专题06 整式的加减运算（期中专项训练·冲刺版）七年级数学上学期新教材人教版

专题06 整式的加减运算 题型1 整式的加减运算（常考点） 题型5 整式加减中的无关问题（几何）（难点） 题型2 先化简再求值（常考点） 题型6 整式加减中的错解问题 题型3 作差法比较大小 题型7 整式加减中的新定义问题（难点） 题型4整式加减中的无关问题（重点） 题型8 整式加减中的规律问题 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式的加减运算（共5小题） 1．（26-27七年级上·湖南·期中）化简． (1) (2) 2．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 先化简再求值（共5小题） 6．（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 7．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 8．（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 10．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知多项式A：，多项式B：． (1)化简； (2)当时，求的值． 题型三 作差法比较大小（共4小题） 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)若 ，，请比较A与B的大小． 12．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）（1）比较与的大小，说说你的理由； （2）当x为何值时，代数式的值比的值大？说明理由． 13．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 14．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知代数式． (1)计算：． (2)当满足时，求的值． (3)数学中有一种比较两数（式）大小的方法叫“作差法”，即通过计算两个数的差值，进而根据差值与0的大小来比较两数（式）的大小．试通过作差法比较的大小． 题型四 整式加减中的无关问题（共4小题） 15．（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 16．（26-27七年级上·上海·单元测试）有这样一道题：当，时，求整式 的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 17．若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 18．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 题型五 整式加减中的无关问题（几何）（共5小题） 19．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 20．（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，要建一个长方形苗圃，其中一边靠长度足够的墙，另外三边用竹篱笆围成．已知长方形的长为米，宽为米． (1)这块苗圃的长比宽多多少米？ (2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随m、n的取值而变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价． 21．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 22．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）如图1，有9个完全相同的长为厘米，宽为厘米的长方形．如图2，小红将这9个小长方形按如图所示不重叠地放置在长方形中．对于长方形中未被覆盖的两个部分（阴影部分），设左下角的面积为，右上角的面积为． (1)当，且厘米时，长方形的面积为_______，阴影部分的面积为_______； (2)设厘米，若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 23．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）一张长为a，宽为的长方形纸片，剪去4个相同的直角三角形和2个相同的长方形，得到一个如图所示的图案（阴影部分），剪去的4个直角三角形的两条直角边的长分别为x、y，2个长方形相邻两边的长也分别为x、y． (1)若，解答下列问题： ①用含x、y的代数式表示图中阴影部分的面积； ②当时，求阴影部分的面积； ③若阴影部分的面积为，则______________（用含x的代数式表示） (2)设阴影部分的面积为S，若代数式的值与x、y无关，求m的值． 题型六 整式加减中的错解问题（共4小题） 24．（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 25．（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 26．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 27．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知两个多项式A和B，其中小马在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B (2)当，时，请帮他求出正确的值． 题型七 整式加减中的新定义问题（共4小题） 28．（2026七年级上·全国·专题练习）定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 29．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）知识背景： 规定：从，，，，，，，，中任取个不同的数字，，，…，组成的所有位数的和，记作．例如：，又如：． 知识应用： (1)________； (2)①一定是的整数倍吗？为什么？ ②________； 猜想：从，，，，，，，，中任取个不同的数字，，，…，组成的所有位数的和一定是位偶数________的整数倍． (3)知识迁移：在数字，，，，，，，，中任选3个不同数字，组成六个三位数，若这六个三位数的和为，那么所组成的这六个三位数中，最大者是________． 30．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 31．（26-27七年级·全国·小升初衔接）材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 题型八 整式加减中的规律问题（共3小题） 32．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 33．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 34．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． $专题06 整式的加减运算 题型1 整式的加减运算（常考点） 题型5 整式加减中的无关问题（几何）（难点） 题型2 先化简再求值（常考点） 题型6 整式加减中的错解问题 题型3 作差法比较大小 题型7 整式加减中的新定义问题（难点） 题型4整式加减中的无关问题（重点） 题型8 整式加减中的规律问题 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式的加减运算（共5小题） 1．（26-27七年级上·湖南·期中）化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 先化简再求值（共5小题） 6．（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 7．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可求解； （2）先去括号，然后合并同类项，化简后将，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式， 当，时，原式． 8．（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）化简或求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】（1）按照整式的加减运算的法则进行计算即可； （2）先按照整式加减运算的法则进行化简，再根据非负数的性质求出和的值，最后代入原式求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式； 10．（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知多项式A：，多项式B：． (1)化简； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据整式的加减运算法则进行计算即可； （2）整体代入化简后的代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵多项式A：，多项式B：， ∴ ； （2）解：当时， ． 题型三 作差法比较大小（共4小题） 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)若 ，，请比较A与B的大小． 【答案】(1)< (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，整式的大小比较， 对于（1），将两式作差，根据结果可得答案； 对于（2），由，根据结果得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴>0， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）（1）比较与的大小，说说你的理由； （2）当x为何值时，代数式的值比的值大？说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，， ∴； （2）当时，代数式的值比的值大，理由如下： ∵， 要使代数式的值比的值大，则， ∴当时，代数式的值比的值大． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法（通过计算两个式子的差，根据差的符号判断大小）是解题的关键． （1）通过作差法计算两个式子的差，根据差的正负判断大小关系． （2）通过作差法计算两个式子的差，根据差的正负判断大小关系． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知代数式． (1)计算：． (2)当满足时，求的值． (3)数学中有一种比较两数（式）大小的方法叫“作差法”，即通过计算两个数的差值，进而根据差值与0的大小来比较两数（式）的大小．试通过作差法比较的大小． 【答案】(1) (2)8 (3) 解： ， ∴． 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值． （1）直接将代入计算即可； （2）根据非负数的性质求出，进而代入（1）中结果计算即可； （3）计算的值，进而根据值的正负判断即可． 【详解】（1）解：． ； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴； （3）略 题型四 整式加减中的无关问题（共4小题） 15．（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 16．（26-27七年级上·上海·单元测试）有这样一道题：当，时，求整式 的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 【答案】这个整式的值与a、b取值无关， 理由：原式， ， ， ． 所以这个整式的值与a、b取值无关、所以两人做出的结果一样. 【详解】略 17．若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【详解】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 18．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 题型五 整式加减中的无关问题（几何）（共5小题） 19．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 20．（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，要建一个长方形苗圃，其中一边靠长度足够的墙，另外三边用竹篱笆围成．已知长方形的长为米，宽为米． (1)这块苗圃的长比宽多多少米？ (2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随m、n的取值而变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价． 【答案】(1)这块苗圃的长比宽多米 (2)该苗圃的建造总价为元 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，整式的加减无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的长为米，宽为米，进行列式计算，即可作答． （2）先算出该苗圃的周长，再结合竹篱笆的单价为每米7元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵长方形的长为米，宽为米， 则 ， 答：这块苗圃的长比宽多米． （2）解：该苗圃的建造总价不会随m、n的取值而变化，理由如下： 竹篱笆总长为： （米） ∴竹篱笆总长与m，n的取值无关． ∵竹篱笆的单价为每米7元， ∴该苗圃的建造总价为（元）． 21．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)， (3) ， 理由：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可； （2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可； （3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）略 22．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）如图1，有9个完全相同的长为厘米，宽为厘米的长方形．如图2，小红将这9个小长方形按如图所示不重叠地放置在长方形中．对于长方形中未被覆盖的两个部分（阴影部分），设左下角的面积为，右上角的面积为． (1)当，且厘米时，长方形的面积为_______，阴影部分的面积为_______； (2)设厘米，若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】(1)270，64 (2)与的数量关系为． 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题； （1）根据长方形面积公式求解即可； （2）由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴长方形的面积为， 阴影部分的面积为； 故答案为：270，64； （2）解：由题意得，， ，， ∴ ， 当即时，在的长变化时，的值始终保持不变． ∴与的数量关系为． 23．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）一张长为a，宽为的长方形纸片，剪去4个相同的直角三角形和2个相同的长方形，得到一个如图所示的图案（阴影部分），剪去的4个直角三角形的两条直角边的长分别为x、y，2个长方形相邻两边的长也分别为x、y． (1)若，解答下列问题： ①用含x、y的代数式表示图中阴影部分的面积； ②当时，求阴影部分的面积； ③若阴影部分的面积为，则______________（用含x的代数式表示） (2)设阴影部分的面积为S，若代数式的值与x、y无关，求m的值． 【答案】(1)；； (2)4 【分析】本题考查整式的加减的应用，无关型问题，列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）①用长方形的面积减去四个直角三角形的面积以及两个小长方形的面积即可；②把x、y的值代入①中所列的代数式求值即可；③根据长方形面积公式，三角形面积公式，列出代数式化简即可； （2）首先化简代数式，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①依题意得 ②当时，阴影部分的面积为∶ ． ③若阴影部分的面积为，即． 解得． 故答案为： （2）解：阴影部分的面积为 ． 把代入上式得 ． 代数式的值与x、y无关， ，解得． 题型六 整式加减中的错解问题（共4小题） 24．（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【答案】(1)； (2)①； ②， ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意可得，再求得的结果； （2）①根据代入消元法即可解答； ②根据整式的加减即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， 则 ； （2）解：①根据题意可得； 故答案为：； ②略 25．（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，故多项式的次数为，常数项为，即可作答． （2）因为，且，故，再把，，分别代入，进行计算化简，即可作答． （3）先得出，结合当取任意数值时，的值都是一个常数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 多项式的次数为，常数项为； 故答案为： （2）解：∵，且， ， ； （3）解： ． 当取任意数值时，的值都是一个常数， ， ． 26．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】 （1）证明： ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）先把原式去括号，然后合并同类项化简得到，再根据绝对值相同的两个数的平方的结果相等即可得到结论； （2）先根据题意求出，再计算出即可． 【详解】解：（1）略 （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 27．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知两个多项式A和B，其中小马在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B (2)当，时，请帮他求出正确的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及代数式求值，解题的关键是利用的结果求出多项式，再代入计算的值． （1）由的结果与的表达式，通过求出多项式； （2）先写出的表达式，化简后代入、的值计算． 【详解】（1）解∵， ∴， 又∵， ∴ （2）解： ， 当，时， 原式 题型七 整式加减中的新定义问题（共4小题） 28．（2026七年级上·全国·专题练习）定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)与是关于5的平衡数，理由如下： ， 所以与是关于5的平衡数． (3)7 【分析】（1）根据平衡数的定义进行求解即可； （2）根据整式加减运算法则求出，然后再进行判断即可； （3）先根据平衡数定义得出，再根据，得出，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴4与1是关于5的平衡数； ∵， ∴与是关于5的平衡数； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为最大的负整数， ∴， ∴． 29．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）知识背景： 规定：从，，，，，，，，中任取个不同的数字，，，…，组成的所有位数的和，记作．例如：，又如：． 知识应用： (1)________； (2)①一定是的整数倍吗？为什么？ ②________； 猜想：从，，，，，，，，中任取个不同的数字，，，…，组成的所有位数的和一定是位偶数________的整数倍． (3)知识迁移：在数字，，，，，，，，中任选3个不同数字，组成六个三位数，若这六个三位数的和为，那么所组成的这六个三位数中，最大者是________． 【答案】(1)1332 (2)①一定是的整数倍，理由如下： ， ∵a，b，c为整数， ∴为整数， ∵222能被111整除， ∴能被111整除． ②6666； (3)521 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）①根据题中定义，列出代数式，得出，即可进行解答； ②根据题意可得，由，能够被222整除，能够被2222整除，可得出能够被整除． （3）设这三个数分别为a，b，c，由，可得出，进而可得出a，b，c为1，2，5或1，3，4，进而可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解∶ ①略； ②同①可得， ∴， ∵，是3位偶数222的整数倍，是4位偶数2222的整数倍， ∴一定是n位偶数的整数倍． （3）解：设这三个数字分别为a，b，c， ， 解得：， ∴a，b，c分别为1，2，5或1，3，4， ∴组成的最大三位数为：521． 30．（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： 是“和谐数” (2)猜想正确，理由如下： ，， ， ， 由可得， 因此是的倍数。 又因为， 是9的倍数 ，且 【分析】（1）根据题意验证四位数3846是否满足“和谐数”的定义即可； （2）根据得到，再变形成，得到是9的倍数，再根据a与d的取值范围得到，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 31．（26-27七年级·全国·小升初衔接）材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 【答案】(1)，， (2)101，151，606，656 【分析】（1）根据题意，表示出，得出，根据，确定取值； （2）根据题意，确定三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或，然后确定所有值． 【详解】（1）解：，， ∵，能被整除， ∴，且， 可得满足条件取值如下： ； ； ； 答：符合条件的值有，，； （2）解：， ∵，， ∴其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：、、，显然三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或， ∴符合条件的数有：，，，． 答：若，的所有值有，，，． 题型八 整式加减中的规律问题（共3小题） 32．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 33．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 34．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2) 解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； (3) 解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）略 （3）略 $