27.3 实际问题与反比例函数 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册 -

初中数学（RJ）九年级上册 27.3 实际问题与反比例函数 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型（找两变量乘积为定值）；能处理常见反比例函数实际问题；会与几何图形（矩形/三角形/四边形）结合建立与的反比例关系；会正确写出实际自变量取值范围。 二、知识梳理 知识点 1 　反比例函数在实际问题中的应用 1.常见模型：路程=速度×时间；压强：；杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂；功=功率×时间；总工作量=工作效率×工作时间；总价=单价×数量。 2.列函数关系式：先找出两个变量的乘积为定值，再写成。 3.自变量取值范围：实际问题中须考虑实际意义（如人数≥1、时间>0、距离>0 等），不能仅写≠0。 三、典例精析 题型 1 　反比例函数联系物理问题 1．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 2．（2026·内蒙古通辽·三模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 【答案】5（答案不唯一） 【详解】解：由图象可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R小于时，电流， 故可以是． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即，解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 题型 2 　反比例函数其他实际应用 1．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 2．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 3．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 题型 3 　反比例函数几何综合问题　 1．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：过点 作 轴于点 ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 点 在第二象限， 点 的纵坐标为 ， 把 代入 ，得 ， ， 把 ， 代入 ， 得 ，解得 ， 直线解析式为 ， 联立 ，解得 ，， ， ． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为；(2)；(3)4 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 四、分层训练 1．（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 3．（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 4．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 8．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 9．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 10．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 11．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 12．（2026·湖南长沙·三模）将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 13．（25-26九年级上·广东东莞·期末）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量随着右边托盘与天平中间立柱的距离变化而变化，发现与满足反比例函数关系，已知时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求右边托盘与天平中间立柱的距离． 15．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，路政工人要用撬棍撬动一块落石，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（图中撬棍本身所受的重力略去不计） (1)求关于的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 16．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 17．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)若，求该容器体积的取值范围． 18．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 19．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 20．（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 21．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 22．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 23．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）植树造林是面对日益严重的土地沙漠化问题的主要解决方案，已知当计划造林面积一定时，造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数关系如图所示． (1)求造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数解析式； (2)如果造林天数为天，那么每天的造林面积为多少公顷？ 24．（25-26九年级上·山东济南·期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 25．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 27.3 实际问题与反比例函数 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型（找两变量乘积为定值）；能处理常见反比例函数实际问题；会与几何图形（矩形/三角形/四边形）结合建立与的反比例关系；会正确写出实际自变量取值范围。 二、知识梳理 知识点 1 　反比例函数在实际问题中的应用 1.常见模型：路程=速度×时间；压强：；杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂；功=功率×时间；总工作量=工作效率×工作时间；总价=单价×数量。 2.列函数关系式：先找出两个变量的乘积为定值，再写成。 3.自变量取值范围：实际问题中须考虑实际意义（如人数≥1、时间>0、距离>0 等），不能仅写≠0。 三、典例精析 题型 1 　反比例函数联系物理问题 1．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 2．（2026·内蒙古通辽·三模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 【答案】5（答案不唯一） 【详解】解：由图象可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R小于时，电流， 故可以是． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即，解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 题型 2 　反比例函数其他实际应用 1．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 2．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 3．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 题型 3 　反比例函数几何综合问题　 1．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：过点 作 轴于点 ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 点 在第二象限， 点 的纵坐标为 ， 把 代入 ，得 ， ， 把 ， 代入 ， 得 ，解得 ， 直线解析式为 ， 联立 ，解得 ，， ， ． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为；(2)；(3)4 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 四、分层训练 1．（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 【答案】C 【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、当压力为时，由图2可知， ∴电路总电阻， ∵电源电压， ∴电路电流， ∴电压表示数， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、触发警报时电压表示数超过，即，， 此时电路电流， ∵电源电压， ∴总电阻， ∴力敏电阻阻值， 由图2可知，时对应，且随增大而减小， ∴触发警报时力敏电阻所受压力大于， ∴C选项正确，该选项符合题意； D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变， ∴电路电流会变小， ∵电源电压， ∴总电阻会变大， ∴力敏电阻阻值会变大， ∵随增大而减小， ∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小， ∴D选项错误，该选项不符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数， 得，解得， 所以反比例函数的解析式为， 当时，可得． 即此时镜片焦距是米． 3．（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【答案】18 【详解】解：由题意得，设和阻力臂的函数解析式为， 将代入，得， ∵阻力阻力臂动力动力臂， 动力， ∴动力为18． 4．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则，解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 【答案】 【详解】解：设关于的函数解析式为， 由图象可把点代入得：， ∴关于的函数解析式为． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【答案】20 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数， ∴设该函数为， 将，代入，得，解得， ， 当时，，解得． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 8．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 9．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，，解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 10．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 【答案】6 【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系， ∴设反比例函数关系式为； ∵当时，， ∴，解得， 即， ∵火焰的像高为，即， ∴，解得， 即小孔到蜡烛的距离为． 11．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 12．（2026·湖南长沙·三模）将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 【答案】2 【详解】解：已知氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系， ∴设y与x之间的函数解析式为， 由图象可得函数图象过点， ∴，解得， ∴， 令，则， ∴当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为． 13．（25-26九年级上·广东东莞·期末）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 【答案】关于的函数关系式为 【详解】解：由题意可设， ∵在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量， ∴将，代入，得：， ∴关于的函数关系式为． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量随着右边托盘与天平中间立柱的距离变化而变化，发现与满足反比例函数关系，已知时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求右边托盘与天平中间立柱的距离． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 已知时，， ∴，解得， ∴关于的函数表达式为． （2）解：把代入得，解得， ∴当时，右边托盘与天平中间立柱的距离为． 15．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，路政工人要用撬棍撬动一块落石，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（图中撬棍本身所受的重力略去不计） (1)求关于的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1)关于的函数关系式为；(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力 【详解】（1）解：由题意得，化简得， 故关于的函数关系式为． （2）解：由（1）可知关于的函数关系式为， 当时，． 答：当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【答案】(1)；(2)电阻 的值为 4 Ω 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，且，当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，，解得， 答：电阻R的值为． 17．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)若，求该容器体积的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：设，     代入得，     ，     ； （2）解：当时，，     当时，．     ， ∴当时，随的增大而减小，     ． 18．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【答案】(1)(2)电流变为原来的 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：设原电阻为，原电流． 电阻增大为原来的倍后，新电阻． ， ， ， 电流变为原来的． 19．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)；(2)5；(3) 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 20．（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【答案】(1)；(2)开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中 【详解】（1）解：设段反比例函数解析式为 ， 把点 代入得 ，解得 ， ∴段反比例函数解析式为： ； （2）解： 设段解析式为 ， 把，，代入得 ，解得 ， 即段解析式为 ， 把，代入段解析式得 ， 把，代入段解析式得 ， 因为 ， 因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中． 21．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入，得； 把和代入，得，解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入，得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得，解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 22．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为；(2)；(3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，，得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 23．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）植树造林是面对日益严重的土地沙漠化问题的主要解决方案，已知当计划造林面积一定时，造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数关系如图所示． (1)求造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间的函数解析式； (2)如果造林天数为天，那么每天的造林面积为多少公顷？ 【答案】(1)；(2)公顷 【详解】（1）解：根据题意，造林天数(天)与每天造林面积(公顷)之间是反比例函数关系，设函数解析式为． 由函数图象可知，当时，，将其代入解析式得：， 解得， ∴造林天数与每天造林面积之间的函数解析式为； （2）解：当时，代入得：，解得：， 答：每天的造林面积为公顷． 24．（25-26九年级上·山东济南·期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 【答案】(1)；(2)100吨 【详解】（1）解：设这个反比例函数的表达式为， 根据题意，得，解得， 这个反比例函数的表达式为． （2）解：当时，． 由图象可知当时，． 答：平均每天至少要装载100吨货物． 25．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $