第1章一元二次方程单元测试 2026-2027学年青岛版数学九年级上册

**基本信息** 青岛版九上一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，适配单元复习，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|一元二次方程定义、根的判别式、配方|结合方程根与系数关系，如第7题考查两根代数式求值| |填空题|10题40分|解方程、根的判别式、实际问题建模|第13题以水果销售为情境，体现模型意识| |解答题|8题78分|韦达定理综合应用、几何应用、材料阅读|24题矩形铁皮制作方盒问题，25题结合韦达定理材料探究，培养创新意识与推理能力|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—一元二次方程 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：青岛版2024九年级上册第一章—一元二次方程 一、选择题（共32分） 1．（本题4分）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 2．（本题4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 4．（本题4分）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 5．（本题4分）某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 7．（本题4分）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 8．（本题4分）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 二、填空题（共40分） 9．（本题4分）方程的根为________． 10．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 11．（本题4分）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 12．（本题4分）若关于的方程是一元二次方程，则________． 13．（本题4分）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 14．（本题4分）已知，是关于x的一元二次方程的两根，且，则k的值为______． 15．（本题4分）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 16．（本题4分）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 17．（本题4分）已知：m、n是方程的两根，则 _____． 18．（本题4分）下列命题：①若是一元二次方程的根，则也是方程的根；②若，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；③一元二次方程的两根为，若．则．其中正确的是_____． 三、解答题（共78分） 19．（本题8分）解方程： (1)； (2)； 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 21．（本题8分）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 22．（本题10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根是1，请求出的值和另一个根． 23．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 24．（本题10分）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 25．（本题12分）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 26．（本题12分）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—一元二次方程 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：青岛版2024九年级上册第一章—一元二次方程 一、选择题（共32分） 1．（本题4分）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，，即可求出a的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（本题4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 3．（本题4分）将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 4．（本题4分）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 5．（本题4分）某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平均下降率问题的求解方法，按照两年后待机时长=初始待机时长年平均下降率，代入对应量即可列出方程． 【详解】解：设该手机待机时长的年平均下降率为， ∵初始待机时长为小时， ∴一年后待机时长为，两年后待机时长为， 又∵现在待机时长为小时， ∴可得方程． 6．（本题4分）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 7．（本题4分）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 8．（本题4分）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 二、填空题（共40分） 9．（本题4分）方程的根为________． 【答案】， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 10．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 11．（本题4分）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 12．（本题4分）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 13．（本题4分）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了-元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润等于每箱的利润乘以平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 14．（本题4分）已知，是关于x的一元二次方程的两根，且，则k的值为______． 【答案】2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再代入题目给出的等量关系求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系得，， ， ， 解得． 15．（本题4分）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 16．（本题4分）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 17．（本题4分）已知：m、n是方程的两根，则 _____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的含义，根与系数的关系，求解代数式的值．根据m、n是方程的两根，即可得到，，，，从而得到，，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ； 故答案为：3． 18．（本题4分）下列命题：①若是一元二次方程的根，则也是方程的根；②若，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；③一元二次方程的两根为，若．则．其中正确的是_____． 【答案】 ①②/②① 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． ①把分别代入方程和进行判断即可；②根据根的判别式进行判断即可；③根据时，满足，由，，得出，即可判断此项错误． 【详解】解：①把分别代入方程和得： ，， ∴， ∴若是一元二次方程的根，则也是方程的根，故①正确； ②∵，故， ∴方程可化为：， ∴， ∵关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故②正确； ③当时，满足， 此时，， ∴，故③错误； 综上，正确的有①②， 故答案为：①②． 三、解答题（共78分） 19．（本题8分）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程和因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， ∴， ∴，； （2）解：移项，得， 因式分解，得，， 于是，得，或， ∴，． 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1) 证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 21．（本题8分）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键，用公式法求解要将一元二次方程先化为一般式，再运用公式法求解． （1）先将3移项，得，此时，计算，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，据此判断甲同学和乙同学的答案； （2）先移项得，左边提公因式，再利用提公因式法解此方程即可． 【详解】（1）解：甲同学的解法错误，乙同学的解法错误， 故答案为：不正确，不正确； （2）移项，得， ， 或， 解得． 22．（本题10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根是1，请求出的值和另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根是7 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知，然后即可求得m的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得m的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； （2）解：∵方程有一个根是1， ∴， 解得， ∴方程为， 解得，， ∴方程的另一个根是7． 23．（本题10分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用公式法解一元二次方程． （1）将代入方程，利用公式法求一元二次方程的解； （2）根据根与系数的关系求出方程的另一个根以及的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ， 解得，； （2）解：设方程的另一个解为， 由根与系数的关系可知：， 解得， ，解得， ∴，方程的另一个根为． 24．（本题10分）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次的方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式． 设切去的正方形边长为，根据“无盖方盒的底面积为，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设切去的正方形边长为． ． ， ，．（舍去） 切去的正方形边长为． 25．（本题12分）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 26．（本题12分）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 学科网（北京）股份有限公司 $