专题02 轴对称与坐标变换（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

专题02 轴对称与坐标变换 常考题型·精准突破 题型1 求点关于x轴的对称点的坐标（高频） 题型2 求点关于y轴的对称点的坐标（高频） 题型3 求点关于某直线的对称点的坐标（难） 题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题（难） 题型5 坐标与图形变换--轴对称（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1求点关于x轴的对称点的坐标 1．点关于x轴对称的点的坐标为 ． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 3．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． ◆题型2 求点关于y轴的对称点的坐标 4．平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为 ． 5．点，，若，关于轴对称，则 ， ；若，关于轴对称，则 ， ． 6．已知点和关于轴对称，则的值为 ． ◆题型3 求点关于某直线的对称点的坐标 7．点关于直线对称的点的坐标是 ． 8．点关于直线对称的点的坐标为 ． 9．已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称，则B的坐标为 ． ◆题型4利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 10．坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 11．如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． ◆题型5 坐标与图形变换--轴对称 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的（点的对应点分别为）． (2)连接，直接写出的面积． (3)在（1）的条件下，在线段上找出点D，使得的面积是的面积的． 15．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 3．（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）小红利用蜡烛做平面镜成像的实验．如图，若以桌面为轴，镜面竖直方向为轴（镜面厚度忽略不计）建立直角坐标系．某时刻火焰顶部的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点和关于y轴对称，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 5．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（2026·四川成都·三模）若点，关于轴对称，则的值是________． 7．（2026·河北石家庄·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则的值是________；若点的坐标满足，则称点P为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标________． 8．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 9．（2026七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 10．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线经过点，且与轴平行，点，分别是轴和直线上的动点，且轴，连接，当取得最小值时，点的坐标是__________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． 13．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）按要求完成下列各题： (1)如图，在图中画出关于x轴对称的；（图中网格每个小正方形的边长均为1） (2)在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，观察三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是_____； (3)猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是_____． 14．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是4，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以2个单位长度/s的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度/s的速度沿x轴向右移动． (1)点B的坐标为________； (2)当时，点P的坐标为________，点Q的坐标为________； (3)当点P，Q满足轴时，求t的值． (4)当点P移动到y轴左侧，且四边形的面积为10时，求点P的坐标． 15．（26-27八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （）如图，在中，，平分，过点作．若，则的长为 ； （）如图，点，两点分别在线段和轴上，求的最小值； 【问题解决】 （）如图，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地，在处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点出发到达流水线上的任意一点，取一零件当场加工后，放回到流水线上任意一点，其中，米，米，．为了便于确定点的位置，以为原点，所在的直线为y轴，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点B的坐标为．为节约时间，要求员工行走路程最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点的具体位置（坐标）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02轴对称与坐标变换 内容概览 目常考题型精准突破 题型1求点关于x轴的对称点的坐标（高频） 题型2求点关于y轴的对称点的坐标（高频） 题型3求点关于某直线的对称点的坐标（难） 题型4利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题（难） 题型5坐标与图形变换-轴对称（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1求点关于x轴的对称点的坐标 1(4,3) 2.8 3.-13 ◆题型2求点关于y轴的对称点的坐标 4.(-2,V3) 5.2 5 -2 -5 6.-1 ◆题型3求点关于某直线的对称点的坐标 7.(0,-3) 8.(3,0) 9.(4,3) ◆题型4利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 10.3V5 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.4 12.89 ◆题型5坐标与图形变换-轴对称 13. 【答案】(1)见解析，（-1,2) (2)5 (3)见解析 【详解】(1)解：如图，△4BC即为所求：由图知，点B的坐标为(-1,2)： 4 3 B B 234 3 2解：MBC的面积为3x4x2x3)×2x21x4 2 (3)解：如图，取点B关于x轴的对称点B,连接BC交x轴于点P,连接BP, 此时三角形PBC周长PC+PB+BC=PC+PB,+BC=B,C+BC最小， 则点P即为所求. 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 4 3 B B 2 B 14. 【答案】(1)见解析 (2)7.5 (3)见解析 【详解】(1)解：如图，△ABC即为所求作： B D A B (2解：△1BC的面积=6x4×6x3-x1x3号×3x4=75, (3)解：如图，点D即为所求作. 15. 【答案】()作图见解析，A(4,1),B'(3,3),C"(1,2) a号 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)见解析 【详解】(1)解：由图可得4(-4,1)，B(-3,3),C(-1,2), △AB'C与△ABC关于y轴对称， 4(4,1,B'(3,3),C'(1,2), 如图，△A'B'C'即为所求. (2)解：△4BC的面积=2x3 21x2 2 21x3 1x2- 2: (3)解：如图，点Q即为所求 理由：由轴对称的性质得：QC=QC, △OAC的周长为AC+A0+QC=AC+A0+QC, :当A0+C'取最小值时，△QAC的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点A,Q,C'共线时，AQ+QC取得最小值， 则AC与y轴的交点即为所求。 4 ò-4-3-2-10 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.D 4.C 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.B 二、填空题 6.-1 7.2 (2,2)(答案不唯一) 8.(3,-2) 9.4.8 1o(g0 三、解答题 11. 【答案】(1)a=-8,b=3 (2)1 【详解】(1)解：：点4(4,5+a),B(2b-2,3)关于x轴对称， .2b-2=4,5+a=-3,解得a=-8,b=3: (2)解：：点A(4,5+a,B(2b-2,3)关于y轴对称， .2b-2=4,5+a=3,解得b=-1,a=-2. (a-b)06=[-2-（-1]6=(-1)6=1. 12. 【答案】(1) 5 3 2 -4-3-2-10 2.3.4a5 B 点4(-1，-2），B,(-2,-4),C(4,-1) (2) 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 4 3 2 C2 P 》点 的坐标是 5-4-3-2 10 23 P (3,0) 13 【答案】(I)解：如图，△AB'C即为所求： (2) 解：如图，△ABC即为所求： 4m:x=1 6 B B -4-20 2468 1-x=x'-1「x'=2-x 设P(x,y)根据对称性质得 y'=y ,则y=y “P'的坐标是(2-x): (3)解：猜想坐标平面内任意点F(x,y)关于直线：x=k(直线n上各点的横坐标都是k)对称的点F'的 坐标是(2k-x,y), [k-x=x-k「x'=2k-x 理由：设F(X,y),根据对称性质得y=y ，则y=y F的坐标是(2k-x,y)」 6/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：(2k-x,y) 14. 【答案】(1)(6,4) @a-(层o (3)t=2 0点P附标（手） 【详解】(1)解：点A的坐标为(6，O),点B是第一象限的点，且BA⊥x轴， 可得B的横坐标为6， 由点B到x轴的距离是4可得B的纵坐标为4， 则点B的坐标为(6,4)， 故答案为：(6,4)： (2)解：由题意可得，BC=A0=6 当I=2时，BP=3,则CP=BC-BP=3,可得P(3,4) 00-可得0 敢答案为：B.到70B (3)设经过t秒后，P2川y,此时P卫两点的横坐标相等， PQ两点的横坐标分别为6-21，t, 则6-21=1，解得1=2： (4)解：设经过t秒后，四边形POQC的面积为10， 由点P移动到y轴左侧可得，1>3，此时CP=21-6, 则四边形p00C的面积为(21-6+小x4=10. .11 解得=3 CP=21-6=手则点p的坐标为手4 15. 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 (1)4: (2)4: (3)点E(0,-24)】 【详解】解：(1)∠C=90°，AD平分∠CAB,DE⊥AB」 :BC=8,BD=5」 .DC=DE=3, 在Rt BDE中，BE=V52-32=4, 故答案为：4； (2)当P,M,N三点共线，且PM⊥AB时，PN+MN有最小值，如图， B M 点 A(-3,0),B(0,4),P(2,0) .AB=V32+42=5,AP=5, .AB=AP, .∠BAO=∠PAM,∠AOB=∠AMP=90° .△AOB≌△AMP(AAS), .PM=B0=4 .PN+MN的最小值为：4： (3)过点O作OD⊥AB,此时OF+EF有最小值，过点F作EF⊥OB,如图， y/米 /米： D B ∠OBC=∠ABC ∴.EF=FD, :点A的坐标为(80,0)，点B的坐标为(0，-60)， :.OA=80米，0B=60米， 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=V802+602=100米， 60x80=x100×0D, 1 .2 2 .0D=48米， .BD=V602-482=36米， :∠BEF=∠BDF=9O°，EF=DF,BF=BF, :.Rt△BEF≌RIABDF(HL), .BE=BD=36米， .0E=60-36=24米， ∴点E(0,-24)」 919 专题02 轴对称与坐标变换 常考题型·精准突破 题型1 求点关于x轴的对称点的坐标（高频） 题型2 求点关于y轴的对称点的坐标（高频） 题型3 求点关于某直线的对称点的坐标（难） 题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题（难） 题型5 坐标与图形变换--轴对称（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1求点关于x轴的对称点的坐标 1．点关于x轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出、，进而可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． ◆题型2 求点关于y轴的对称点的坐标 4．平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的特点，根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴对称的点的坐标为，将的坐标代入从而得出答案． 【详解】解：根据关于轴、轴对称的点的坐标的特点， 点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 5．点，，若，关于轴对称，则 ， ；若，关于轴对称，则 ， ． 【答案】 2 5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，关于轴、轴对称的点的坐标． （1）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解． （2）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解． 【详解】解：（1）若、关于轴对称，则，； 故答案为：2；5； （2）若、关于轴对称，则，． 故答案为：，． 6．已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了代数式求值，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．利用关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出，，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． ◆题型3 求点关于某直线的对称点的坐标 7．点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设点关于直线对称的点为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 8．点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可 【详解】解：当所求的点与点关于对称时，其对称点的坐标为 ∵， ∴对称点的坐标为， 故答案是：． 9．已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称，则B的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可． 【详解】解：设点B的横坐标为x， ∵点与点B关于直线对称， ∴， 解得， ∵点A、B关于直线对称， ∴点A、B的纵坐标相等， ∴点． 故答案为． ◆题型4利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 10．坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题坐标与轴对称，勾股定理，作点过于轴的对称点，连接，则：最小值即为的长，进行求解即可． 【详解】解：如图，作点过于轴的对称点，连接，则：，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴； 故最小值为． 11．如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作于H，交x轴于点E，连接．则的最小值为的长， 根据，，推出． 【详解】解：过点P作于H，交x轴于点E，连接， 点M，N是x轴，线段上的动点， 的最小值为的长， ，， ． 故对答案为：4． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． ◆题型5 坐标与图形变换--轴对称 13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 【答案】(1)见解析， (2)5 (3)见解析 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图知，点的坐标为； （2）解：的面积为； （3）解：如图，取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时三角形周长最小， 则点P即为所求． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的（点的对应点分别为）． (2)连接，直接写出的面积． (3)在（1）的条件下，在线段上找出点D，使得的面积是的面积的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了轴对称的性质，网格中求三角形的面积． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）利用割补法求解即可； （3）根据三角形中线的意义，找出点D即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点D即为所求作． 15．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据根据点坐标关于轴对称的变换规律分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交轴于点即为所求． 【详解】（1）解：由图可得， 与关于轴对称， ， 如图，即为所求． （2）解：的面积； （3）解：如图，点即为所求． 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 2．（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【答案】A 【详解】解：已知点，， ∵点和点的纵坐标相等，横坐标不相等， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A符合题意，B不符合题意； 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，两点横坐标不相等，故C不符合题意； 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，与不互为相反数，故D不符合题意． 3．（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）小红利用蜡烛做平面镜成像的实验．如图，若以桌面为轴，镜面竖直方向为轴（镜面厚度忽略不计）建立直角坐标系．某时刻火焰顶部的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，结合轴对称的特点得到对应的虚像的坐标是 ． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点和关于y轴对称，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】∵点和关于y轴对称， ∴， 解得， ∴， 5．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂线段最短可知，当时，最小，由点的坐标可求出的最小值． 【详解】解：如图， 当时，最小， ∵，， ∴轴， ∵点P在y轴上，且， ∴， ∴． ∴的最小值是2． 二、填空题 6．（2026·四川成都·三模）若点，关于轴对称，则的值是________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：由点和点关于轴对称，得 ，， ． 7．（2026·河北石家庄·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则的值是________；若点的坐标满足，则称点P为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，再计算；给赋值，求出对应即可得到符合要求的和谐点． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． ∵， 若取，则，解得， 因此是一个符合要求的“和谐点”． 8．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵与关于轴对称， 点在的边上， ∴点在上的对应点的坐标是． 9．（2026七年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】当，，三点共线且时，取得最小值，即为点到直线的距离，利用三角形面积公式建立等量关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点 ，由垂线段最短知，此时最小，最小值为线段的长，连接， 点，点，点， ，，， ， ，且， ， ， ，解得， 的最小值为． 10．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线经过点，且与轴平行，点，分别是轴和直线上的动点，且轴，连接，当取得最小值时，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据两点关于x轴对称，“ x值相同，y值互为相反数”，列方程求解即可； （2）根据两点关于y轴对称，“y值相同，x值互为相反数”，列方程求解，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点，关于x轴对称， ∴，，解得，； （2）解：∵点，关于y轴对称， ∴，，解得，． ∴． 12．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． 【答案】(1) 点，， (2) 点的坐标是． 【分析】（1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到即为所求，根据图形得到点、、的坐标即可； （2）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，的长度即为的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）按要求完成下列各题： (1)如图，在图中画出关于x轴对称的；（图中网格每个小正方形的边长均为1） (2)在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，观察三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是_____； (3)猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是_____． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求： 设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是； (3) 【分析】本题考查坐标与图形--轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形； （2）根据轴对称的性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形；根据成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等可得对称点坐标； （3）根据成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等可得对称点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是， 理由：设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是4，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以2个单位长度/s的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度/s的速度沿x轴向右移动． (1)点B的坐标为________； (2)当时，点P的坐标为________，点Q的坐标为________； (3)当点P，Q满足轴时，求t的值． (4)当点P移动到y轴左侧，且四边形的面积为10时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4)点P的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，以及正确列出一元一次方程． （1）根据题意，直接求得点的坐标即可； （2）根据平移方式以及时间，求得坐标即可； （3）根据可得两点的横坐标相等，列出方程求解即可； （4）设移动时间为秒，根据四边形的面积为10，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴， 可得的横坐标为， 由点B到x轴的距离是4可得的纵坐标为， 则点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 当时，，则，可得， ，可得， 故答案为：，； （3）设经过t秒后，，此时两点的横坐标相等， 两点的横坐标分别为，， 则，解得； （4）解：设经过t秒后，四边形的面积为10， 由点P移动到y轴左侧可得，，此时， 则四边形的面积为， 解得， ，则点的坐标为． 15．（26-27八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （）如图，在中，，平分，过点作．若，则的长为 ； （）如图，点，两点分别在线段和轴上，求的最小值； 【问题解决】 （）如图，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地，在处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点出发到达流水线上的任意一点，取一零件当场加工后，放回到流水线上任意一点，其中，米，米，．为了便于确定点的位置，以为原点，所在的直线为y轴，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点B的坐标为．为节约时间，要求员工行走路程最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点的具体位置（坐标）． 【答案】 （）； （）； （）点． 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，将军饮马模型，坐标与图形，确定最小值是解题关键． （）由角平分线的性质可得，再由勾股定理即可求解； （）当三点共线，且时，有最小值为，证明得出； （）过点作，此时最小，过点作，利用等面积求出，进而求出即可解答． 【详解】解：（）∵，平分，． ∵， ∴， 在中，， 故答案为：； （）当三点共线，且时，有最小值，如图， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （）过点作，此时有最小值，过点作，如图， ∵． ∴， ∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴米，米， ∴米， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴点． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $