27.2.1 反比例函数的图象和性质（1） 教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章　反比例函数 27.2.1　反比例函数的图象和性质（1）（教学设计） 一、教学目标（核心素养导向） 1．掌握描点法，能规范地画出反比例函数的双曲线图象； 2．熟记 k 的正负对应的图象所在象限与增减变化规律； 3．会利用反比例函数的图象与性质完成判断与简单计算。 二、教学重点 掌握描点法画反比例函数的双曲线，理解 k 的正负决定图象所在象限与增减性，能运用图象性质解题。 三、教学难点 准确理解同一象限内 y 随 x 的变化规律，区分不同象限内函数的增减情况，规范画出平滑的双曲线。 四、教学过程 活动一：以旧引新，导入新课 【复习导入】 一次函数 （k≠0）；二次函数 （a≠0）。 思考：反比例函数 的图象是什么样子？我们用什么方法画它的图象？有哪些步骤？按 k 的取值应如何分类讨论？ 【参考答案】画反比例函数的图象用描点法；步骤为列表、描点、连线；按 k 的正负分 k>0 与 k<0 两类讨论；图象的具体形状正是本课要探究的内容（可先猜想它是双曲线）。 【教学建议】先回顾描点画图的一般步骤，再引导学生对反比例函数图象的形状作出猜想。 【设计意图】复习一次、二次函数图象的画法，通过对比设疑，自然引出反比例函数图象的探究。 活动二：动手作图，探究性质 探究点1　反比例函数的图象和画法 思考：回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，想一想如何研究反比例函数的图象和性质？ 例1　画出反比例函数 与 的图象。 (1) 列表：写出几组 x 与 y 的对应值（如下表，请把表填全）： x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 【参考答案】表中数据即为填空答案： 一行为 ，，，，，，，，，，，； 一行为 ，，，，，，，，，，，。 (2) 描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 (3) 连线：用平滑的曲线顺次连接这些点，得到两支曲线。 思考：观察 与 的图象，它们有哪些特征？ 归纳：一般地，当 k>0 时，对于反比例函数 ，结合函数图象与解析式，可以发现： (1) 函数图象的两支分别位于第一、第三象限； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。 画出反比例函数 的图象。 【参考答案】图象如上：双曲线，两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大。 归纳：一般地，当 k<0 时，对于反比例函数 ，结合函数图象与解析式，可以发现： (1) 函数图象的两支分别位于第二、第四象限； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 反比例函数 与 的图象有什么共同特征？有什么不同点？不同点是由什么决定的？ 【参考答案】共同特征：两图象都是由两支曲线组成的双曲线，且都不与坐标轴相交；不同点：两支所在象限恰好相反，增减性也相反；这是由 k 的符号决定的。 归纳总结：反比例函数 的图象特征和性质如下： (1) 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线。 (2) 当 k>0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 探究点2　反比例函数的性质 k 的符号 图象所在象限 增减性（同一象限内） 第一、第三象限 y 随 x 的增大而减小 第二、第四象限 y 随 x 的增大而增大 【教学建议】分组口述上表性质，强调描述增减时必须先限定“同一象限内”；借助表格对比 k 取正负时的图象规律，帮助记忆。 【设计意图】类比一次、二次函数的研究思路，让学生完整经历列表、描点、连线的过程，自主归纳 k>0 与 k<0 时双曲线的图象特征与增减性质。 活动三：变式训练，巩固提升 1．下列图象中是反比例函数图象的是（　C　）。 【参考答案】C。只有 C 是由两支曲线组成、且分别位于两个对象限内的双曲线，其余选项的图象形状都不符合反比例函数图象的特征。 2．如图所示的图象对应的函数解析式为（　C　）。 A．；B．；C．；D．。 【参考答案】C。图象是位于第一、第三象限的双曲线，比例系数应满足 k>0，只有 C 符合。 3．填空： (1) 的图象在第____、____象限； (2) 反比例函数 的图象如图所示，则 k____0；在每个象限内，y 随 x 的增大而____。 【参考答案】(1) 一、三；(2) 由图象两支位于第二、第四象限可知 k<0，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大。 4．若反比例函数 的图象上有两点 、，且 ，则 的值为（　　） A．正数；B．负数；C．非正数；D．非负数 【参考答案】B。k<0 时，在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大；因为 ，两点同在第三象限，所以 ， 为负数。 5．将函数与对应图象连线： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 【参考答案】(1)—D；(2)—A；(3)—C；(4)—B。其中 的函数值恒为正，两支都在 x 轴上方； 的函数值恒为负，两支都在 x 轴下方； 与 的两支分别位于一、三象限和二、四象限。 【教学建议】学生独立完成后交流，重点辨析跨象限比较函数值的易错题型。 【设计意图】以分层习题巩固双曲线图象的识别、k 的符号与象限的对应、增减性的判断，突破“同一象限内”这一易错点。 活动四：梳理回顾，布置作业 【随堂训练】限时完成《练习册》“随堂小练”中本课时对应的练习，当堂反馈讲评。 【课堂总结】临下课前，教师组织学生借助思维导图回顾全课，随机提问检验： 1．反比例函数的图象由 k 的正负决定什么？增减规律有什么限制条件？ 2．描点法画反比例函数图象分为哪几步？ 3．比较图象上两点的纵坐标大小时，为什么要强调“同一象限内”？ 【参考答案】1．k>0 时两支分别位于第一、三象限，k<0 时位于第二、四象限；增减规律仅在“同一象限内”成立，不能跨象限比较。2．列表→描点→用平滑曲线连线。3．反比例函数在两个象限内的增减情况恰好相反，跨象限比较必须先分清各点所在象限，否则容易出错。 【知识结构】 反比例函数的图象和性质（1）：①画法：列表→描点→平滑连线（双曲线，两支与坐标轴不相交）；②k>0：两支在第一、三象限，同一象限内 y 随 x 增大而减小；③k<0：两支在第二、四象限，同一象限内 y 随 x 增大而增大；④易错点：增减性必须限定在同一象限内。 【作业布置】 1．教材习题 27.2 中与本节内容对应的习题； 2．完成《同步练习》本课时的训练题。 五、板书设计 27.2.1　反比例函数的图象和性质（1） 1．画图步骤：列表→描点→平滑连线（双曲线，两支与坐标轴不相交） 2．：k>0 时，一、三象限，同一象限内 y 随 x 增大而减小；k<0 时，二、四象限，同一象限内 y 随 x 增大而增大； 3．易错点：增减性必须限定在同一象限内。 六、教学反思 本节课学生能掌握描点画图，可区分 k 的正负对应的图象象限；但普遍忽略“同一象限内”这一增减前提，跨象限比较大小容易出错。课堂缺少分层实操画图训练，部分学生画出的曲线不够平滑。后续要增加对比题型，强化易错点辨析，并预留充足的画图实操时间。 学科网（北京）股份有限公司 $