北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D D C A C C D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.8 315 35 12.16#16 13.①.y=±3x②.5 8 37 14.①.27②.64 15.①②③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.【答案】(1)π 5 1 (2)最大值为2，最小值为2 2V6+1 (3) 6 【小问1详解】 7=2红2x 1回2 【小问2详解】 2x+ 由正弦函数性质可知，当66，即6时，函数()有最小值，即 f- 2x+π元 x=刀 5 所以函数f()的最大值为2，最小值为2： 【小问3详解】 a02 sina= 3,所 cosa=-sin'a= 3, 22 1 sin2a 2sinacosa cos2a =1-2sin'a 则 3, f(a）=sin2au+ =sin2acos+cos2asin ,元2W23,1126+1 则 6 6 63232 6 5 17.【答案】(1)3 12+8V5 C= 21+14v5 C= (2)若选条件①②， 5 ；若选条件①③， 6；若选条件②③，△ABC不存在 【小问1详解】 Sin24-4 cosA 2sinAcos/=4 cosA 因为 ，则 3 2 sinA= ∠A为锐角，得c0sA>0,可得 3 所 c0s4-v1-sin5 【小问2详解】 cosB 若选条件①②：因为 5,nBe(@则，则imB=M-cosB-手 3 5 可知角A,B确定，且己知a=4,所以△ABC存在且唯一确定， 则 inC=sin(4+B)=sindcosB+cos4sing=2x354645 353515 e=asinc 4x6+4V5 15-12+8V5 a sinA 2 5 由正弦定理可知sinA sinC,所以 3 OsB= 若选条件①③：因为 5,且Be(0m.则sinB=h-cosB=4 5. 可知角A,B确定，且己知b=7,所以△ABC存在且唯一确定， 则 inC=sin(4+B)=sindcosB+cos4sinB=25645 353515, bsinc 7x6+4V5 C= 15= 21+14V5 b sinB 6 由正弦定理可知sinB sinC，,所以 5 若选条件②③：由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 becosA, 16=49+c2-2×7×c× 灯 214V5 即 3，整理可得 3c+33=0 14V5 4×1×33=-208<0 3 9 c2-14 因为 ,可知方程 3c+33=0 无实数解， 所以△ABC不存在. 2 18.【答案】(1)3 (2) X 0 1 3 4 1 2 1 2 1 36 9 2 9 36 (3)67 【小问1详解】 m+n+66 由题意可知： 3 ∈[69.95,70.05) 测m+ne[43.85,14415) 且m和n都是正整数，则m+n是正整数，所以m+n=144, 若n=76,所以m=144-n=68 设这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分为事件A, 则样本空间D={a,bc,d,e/,8,h,A={c,d,ef,8,,可得n(2)=9,n(4=6, P、 n(A)62 所以这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率为 n(2)93 【小问2详解】 大模型a,b,C,d中综合得分超过65分有b,C, 大模型e,∫，8，h中综合得分超过65分有e,h, 可知随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，则有： P(x-0)-CCiCC-1 CC36 P(x=)cC·Cc+C-cCC-82 CC 369 (x-2)-Cccc+cccc+cccc18_1 C2.C2 362 (X=3)-Cccc+c.c..c.c82 CC网 369 P(X=4) C3C9C2C2-1 C2.C2 36 所以X的分布列为 X 0 1 3 P 36 2-9 2 2-9 36 【小问3详解】因为基础能力得分的平均数为 x=65+67+70+58+6+53+49+64+m_492+m 9 9， -65+67+70+58+66+58+49+64+m）.38696-904m+8m 方差 81 _74+76+80+68+75+63+59+77+n_572+n X2= 中文特性得分的平均数为 9 9 方差=。(74+762+802+682+752+632+592+772+2)-x,2=44336-1144n+8n2 81 3696-984m+8m2_44336-1144n+8n2 若=，即 81 81 整理可得(m+n-133)(m-n+10)=0 又因为m+n=144,即m+n-133≠0，可得m-n+10=0,即n-m=10, m+n=144 m=67 联立方程n-m=10,解得n=7, 所以m的值为67. 19.【答案】(1)y=2x-2 (2)2 (3)a=1 【小问1详解】 因为/@)=(+lhr,所uf)=nr+中 ,又因为f(0)=0,f)=2. 所以切线方程为y-0=2(x-),即y=2x-2. 【小问2详解】 ()-=f)=1x++'x>0)ng()=-- 由题意知 ,所以 =x天x2, 当0<x<1时，8()<0,8(x)单调递减；当>1时，8()>0,8()单调递增， 故8()在x=1取到最小值为8(0)=m+1+1=2 【小问3详解】 x-a>0 因为当x∈(L,+o)时，lnx>0,所以原不等式等价于(x+)1nx之x-a, a<x 即la之x-(x+)nr对所有x>1恒成立. 设h()=x-(x+)1x,x>1,所以 =1-a+-r0 故h()在（山，+∞）上单调递减，所以h()<h0)=1,因此a≥1： 又a<x对所有x>1恒成立，故a≤1， 因此a=1. 20.【答案】(1)a=-3,b=1 (2)[2n2,+o） (3)-2 【小问1详解】 f(x)=xe'+ax+b.xER, 由切点(0，f(0》在直线y=-2x+1上，也在函数f()图象上， 可知f(0)=-2x0+1=l且f(0)=0-e°+a-0+b=b,可得b=1, 由()=(x+l)e+a,则切线的斜率为f(o)=1+a=-2, 解得a=-3: 故a=-3,b=1. 【小问2详解】 由(1)知，f(x)=e-3x+1 则(x+m）-f()-m=(x+m)e-xe-3(x+m）)+3x-m =(x+m)e**m-xe*-4m 故盟意可转化为(+m)e”-e-4m>0对任意x∈R*恒成立。 法一：令8()=(+m)e-e-4m,x>0, 则8()=(c+m+)e-(+e*=e[x+m+1)e-(x+】 当m>0时，由x+m+1>x+1>0且em>1>0, 则x+m+e-(x+l)>0,即8(x)>0, 则8()在(0，+)上单调递增，又8(O)=me”-4m 要使8()>0对任意xER恒成立， 则me"-4m≥0，解得m≥2ln2, 当m=0时，f(x+m)f()=0>0不成立： 当m<0时，0<e<1,x+m+1<x+1,且x+1>0, 则x+m+1)e-(x+)<(x+1)e-(x+1)=(x+1(e-)0 即8'()<0，则8(x)在(0，+)上单调递减， 又当x→+0时，8（四→”，不满足腿意 综上所述，m的取值范围为[21血2，+∞) 法二： 不等式(x+m)e-e-4m>0可转化为 c+m）em-xe=4m>0 e +m)e一>0脑xR短 当m=0时，f(x+m)-f()=0>0不成立， 当m<0时，设 (x)=(x+m)e"-x-4m *,x>0. 当x→+0时，由m<0,可知e"-1<0, h(x)=(e"-1)x+me"_4m_ →-00 这与h()>0对任意x∈R恒成立矛盾； 当0<m<2n2时，h(0)=me-4m=m(e"-4)<0 h(2n2)=h(n4)=(m+ln4)e-ln4-m>(m+ln4)1-ln4-m=0 串-e-10 ,或4()在Q+)上草调道猫 故h()在(0，+o)上存在唯一零点，设为， 且当0<x<时，h()h)=0,即 c+m）e-e-4m<0 此时不等式f(x+m）f()>m不成立： 当m≥2ln2时， (x)=e"-1+4n>0 则h()在(0，+)上单调递增， 由x>0,故h()>h(O)=me”-4m≥0 故不等式 (+m)e >0.即f(+m川）f)m面院立， e 综上所述，m的取值范围为[2h2,+∞)， 【小问3详解】 法一：设F()=f(x+)+f(k-)-2f(k),x>0, F(x)=f(x+k)-f(k-x)=(x+k+1)e*-(k-x+1)e- =(x+k+1)e*+(x-k-l)e. 令)=(+k+1)e+(x-k-1)ex 则()=(+k+2)e+(2+k-x)e， 其中F(O)=0,F'(0)=0.t(0)=2(k+2)e 当k=-2时，t()=e2+(-x)e2r=e2(e-e）>0 则F'(t)在(0，+o)上单调递增，故F'()>F'(O)=0, 故F()在(Q,切)上单调递增，放F()>F(O)=0, 即当x>0时，f(+)+化->2（因）恒成立，满足题意： 当k>-2时，设p(k)=(+k+2)e+(2+k-)e =[e(k+x+2)+e*(k-x+2)]e =[(e+e)k+2)+xe-e]e 由x>0,k>-2,可知e*+e>0且k+2>0, 则(（e+e）k+2)+(e-e)）>0,可知p()在(-2，o)上单调递增， 故o(k)>p(-2)=e+(-e=e2(e-e)>0.即r()>0, 故F'(在(0，+)上单调递增，故F'()>F'(O)=0, 故F(x)在(0，+o）上单调递蹈，故F()>F(O)=0, 即当x>0时，f(x+)+f(k-)>2f()恒成立，满足题意： 当k<-2时，此时'(0)=2(k+2)e<0,又F'(0)=0, 则存在正实数6，使得x∈(O,),F'(x)<0 则F()在(O,6)上单调递减，则F(x)<F(O)=0, 即当0<x<x,(x+)+f(k-)K2f(k),不满足题意： 综上所述，k之-2，即k的最小值为-2. 法二：由(x+)+(k-x)>2f()可得 (k+x)e-3(k+x)+1+(k-x)e--3(k-x)+1>2(e-3k+1 则(k+e+(k-)e>2hke,即(k+xe+(k-x)e>2k, 则k(e+e-2小>x(e-e). 由x>0,可知e+e>2,则e*+e-2>0, 、x(ex-e) k 故原不等式可转化为 e*+e*-2, x(e-e） xe2+e2 xe 2+e2 x(e+1) e*+ex-2 (e2-e2)2 e2-e2 e-1 由 ()te+） 设 e-1,x>0. G()=-【x+1e+e-e(e+1_-e2-2e- (e-1)2 (e-2, 设M()=e2-2e-1,x>0,令1=e, 则H()=-2t-1,t>1, 由H'(g)=2t-21+l)=2t-1-lm). 再令P)=t-1-lh,t>l, P0-i片号0.P0)北 故P>P()=0,则H'()>0,故I(O在（山，+）上单调递增。 所以H(0>H(0)=0,即M(x)>0,G(x)<0, 放G()在(0，+0)上单调递减， limG(x)=-lim n(x+10e+1=-2 又由洛必达法则可知 e 故要使当x>0时，k>G()恒成立，则k≥-2， 即k的最小值为-2. 21.【答案】(1) 3 (2)L 【小问1详解】 当直线B与x轴垂直时，设其方程为=(5<1<V2)】 由点A,B关于心轴对称，且OA LOB,由勾股定理可知不妨设4，)， 将点A的坐标代入椭圆C的方程，得P+2=2,解得 3 所以直线AB的方程为一3」 【小问2详解】 ON√2 OM√6 - 当直线AB的斜率不存在时，由(I)知 3 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=c+m, y=kx+m, 由r+2y=2,得(2k2+1）x2+46x+2m2-2=0 由A=8(22-m+小>0，得m2<1+22 4km 2m2-2 设4（G,4）8().则+5=2+1,5=2K+. 因为OA⊥OB,所以OAOB=0 所以x+y=x2+(G+m)(x2+m)=0 整理得（+小6+m(G+x)+m㎡2=0 所以（k2+2m2-2+km(-4km)+m2(2k2+1）=0 m22 解得3m2=2k2+2,从而 3 设ON=2OM,其中元>0， 丽=oi+0丽-+5,4+⅓) (-2kma mA 则 2k2+1'2k2+1 -2kmA mi 将(2k2+1'2K2+1)代入椭圆C的方程，得m22=22+1. 22=3-1 所以m22=3m2-1,即 m22 3 ≤22<3 6 ≤九<5 因为 3,所以2 即2 ON 综上OM的取值范围是L 2026北京北师大附中高三9月月考 数　　学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C． D． 3．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 4．正方体中，错误的是（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 5．已知向量，满足，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（ ） A． B． C． D． 7．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知是数列的前项的和，且，，则（ ） A．68 B．56 C． D． 9．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止2025年，其算力已提升至，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破？（ ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 10．已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．展开式中的系数为_________． 12．在中，，，，则_________． 13．双曲线的渐近线方程为_________；若与圆交于，，，四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则_________． 14．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是_________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是_________． 15．对于函数现有下列结论： ①任取，都有； ②函数在上先增后减 ③函数有3个零点； ④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则 其中正确结论的序号为_________（写出所有正确命题的序号） 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 17．在中，为锐角，且． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 18．为评估国内AI大模型的使用效果，某评测机构从国内众多AI大模型中随机抽取9个AI大模型，并从基础能力、中文特性和专业能力三个维度对这9个AI大模型进行评测，评测结果如下表所示． AI大模型 大模型 a 大模型 b 大模型 c 大模型 d 大模型 e 大模型 f 大模型 g 大模型 h 大模型 i 基础能力得分 65 67 70 58 66 53 49 64 m 中文特性得分 74 76 80 68 75 63 59 77 n 专业能力得分 56 60 73 63 70 59 54 66 66 综合得分 65.0 67.7 74.3 63.0 70.3 58.3 54.0 69.0 70.0 综合得分是基础能力得分、中文特性得分和专业能力得分的算术平均数（精确到0.1）．其中和都是正整数． （1）若，从这9个AI大模型中随机取1个大模型，求这个大模型的专业能力得分大于基础能力得分的概率； （2）从大模型，，，中随机取2个大模型，从大模型，，，中随机取2个大模型，记这4个大模型中“综合得分超过65分”的大模型的个数为，求的分布列； （3）记这9个大模型的基础能力得分和中文特性得分的方差分别为，，若，写出的值．（结论不要求证明） 19．已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，求函数的最小值； （3）若在上恒成立，求实数的值． 20．已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 21．已知椭圆，点，在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． （1）当直线与轴垂直时，求直线的方程； （2）求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $