第1章 一元二次方程 单元测试卷-2026-2027学年青岛版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程核心知识，通过基础概念、运算推理及实际应用问题设计，全面考查抽象能力与模型意识，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10/30|一般形式、根与系数关系、增长率问题等|如超市营业额增长（方程建模）、换元法解（x²+y²）方程（抽象思维）| |选择题|10/30|方程定义、配方法、判别式应用等|等腰三角形周长计算（几何与方程结合）、商品降价利润问题（应用意识）| |解答题|6/60|解方程、几何应用、利润问题等|自行车车棚面积计算（空间观念）、棉帽销售利润（数据分析与模型意识）|

第1章 一元二次方程 一．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）将一元二次方程x（x﹣2）＝5x﹣3化为一般形式是 　 　 ． 2．（3分）方程x2﹣3＝0的根是　 　 ． 3．（3分）设α和β是方程x2﹣4x+3＝0的二根，则α+β的值为　 　 ． 4．（3分）已知关于x的方程x2+4x﹣k＝1有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　 ． 5．（3分）某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为　 　 ． 6．（3分）已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值是　 　 ． 7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，则道路宽x为 　 　 m． 8．（3分）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（2x+m+2）2+b＝0的解为　 　 ． 9．（3分）若两数的差为4，且它们的积为45，则这两个数为 　 　 ． 10．（3分）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2﹣4|0，则第三边长为　 　 ． 二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1＝0 2．（3分）用配方法解方程x2+6x+7＝0，下面配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝﹣2 B．（x+3）2＝2 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣3）2＝﹣2 3．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　） A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1 4．（3分）等腰三角形一边长为4，另一边是方程x2+x﹣6＝0的根，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．6或10 B．8 C．10 D．8或10 5．（3分）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 6．（3分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k 7．（3分）若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 8．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 9．（3分）某商品原售价250元，经过连续两次降价后售价为200元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（　　） A．200（1+x）2＝250 B．250（1﹣x）2＝200 C．250（1+x）2＝200 D．200（1﹣x）2＝250 10．（3分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（80﹣x）（200+8x）＝8450 B．（40﹣x）（200+8x）＝8450 C．（40﹣x）（200+40x）＝8450 D．（40﹣x）（200+x）＝8450 三．解答题（共6小题，满分60分） 1．（20分）用适当的方法解方程 （1）（x+3）2＝（1﹣2x）2 （2）（3y﹣1）2﹣6＝0 （3）x2﹣4x＝5 （4）x2﹣1＝2（x+1） 2．（8分）如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽． 3．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值． 4．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）； （3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值． 5．（8分）化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m﹣1），其中m是方程x2+x﹣1＝0的一个根． 6．（8分）冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 参考答案 一．填空题 1．【解答】解：x（x﹣2）＝5x﹣3， x2﹣2x＝5x﹣3， x2﹣7x+3＝0， 故答案为：x2﹣7x+3＝0． 2．【解答】解：方程整理得：x2＝3， 开方得：x＝±， 故答案为：x＝± 3．【解答】解：∵α和β是方程x2﹣4x+3＝0的二根， ∴α+β4， 故答案为：4． 4．【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4×1×（﹣k﹣1）＞0， 解得k＞﹣5． 故答案为：k＞﹣5． 5．【解答】解：二月份的营业额为30×（1+x）， 三月份的营业额为30×（1+x）×（1+x）＝30×（1+x）2， 即所列的方程为30×（1+x）2＝56， 故答案为30×（1+x）2＝56． 6．【解答】解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12， （x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12＝0， （x2+y2+3）（x2+y2﹣4）＝0， x2+y2+3＝0，x2+y2﹣4＝0， x2+y2＝﹣3，x2+y2＝4， ∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数， ∴x2+y2＝4， 故答案为：4． 7．【解答】解：设道路的宽为xm， 根据题意得：32×20﹣32x﹣2×20x+2x2＝570， 整理得：x2﹣36x+35＝0， 解得：x＝1或x＝35（不合题意，舍去）． 故答案为：1． 8．【解答】解：由条件可知a[（2x+2）+m]2+b＝0， ∵a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1， ∴2x+2＝2或2x+2＝﹣1， 解得x1＝0，． 故答案为：x1＝0，． 9．【解答】解：设较小的数为x，根据题意得x（x+4）＝45 解得x＝5，x＝﹣9． 那么这两个数就应该是5，9或﹣5，﹣9． 10．【解答】解：∵|x2﹣4|≥0，， ∴x2﹣4＝0，y2﹣5y+6＝0， ∴x＝2或﹣2（舍去），y＝2或3， ①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：； ②当2，3均为直角边时，斜边为； ③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是． 二．选择题 1．【解答】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误； B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确； C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误； D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误； 故选：B． 2．【解答】解：∵x2+6x+7＝0， ∴x2+6x＝﹣7， ∴x2+6x+9＝﹣7+9， ∴（x+3）2＝2． 故选：B． 3．【解答】解：5x2﹣1＝4x， 5x2﹣4x﹣1＝0， 二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4， 故选：C． 4．【解答】解：x2+x﹣6＝0， （x+3）（x﹣2）＝0， x+3＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝2， ∴三角形另一边长为2， ∴等腰三角形一边为4，另一边为2， 若腰为4，底为2，则三边为4、4、2， ∵4+2＞4，满足三角形三边关系， ∴此时三角形的周长为：4+4+2＝10， 若腰为2，底为4，则三边为2、2、4， ∵2+2＝4，不满足三角形三边关系， ∴2、2、4三边不能构成三角形； 综上，这个等腰三角形的周长为10． 故选：C． 5．【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得m＝1． 故选：A． 6．【解答】解：（1）当k＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1； （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0， 解得k， 由（1）和（2）得，k的取值范围是k． 故选：A． 7．【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 8．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 9．【解答】解：第一次降价后的价格为250（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x， 为250（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是250（1﹣x）2＝200． 故选：B． 10．【解答】解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，又每件售价降价x元后，利润为每件（40﹣x）元． 每降价1元，每星期可多卖出8件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为（200+8x）． 根据题意得：（40﹣x）×（200+8x）＝8450， 故选：B． 三．解答题 1．【解答】解：（1）（x+3）2＝（1﹣2x）2 x+3＝±（1﹣2x）， ∴， （2）（3y﹣1）2﹣6＝0 ， ，； （3）x2﹣4x＝5 x2﹣4x﹣5＝0， （x+1）（x﹣5）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝5； （4）x2﹣1＝2（x+1）， （x+1）（x﹣1）＝2（x+1）， （x+1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3． 2．【解答】解：设AB＝x，则BC＝38﹣2x； 根据题意列方程的， x（38﹣2x）＝180， 解得x1＝10，x2＝9； 当x＝10，38﹣2x＝18（米）， 当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去． 答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米． 3．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0， 解得：k； （2）∵k， ∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0， 又∵x1•x2＝k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1， ∵|x1|+|x2|＝x1•x2， ∴2k+1＝k2+1， ∴k1＝0，k2＝2， 又∵k， ∴k＝2． 4．【解答】解：（1）依题意，得Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2） ＝k2+2k+1﹣8k+8 ＝k2﹣6k+9 ＝（k﹣3）2≥0， ∴此方程总有两个实数根． （2）将方程左边因式分解得（x﹣2）[x﹣（k﹣1）]＝0， 则x﹣2＝0或x﹣（k﹣1）＝0， 解得x1＝2，x2＝k﹣1； （3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长， ∴k﹣1＝2． ∴k＝3． 5．【解答】解：原式＝m2+2m+1+m2﹣1 ＝2m2+2m， ∵m是方程x2+x﹣1＝0的一个根， ∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1， 则原式＝2（m2+m）＝2． 6．【解答】解：（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%． （2）设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为 400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 学科网（北京）股份有限公司 $