27.2 反比例函数的图象和性质(第2课时)-教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

教学设计 《27.2 反比例函数的图象和性质(第2课时)》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是反比例函数图象与性质的第二课时，在学生掌握反比例函数全部图象性质的基础之上，通过教材例1、例2，实现解析式、图象、点的坐标三者之间互相转化. 本节课是性质的综合应用，承接上一课时图象探究，同时为后面实际问题的解决打下基础. 教材通过两道典型例题，训练待定系数法、判断点是否在图象上、由图象一支判断另一支象限、求参数范围、比较函数值大小. 落实数形结合，实现“数↔形”互相转化，是本章知识由概念性质走向综合习题的重要一课，提升学生几何直观与逻辑推理能力. 学习者分析 学生已经掌握反比例函数图象和性质，会描点画双曲线，理解“在每一个象限内”的限制. 但是对点是否在函数图象上的判断方法掌握，综合题目中不会结合图象位置反推参数. 学生很容易忽略“同一支图象”这个前提，随意比较跨象限点的函数值. 学生具备小组合作能力，但数形互相转化的思维还需要大量例题引导训练. 教学依托教材例1、例2，设置问题串，强化数与形的互化. 教学目标 1.能利用待定系数法求反比例函数解析式，会根据反比例函数解析式，判断图象所在象限、函数增减变化规律． 2.能判断点是否在反比例函数图象上，能根据图象一支的位置，判断另一支所在象限、求参数取值范围，并比较同一支图象上点的函数值大小． 3.通过教材例题的探究，深化数形结合思想，体会解析式与图象之间的相互转化． 教学重点 利用反比例函数解析式与图象性质解决例题，判断点是否在图象上，由图象位置求参数. 教学难点 实现解析式、图象、点坐标三者之间互相转化，正确比较函数值大小. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1.能利用待定系数法求反比例函数解析式，会根据反比例函数解析式，判断图象所在象限、函数增减变化规律． 2.能判断点是否在反比例函数图象上，能根据图象一支的位置，判断另一支所在象限、求参数取值范围，并比较同一支图象上点的函数值大小． 3.通过教材例题的探究，深化数形结合思想，体会解析式与图象之间的相互转化． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：说一说反比例函数的图象和性质？ (1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线。 (2)当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，随的增大而减小； 当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，随的增大而增大. 导入：上节课我们学习了反比例函数的图象和性质. 大家想一想：若反比例函数经过第二象限的点，它的图象分布会发生什么变化？给你一个反比例函数，怎么判断一个点在不在它的图象上？如果只看到双曲线其中一支，能不能判断另一支在哪里？这节课我们就一起来解决这些问题. 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 通过复习反比例函数的图象和性质，为探究反比例函数图象和性质的综合应用做好铺垫。 环节三：新知讲解 教师活动3： 例1：已知反比例函数的图象经过点. (1)这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？ (2)点是否在这个函数的图象上? 解：(1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限.在每一个象限内，随的增大而增大. (2)设这个反比例函数的解析式为.因为点在其图象上，所以点的坐标满足，即 解得 因此，这个反比例函数的解析式为.因为点的坐标都满足，点的坐标不满足，所以点在函数的图象上，点不在这个函数的图象上. 归纳：判断点是否在反比例函数的图象上的方法 若点的横坐标和纵坐标的积等于比例系数k，则该点在反比例函数的图象上；若不等于k，则该点不在反比例函数的图象上． 例2：如图所示，图中的曲线是反比例函数的图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点.如果，那么和有怎样的大小关系? 解：(1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 解得 (2)因为，所以在这个函数图象的任意一支上，都随的增大而减小.因此当时，. 归纳：比较反比例函数值大小的方法： （1）直接代入法（或特殊值代入法）：先直接代入已知的横坐标（或代入选取合适的横坐标），分别求出纵坐标，再比较函数值的大小． （2）性质法：在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；不在同一分支上的点，依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较． （3）图象法：利用画图象、描点的方法判断函数值的大小． 学生活动3： 小组合作探究，合作完成两道例题，互相讲解判断点在图象上、求参数的思路；小组代表展示解题过程. 活动意图说明： 通过例题，强化数与形互相转化，小组合作突破由图象求参数、判断点是否在图象上的重难点. 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：27.2 反比例函数的图象和性质(第2课时) 一、判断点是否在反比例函数的图象上的方法 二、比较反比例函数值大小的方法 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 答案：D 2．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 答案： 3．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 解：（1）设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 选做题： 4．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 解：（1）将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 2．如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 答案： 3．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点在这个图象上，求的值． 解：（1）∵函数的图象经过点， ， ； （2）∵点在这个图象上， ， 即． 选做题： 4．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 解：（1），，且垂直于轴， ． 是的中点， ． 点，都在反比例函数的图象上， ，， 即， 解得， ． （2）由（1）可知，， ， ，． 设线段所在直线对应的函数解析式为， 故将，代入得，， 解得， 线段所在直线对应的函数解析式为． （3）如图， 由（1）知，，即反比例函数解析式为， 由（2）知，线段所在直线对应的函数解析式为， 故设，则根据题意可得，． 由（2）知，，， ． 点在点的上方， ， ． ，开口向下，且， 当时，面积最大， 此时，， ． 教学反思 本节课借助教材例题，引导学生运用反比例函数图象与性质解决问题. 多数学生能掌握利用点求解析式、判断点是否在图象上的方法，但部分学生容易忽略“在每一个象限内”这一前提. 后续教学要强化易错点辨析，增加对比练习，引导学生数形结合，养成先看k的符号再分析增减性的习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $