5.1 认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过阳光体育运动中投掷物飞行路线导入，衔接一次函数知识，借助果园产量、公司利润等实际问题引导学生建立函数关系式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例驱动探究，如通过矩形面积、两数乘积问题抽象二次函数共同特征，发展模型观念与抽象能力，配有交互动画辅助概念理解。采用问题链教学法，学生能提升用数学眼光观察现实的能力，教师可依托结构化实例与分层练习优化教学。

第五章 二次函数 5.1 认识二次函数 01 教学目标 01 02 1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，发展抽象能力。 2. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，发展模型观念。 02 新知导入 复习导入 下午大课间，全校同学聚集在操场上进行阳光体育运动，好不热闹.你瞧，篮球划出一道优美的弧线进入篮框，铅球迈着沉重的步伐前进着，标枪如流星划破天空，羽毛球在空中来回舞动，…，你想过吗，这些投掷物的飞行高度随时间的变化而变化，那么飞行高度与飞行时间是什么函数关系呢？这函数有什么特点呢？从本节课开始，我们将学习这个内容. 03 新知探究 节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给 人们带来清凉。你是否注意到喷泉水流所经过 的路线？在观看篮球比赛时，你是否注意到篮 球入篮的路线？它们会与某种函数有联系吗？ 本章将在一次函数的基础上继续认识二次函数，你将体会二次函数的意义，描绘二次函数的图象，发现二次函数的性质，利用二次函数解决一些实际问题，进一步发展抽象能力、几何直观、模型观念等，不断增强应用意识。 03 新知探究 问题：某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 自变量有橙子树的棵树、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量有橙子的个数、橙子的质量等. （1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 03 新知讲解 （2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子. 03 新知讲解 （3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ 03 新知讲解 尝试·思考 （1）某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月的利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ （2）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ （3）两数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ 03 新知讲解 （1）某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月的利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ y=20（1+x）2，x＞0 03 新知讲解 当矩形为正方形且边长为10 cm时，面积是100 cm2; 当矩形的长和宽分别是15 cm和5 cm时，面积是75 cm2； y=x(20-x)=20x-x2，0＜x＜20 设矩形的一边长为x cm，面积为y cm2，则另一边长为（20-x）cm，根据题意可得 （2）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ 03 新知讲解 y=x(20-x)=20x-x2，0＜x＜20 （3）两数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ 03 新知讲解 y=−5x2+100x+60 000 y=20x2+40x+20 y=-x2+20x 都有两个变量，自变量最高次数为2，因变量最高次数为1。 思考：它们有什么共同特征？ 03 新知讲解 提炼概念 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是 x 的二次函数。 思考：你能举出一些二次函数的例子吗？ 例如：①正方形面积A与边长a的关系A=a2； ②圆的面积S与半径r的关系S=πr2。 03 新知讲解 判断方法：(1)解析式是关于自变量的整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)化简后二次项系数不为0。 03 新知讲解 二次函数的一般形式： 把y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式叫作二次函数的一般形式。其中，ax²，bx，c分别是二次项、一次项、常数项；a，b分别是二次项系数、一次项系数。 注意： a，b，c为常数，且a≠ 0（b，c可以为0），因此二次函数还有其特殊形式，如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等。 新课探究 例1 下列函数中（x,t是自变量），判断哪些是二次函数？并指出二 次函数的二次项系数a、一次项系数b和常数项c． √ a=3,b=0,c=- × 最高次为3次 √ a=5,b=1,c=1 √ a=-2,b=3,c=0 × a≠0 × 整式 √ y=3x2-6x+4 a=3,b=-6,c=4 × y=4x+4 最高次为1次 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： B 1．下列函数中，是的二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．＝3x＋1 D． 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.下列函数中(x，t 是自变量)，哪些是二次函数? y=-+3x²，y=x²-x3+25，y=2²+2x，s=1+t+5t²。 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.下列函数中(x，t 是自变量)，哪些是二次函数? y=-+3x²，y=x²-x3+25，y=2²+2x，s=1+t+5t²。 解：二次函数有y=-+3x²，s=1+t+5t²。 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 3.如图，一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余部分的面积为y cm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？ 20 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 解　根据题意，得y=122-2x(x+1)=-2x2-2x+144. ∵小长方形的长为2x cm，宽为(x+1)cm， ∴x+1<2x≤12，解得1<x≤6. ∴y与x之间的函数关系式为y=-2x2-2x+144(1<x≤6). ∴y是x的二次函数. 21 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（ ） A.y=x(15-2x) B.y=x(16-2x) C.y=x(14-2x) D.y=x(16-x) B 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.下列关系中，是二次函数关系的是( ) A.当距离s一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C.圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D.正方形的周长C与边长a之间的关系 C 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 返回 3.下 列 函 数 ： (1)y=-3x²；(2)y=x²+；(3)y=3x²-4-x3；(4)y=-2-x²； (5)y=ax²+3x+6；(6)y=4-；(7)y=(x-1)²-x²。 其中，一定是y关于x的二次函数的有 。(填序号) (1) (4) 06 作业布置 【综合拓展类作业】 4.如图，在一面靠墙的空地上用长为 的篱 笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃 （中间的篱笆垂直于墙），设花圃的边 的长 为，面积为 。 （1）若墙足够长，求与之间的函数表达式及自变量 的取值范围； （2）当时，矩形花圃的面积最大，此时的面积为____ ； （3）若墙的最大可用长度为，求此时自变量 的取值范围。 06 作业布置 【综合拓展类作业】 （2）48 （3）因为，所以。结合（1）得 。 （1）解： ， 由题意得解得 。 二一教育 $