专题03 有理数的简便运算与规律问题（期中专项训练·冲刺版）七年级数学上学期新教材人教版

专题03 有理数的简便运算与规律问题 题型1 有理数的混合运算（重点） 题型8 进制转化（难点） 题型2 有理数的简便运算（常考点） 题型9 末尾数字规律问题（难点） 题型3 拆项法 题型10 等式规律问题 题型4绝对值方程 题型11 幻方规律（常考点） 题型5 倒数法 题型12 数阵规律 题型6 利用绝对值的性质进行计算 题型13 图形规律 题型7 裂项相消法 题型14 新定义运算 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数的混合运算（共5小题） 1．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 2．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算题 (1) (2) (3) (4) 3．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) (5)（简便运算） (6)（简便运算） 题型二 有理数的简便运算（共5小题） 6．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 7．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 8．（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）简便运算： (1) (2) 9．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）脱式计算（能简便的要简便运算） (1) (2) (3) (4) 10．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）简便运算：（写出必要的计算过程，不能只有结果） (1) (2) 题型三 拆项法（共4小题） 11．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 12．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）（1）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 __________________； ____________________________________． 上面这种方法叫拆项法：请补全以上计算过程． （2）类比上面的方法计算：． 13．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）先阅读理解例题的计算方法，再完成相应的题： 例：计算 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． 请用上面的方法计算： (1) (2) 14．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读（1）中的方法，计算第（2）小题． （1）． 解：原式 ． （2）上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算：用上面的方法完成下列计算： ①； ②． 题型四 绝对值方程（共2小题） 15．（26-27七年级上·全国·单元测试）阅读材料： 点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，，两点之间的距离．也就是说，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义为在数轴上表示数的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数可以是0或2． 解决问题： (1)计算：_______． (2)若，则_______；若，则_______． (3)请直接写出的最小值，并写出此时可取哪些整数值． 16．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）数形结合思想 【阅读】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 (1)数轴上表示3和6的两点之间的距离是多少？数轴上表示4和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 (2)数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ (3)试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 (4)利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为__________，此时可取的整数值为__________． 题型五 倒数法（共4小题） 17．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：． 18．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）请你认真阅读下列材料： 计算： 解法一：因为原式的倒数 ． 所以原式， 解法二：原式 ． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误解法，错误的解法是解法________． (2)根据你对所提供材料的理解，按照材料内的正确解法，计算下面的题目： ． 19．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一： 原式 ． 解法二： 原式 ． 解法三： 原式的倒数 ． 所以原式． 上述解法得到的结果不同，你认为解法________是错误的； 请你选择合适的解法计算：． 20．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解： ． 所以，原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ． 题型六 利用绝对值的性质进行计算（共4小题） 21．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；；观察式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①______；②______； (2)当时，______；当时，______； (3)计算： 22．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①________；②________． (2)【拓广应用】用合适的方法计算：________．（直接写出计算结果） (3)请利用你探究的结论计算：． 23．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 (1)根据上面规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________；②________； ③________；④________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：________； (3)用简便的方法计算：． 24．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）我们知道，当时，；当时，． (1)计算：______． (2)计算：． (3)计算：． 题型七 裂项相消法（共5小题） 25．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）【阅读理解】观察下列各式：；；； 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为． 【初步应用】 类比上述方法，解答下列各题： (1)计算：； (2)计算： (3)直接写出结果：= 26．（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 27．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 28．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）请你观察： ；；；…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比上面的方法，完成下列各题． (1)计算：______． (2)计算： (3)计算： 29．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 题型八 进制转化（共3小题） 30．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）【综合与实践】根据材料，解答下列问题． 问题背景 进位制是人们为了计算方便而约定的，约定逢十进一就是十进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将k进制的数转化为十进制数，例如2进制的数转化为十进制数：． 查阅资料二 例1：根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取商及余数，得到二进制数．例如：   可得：，所以20转换为二进制数为 例2：将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为 上述方法可以推广为把十进制数转换为进制的算法（除取余法） 查阅资料三 二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 这里的相加，逢2要进位．进位得到，再进位得到，再进位得到． 所以． (1)把二进制数转为十进制数为______；把七进制数转为十进制数为______． (2)把十进制数38转为二进制数，写出过程． (3)计算． 31．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一．例：把二进制数10010转换为十进制数为． 其他进制也有类似的算法…… (1)【发现1】类比十进制加减法计算（结果保留二进制）．例如； 写出______． (2)【发现2】现有三进制数，二进制数，试比较a与b的大小关系，说明理由． (3)【迁移应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数． 32．（25-26七年级上·重庆·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“”，“”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表，白色代表）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转化成进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为，转化成进制为：，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号，其中第一行编码“”和第二行编码“”表示区域和学校，第三行编码“”表示班级为班，第四行编码“”表示考场号为，第五行编码“”表示座位号是； (1)若图是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是___________， (2)若图是本次考试“小张”同学的准考证号转化成进制后可得他的班级是多少？ (3)若本次考试中，“小杨”的准考证号是，图是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮他补充完整． 题型九 末尾数字规律问题（共4小题） 33．观察下列算式： ；……，则的末尾数字是（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 34．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读材料，解决问题： 由，，，，，，，，…不难发现3的正整数次幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为3．请你仿照材料，探索出的个位数字是（　　） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 题型十 等式规律问题（共3小题） 37．（25-26七年级上·福建漳州·期末）求的值， 解法：令，则， 因此，所以． 仿照以上推理，计算的结果为______． 38．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 39．（24-25七年级上·山西忻州·期中）阅读材料： 求的值． 解：设，将等式两边同时乘2， 得， 将下式减去上式，得， 即， 即． 仿照此法计算： (1)； (2)． 题型十一 幻方问题（共4小题） 40．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或10 B．或 C．或2 D．或4 41．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 42．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 43．（24-25七年级上·福建三明·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 题型十二 数阵规律（共4小题） 44．（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个 ①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 45．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是______． 46．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知一列数将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行，3 第3行 第4行 第5行 ．．． 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第5个数等于___________，前个数的和为___________． 47．观察一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7…，将这列数排成下列形式： （1）在上表中，第12行第6个数是 ； （2）在上表中，“2021”是其中的第 行，第 个数； （3）将上表中第i行的最后一个数记为ai，如第1行的最后一个数记为a1，即a1=1，第2行的最后一个数记为a2，即a2=3，如此下去，a3=-6，a4=-10，......，第n行的最后一个数记为xn，则用含n的式子表示|an|为 ； （4）在（3）的条件下，计算． 题型十三 图形规律（共3小题） 48．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）根据规律，“？”处应填___________． 49．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 50．（25-26七年级上·天津静海·期中）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有_______个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_______（用含的代数式表示）． 题型十四 新定义运算（共3小题） 51．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有.如：，，；，，. (1)则_________，_________；_________； (2)若，则_________； (3)计算． 52．（26-27七年级上·全国·期中）研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 (1)归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 (2)计算：； 【拓展延伸】 (3)探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 53．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． $专题03 有理数的简便运算与规律问题 题型1 有理数的混合运算（重点） 题型8 进制转化（难点） 题型2 有理数的简便运算（常考点） 题型9 末尾数字规律问题（难点） 题型3 拆项法 题型10 等式规律问题 题型4绝对值方程 题型11 幻方规律（常考点） 题型5 倒数法 题型12 数阵规律 题型6 利用绝对值的性质进行计算 题型13 图形规律 题型7 裂项相消法 题型14 新定义运算 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数的混合运算（共5小题） 1．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用加法运算律计算即可； （）先把减法运算转化为加法运算，再相加即可； （）先把减法运算转化为加法运算，利用加法运算律计算即可； （）先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据异号的两个有理数的加法法则计算； （2）根据同号的两个有理数相加法则计算； （3）先结合，再计算即可； （4）先把减法变为加法，再结合计算即可； （5）把分数变为小数，再结合计算； （6）先结合并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； 4．（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) (5)（简便运算） (6)（简便运算） 【答案】(1)12 (2)1 (3) (4)4 (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，乘法分配律； （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （3）把分数化成小数，再根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （4）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可； （5）根据乘法分配律进行计算即可； （6）先将原式变形为，再用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ； （5）解： ， ， ； （6）解： ， ， ， ． 题型二 有理数的简便运算（共5小题） 6．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 7．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合计算． （1）先将括号内通分，再除以括号外的数即可； （2）先将括号内带分数整理成两个数相加的形式，再去括号，让整数和整数合并计算，分数和分数合并在一起计算等． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 9．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）脱式计算（能简便的要简便运算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2700 (2)66 (3)1000 (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、运算律，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用逆用乘法分配律简便运算即可； （2）利用加法交换律和结合律简便运算即可； （3）利用乘法交换律和结合律简便运算即可； （4）先把除法转化为乘法，再逆用乘法分配律简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）简便运算：（写出必要的计算过程，不能只有结果） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）先把减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）先根据两个有理数的乘法确定积的符号后，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 题型三 拆项法（共4小题） 11．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关键． 根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可． 【详解】解　原式 12．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）（1）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 __________________； ____________________________________． 上面这种方法叫拆项法：请补全以上计算过程． （2）类比上面的方法计算：． 【答案】（1），，（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2） 13．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）先阅读理解例题的计算方法，再完成相应的题： 例：计算 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． 请用上面的方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的知识点是：有理数的加减法．根据例题中“拆项法”，将带小数或带分数拆分为整数部分和分数(小数)部分，再分别对整数部分和分数(小数)部分进行计算． （）根据示例的解法可知，计算时只需将小数的整数部分与小数部分拆分，然后再进行求解； （）根据示例的解法可知，计算时只需将带分数的整数部分与分数部分拆分，然后再进行求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． 14．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读（1）中的方法，计算第（2）小题． （1）． 解：原式 ． （2）上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算：用上面的方法完成下列计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的加法运算，仿照题目提供的解题方法计算即可．熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 【详解】解：① ； ② 题型四 绝对值方程（共2小题） 15．（26-27七年级上·全国·单元测试）阅读材料： 点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，，两点之间的距离．也就是说，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义为在数轴上表示数的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数可以是0或2． 解决问题： (1)计算：_______． (2)若，则_______；若，则_______． (3)请直接写出的最小值，并写出此时可取哪些整数值． 【答案】(1)6 (2)4或； (3)的最小值为7，此时可取的整数值为，，，0，1，2，3，4 【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）推导出表示x到的距离与x到4的距离之和，分类讨论：①当x在点B的左侧时，②当x在线段（包括点B，C）上时，③当x在点C的右侧时，逐个分析求解，可得当x在线段（包括点B，C）上时，取得最小值，为7， 则此时可取的整数值为，，，0，1，2，3，4，即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． （2）解：∵ ∴， 即表示x到的距离为7， ∴，或； ∵， ∴， 即表示x到的距离等于x到1的距离， ∴x在数与1的中点处， ∴． （3）解：， ∴表示x到的距离与x到4的距离之和， 如图 ①当x在点B的左侧时，可以表示为，且有， ②当x在线段（包括点B，C）上时，可以表示为，且有， ③当x在点C的右侧时，可以表示为，且有， ∴当x在线段（包括点B，C）上时，取得最小值，为， 则此时可取的整数值为，，，0，1，2，3，4． 16．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）数形结合思想 【阅读】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 (1)数轴上表示3和6的两点之间的距离是多少？数轴上表示4和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 (2)数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ (3)试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 (4)利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为__________，此时可取的整数值为__________． 【答案】(1)3，5 (2) (3)或6 (4)3；1，2，3，4 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据定义用代数式表示； （3）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3和6的两点之间的距离是， 数轴上表示4和的两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； （3）解：的几何意义是数轴上表示m和2的两点之间的距离为4， 当表示数m的点在2的左侧时，则， 当表示数m的点在2的右侧时，则， ∴m的值为或6； （4）解：表示数轴上到1和4的距离之和， ∴的最小值表示数轴上到1和4的距离之和最小， ∴的最小值为，此时x可取的整数有1，2，3，4． 题型五 倒数法（共4小题） 17．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】解：原式的倒数 ． 所以原式． 18．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）请你认真阅读下列材料： 计算： 解法一：因为原式的倒数 ． 所以原式， 解法二：原式 ． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误解法，错误的解法是解法________． (2)根据你对所提供材料的理解，按照材料内的正确解法，计算下面的题目： ． 【答案】(1)错误的解法是解法二 (2) 【分析】（1）根据除法没有分配律即可判定解法二错误； （2）先求原数的倒数，再利用乘法分配律简便运算求出结果，然后求出其倒数求出原数即可． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，他利用了除法分配律进行计算肯定出现错误，故解法二错误． （2）解：原式的倒数 ， 原式． 19．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 计算：． 解法一： 原式 ． 解法二： 原式 ． 解法三： 原式的倒数 ． 所以原式． 上述解法得到的结果不同，你认为解法________是错误的； 请你选择合适的解法计算：． 【答案】一； 【分析】由于除法没有分配律，故解法一是错误的，仿照解法二把括号内的式子通分并计算，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】解：由题意得，解法一是错误的，错误原因是除法没有分配律； 原式 ． 20．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解： ． 所以，原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ． 【答案】 【详解】解： ； ∴原式. 题型六 利用绝对值的性质进行计算（共4小题） 21．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；；观察式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①______；②______； (2)当时，______；当时，______； (3)计算： 【答案】(1)①；② (2)； (3) 【分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； （2）解：当时，；当时，； （3）解：原式 . 22．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①________；②________． (2)【拓广应用】用合适的方法计算：________．（直接写出计算结果） (3)请利用你探究的结论计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】先判断绝对值内大小的情况，再进行化简即可． 【详解】（1）解：①由题意得，∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：对于正整数n，， ∴， ∴， ∴ ． 23．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 (1)根据上面规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________；②________； ③________；④________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：________； (3)用简便的方法计算：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的性质化简； （2）首先化简绝对值，然后计算加减即可； （3）首先化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】（1）解：①；②； ③；④． （2）解： ； （3）解： ． 24．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）我们知道，当时，；当时，． (1)计算：______． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先判断绝对值内两数的大小关系，根据绝对值性质变形后求解； （2）先判断每个绝对值内两数的大小关系，根据绝对值性质变形后求解； （3）先根据绝对值性质去掉绝对值符号，再利用中间项抵消简化运算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ，，，， ∴原式 ； （3）解：∵，，， ∴原式 ． 题型七 裂项相消法（共5小题） 25．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）【阅读理解】观察下列各式：；；； 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为． 【初步应用】 类比上述方法，解答下列各题： (1)计算：； (2)计算： (3)直接写出结果：= 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意将每一项进行裂项变形，通过中间项抵消简化计算； （2）将每一项裂项为两个分数的差并提取公因数，中间项抵消后计算剩余项； （3）先将各分数的分母改写为两个相差2的偶数的乘积，再用裂项相消法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 原式 ； （3）解：∵，，，…，， ∴原式 ． 26．（24-25七年级上·山东济南·期中）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，理由如下： ．永远不可能倒完． 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4）略． 27．（24-25七年级上·河南郑州·期中）请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 28．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）请你观察： ；；；…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比上面的方法，完成下列各题． (1)计算：______． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． （1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解： ． 29．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型八 进制转化（共3小题） 30．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）【综合与实践】根据材料，解答下列问题． 问题背景 进位制是人们为了计算方便而约定的，约定逢十进一就是十进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将k进制的数转化为十进制数，例如2进制的数转化为十进制数：． 查阅资料二 例1：根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取商及余数，得到二进制数．例如：   可得：，所以20转换为二进制数为 例2：将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为 上述方法可以推广为把十进制数转换为进制的算法（除取余法） 查阅资料三 二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 这里的相加，逢2要进位．进位得到，再进位得到，再进位得到． 所以． (1)把二进制数转为十进制数为______；把七进制数转为十进制数为______． (2)把十进制数38转为二进制数，写出过程． (3)计算． 【答案】(1)， (2)， 解：，余0 ，余1 ，余1 ，余0 ，余0 ，余1 ∴逆序取余数得 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解进制的转化方法． （1）根据二进制、七进制化十进制的方法求解即可； （2）用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取余数即可求解； （3）根据二进制的加法运算法则：满二进一求解即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：由二进制是满二进一，得 31．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一．例：把二进制数10010转换为十进制数为． 其他进制也有类似的算法…… (1)【发现1】类比十进制加减法计算（结果保留二进制）．例如； 写出______． (2)【发现2】现有三进制数，二进制数，试比较a与b的大小关系，说明理由． (3)【迁移应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数． 【答案】(1) (2) (3)孩子自出生后的天数为天 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义是关键． （1）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （2）三进制数转换为十进制列式为，二进制数，转换为十进制列式为，再计算比较即可； （3）根据“结绳计数”的含义列式为：，再计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：三进制数转换为十进制列式为； 二进制数转换为十进制列式为， ∴， 故答案为：； （3）解：根据“结绳计数”的含义列式为：（天）， 即孩子自出生后的天数为天． 32．（25-26七年级上·重庆·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“”，“”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表，白色代表）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转化成进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为，转化成进制为：，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号，其中第一行编码“”和第二行编码“”表示区域和学校，第三行编码“”表示班级为班，第四行编码“”表示考场号为，第五行编码“”表示座位号是； (1)若图是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是___________， (2)若图是本次考试“小张”同学的准考证号转化成进制后可得他的班级是多少？ (3)若本次考试中，“小杨”的准考证号是，图是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮他补充完整． 【答案】(1) (2)班 (3) 解：若本次考试中，“小杨”的准考证号是， 则第一行编码“”转化为二进制数为， 即，第一行编码正确； 第二行编码“”转化为二进制数为， 即，第二行不正确； 第三行编码“”转化为二进制数为， 即，第三行不正确； 第四行编码“”转化为二进制数， 即，第四行正确； 第五行编码“”转化为二进制数为， 即，第五行不正确； 将二维码的简易编码补充完整如下图所示： 【分析】（）根据二维码编码规则确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （）根据二维码编码规则确定第三行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （）根据二进制和十进制数字转化规则，确定各行编码二进制数字，即可求解； 本题考查了二进制与十进制数字转化，有理数的混合运算，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，第四行代表二进制的数字是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第三行代表二进制的数字为，转化成进制为： ， ∴他的班级是班； （3）略 题型九 末尾数字规律问题（共4小题） 33．观察下列算式： ；……，则的末尾数字是（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】观察可以发现末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把2021除以4余数为1，所以的末位数字与的末尾数字相同是2，然后再加3即可解答． 【详解】解：由 ；可以发现他们的末尾数字是4个数一个循环2、4、8、6、… ∵2021÷4＝505…1， ∴的与的末尾数字相同是2， ∴的末尾数字． 故选：A． 34．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读材料，解决问题： 由，，，，，，，，…不难发现3的正整数次幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为3．请你仿照材料，探索出的个位数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算．分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为7； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为8； ∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， ∵， ∴的个位数字是7． 故选：D． 35．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【答案】(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 【详解】（1） ，，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 题型十 等式规律问题（共3小题） 37．（25-26七年级上·福建漳州·期末）求的值， 解法：令，则， 因此，所以． 仿照以上推理，计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． 仿照给定解法，设和为S，乘以7后相减，利用错位相减法求解即可． 【详解】解：设， 则， 两式相减得， 即， ∴． 故答案为：． 38．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，利用错位相消法解题． 仿照题干中的方法，设和为S，乘以5后相减，消去中间项，即可得到结果． 【详解】解：设， 则， 两式相减得：， 即， 所以， 故答案为：． 39．（24-25七年级上·山西忻州·期中）阅读材料： 求的值． 解：设，将等式两边同时乘2， 得， 将下式减去上式，得， 即， 即． 仿照此法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是有理数的混合运算； （1）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （2）仿照阅读材料中的方法求出所求即可． 【详解】（1）解：设， 两边乘以3得：， 将下式减去上式，得 即 ， 即； （2）设 ， 两边乘以得：， 将下式减去上式得： 解得：， 即． 题型十一 幻方问题（共4小题） 40．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或10 B．或 C．或2 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10． 故选：A． 41．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知， ，满足题意． 42．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 【答案】(1)1，，5 (2)①2； ②填方格如图： ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． （1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）解：斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； （2）解：①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6． 43．（24-25七年级上·福建三明·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 【答案】(1) 补充完整的三阶幻方如图所示： (2) 补充完整的新的三阶幻方如图所示： (3)或11 【分析】本题考查了有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， （2）解：根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第一列上的数字为， 第三行第三列上的数字为 （3）解：根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 题型十二 数阵规律（共4小题） 44．（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个 ①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 【详解】解：①根据题意得， ， ， 故①正确； ②， ∴是经过506次操作所得， ， ∴操作结果的序列以3为周期循环， ∵， ∴的值为循环中的第3个数， ∴， 故②错误； ③， ， …… 则每3次操作，相应的数会重复出现， ∵ ， ∵， ∴ ， 故③错误； 综上，正确选项为：①， 故选：B． 45．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出是解题的关键，根据题意，依次写出，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， …， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 46．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知一列数将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行，3 第3行 第4行 第5行 ．．． 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第5个数等于___________，前个数的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类规律，通过观察数的排列规律，探索出每行数的个数的规律是解题的关键．通过观察可得第行有个数，求出前9行45个数，从而可求第10行从左边数第5个数．通过观察可得每一个奇数和它后面相邻的数之和为，据此解答即可． 【详解】解：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，， 第行有个数， 前9行有个数， 第10行从左边数第5个数为， ， ， 故答案为：①，②． 47．观察一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7…，将这列数排成下列形式： （1）在上表中，第12行第6个数是 ； （2）在上表中，“2021”是其中的第 行，第 个数； （3）将上表中第i行的最后一个数记为ai，如第1行的最后一个数记为a1，即a1=1，第2行的最后一个数记为a2，即a2=3，如此下去，a3=-6，a4=-10，......，第n行的最后一个数记为xn，则用含n的式子表示|an|为 ； （4）在（3）的条件下，计算． 【答案】（1）-72；（2）64，5；（3）；（4） 【分析】（1）根据题意可得，第行有个数，然后求出前十一行数的总个数，将其加可得该数的绝对值，再结合原数列中奇数为正偶数为负即可得出结论； （2）结合（1）中前行数的总个数，因为，进一步可得结论； （3）根据第n行的最后一个数的绝对值等于前行数的总个数可得结论； （4）根据（3）中的结论将得出题中相应字母的数值，然后根据=将原式变形整理可得结果． 【详解】解：（1）前行数的总个数＝， ， ∵原数列中奇数为正偶数为负， ∴第12行第6个数是， 故答案为：-72； （2）根据题意：前行数的总个数为：， ∵，， ∴“2021”是其中的第行，第个数， 故答案为：64；5； （3）∵第n行的最后一个数的绝对值等于前行数的总个数， ∴1+2+3+......+n，即； （4） =． 题型十三 图形规律（共3小题） 48．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）根据规律，“？”处应填___________． 【答案】 【分析】观察前三个方框里的四个数字，发现第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数，据此解答． 【详解】解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 49．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 50．（25-26七年级上·天津静海·期中）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有_______个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查规律探索，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，根据此规律计算第7个图形中的三角形个数即可； （2）把找到的规律用代数式表示出来即可． 【详解】解：第一个图案正三角形个数为； 第二个图案正三角形个数为； 第三个图案正三角形个数为； ； 第7个图案正三角形个数为； 第个图案正三角形个数为． 故答案为：，． 题型十四 新定义运算（共3小题） 51．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有.如：，，；，，. (1)则_________，_________；_________； (2)若，则_________； (3)计算． 【答案】(1)14；； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出的值，进而求出的值，再根据新定义，进行求解即可； （3）根据新定义和有理数的运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 52．（26-27七年级上·全国·期中）研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 (1)归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 (2)计算：； 【拓展延伸】 (3)探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 【答案】(1)解：“⊕”运算的运算法则如下： 同号两数进行“⊕”运算，结果为两数的差的绝对值； 异号两数进行“⊕”运算，结果为两数差的绝对值的相反数； 一个数与0进行运算“⊕”运算或0与一个数进行运算“⊕”运算，结果为原数； (2)4 (3)解：交换律（，为有理数）成立，理由如下： 若a，b同号，，， ； 若a，b异号，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ， 综上，交换律（，为有理数）成立． 【分析】（1）依据给出的算式归纳即可； （2）利用（1）中归纳的法则解答即可； （3）利用（1）中归纳的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算． 【详解】（1）略； （2）解： ； （3）略． 53．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得，再根据绝对值的性质，及有理数的加减法法则计算； （2）由新定义可得，再计算可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． $