专题03 平面直角坐标系中的图形面积问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平面直角坐标系中的图形面积问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1与面积有关的点的位置不定产生多解（重） 题型2直接利用面积公式求图形的面积（重） 题型3利用补形法或分割法求图形的面积（高频） 题型4与图形面积相关的点的存在性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1与面积有关的点的位置不定产生多解 1.(2,0)或(-2,0)或(0，-3) 2.(0,3)或(4,3) 3.（-5,0)或(0，-6)或(0,10) ◆题型2直接利用面积公式求图形的面积 4. 【答案】(1)a=-2,b=4 (2)9 (3)(0,6)或(0,6) 【详解】(1)解：a+2+Vb-4=0, ∴.a+2=0,b-4=0, ∴.a=-2,b=4. (2)解：据(1)可知点A,B的坐标分别为A(-2,0),B(4,0), 则4B=4-(-2)=6,0C=3, 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：设0C=h, 当三角形ABC的面积是原三角形面积的2倍， 可得2×6×M=2×9, 解得M=6,即h=6或-6， 故点C坐标为(0,6)或(0,6) 5. 【答案】)(2，-2)或(-6，-2) (2)-2m 【详解】(1)解：·M(2-m,2m-10)到坐标轴的距离相等， .12-m=|2m-10, 即2-m=±(2m-10)」 解得：m=4或m=8, ,M为第三象限内一点， ∴.m=4. ∴点M的坐标是（-2，-2). A(-1,0),B(3,0) .AB=4, .MN∥AB .设N(n,-2), .NM=AB=4. .n+2=4 解得：n=2或n=6, ·N点坐标是(2，-2)或(-6，-2)： (2)解：：M为(-2，m)且M为第三象限内一点， .m<0, 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷Ay的面贺=4B网-方×4()=2m 6. 【答案】(1)A(-3,0),B(2,0): (210: )M(0.5).M(.-5) 【详解】(1)解：由la+3+V46-8=0可得a+3=0,4b-8=0, 解得a=-3,b=2, .A(-3,0),B(2,0); (2)解：由题意可得，AB=5,C(-2,4), )ABx八.=)x5x4=10: 2 1 (3)解：S&COM= .'SACOM =5. 当点M在x轴上时，设M(m,O),则OM=m, 则Saw0M×x=2侧=5，解得m=±号 唧[3.月 当点M在y轴上时，设M(O,m),则OM=m, 则S.w=2OM×k=m=5,解得m=±5 即M(0,5),M(0,-5): 综上.M[30.M(30M05M0,- ◆题型3利用补形法或分割法求图形的面积 7. 【答案】19 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图①，作矩形AEGF, 则S四边形ABCD=S矩形ABGF-SAD一S,CDG-S,CBr =5x6-1 x5x2-x4xl-x2x4 2 2 =19 y D G ---F B 图① 题多解如图②，记AB交y轴于点E,连接CE, 珠 D 则 - E B 图② S四边形ABCD=SaAK+S,CDE+SCEn ×2x5+ 1 2 2 5x4+ ×2×4 =19 P 【答案】(1)21 e(030 【详解】(I)解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E,过点D作DFLy轴于点F, 4118 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点A0,1),B(0,5),C(5,7）,D(2,-) ·点E(0,7)）,F(0,-1) .BE=2,AB=4,AF=2,EF=8,CE=5,DF=2 ∴.Sg边形HBCD=S梯形CED-S△CBE一SADM -cE+Dr）r-号csBE-45+28x5x2x2x2=21: 2 (2)·g边形D=21, 1 .SAA=3S四边形HD=7, 3 ,P点在x轴上， B D :.SAABP= 24B-OP= ×40P=7. 0p=7 2 p点0经 9. 【答案】(1)2；3 (2)9 5118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o 【详解】(1)解：Va-2+(b-3}=0, ∴.a-2=0,b-3=0, 解得a=2,b=3: (2)解：根据(1)可得A(0,2),B(3,0),C(6,4), 如图，过点C作CD⊥x轴于点D, 0 B D 则OA=2,CD=4,OB=3,OD=6,BD=3」 5c=5ec-及m-Sm-62+9.23.3x4-9片 2 22 (3)解：设点P(m,0), 则BP=m-3, .S.mc Yc BP 2 =2m-3, .2m-3=9 解得m5 或m、3 ◆题型4与图形面积相关的点的存在性问题 10, 【答案】()A(-2,0),B(3,0),C(0,2): (2)4 3)(2,1)或(-8-1) 【详解】(1)解：~OA=OC=2,A在x轴上，C在y轴上， 6118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-2,0),C(0,2), AB=5, ∴.OB=5-2=3,B在x轴正半轴上， ∴B(3,0): (2)解：连接OP, y C B a=1 P(1,-), 8e=5am+e+5m方x2x1+2x2+2x1=4, (3)解：存在，(2，)或(8，-)，理由如下 1 Sc=5×2x5=5, 当P在第四象限时，连接OP, B ..=8roc+Sorc= 1 ×2×1+-×2×2+二×2a=5 解得：a=2, P(2-, 当P在第三象限时，连接OP,如图， yA A B e=e-8m-x2x(-o-x2x1-x2x2=5 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即-a-1-2=5, 解得：a=8, P(-8-), ·P的坐标为(2，)或(-8-1) 11. 【答案】(1)8,6 6t(0<1≤4) (2)S- -21+32(4<1≤7) 20 (3)存在， 点p的坐标为3,0或(8,4) 【详解】(1)解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数， 若和为0， 则绝对值和算术平方根均为0， 可得：|m-8=0,Vn-6=0, .m-8=0,n-6=0. 解得m=8,n=6 (2)解：A(0,0),E(2,6),点P运动速度为每秒2个单位，分两种情况讨论： ①当点P在AB上(0<1≤4)：AP=2I,△APE的底为AP,高为E的纵坐标6， .S=2×21×6=6(0<1≤4) ②当点P在BC上(4<1≤7)：P坐标为(8,21-8)， 长方形ABCD面积减去周围三个三角形面积， 可得：S=S形AD-SAs-SC-S。Ar =8×6-x2x6-2x8x2-8别-x6x04-20 =-2t+32(4<1≤7)」 [61(0<t≤4) 综上，S= -21+32(4<t≤7) 20 (3)解：存在，点p的坐标为，0)或&，4④， 推导如下： 若0<1≤4，令61=20， 8/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得1=3，符合范围， 此时代2z0=号0， 若4<1≤7，令-21+32=20， 解得=6，符合范围， 此时P(8,21-8)=(8,4)」 12. 【答案】(1)A(-3,0),B(3,3) 950 (3)存在，(0,5)或(0，-2)或(-10,0) 【详解】(1)解：，Va+b+(a-b+6)2=0. a+b=0 1a-b+6=0 a=-3 解得：1b=3· 点A(a,0),B(b,3), ∴点A(-3,0),B(3,3), (2)解：如图，过点M作MN∥OC, D 7 >M A DB∥AC, .DB∥AC∥MN, :.∠BDM=∠DMN,∠CAM=∠AMN .DB∥AC, .BD⊥y轴，即∠BDO=90°， :AM,DM分别平分LCAB,∠ODB,∠BAC=a, 9118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴2B0w-A00-5<Cw-ac 2, :.∠AMD=∠DMN+∠AMN=∠BDM+∠CMM=45+2a: (3)解：：A(-3,0),B(3,3),C(4,0), AC=7, 1 :.S.AC= 2*3x7=21 当点P在y轴上时，设点P(O,y), 点坐标为02》 13 PF-y-2 ,三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等， 321 322 解得：y=-2或5， ∴点P的坐标为(0，-2)或(0,5)： 当点P在x轴上时，设点P(x,O),则PA=x+3, ,三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等， +斗 2 解得：x=10或4（舍去）， ∴点P的坐标为(10,0)： 综上所述，点P的坐标为(0，-2)或(0,5)或(-10,0). 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.B 二、填空题 3. (0,14)或(0，-6) 4.(0,4),(0,-4),(2,0),(-2,0) 三、解答题 5. 【答案】(1)4 (2(0,-2)或(0,2) 【详解】(1)解：如图所示，过点M作MN⊥x轴于点N, :A(-1,0),B(3,0),M(-2,-2), .AB=3-(-I)=4,MN=2, :S4m=2AB:MN=2X2x4=4; B (2)解：设点P的坐标为(O,P),则OP=p, ,△ABP的面积与△ABM的面积相等， AB.OP=4」 .2 2×4到pl=4, .p=+2 .点P的坐标为(0，-2)或(0,2)」 11/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. 【答案】(1)11.5 (2)(-2,0)或(2,0) 【详解】(I)解：如图所示，过点D作DE⊥x轴于点E, D A 0 CE :点A(0,3),C(4,0),D(5,5) .0A=3,0E=5,DE=5,0C=4, .CE=OE-OC=1. ∴.SACD=S梯形OMDE-SAOC-SDEC =0A+DEOE-↓O4OC-CEDE 2 2 =3+5x5-1x3x4-1x1x5 2 2 2 =11.5: (2)解：，点P是x轴上一动点，△PAO的面积为3， ÷0M0=3, :点A(0,3), .OA=3, .P0=2, “点P的横坐标为0-2=-2或点P的横坐标为0+2=2， ∴点P的坐标为（-2,0)或(2,0). 7. 【答案】()(8,4)或(-2,4) (2(-1,2) 所作△AB,G如图所示： 12/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3 B -5-4-3-2-10 12345主 3 5 (3)5 (④) ⑨点所在位置如图所示： B --H -5-4-3-2-10 123 45衣 【详解】(1)解：PA∥x轴，A(3,4), yp=4, PA=5, ∴xm=3+5=8或xp=3-5=-2」 则P点坐标为(8,4)或-2,4)： 故答案为：（⑧，4）或(-2,4) (2)解：略. 1 (3)解：A4BC的面积为：3x4- ×2x2-1 ×1×4- 2 2 1×2×3=12-2-2-3=5: (4)解：略. 8. 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)A(-3,0),B(3,3) 0a5+50 3)存在，(0,5)或(0，-2)或(-10,0) 【详解】(1)解：：Va+b+(a-b+6)}=0, .a+b=0.a-b+6=0. ∴a=-3，b=3, .A(-3,0),B3,3) (2)解：过点M作MN∥DB,交y轴于点N,如图所示： -->M A C:∠DMN=LBDM :DB∥AC, MN∥AC, ∠AMN=∠MAC, DB∥AC,∠DOC=90°， .∠BD0=90°， :AM,DM分别平分∠CAB,∠ODB,∠BAC=a, MAC-/BDM=459, 1 .∠AMN=2a,∠DMN=45, ∠AMD=∠AMN+∠DMN=45o+)a, (3)解：存在. 理由如下：连接OB,如图所示： 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设F(0,), S△AOr+S△Or=S△AOB, 3 2×3×3,解得1=2) r点整标为0》 A(-3,0).B(3,3).C(4,0). 5cx7x3-2引 1 2 当P点在y轴上时，设P(O,y), SABr=S△APF+S△F, 解得y=5或y=-2」 ∴此时P点坐标为(0,5)或(0，-2)： 当p点在x轴上时，设Px,0,则×c+3x3= 2 解得x=10或x=4(不符合题意，舍去)， ∴此时P点坐标为（-10,0)， 综上可知存在满足条件的点P,，其坐标为(0,5)或(0，-2)或(-10,0) 9. 【答案】(1)8,12，(8,12) (2)36 (3)存在，Q(0,4)或(0，-4)或(2,0)或(-2,0) 【详解】(1)解：Va-8+b-12=0, a-8=0,b-12=0, .a=8,b=12, .0A=8,0C=12, ,四边形OABC是长方形， BA⊥x轴，BCLy轴， 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(8,12): (2)解：当点P移动3秒时，OP=3×2=6<8, 此时点P在OA上， ·三角形0PB的面积=2×6x12=36: (3)解：存在， 当点P移动11秒时，移动的路程为11×2=22， 22-(8+12)=2」 ∴.点P在BC上，即PB=2 .8-2=6 P(6,12), SAOPB 2×2×12=12: ①当点2在y轴上时，设(0，m),则OQ=m, :△OPO的面积与△OPB的面积相等， 2×mx6=12, 1 解得m=±4】 .9(0,4)或9(0,4)： ②当点2在x轴上时，设(n,0),则OQ=n, 16/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O2 A x ,△OPQ的面积与△OPB的面积相等， 12-12, 解得n=±2， .2(2,0)或0(-2,0)： 综上，存在(0,4)或(0，-4)或(2,0)或Q(-2,0),使△0P9的面积与△0PB的面积相等. 10. 【答案】1)A(-2,1,C(2,-3),D(2,) 4 (2)0B(-2,0),C(1,0),D(1,3):②△BPQ的面积为3.5：③3 【详解】(1)解：，正方形ABCD的边长为4， .AB=BC=CD=AD,AB L BC,ABII CD, B(-2,-3), .A(-2,4-3),C(4-2,-3),D(4-2,4-3) .A(-2,1),C(2,-3),D(2,1): (2)解：①：va+2+b-1+(m+1-4)}2=0, .a=-2,b=1,m=4-t, .B(-2,0),C(1,0),P(-1,4-), 即正方形的边长为1-(-2)=3， D(1,3), 答：B(-2,0),C(1,0),D(1,3): ②当1=1时，(1,2)，P(-1,4-), ∴.P点位于AD上，如图，连接PC, 17/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B SAwe=SAwc+SArOC-SARCQ-2 x3x3+x2x2-x2x3=7 2 2 ③由题意可知：P(-1,4-),C0=2t, y D B :Sm=ae+5e-Sn- SABC, 3 SAmc+Sarc-Swo=0, .3 xx+xx-xcxCQ-0. 1 .32 即：3x4-分ax2-ax2=0 解得：1- 18/18 专题03 平面直角坐标系中的图形面积问题 常考题型·精准突破 题型1 与面积有关的点的位置不定产生多解（重） 题型2 直接利用面积公式求图形的面积（重） 题型3 利用补形法或分割法求图形的面积（高频） 题型4 与图形面积相关的点的存在性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1与面积有关的点的位置不定产生多解 1．（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 3．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【答案】或或 【分析】根据点A，点B，点C的坐标求出三角形的面积，则可得到三角形的面积，再分两种情况：点D在x轴上和点D在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． ◆题型2 直接利用面积公式求图形的面积 4．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 5．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点M为第三象限内一点． (1)若到坐标轴的距离相等，，且，求N点坐标； (2)若M为，请用含m的式子表示的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据到坐标轴的距离相等列方程求出m，进而得到点M的坐标，再根据，且即可求出点N的坐标； （2）先判断，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵到坐标轴的距离相等， ∴， 即， 解得：或， ∵为第三象限内一点， ∴． ∴点M的坐标是， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标是或； （2）解：∵为且为第三象限内一点， ∴， ∴的面积． 6．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，绝对值和算术平方根的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，分类讨论的思想求解． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，的值，即可求解； （2）根据题意，求得，利用三角形面积求解即可； （3）分两种情况，当在轴上和当在轴上，设点的坐标，表示出的面积，求解即可． 【详解】（1）解：由可得，， 解得，， ∴，； （2）解：由题意可得，，， ∴； （3）解：∵， ∴， 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 综上，，，，． ◆题型3 利用补形法或分割法求图形的面积 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，，求四边形ABCD的面积． 【答案】19 【分析】本题考查了平面直角坐标系中不规则图形的面积计算，掌握补形法和分割法是解题的关键，这两种方法也是坐标系中计算多边形面积的常用技巧． 用一个大矩形将四边形完全覆盖，先计算矩形面积，再减去矩形内三个直角三角形的面积，通过整体减部分得到四边形面积，或连接辅助线，将四边形分割为三个三角形，分别计算每个三角形的面积，再求和得到四边形面积． 【详解】解：如图①，作矩形， 则 ． 一题多解如图②，记AB交y轴于点E，连接CE， 则 ． 8．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【答案】(1)21 (2)或． 【分析】（1）过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据并结合各点的坐标求解即可； （2）根据的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，，， ∴点， ∴，，，，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴ ∴点坐标为或． 9．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． ◆题型4与图形面积相关的点的存在性问题 10．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，，，点的坐标是，连接，． (1)直接写出顶点，，的坐标； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】（1）由结合坐标轴位置直接写出坐标，再利用算出长度，得到点坐标； （2）代入确定坐标，拆分为三个小三角形，分别计算面积再求和得到总面积； （3）先算出面积，对点分第四象限、第三象限两种情况，拆分构造面积方程求解，得到对应点坐标． 【详解】（1）解：，在轴上，在轴上， ， ， ，在轴正半轴上， ； （2）解：连接， ， ， ； （3）解：存在，或，理由如下： ， 当在第四象限时，连接， ， 解得：， ， 当在第三象限时，连接，如图， ， 即， 解得：， ， 的坐标为或． 11．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：_____，_____； (2)求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； (3)是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）因为绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以可据此求出m、n的值． （2）先根据长方形的性质确定各点坐标，再按动点P的运动路径分两种情况：P在上、P在上，分别确定不同时间段t的取值范围，结合三角形面积公式或割补法表示出的面积S． （3）针对不同阶段的S的表达式，分别令，求解对应的t值，再根据t的取值范围判断解是否有效，进而求出对应P点的坐标． 【详解】（1）解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数， 若和为0， 则绝对值和算术平方根均为0， 可得：，， ∴， 解得，． （2）解：，，点运动速度为每秒2个单位，分两种情况讨论： ①当点在上（）：，的底为，高为的纵坐标， ∴ ②当点在上（）：坐标为， 长方形面积减去周围三个三角形面积， 可得： ． 综上，． （3）解：存在，点的坐标为或，推导如下： 若，令， 解得，符合范围， 此时； 若，令， 解得，符合范围， 此时． 12．（25-26七年级下·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可； （2）过点M作，交y轴于点N，根据平行线的性质易证，再根据角平分线的定义整理即可得解； （3）存在，分点在y轴上，与x轴上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴点，； （2）解：如图，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，即， ∵分别平分，，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， 当点P在y轴上时，设点， ∵F点坐标为， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或5， ∴点P的坐标为或； 当点P在x轴上时，设点，则， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 二、填空题 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是___________；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是___________ 【答案】 或 或 【分析】对于求点坐标，根据三角形面积公式，以为底，到轴距离为高计算；求点坐标，分和两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解： 设， ， ， 点到轴距离为， ， ， ， 或， 或， 或； 设， 情况一：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ； 情况二：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ； 情况三：， 根据勾股定理，，即， 解得， 此时点与点重合，无法构成三角形，故舍去， 故答案为：或；或． 4．（25-26七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 6．（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，． (1)求的面积； (2)若点是轴上一动点，的面积为3，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点D作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据三角形的面积公式可得，据此求出的长，进而确定点P的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作轴于点E， ∵点，，， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵点是轴上一动点，的面积为3， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 7．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为,,． (1)若轴，且，则P点坐标为___________ (2)画出关于y轴对称的并写出点的坐标___________ (3)求的面积． (4)在x轴上有一点Q，使Q到B和C距离最短，标出Q点所在位置，保留作图痕迹． 【答案】(1)或 (2) 所作如图所示： (3) (4) Q点所在位置如图所示： 【分析】（1）根据平行于轴的点纵坐标相同求出P点纵坐标，再结合分情况讨论求出P点横坐标，即可解题； （2）根据轴对称作图步骤作出，再结合图形写出点的坐标即可； （3）利用割补法求出的面积即可； （4）作B点关于x轴的对称点，连接，结合轴对称性质和两点之间线段最短可知，与x轴交点即为点Q． 【详解】（1）解：轴，， ， ， 或， 则P点坐标为或； 故答案为：或． （2）解：略． （3）解：的面积为：； （4）解：略． 8．（25-26七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，坐标轴上是否存在一点（不与点重合），使得三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案； （2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案； （3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：过点作，交轴于点，如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ，分别平分，，， ，， ，， ； （3）解：存在． 理由如下：连接，如图所示：    设， ， ，解得， 点坐标为， ，，， ∴， 当点在轴上时，设， ， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 此时点坐标为， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或． 9．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ______； ______；点B的坐标为______； (2)在移动过程中，当点P移动3秒时，求三角形的面积； (3)当点P移动11秒时，坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）当点P移动3秒时，，此时点在上，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴； （2）解：当点P移动3秒时，， 此时点在上， ∴三角形的面积； （3）解：存在， 当点移动秒时，移动的路程为， ∵， ∴点在上，即 ∴ ∴， ∴； ①当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 10．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标： ②当时，求的面积； ③当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①，，；②的面积为；③ 【分析】（1）根据 ，正方形的边长为4，即可求出； （2）①利用绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方的非负性求出，，，进一步得到，，，即正方形的边长为3，得到，即可解答； ②当时，，，此时P点位于上，结合图形利用割补法求面积即可； ③先确定，，然后运用割补法求面积以及列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴，，， ∵ ， ∴，，， ∴； （2）解：①∵， ∴，，， ∴，，， 即正方形的边长为， ∴， 答：，，； ②当时，，， ∴P点位于上，如图，连接， ∴； ③由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平面直角坐标系中的图形面积问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1与面积有关的点的位置不定产生多解（重） 题型2直接利用面积公式求图形的面积（重） 题型3利用补形法或分割法求图形的面积（高频） 题型4与图形面积相关的点的存在性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1与面积有关的点的位置不定产生多解 1.(25-26七年级下·江西赣州期末)在平面直角坐标系中，有点A(4,6),点B(0,3),若在坐标轴上有一 点C(不与点B重合)，使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 2.(25-26七年级下山东临沂期中)如图，在平面直角坐标系中，己知三角形AOB中OA=6,OB=8, 动点C从点O出发，沿O→A→B,当三角形OBC的面积等于三角形AOB一半时，点C的坐标为一 B 3.(25-26七年级下江西赣州期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),B(-1,0,C(3,0), 点D也在坐标轴上（不与A,B,C重合），若三角形ABD的面积与三角形ABC的面积相等，则满足条件 的点D的坐标是 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C -1O 3 ◆题型2直接利用面积公式求图形的面积 4,(25-26七年级下甘肃嘉峪关期中)如图，在平面直角坐标系中点A,B的坐标分别为A(a,0), B(b,0),且a,b满足：a+2+b-4=0,点C的坐标为(0,3). C(0,3) A B衣 (1)求a,b的值 (2)求三角形ABC的面积. (3)若A,B两点位置不变，C点在y轴的什么位置时，三角形ABC的面积是原三角形面积的2倍 5.(25-26七年级下黑龙江大庆期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,0),B(3,0),点M为第 三象限内一点。 B B M 备用图 ()若M(2-m,2m-10)到坐标轴的距离相等，MN∥AB,且NM=AB,求N点坐标： (②)若M为(-2，m),请用含m的式子表示△ABM的面积. 6.(25-26七年级下广东江门期中)如图，在平面直角坐标系中，A(a,0),B(b,0),C(-2,4),且a,b 满足a+3+V4b-8=0 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 B A B龙 图1 图2 (1)如图1，求点A,B的坐标： (2)如图1，求△ABC的面积： 1 (3)如图2，连接OC,在坐标轴上是否存在点M,使Scow=2SaC,若存在，求出点M的坐标，若不存 在，请说明理由， ◆题型3利用补形法或分割法求图形的面积 7.(25-26八年级下·全国课后作业)如下图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别 为A(-2,-),B(2,-),C(4,3),D(0,4),求四边形ABCD的面积. 珠 B 题多解如图②，记AB交y轴于点E,连接CE, D C 则 E B 图② S边形HBCD=S.As+S.Cs+S,cFB 2*2x5+ 1 1 5x4+2×2x4 =19 8. (25-26七年级下辽宁鞍山期中)如图，已知点A(0,),B(0,5),C(5,7),D(2,). 319 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1I)求四边形ABCD的面积： (2)在x轴上找一点P,使△APB的面积等于四边形ABCD面积的三分之一，求点P的坐标. 9.(25-26七年级下广东广州期末)如图，在平面直角坐标系中，0为原点，己知A(0,),B(b,0), C(6,4),且a,b满足关系式：Va-2+(b-3=0. A B (1)填空：a=-,b=- (2)求三角形ABC的面积； (3)若点P为x轴上一点，且三角形PBC的面积等于三角形ABC的面积，求点P的坐标. ◆题型4与图形面积相关的点的存在性问题 10.(25-26七年级下·辽宁葫芦岛阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，A,B在x轴上，C在y轴上， OA=OC=2,AB=5,点P的坐标是(a,-),连接PA,PC. (I)直接写出△ABC顶点A,B,C的坐标； (2)当a=1时，求△PAC的面积： (3)是否存在点P,使△PAC的面积等于△ABC的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由. 11. (25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末)如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形 ABCD,AB=m,BC=n,且m-8+Vn-6=0.E是CD边上的一点，且DE=2,动点P从点A出发，以 每秒2个单位长度的速度沿A→B→C运动，最终到达点C.设点P运动的时间为秒. y E P (1)填空：m=,n= (2)求出点P在运动过程中△APE的面积S(用含t的式子表示)； (3)是否存在一点P,使△APE的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 12.(25-26七年级下·河南漯河期末)在平面直角坐标系中，己知点A(a,0),B(b,3),C(4,0),且满足 Va+b+(a-b+6)=0,线段AB交y轴于点F,点D是y轴正半轴上的一点. VA VA C 图1 图2 图3 (1)求出点A,B的坐标： (②)如图2，若DB∥AC,∠BAC=C,且AM,DM分别平分∠CAB,∠ODB,求∠AMD的度数；（用含 的式子表示) 3 (3)如图3，若F点坐标为 坐标轴上是否存在一点P(不与点C重合)，使得三角形ABP的面积与 三角形ABC的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由. 综合攻坚知能拔高 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级下·内蒙古兴安阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的面积是() y A(2,2) D C B -10 9 A.4 C.2 D.5 2.(25-26七年级下广东惠州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0),B(b,0）, 其中a,b 满足|a++(b-3=0.点M的坐标(-2，)，在y轴的正半轴上有一点卫，使得三角形ABP的面积与 三角形ABM的面积相等，则点P的坐标为() A.(2,0) B.(0,) c.(0,-) D.(0,2) 二、填空题 3.(25-26八年级上山东淄博阶段检测)如果A(0,4),B(-3,0),点C在y轴上且三角形的面积是15， C点坐标是 若点D在x轴上，且△ABD为直角三角形，D点坐标是 4.(25-26七年级下江西上饶期末)在平面直角坐标系中，有点A(2,4),点B(0,2),若在坐标轴上有一 点C(不与点B重合)，使三角形AOC的面积是三角形AOB面积的2倍，则点C的坐标为 三、解答题 5.(25-26八年级上宁夏银川阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,0),B(3,0), M(-2,-2)」 B (I)求出△ABM的面积， (2)在y轴上有一点P,使得△ABP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标. 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26七年级下甘肃陇南期中)如图，在平面直角坐标系中，0为原点，点A(0,3),C(4,0), D(5,5) 0 (I)求△ACD的面积； (2)若点P是x轴上一动点，△PAO的面积为3，请求出点P的坐标. 7.(25-26七年级上山东东营阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(3,4), B(1,2),C(5,1). 3 2 -5-4-3-2-10 2345x 2 -3 ()若PA∥x轴，且PA=5,则P点坐标为 (2)画出△ABC关于y轴对称的△4B,C并写出点B的坐标 (3)求△ABC的面积. (4)在x轴上有一点O,使Q到B和C距离最短，标出Q点所在位置，保留作图痕迹 8.(25-26七年级下全国期末)在平面直角坐标系中，已知点A(a,0),B(b,3),C(4,0),且满足 Va+b+(a-b+6)2=0,线段AB交y轴于点F,点D是y轴正半轴上的一点. 图1 图2 图3 (I)求出点A,B的坐标； 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若DB∥AC,∠BAC=a,且AM,DM分别平分∠CAB,∠ODB,求∠AMD的度数：（用含 “的式子表示) (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P(不与点C重合)，使得三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相 等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 9.(25-26七年级下天津滨海新区期中)如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(a,0),点C的坐标为(0，b)且a,b满足Va-8+b-12=0,点B在第一象限内，点P从原点出发， 以每秒2个单位长度的速度沿着0-A-B-C-O的线路移动. 备用图 (1)a= ；b= 点B的坐标为一 (2)在移动过程中，当点P移动3秒时，求三角形OPB的面积； (3)当点P移动11秒时，坐标轴上是否存在点Q,使三角形OP№的面积与三角形OPB的面积相等，若存在， 求点Q的坐标：若不存在，说明理由 10.(25-26七年级下湖北宜昌·期中)如图1，四边形ABCD为正方形（四条边都相等，四个内角都是 90°)，AB平行于y轴， V A B 图1 图2 备用图 (1)如图1，已知B(-2,-3),正方形ABCD的边长为4，直接写出点A,C,D的坐标： ②如图2.已知Ba.0c60,ram 点O从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段CD上 运动，运动时间为t秒，若Va+2+b-1+(m+1-4)'=0 ①请直接写出B、C、D的坐标： 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当t=l时，求△BP的面积： @当Sam=专Samc时，求t的值。 919