直成线段 几何体正投影：放置情况不同，在同一平面上的正投影一般也不同 14 考点串讲 ——1：投影的分类与性质辨析 （1）画物体的平行投影的方法: 先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的顶端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与投影面相交，从而确定其影子. 9.画物体的平行投影与中心投影的方法: （2）确定中心投影中光源位置: 物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点是光源所在的位置， 考点串讲 ——2：三视图的绘制与识别 1. 三视图定义与对应关系 主视图： 从物体正面观察得到的视图，反映物体的长和高； 左视图： 从物体左面观察得到的视图，反映物体的宽和高； 俯视图： 从物体上面观察得到的视图，反映物体的长和宽。 在画视图时， 看得见部分的轮廓线化成实线， 看不见部分的轮廓线要化成虚线。 左面 上面 正面 16 考点串讲 ——2：三视图的绘制与识别 2.三视图的绘制法则 主视图与俯视图长对正（长度一致）； 主视图与左视图高平齐（高度一致）； 左视图与俯视图宽相等（宽度一致）。 主视图 左视图 俯视图 在三种视图中， 主视图反映长和高， 俯视图反映长和宽， 左视图反映高和宽。 长 宽 高 长对正、高平齐、宽相等 (对应部分的长度要相等)： 通常把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面。 17 考点串讲 ——2：三视图的绘制与识别 3.三视图的绘制规定 （1）可见的棱、轮廓线用实线绘制； （2）被遮挡、不可见的棱、轮廓线用虚线绘制； （3）三视图位置固定： 主视图居中，左视图在主视图右侧，俯视图在主视图正下方。 主视图 左视图 俯视图 18 考点串讲 ——3：由三视图还原几何体 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 矩形 矩形 矩形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆 + 圆心点 球 圆 圆 圆 三棱锥 三角形 三角形 三角形（内部可能有线） 四棱锥 三角形 三角形 四边形 + 中心顶点连线 三棱柱 矩形（中间可能有棱） 矩形 三角形 1.常见几何体的三视图 注意： 柱体：至少两个视图是矩形；锥体：至少两个视图是三角形；球体全是圆。 19 2.还原几何体主要步骤 步骤 1：看俯视图，定底面 俯视图决定几何体底面形状，判断底面是几边形、圆，确定摆放位置。 步骤 2：看主视图，定列高 主视图反映左右方向有几列，每一列最大高度。 步骤 3：看左视图，定行高 左视图反映前后方向有几行，每一行最大高度。 步骤 4：结合 “长对正、高平齐、宽相等”，补全轮廓 先判断整体是简单几何体，还是组合体； 看到虚线，立刻标记：内部有凹进去或者后方有棱； 步骤 5：组合体拆分法 组合体 = 简单几何体相加 / 大几何体挖去小几何体 相加型：上面一个、下面一个（如圆柱 + 圆锥，长方体上放四棱锥） 挖去型：大几何体挖掉一部分（长方体挖去小棱柱、圆柱打孔） 考点串讲 ——3：由三视图还原几何体 1.画图建模：画出物体、影子、光线，标注已知长度； 垂直地面的物体画竖直线，地面影子画水平线，光线作为相似三角形的斜边。 2.判断投影类型：平行投影还是中心投影。 3.构造相似三角形 平行投影：直角△∽直角△ 中心投影：两组共顶点相似三角形（大套小） 列出比例式：（平行投影） （中心投影 ） 4.代入数值，解方程，检验单位统一（全部换成米或厘米）。 5..作答，注意实际意义（长度不能负）。 考点串讲 ——4：投影与视图的综合计算 1.投影综合计算题主要步骤 主要解题步骤 考点串讲 ——4：投影与视图的综合计算 （2）影子一部分在地面、一部分竖直墙面 例：大树影子一部分落在地面，一部分落在墙上。 ✅ 处理方法（两种任选） 方法①：延长光线，墙面影子顶端延长到地面，补全完整影子，构造大直角三角形；墙上影子当成一段小树干。 方法②：平移光线，从墙顶作水平线交树干，把树拆成两段：下段对应地面影子，上段等于墙上影子高度。 2.投影综合计算题主要类型 （1）基础平行投影（影子全在水平地面） 模型：竖直物体，影子在平地。 方法：同一时刻，物高与影长成比例，直接列比例。 易错点：不同时刻不能直接用这个比例！ 只有同一时刻太阳光才成立。 考点串讲 ——4：投影与视图的综合计算 2.投影综合计算题主要类型 中心投影（路灯人影，移动问题） 常考：人向前走一段距离，影子变化，求路灯高度。 模型：两组相似三角形，共用灯高这个未知数 做题口诀 见投影，先画图，分清平行与中心； 平行日光比值定，中心光源看共顶； 墙上影，平移拆，斜坡影子要分解； 相似找准对应边，列完比例再求解 解题要点： 设未知数（一般设灯高，人到灯杆水平距离） 对前后两个位置分别列相似比例，得到方程组 联立消元求解 易错：分清人到灯杆距离和影子总长，不要搞混线段。 考点串讲 ——4：投影与视图的综合计算 1：小正方体堆叠（求个数） 画出俯视图，分出行列格子； 主视图给出每一列最大层数；左视图给出每一行最大层数； 在俯视图每个格子标注最多能有几层，算出总数（最多、最少个数问题） 2：简单旋转体、多面体（求表面积 / 体积） 先还原立体图形； 看清是否有重合面：表面积要减去贴合、挡住的面； 体积：组合体体积 = 各部分体积代数和（挖去就减）。 1.视图综合计算题 24 题型全解 题型01 投影类型辨析与性质应用 例1下列现象中，属于中心投影的是（ ） A. 阳光下大树的影子 B. 路灯下行人的影子 C. 正午楼房的影子 D. 阳光下直尺的影子 解：中心投影的光源为点光源，平行投影光源为平行太阳光。ACD选项均为太阳光形成的平行投影；B选项路灯为点光源，形成的影子为中心投影。 B 例2. (2023福建宁德期末)下列现象属于中心投影的是(　　) A.上午人走在路上的影子 B.晚上人走在路灯下的影子 C.中午用来乘凉的树影 D.早上升旗时地面上旗杆的影子 解.中心投影的光源为灯光,平行投影的光源为阳光或月光. B 25 A． B． C． D． 题型全解 题型01 投影类型辨析与性质应用 例3.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（    ） 【点睛】本题考查中心投影的特点是： ①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长． ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． D 26 题型全解 方法总结 方法1 ①投影辨析技巧：看光源，点光源（灯光、路灯）为中心投影，太阳光为平行投影； ②平行投影计算核心：利用“物高:影长=定值”列比例式求解，本质是相似三角形对应边成比例； ③中心投影无比例关系，仅需根据光影变化规律判断大小变化。 方法2 根据两物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两个物体的顶端和其影子的顶端的连线所在直线是平行还是相交，若平行，则是在阳光下的投影，即平行投影；若相交，则是在灯光下的投影，即中心投影. 题型01 投影类型辨析与性质应用 A． B． C． D． 题型全解 题型02 几何体三视图的绘制与判断 例题4 .某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 (　　) A.圆锥 B.三棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱 D 例5. 作为中国汉族特有的手工制造陶土工艺品的紫砂壶,成型工艺特别,造型式样丰富,陶器色泽古朴典雅.如图是一个做工精湛的石瓢壶,则从上面看该物体得到的形状图可能是 (　　) C 28 题型全解 题型02 几何体三视图的绘制与判断 例6.添线补全下列三视图. (1) (2) 解：(1)补全三视图如图所示. (2)补全三视图如图所示. 29 题型全解 题型02 几何体三视图的绘制与判断 例7.一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后如图所示，该几何体的主视图（     ）   A．是轴对称图形，也是中心对称图形 B．是轴对称图形，不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 解：如图所示为图形的主视图 主视图是轴对称图形，对称轴为正方形对角线，但不是中心对称图形． B 解析：根据图形可得其主视图为特殊的五边形，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不是中心对称图形 30 题型全解 题型02 几何体三视图的绘制与判断 例8.（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） 解：由题意得图②的左视图是： A． B． C． D． A 31 题型全解 方法总结 规则几何体三视图判断： 熟记常见几何体（正方体、圆柱、圆锥、棱柱、球）的三视图形状； 2. 绘制核心： 牢记三视图位置和三大规则，区分虚实线，看得见的轮廓线要画成实线,而看不见的轮廓线要画成虚线. 3. 视图判断题可采用排除法，逐一核对长宽高对应关系。 题型02 几何体三视图的绘制与判断 题型全解 题型03 由三视图还原几何体 例9.（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（   ） A．7 B．8 C．6 D．5 解：根据俯视图可知： 这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， ∴组成这个几何体的小正方体最少有： （个）． A 如图：（其中一种情形） 33 题型全解 题型03 由三视图还原几何体 例10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） 解：由几何体的三视图可知，该几何体如图所示： A． B． C． D． A 34 题型全解 题型03 由三视图还原几何体 例11.如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正确的是（     ）   A．圆柱体 B．长方体 C．圆台 D．半圆柱和长方体组成的组合体 【点睛】本题考查从平面图形到立体图形，利用三视图得出反应的几何体，掌握三视图所看到图的位置和定义．准确把握观察角度是解题关键．是解题关键． 解：从主视图看几何体得到的图形是半圆与长方形组合而成的， 从左视图看几何体是长方体是长方形， 从俯视图看几何体得到的图形是长方形， 结合主视图与左视图，是一个上半是半圆柱体，下半是长方体， 从三视图综合看，是半圆柱和长方体结合． D 35 题型全解 题型03 由三视图还原几何体 例12.如图，在一次数学活动课上，张明用10个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ． 解：由题可知，最小的大正方体是由小方块组成的3×3×3的大正方体，所以按照张明的要求搭几何体，王亮至少需要27﹣10＝17个小立方体． 根据题意得到题中堆积体的俯视图，如图并进行标数 由上图的俯视图可知，能将其补充为完整的3×3×3的大正方体的剩余部分的俯视图为： 由此可得，王亮所做堆积体的三视图，主、左、俯三视图面积皆为8， 所以王亮所搭几何体的表面积为（8+8+8）×2＝48， 17 48 36 题型全解 方法总结 1. 简单几何体还原： 1)视图中有两个是矩形的几何体是柱体； 2)视图中有两个是三角形的几何体是锥体； 3)视图有两个是梯形的几何体是台体； 4)视图中有两个是圆的几何体是球. 2. 小正方体个数计算：俯视图定底层布局，主视图定列高，左视图定行高，分别计算每层个数再求和； 3. 求最多个数： 每层所有可摆放位置全部摆满；求最少个数：保证视图特征的最少数量。 题型03 由三视图还原几何体 题型全解 题型04 投影与视图综合计算题 例题13. 如图,已知图(2)是图(1)中长方体的三视图,若用S表示面积 , S主视图=x2+2x ,S左视图=x2+x , 则S俯视图=　　　　.  解:∵ S主视图 =x2+2x=x(x+2), S左视图=x2+x=x(x+1), ∴俯视图的长为x+2,宽为x+1, 则S俯视图=(x+2)(x+1)=x2+3x+2. x2+3x+2 38 题型全解 题型04 投影与视图综合计算题 例题14. 在“测量物体的高度” 活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的3棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作: 小芳:测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m,甲树的影长为4 m[如图(1)]. 小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上[如图(2)],墙壁上的影长为1.2 m,落在地面上的影长为2.4 m. 小丽:丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上[如图(3)],测得第一级台阶上影子长为0.2 m,一级台阶高为0.3 m,落在地面上的影长为4.4 m. (1)甲树的高度为　　　　m;  (2)求乙树的高度; (3)丙树的高度为(　　) A.5.5 m B.5.95 m C.6.05 m D.6.5 m 图(1) 图(2) 图(3) 39 题型全解 题型04 投影与视图综合计算题 例题14. 在“测量物体的高度” 活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的3棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作: 小芳:测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m,甲树的影长为4 m[如图(1)]. 小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上[如图(2)],墙壁上的影长为1.2 m,落在地面上的影长为2.4 m. 小丽:丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上[如图(3)],测得第一级台阶上影子长为0.2 m,一级台阶高为0.3 m,落在地面上的影长为4.4 m. (1)甲树的高度为　　　　m;  图(1) 图(2) 图(3) 解:设甲树的高度为x m.根据题意,可: 1∶0.8= x∶4, 解得：x=5. 5 40 题型全解 题型04 投影与视图综合计算题 例题14. 在“测量物体的高度” 活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的3棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作: 小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上[如图(2)],墙壁上的影长为1.2 m,落在地面上的影长为2.4 m. (2)求乙树的高度; 图(2) 解: (2)如图，设乙树的高度为AB, 则其落在地面上的影长BC=2.4 m, 乙树的AE部分的影子落在墙上的DC处, 易知四边形AECD是平行四边形, ∴AE=CD=1.2 m. 由题意,得BE∶BC=BE∶2.4=1∶0.8, 解得：BE=3 m, ∴乙树的高度： AB=AE+BE=1.2+3=4.2(m). B A C D E 41 题型全解 题型04 投影与视图综合计算题 例题14. 在“测量物体的高度” 活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的3棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作: 小丽:丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上[如图(3)],测得第一级台阶上影子长为0.2 m,一级台阶高为0.3 m,落在地面上的影长为4.4 m. (3)丙树的高度为(　　) A.5.5 m B.5.95 m C.6.05 m D.6.5 m (3) 解:如图，设丙树的高度为AB,则丙树上的AG部分落在第一级台阶上的影长EF=0.2 m, 由题意,得 = , 解得DE=0.25 m, 则CD=0.25+0.3=0.55(m). 易知四边形AGCD是平行四边形, ∴AG=CD=0.55 m, 又由题意,得：= =, ∴BG=5.5 m, ∴AB=AG+BG=0.55+5.5=6.05(m). C 42 题型全解 题型04 投影与视图综合计算题 例15．（2025•崆峒区校级一模）如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的表面积是　 ． 解：这个几何体是直三棱柱， 4×3×3＝36（cm2）． 故这个几何体的侧面积是36cm2． 两个底面的面积之和为： 24（cm2）， ∴这个几何体的表面积是cm2． cm2 43 题型全解 题型04 投影与视图综合计算题 例16.已知一纸板的形状为正方形，如图所示．其边长为10厘米，，与投影面平行，，与投影面不平行，正方形在投影面上的正投影为．若，求投影面的面积． 解：由正投影的性质可得：投影面是矩形， 且（厘米） 如图，过点作，交于点 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴（厘米） ∴（厘米） ∴矩形的面积为： （平方厘米）． 44 题型全解 方法总结 投影计算： 平行投影用正比例关系，中心投影用相似三角形建模求解； 2. 几何体计算：先由三视图提取长宽高、底面半径等关键数据，再代入表面积、体积公式计算； 3. 解题关键：实现平面视图与立体几何体的精准转化，杜绝数据对应错误。 题型04 投影与视图综合计算题 题型全解 题型05 投影与相似三角形综合 例17．（2025•兴庆区校级一模）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积为　 　 ． 解：∵OB：BB1＝2：3， ∴OB：OB1＝2：5， ∴△ABC与△A1B1C1的相似比为2：5， ∴， ∴， 375 46 题型全解 题型05 投影与相似三角形综合 例18.为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 47 题型全解 题型05 投影与相似三角形综合 例18.为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （1）解：由题意得， 由题意得：， ∴ （2）解：如图，由题意得， ，  根据镜面反射可知： ， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； 48 题型全解 题型05 投影与相似三角形综合 例18.为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 解：设，由题意得： ， ， ∴，， 即，， ∴ ， 整理得， 解得， ∴ ， ∴， 答：雕塑高度为． 49 针对训练 1．（2025•武汉）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 解：从上面看易得底层是两个正方形，上层是两个正方形，类似于应该“田”字． D 2. 灯光与物体的影子的位置最合理的是( ) B A. B. C. D. 针对训练 3．（2025•大同模拟）如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（　　） B A．主视图不变，左视图、俯视图改变 B．左视图、俯视图不变，主视图改变 C．主视图、俯视图不变，左视图改变 D．主视图、俯视图、左视图都发生改变 4. （2025安徽）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水 平放置的“阳马”的主视图为( ) A A. B. C. D. 针对训练 5.马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 解：该几何体的三视图各不相同，主视图的中间出有两个“耳朵”而左视图则没有；俯视图是三个同心圆（夹在中间的圆由虚线构成）． D 6.小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的影子不可能是的( ) 解：因为同一时刻，平行的边的平行投影是平行或重合的，所以矩形木框在地面上形成的影子应是矩形或平行四边形或一条线段，不会是梯形. A 针对训练 7．（2025•普宁市一模）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术．皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（　　） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 B 8.三根等高的木杆竖直立在地面上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ） C A． B． C． D． 针对训练 10.（2025•章丘区二模）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（　　） A． B． C． D． B 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( ) D B. C. D. 针对训练 11.（2025•天河区校级三模）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 　　 °． 解：由三视图可知，该几何体为圆锥； 由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、 半径为2，高为4， 则母线长为6， 所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为π×4÷（π×6）×180°＝120°． 120 针对训练 12.手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，光源与小明的距离应（    ） A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米 解：如图1，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，   ∵， ∴，则， ∵米，米， 则米，∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图2， 即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为： 米， A 图1 图2 针对训练 13. 如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是． (1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．） （1）如图， （2） （平方米） （元） 答：需要花费1628元． 针对训练 14 .如图，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2．则液体的体积为 ． 解：∵CQ=5dm，BC=4dm， ∴BQ==3dm， ∴液体的体积为： V液=×3×4×4=24（dm3）． 24dm3 【分析】首先根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长，由题意可知液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积． 单元总结/易错复盘 知识点总结 投影模块：掌握中心投影、平行投影、正投影的定义、区别与性质，熟练运用平行投影比例、中心投影相似三角形解决计算问题； 2. 视图模块：牢记三视图定义、“长对正、高平齐、宽相等”核心规则，掌握虚实线绘制规范，能完成视图绘制、几何体双向转化； 3. 综合应用：能结合几何公式，由视图数据计算几何体表面积、体积，解决生活中的投影测高、测距问题。 解题方法与数学思想 核心方法： 辨析法（投影类型、视图正误）、建模法（投影相似建模、几何体模型建模）、逆向推导法（三视图还原几何体）、比例计算法（平行投影计算）； 2. 数学思想：数形结合思想（平面视图与立体几何体结合）、空间转化思想（立体图形与平面图形相互转化）、建模思想（将生活实景转化为几何问题求解）。 易错点提醒 1.混淆投影类型，误用平行投影比例计算中心投影问题； 2. 三视图绘制中，遗漏不可见轮廓线、虚实线使用错误； 3. 还原几何体时，三视图长宽高对应错位，违背三大核心规则； 4. 小正方体个数计算时，漏算、多算层数和个数；5. 几何体计算时，看错三视图数据，混淆半径与直径、长与宽。 59 北师大版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $