专题02 绝对值的性质、几何意义与最值问题（期中专项训练·冲刺版）七年级数学上学期新教材人教版

专题02 绝对值的性质、几何意义与最值问题 题型1 绝对值的非负性（常考点） 题型6 绝对值最值问题的应用（难点） 题型2 两个绝对值和的最值问题（重点） 题型7 零点分段法 题型3 三个绝对值和的最值问题 题型8 分类讨论求值问题 题型4多个绝对值和的最值问题（难点） 题型9 绝对值新定义问题（难点） 题型5 两个绝对值差的最值问题 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 绝对值的非负性（共4小题） 1．（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）若，求的值． 题型二 两个绝对值和的最值问题（共4小题） 5．（26-27七年级上·全国·单元复习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3的两点间的距离．试探索： (1)可理解为数轴上表示数8与数________的两点间的距离； (2)可理解为数轴上表示数与数________的两点间的距离； (3)可理解为数轴上表示数与数________的两点之间的距离和表示数与数________的两点间的距离的和； (4)利用数轴求出的最小值是________． 6．（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 7．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，请写出理由． 8．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 题型三 三个绝对值和的最值问题（共4小题） 9．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________． 10．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为________． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为________． 11．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 12．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 题型四 多个绝对值和的最值问题（共4小题） 13．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 15．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 16．（25-26七年级上·广东珠海·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 题型五 两个绝对值差的最值问题（共3小题） 17．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 18．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 19．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律： ①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． （5）知识迁移 有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 题型六 绝对值最值问题的应用（共3小题） 20．为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 21．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 22．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 题型七 零点分段法（共2小题） 23．（25-26七年级上·全国）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 24．（26-27七年级·全国）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 题型八 分类讨论求值问题（共3小题） 25．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 26．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时， ，当时， ． （2）如果有理数a、b满足时，则 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足，求的值． 27．（26-27七年级·全国）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 题型九 绝对值新定义问题（共2小题） 28．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）阅读下面材料： 对于排好顺序的个数：，称为数列，其中为整数且．定义．例如，若数列，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且，求的最大值和最小值． 29．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是的“K倍点”，记作∶．例如∶若点Q表示的数为0，点M表示的数为，点N表示的数为1，则Q是的“2倍点”，记作∶．应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应，5，． (1)①P、B两点之间的距离是 ； ②求的值； (2)若点C在数轴上且，求点C表示的数； (3)若点D是数轴上一点，且，直接写出点D表示的数． $专题02 绝对值的性质、几何意义与最值问题 题型1 绝对值的非负性（常考点） 题型6 绝对值最值问题的应用（难点） 题型2 两个绝对值和的最值问题（重点） 题型7 零点分段法 题型3 三个绝对值和的最值问题 题型8 分类讨论求值问题 题型4多个绝对值和的最值问题（难点） 题型9 绝对值新定义问题（难点） 题型5 两个绝对值差的最值问题 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 绝对值的非负性（共4小题） 1．（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴，，即 ， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）若，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质求出，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 题型二 两个绝对值和的最值问题（共4小题） 5．（26-27七年级上·全国·单元复习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3的两点间的距离．试探索： (1)可理解为数轴上表示数8与数________的两点间的距离； (2)可理解为数轴上表示数与数________的两点间的距离； (3)可理解为数轴上表示数与数________的两点之间的距离和表示数与数________的两点间的距离的和； (4)利用数轴求出的最小值是________． 【答案】(1)5 (2) (3)，2 (4)5 【分析】（1）根据绝对值的几何意义求解； （2）根据绝对值的几何意义求解； （3）类比前两问即可求解； （4）结合上一问结论，利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：可理解为数轴上表示数8与数5的两点间的距离； （2）解：可理解为数轴上表示数与数的两点间的距离； （3）解：可理解为数轴上表示数与数的两点之间的距离和表示数与数2的两点间的距离的和； （4）解：由（3）中结论知，当表示x的点位于数与数2之间时，取最小值， 最小值为：． 6．（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 【答案】（1）9，0；（2）；（3）当时，的值最小，最小值是6；（4）当点C表示的数在1和5之间(包括1和5)时，的值最小，最小值为4 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间的距离的表示与应用，读懂题目信息，理解两点间的距离的求解是解题的关键． （1）根据数轴计算即可得解； （2）根据（1）的计算结果解答； （3）根据绝对值的性质解答； （4）根据题目信息，表示到1和5两个数的距离的最小值，从而判断出数C在1和5之间的所有的数． 【详解】解：（1）； ， 所以，从左到右依次填9，0 ． 故答案为：9；0； （2）若A，B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系为：； （3）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为6； （4）当点C表示的数在1和5之间（包括1和5）时，|的值最小，最小值为4． 7．（26-27七年级上·山东临沂·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，请写出理由． 【答案】(1)； (2) (3)有，最小值为 【分析】（1）依据数轴上,两点之间的距离求解即可； （2）依据数轴上,两点之间的距离求解即可； （3）根据题意可得表示数轴上和两点之间的距离与和两点之间的距离之和，结合数轴进一步分析． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是． （2）解：数轴上表示和两点之间的距离表示为． （3）解：根据题意得，表示数轴上和两点之间的距离与和两点之间的距离之和， 结合数轴可以发现，当时，有最小值，即最小值为和两点之间的距离， 故的最小值为． 8．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 【答案】（1），或；（2）当时，的值最小，最小值为5；（3）12 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）直接利用距离公式列方程求解； （2）利用数轴上两点距离和的最小值原理，当点位于两点之间时和最小； （3）通过绝对值的几何意义得出当时，最小，当时，最小，再分别求解之后比较即可． 【详解】解：（1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为， ∴或， ∴或， 故答案为：，或；． （2）表示点到的距离，表示点到的距离． ∴表示点到和的距离之和． 当点在和之间时，距离之和最小，最小值为到的距离，即． ∴当时，的值最小，最小值为． （3）， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 所以，当时，取最小值为． 题型三 三个绝对值和的最值问题（共4小题） 9．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________． 【答案】 －1 1 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问． 【详解】∵， ∴ 即 ∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2， ∴ ∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和， ∴当x取中间值1时，和为最小值为2023； 故答案为：-1,1 10．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为________． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为________． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 11．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点，在数轴上分别表示数，，则，两点的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）已知数轴上的点表示，点与点之间的距离是，则数轴上点所表示的数是______； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 【答案】 （1），，；（2）或；（3）最小值为，；（4）应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得. 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 和的两点的距离可表示为， 故答案为，，； （2）到表示的点的距离为6的点所表示的数分别为和， 所以数轴上点所表示的数为或， 故答案为或； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米． 12．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 题型四 多个绝对值和的最值问题（共4小题） 13．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)6 (3)8， (4)90 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）根据题意，得，得到时， 取得最小值，解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵， ∴， ∴的最小整数值是， 故答案为：． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：6． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和， ∴， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：8，． （4）解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和， 即． 故答案为：90． 15．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____． 数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是_____； ②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【答案】材料一：3；4；6；；； 材料二：点、点之间 点 点、点之间 结论应用：①．②．③，．④ 【分析】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 探索材料1：根据材料1填空，直接写出答案； 探索材料2：根据材料2填空，分情况讨论点P的位置，得出P到其他点的距离之和最小； 结论应用：根据问题材料2得出的结论填空即可． 【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2和5的两点距离为， 数轴上表示数3和的两点距离为， 则的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离， 故答案为：3；4；6；；；； 探索材料2： ①当点P在点A左边时，； 当点P在点A、点之间时，； 当点P在点A右边时，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A、点B之间； ②当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C右边，， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点P在点A左边时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点D右边时，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． 故答案为：点B、点C之间； 结论应用（填空）： ①表示点数轴上表示数到数和的距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ②表示点数轴上表示数到数三点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ③表示点数轴上表示数到数四点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，此时的最大值是． 故答案为：，． ④表示点数轴上表示数到数共个点距离之和， 由探究材料2得奇数个距离之和的最小值时，的值为正中间的那一个数，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·广东珠海·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1 (2)或4 (3)，8 (4)， 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到3的距离之和，分当x在的左边和当x在3的右边两种情况求解即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上，数轴上x到的距离最小时，x在处，所以当时，x到、x到与x到2的距离之和最小； （4）式子表示x到的距离之和，当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点， 又∵，， ∴x的值为或1． 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1； （2）∵即表示数轴上x到与x到3的距离之和， 由于， ∴x在的左边或x在3的右边． 当x在的左边时，， 解得； 当x在3的右边时，， 解得， ∴x的值是或4； 故答案为：或4； （3）∵表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和， 数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上， 数轴上x到的距离最小时，x在处， ∴当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， ∴的最小值为8； 故答案为：，8； （4）∵式子表示x到的距离之和， ∴当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小， ∴该式子取得最小值时，应满足的条件是， ∴当时，取得最小值，最小值为： ． 题型五 两个绝对值差的最值问题（共3小题） 17．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离 (2)，，，， (3) (4)时取最小值为 (5)便民服务点P建在点B或点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，即可得出结果； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最大为数轴上到的距离，进行求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，进行求解即可； （5）设点距离市民广场的距离为，得到，根据绝对值的意义，得到当时，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，进行求解即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； （2）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离， ∴x可以取整数，，，，； （3）表示数轴上数到数的距离之差， ∴当时，的值最大为数轴上到的距离，即：； （4）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离，即：； （5）设点距离市民广场的距离为， 由题意，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程为， 即数轴上数到的距离之和， ∴当，最小为数轴上到的距离之和加上到的距离之和，即； 故当便民服务点P建在点B和点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 18．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取正整数1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 19．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律： ①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． （5）知识迁移 有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 【答案】（2）①3；4；②；1或；（3）①小，1；②小，2；③小，4；（4）E；40；（5）有最大值9，最小值． 【分析】（2）①根据两点间距离的求法直接求解即可； ②根据两点间距离的求法直接写出即可； （3）①根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值1； ②根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值2； ③根据绝对值的几何意义可知，当或时，有最小值4； （4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； （5）分三种情况对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ∵， ∴， ∴或， 解得或3， 故答案为：；1或； （3）①∵表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1； ②表示数轴上有理数x所对应的点到1、2和3所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为2， 故答案为：小，2； ③表示数轴上有理数x所对应的点到1、2、3和4所对应的点的距离之和， ∴当或时，有最小值4， 故答案为：小，4； （4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； （5）有最大值和最小值，理由如下： 当时，， 当时，， 当时，， ∴有最大值9，最小值． 题型六 绝对值最值问题的应用（共3小题） 20．为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 21．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小． 故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7． 故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18， ． 故答案为：． 22．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)3 (2)①13；②或；③或10 (3)汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为 【分析】（1）根据分析解答即可； （2）根据代数式的几何意义，结合（1）的方法求解即可； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，300，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点G上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是的长，即为3． （2）解：①式子的几何意义是表示x的点到表示的点与表示5的点的距离之和，由（1）同理可得，当表示x的点在表示的点与表示5的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示5的点之间距离，该距离为，因此的最小值为13； ②代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示6的点的距离之和，当表示x的点在表示的点与表示6的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示6的点之间距离，该距离为， ∵的最小值是4， ∴， ∴或． ③代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示7的点的距离之和， 若表示x的点在表示的点与表示7的点之间，则距离之和为表示的点与表示7的点之间的距离，为，不满足， ∴表示x的点在表示的点左侧，或在表示7的点的右侧，即或， 当时，可化为，解得； 当时，可化为，解得； 综上所述，x的值为或10． （3）解：如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 它表示x所对应的点到表示、、、、、、、、这九个点的距离之和， 由（1）同理可得，当表示x的点在正中间的点时，s有最小值，即时，， ∴汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 题型七 零点分段法（共2小题） 23．（25-26七年级上·全国）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 根据零点分段法和绝对值的性质，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：依题意，和分别为和的零点值， 当时， ； 当时，； 当时，； 综上所述，原式． 24．（26-27七年级·全国）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目中的范例解得即可求解； （）根据题目中的范例解得即可求解； 本题考查了化简绝对值，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式， ∴． 题型八 分类讨论求值问题（共3小题） 25．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 26．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时， ，当时， ． （2）如果有理数a、b满足时，则 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足，求的值． 【答案】解决问题：（1）1；；（2）0；类比探究：0或 【分析】本题考查了绝对值的性质及分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键． 解决问题：（1）根据绝对值的意义进行化简即可； （2）根据得出a、b异号，即，或，，分别代入求出结果即可； 类比探究：分两种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【详解】解：解决问题：（1）当时，， 当时，； （2）∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，当时，； 类比探究：， ∴a、b、c中有1个负数或三个都是负数， 当a、 b、c中有一个负数，两个正数时，不妨设， 则， 当a、 b、c均为负数时，不妨设， 则， 综上，的值为0或． 27．（26-27七年级·全国）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 题型九 绝对值新定义问题（共2小题） 28．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）阅读下面材料： 对于排好顺序的个数：，称为数列，其中为整数且．定义．例如，若数列，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3)的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据的计算方法求解； （2）由绝对值的几何意义得到和在3和7之间，且，然后分情况求解即可； （3）根据绝对值的非负性即可得到最小值；根据题意得到，然后利用，为非负数求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵， ∴由绝对值的几何意义得，表示数轴上3到的距离加上到的距离，加上到7的距离， ∵3到7的距离为4，， ∴和在3和7之间，且， ∴， ∵，为4个互不相等的整数， ∴和值分别可以为4，5，6 ∴满足条件的数列为或或； （3）解：∵，， ∴当时，取得最小值0； ∵数列中5个数均为非负数， ∴对任意非负数a，b，有，当且仅当时等号成立， ∴，，，， ∴ ∵，为非负数， ∴， ∴， ∴ ∴的最大值为50． 29．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是的“K倍点”，记作∶．例如∶若点Q表示的数为0，点M表示的数为，点N表示的数为1，则Q是的“2倍点”，记作∶．应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应，5，． (1)①P、B两点之间的距离是 ； ②求的值； (2)若点C在数轴上且，求点C表示的数； (3)若点D是数轴上一点，且，直接写出点D表示的数． 【答案】(1)①8；②4 (2)2 (3)11或3 【分析】（1）①根据两点间距离的意义计算两数的差求绝对值即可；②根据Q是的“K倍点”的定义列式计算； （2）根据“K倍点”的定义得等式求解即可； （3）由，根据“K倍点”的定义列等式求解即可． 【详解】（1）解：已知： ， ①P、B距离∶ ； ② ； （2）解：由， 得 ， 得（不合题意）或， 得； （3）解：由， 得，得或 解得：或． $