综合与实践-猜想、证明与拓广2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕图形周长与面积关系的猜想、证明与拓广展开，从正方形“倍增”问题导入，先研究具体实例再拓展到一般矩形，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生逐步深入探究。 其亮点在于以“问题情境—猜想—验证—证明—拓广”为主线，结合数学眼光观察图形关系，数学思维推理证明，数学语言用方程与判别式表达。如矩形“减半”问题通过判别式分析存在性，小结明确探究过程与思想方法。帮助学生发展探究能力和逻辑思维，为教师提供结构化教学流程和丰富实例。

综合与实践：猜想、 证明与拓广 综合与实践 九年级上 BS 1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强发现和提出问题的能力，以及对问题进行自主探索的意识，积累探索和发现的经验. 2.在探究问题结论和论证结论正确性的过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识. 3.在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想和方法，体会证明的必要性. 学习目标 任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?你是怎样解决这个问题的? 探究活动一 ：正方形的“倍增”问题 设有边长为1的正方形，其面积为1.若周长倍增，即边长变为2，则面积应为4.若面积倍增，即面积变为2，则其边长应为.说明不存在这样的正方形. 新课引入 已知正方形 所求正方形(周长倍增) 所求正方形(面积倍增) 边长 周长 面积 4 16 2 8 4 16 8 3 12 9 24 18 6 36 你能验证你的猜想吗? 猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍. 问题1 从上述问题出发，你能提出哪些更一般猜想? 猜想与证明 猜想 对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍. 证明：设给定的正方形边长为a，则其面积为a2. 若周长倍增，即边长变为2a，则面积应为4a2. 若面积倍增，即面积变为2a2，则其边长应为. 这说明不存在这样的正方形. 猜想与证明 任意给出一个等边三角形，是否存在另一个等边三角形，它的周长和面积分别是已知等边三角形周长和面积的 2 倍? 任意给出一个圆，是否存在另一个圆，它的周长和面积分别是已知圆周长和面积的 2 倍? 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? ...... 本节课我们先来解决矩形的“倍增”问题. 问题2 刚才研究的是正方形的“倍增”问题.从这个问题出发，你能提出哪些更一般的问题?你能解决你的问题吗? 猜想与证明 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? (1)你想怎样解决这个问题? (2)选择一些具体的矩形试一试，你有什么发现和猜想?能证明你的猜想吗? 探究活动二 ：矩形的“倍增”问题 矩形的形状太多，可以先研究一个具体的矩形. 猜想与证明 探究1 如果已知矩形的长和宽分别为2和1，你能找到满足上页要求的矩形吗?你有哪些解决方法? 分析：已知矩形的长和宽分别为2和1，其周长和面积分别为6和2，所求矩形的周长和面积应分别为12和4. 猜想与证明 方法一： 分析：先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形有很多，它们的长和宽可以是5和1，4和2，3和3，也可以是和……其中是否有面积为4的矩形? 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为6-x，面积是x(6-x).根据题意，得 x(6-x)=4. 解得x1=3+x2=3-. 猜想与证明 方法二： 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为，周长是2(x+).根据题意，得 2(x+)=12. 解得x1=3+x2=3-. 分析：先固定所求矩形的面积：面积为4的矩形也有很多，它们的长和宽可以是4和1，2和2，和8……其中是否有周长为12的矩形? 猜想与证明 方法三： 解：设所求矩形的长和宽分别为x和y，根据题意，得 x+y=6. xy=4. 解得 x1=3+ y1=3- x2=3- y2=3+ 结论：已知矩形的长和宽分别为2和1，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 猜想与证明 探究2 当已知矩形的长和宽分别为3和1，是否还有相同的结论? 分析：已知矩形的长和宽分别为3和1，其周长和面积分别为8和3，所求矩形的周长和面积应分别为16和6. 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为8-x.根据题意， 得 x(8-x)=6. 解得x1=4+x2=4-. 结论：已知矩形的长和宽分别为3和1，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 猜想与证明 问题3 你能将上述 “探究活动二” 的问题加以拓广，并提出自己的猜想吗? 猜想1：当已知矩形的长和宽分别为n和1，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 猜想2：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 你能验证你的猜想吗? 拓广与证明 猜想1 已知矩形的长和宽分别为n和1，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 分析：已知矩形的长和宽分别为n和1，其周长和面积分别为2(n+1)和n，所求矩形的周长和面积应分别为4(n+1)和2n. 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为2(n+1)-x.根据题意， 得 x[2(n+1)-x]=2n. 解得x1=n+1+x2=n+1-. 这说明存在这样的矩形. 拓广与证明 猜想2 任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍. 证明：设给定的矩形的长和宽分别为n和m. 设所求矩形的长为x，那么它的宽为2(n+m)-x.根据题意， 得 x[2(n+1)-x]=2nm. 解得x1=n+m+x2=n+m-. 这说明存在这样的矩形. 拓广与证明 探究活动三 ：矩形的“减半”问题 刚才研究的是矩形的“倍增”问题.接下来，我们研究矩形的“减半”问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? (1)你有怎样的猜想? 拓广与证明 这个结论是肯定的.理由是： 既然任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半. 类比矩形的“倍增”问题的研究方法，请选择一些具体的矩形试一试. 拓广与证明 探究3 已知矩形的长和宽分别为2和1，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 分析：已知矩形的长和宽分别为2和1，其周长和面积分别为6和2，所求矩形的周长和面积应分别为3和1. 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为-x.根据题意， 得 x(-x)=1. 判别式b2-4ac<0，即方程无解， 所以不存在这样的矩形. 拓广与证明 探究4 当已知矩形的长和宽分别为3和1，是否还有相同的结论? 分析：已知矩形的长和宽分别为3和1，其周长和面积分别为8和3，所求矩形的周长和面积应分别为4和. 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为2-x.根据题意， 得 x(2-x)=. 判别式b2-4ac<0，即方程无解， 所以不存在这样的矩形. 拓广与证明 探究5 当已知矩形的长和宽分别为6和1，是否还有相同的结论? 分析：已知矩形的长和宽分别为6和1，其周长和面积分别为14和6，所求矩形的周长和面积应分别为7和3. 解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为-x.根据题意， 得 x(-x)=3. 解得x1=2x2=. 所以存在这样的矩形. 你的猜想需要修正吗? 猜想：“减半”矩形有的存在，有的不存在. 拓广与证明 猜想：“减半”矩形有的存在，有的不存在. 证明：设已知矩形的长和宽分别为n和m. 设所求矩形的长为x，那么它的宽为(n+m)-x.根据题意， 得 x[(n+m)-x]=nm. 判别式b2-4ac=n2+m2-6nm. (2)如果证明你的猜想? 拓广与证明 ①当b2-4ac≥0，即n2+m2≥6nm时，方程有解.这说明，当已知矩形的长n、宽m满足n2+m2≥6nm时，存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半. ②当b2-4ac<0，即n2+m2<6nm时，方程无解.这说明，当已知矩形的长n、宽m满足n2+m2<6nm时，不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半. 结论：对于任意一个矩形，不一定存在周长和面积都减半的矩形，需要分情况讨论. 拓广与证明 思考1 在解决上述问题的过程中，你遇到了什么困难?是如何克服的? 困难：①直觉误区：误认为矩形能倍增就一定能减半，与实际结论矛盾; ②代数建模易错：设元、列方程及判别式计算易出错，尤其周长减半后的边长关系与符号处理. 解决方法：①实例修正猜想：用具体矩形（如长 6、宽 1）计算，直观验证 “减半矩形不一定存在”，修正直觉; ②规范解题：设元清晰、先写等量关系再列方程、规范整理标准式并核对判别式符号，解后回代验证. 反思与再拓广 思考2 积累了哪些解决问题的经验? 面对特殊问题得到特殊结论，我们可以将其问题一般化，再探究这一结论是否仍然存在，形成一个命题，再给予证明，然后再换一个角度或层面进一步探讨，从而拓展加深加广. 反思与再拓广 思考3 你还能提出哪些可以继续研究的问题? 任意给定一个（ ）形，是否存在另一个（ ）形，其周长和面积是已知图形周长和面积的（ ）? 探索过程： 验证过程： 收获与发现： 评价： 课题学习记录卡 反思与再拓广 1.下列一个矩形存在与另一个矩形的周长比、面积比均为，这个矩形的长、宽分别为( ) A.2和1 B.3和1 C.4和1 D.6和1 D 2.正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…，按如图所示的方式放置.点A₁，A₂，A₃，…，和点C₁，C₂，C₃，…，分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，已知点B₁(1，1)，B₂(3，2)，则Bn的坐标是( ) A.(2n-1，2n-1) B.(2n-1+1，2n-1) C.(2n-1，2n-1) D.(2n-1，n) A 随堂练习 3.(万唯原创)观察以下等式： 第1个等式：2×＝1－；第2个等式：×＝－； 第3个等式：×＝－；… 按照以上规律，解决下列问题： ×＝－ 解：×＝－. 等式右边＝－＝＝ ∴左边＝右边，∴等式成立． (1)写出第4个等式________________________； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明． 随堂练习 发现规律 问题情境 初步猜想 验证 探究性问题的“数学化”研究过程： 证明 拓广 特殊到一般、数形结合的思想和方法 课堂小结 $