专题01 数轴上的动点、规律、折叠问题（期中专项训练·冲刺版）七年级数学上学期新教材人教版

专题01 数轴上的动点、规律、折叠问题 题型1 数轴上两点之间的距离（常考点） 题型9 数轴上圆运动规律 题型2 数轴上点的移动（常考点） 题型10 数轴上多边形翻折规律 题型3 单动点运动问题 题型11 有关数轴的新定义问题（重点） 题型4双动点运动问题 题型12 数轴定值不变问题（难点） 题型5 多动点运动问题（难点） 题型13 整点覆盖问题 题型6 数轴上单点左右移动规律 题型14 数轴上找原点问题 题型7 数轴上三角形运动规律 题型15 数轴折叠问题（常考点） 题型8 数轴上正方形运动规律 题型16 数轴上木棒移动问题 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上两点之间的距离（共4小题） 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·河北廊坊·二模）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 4．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段　　　　　　； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段　　　　　　； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数是　　　　　　． (4)数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段　　　　　　； 题型二 数轴上点的移动（共2小题） 5．（24-25七年级上·云南昆明·期中）数轴上点A表示的数是，从点出发，沿数轴正方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是______． 6．（25-26七年级上·全国·期中）（1）数轴上点表示的数是，点与点相距个单位长度，则点表示的数是_______； （2）一个点在数轴上移动，先向左移个单位长度，再向右移动个单位长度，终点表示的数是，则起点表示的数是_______. 题型三 单动点运动问题（共2小题） 7．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图，数轴上点A，B表示的数分别是，5，点C是数轴上一动点．在点C移动的过程中： （1）若点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是______； （2）若点C到点A距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是______． 8．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为_______． 题型四 双动点运动问题（共4小题） 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 10．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为． (1)________，________； (2)当时，求点所表示的数； (3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动． ①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离； ②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值． 11．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 12．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． (2)若，求t的值． (3)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．点P，Q同时运动，是否存在某一时刻t，使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型五 多动点运动问题（共4小题） 13．（25-26七年级上·山东济南·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点A，B，C为数轴上三个点，表示的数分别是，14，8．    (1)点与点的距离是__________； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，P，Q出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 14．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）综合与实践 综合实践 数学探究性学习单 背景材料 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离． 任务一 （1）先把下列各数在数轴上表示出来：3.5，，，，，再用“”把这些数从小到大排列起来． 特例研究 （2）数轴上的点，，，，分别表示，，，，3.5，求有理数与3.5对应的两点，之间的距离（表示为）． 任务二 （3）若数轴上，两个不同点分别表示有理数和，求，两点之间的距离． 应用拓展 （4）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 16．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 题型六 数轴上单点左右移动规律（共5小题） 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 18．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 19．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 20．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 21．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏． 每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果按如下方式进行移动． 若都对或都错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位； 若甲对乙错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向正半轴方向移动个单位； 若甲错乙对，则甲向负半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位． 注：每次移动均从上一次移动结束的位置开始． 前三次游戏如表： 第一次 第二次 第三次 … 甲乙都对 甲对乙错 甲错乙对 … 【问题解决】 (1)从如图所示的位置开始，分别求第一次游戏后甲、乙两人在数轴上的位置所表示的数； (2)从如图所示的位置开始，从前三次游戏看，第几次游戏后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图位置开始进行游戏，请求出共进行了多少次移动游戏，甲与乙的位置会相距个单位？ 题型七 数轴上三角形运动规律（共3小题） 22．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点位置．若点A表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为___________． 23．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 24．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 题型八 数轴上正方形运动规律（共3小题） 25．（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 26．（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 27．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 题型九 数轴上圆运动规律（共3小题） 28．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 29．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 30．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十 数轴上多边形翻折规律（共3小题） 31．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 32．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 题型十一 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是_____． 关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，）；点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 35．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 36．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 题型十二 数轴定值不变问题（共3小题） 37．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 38．（24-25七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 39．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 题型十三 整点覆盖问题（共4小题） 40．（26-27七年级上·全国·单元测试）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，判断墨迹盖住的整数点的个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 41．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）在数轴上任取一条长度为2026的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 42．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 43．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 题型十四 数轴上找原点问题（共4小题） 44．（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 45．（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 46．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 47．（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 题型十五 数轴折叠问题（共3小题） 48．（2025·宁夏吴忠·二模）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴，折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_______． 49．（25-26六年级上·全国·期中）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示，试回答下列问题． (1)A，B两点之间的距离是_________． (2)观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是_________． (3)若将数轴折叠，使点A与表示的点重合，则点B与表示数_________的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是_________和_________． 50．（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合与探究 在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作，线段的中点是． 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，． (1) ______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数______表示的点重合． (3)点P从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①P，Q的中点为M，运动的时间为t（秒），当t为何值时，B，M之间的距离是3？ ②在点Q到达点B后，再以原来的速度向右运动，设运动的时间为t（秒），当t为何值时，点P，Q之间的距离是点C，Q之间的距离的2倍？ 题型十六 数轴上木棒移动问题（共3小题） 51．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为．将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为． (1)木棒的长为___________cm； (2)已知点表示的数为，若木棒在移动过程中，木棒的左端点与点相距，求木棒的右端点与点之间的距离； (3)仿照（1）的方法，借助“数轴”这个工具解决问题：一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁了！”求爷爷现在的年龄． 52．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 53．（26-27七年级上·吉林松原·阶段检测）如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． $专题01 数轴上的动点、规律、折叠问题 题型1 数轴上两点之间的距离（常考点） 题型9 数轴上圆运动规律 题型2 数轴上点的移动（常考点） 题型10 数轴上多边形翻折规律 题型3 单动点运动问题 题型11 有关数轴的新定义问题（重点） 题型4双动点运动问题 题型12 数轴定值不变问题（难点） 题型5 多动点运动问题（难点） 题型13 整点覆盖问题 题型6 数轴上单点左右移动规律 题型14 数轴上找原点问题 题型7 数轴上三角形运动规律 题型15 数轴折叠问题（常考点） 题型8 数轴上正方形运动规律 题型16 数轴上木棒移动问题 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上两点之间的距离（共4小题） 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． 2．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．先求出点A表示的数，然后分两种情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6， ∴点A表示的数为：， 当点A在数轴上向右移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 当点A在数轴上向左移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 故选：C． 3．（2026·河北廊坊·二模）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 4．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段　　　　　　； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段　　　　　　； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数是　　　　　　． (4)数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段　　　　　　； 【答案】(1)7 (2)4 (3)2或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可； （4）直接根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在右侧时，； ②当另一个点在左侧时，， 综上，另一个点表示的数为2或． 故答案为：2或； （4）解：数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段． 故答案为：． 题型二 数轴上点的移动（共2小题） 5．（24-25七年级上·云南昆明·期中）数轴上点A表示的数是，从点出发，沿数轴正方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是______． 【答案】2 【分析】此题主要考查数轴上的有理数，解题的关键是熟知数轴的特点．由点表示的数结合点运动的方向及运动距离，即可得出点表示的数，此题得解． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是． 故答案为：2． 6．（25-26七年级上·全国·期中）（1）数轴上点表示的数是，点与点相距个单位长度，则点表示的数是_______； （2）一个点在数轴上移动，先向左移个单位长度，再向右移动个单位长度，终点表示的数是，则起点表示的数是_______. 【答案】 或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离、数轴上点的平移等知识，熟记数轴相关性质与结论是解决问题的关键． （1）数轴上点与点之间的距离具有对称性，点可能在点的左侧或右侧，分情况求解即可得到答案； （2）通过移动的逆过程，从终点反向移动即可求出起点． 【详解】解：（1）点表示的数是，点与点相距个单位长度，则 点在点的右侧时，点表示的数为； 点在点的左侧时，点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或， 故答案为：或； （2）设起点表示的数为， 先向左移动5个单位长度，得到； 再向右移动3个单位长度，得到； 终点表示的数为， ， 解得， 则起点表示的数为， 故答案为：． 题型三 单动点运动问题（共2小题） 7．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图，数轴上点A，B表示的数分别是，5，点C是数轴上一动点．在点C移动的过程中： （1）若点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是______； （2）若点C到点A距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是______． 【答案】 2 3或11 【分析】本题考查了数轴和两点间的距离，理解题意是解决本题的关键． （1）根据点C到A，B两点的距离相等进行求解即可； （2）设点C表示的数为，则，，再根据点C到点A距离是它到点B距离的2倍，进行分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵点C到A，B两点的距离相等， ∴点C表示的数是， 故答案为：2； （2）设点C表示的数为，则，， 根据题意，分情况讨论： 当时， 解得（符合范围）； 当时， 解得（符合范围）； 当时， ， 解得（与矛盾，舍去）， 综上所述，点C表示的数是3或11， 故答案为：3或11． 8．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为_______． 【答案】0或9或 【分析】根据中点到其它两点之间的距离相等，分点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． 题型四 双动点运动问题（共4小题） 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查了绝对值、相反数及数轴上两点间的距离等知识，掌握这些知识是关键； （1）由绝对值可求得a的值，再由相反数的意义可求得b的值； （2）根据点P运动的路程与点Q运动的路程的差等于，得到方程，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵a，b 互为相反数， ∴． （2）解：由题意可知：A、B 两点之间的距离为10， 设运动了t秒，点P追上点Q，则， ∴， ∴C点表示的有理数c为． 10．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为． (1)________，________； (2)当时，求点所表示的数； (3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以与点相同的速度沿数轴向左运动． ①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离； ②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值． 【答案】(1)，10 (2)1或4 (3)①；②6或10 【分析】本题主要结合数轴考查动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴的知识和行程问题的解法是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可． （2）设点表示的数为，根据，得出点在，两点之间，则，．当时，列出方程，当时，列出方程，求解即可． （3）①点表示的数是，点表示的数为，即可得出． ②当在的左侧时，列出方程，当在的右侧时，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，10． （2）解：设点表示的数为， 因，则点在，两点之间， 所以，． 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上，点表示的数为1或4． （3）解：①点表示的数是，点表示的数为， ．（如写“或”也可） ②当在的左侧时，，解得：； 当在的右侧时，，解得：． 即此时运动时间的值为6或10． 11．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 12．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． (2)若，求t的值． (3)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．点P，Q同时运动，是否存在某一时刻t，使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；9 (2) (3)存在；或4或10 【分析】（1）根据题意计算即可． （2）分别表示出，，根据提议列出方程求解即可． （3）分三种情况讨论：①若B为中点，②若B为中点，③若B为中点，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用、数轴、偶次方及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分B为中点，B为中点，B为中点，三种情况，列出关于t的一元一次方程． 【详解】（1）∵ ∴，， ∴，． （2） ①当P在A，B中间时， ，， 根据题意可得：， 解得：． ②当P在B的右边时， ，， 根据题意可得：， 解得：（舍去） 综上所述，t的值为． （3）分三种情况讨论：①若B为中点，则， 解得：． ②若B为中点，则， 解得：． ③若B为中点，则， 解得：． 综上所述，存在三个时刻使得B，P，Q三点中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点，分别为，，． 题型五 多动点运动问题（共4小题） 13．（25-26七年级上·山东济南·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点A，B，C为数轴上三个点，表示的数分别是，14，8．    (1)点与点的距离是__________； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，P，Q出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【答案】(1)24 (2)①；②或5 (3)秒或秒 【分析】（1）根据点A，B表示的数分别是，14和A，B两点之间的距离公式即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可；②由，结合两点间的距离公式即可得到关于的方程，求解即可； （3）点未追上点时，表示出点表示的数，根据点追上点时，点，表示的数相同，可求出运动的时间和此时点表示的数，从而可求出点返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点A，B表示的数分别是，14， 点与点的距离是， 故答案为：； （2）解：①动点从点出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度， 秒后，点表示的数为； ②当时，， ，解得或5． （3）解：点未追上点时，点表示的数为， 当点追上点时，，解得， 即当它们运动2秒时，点追上点， 此时点M、Q表示的数为，P表示的数为， 点追上点后立即返回沿数轴负方向运动，设从这一刻开始运动时间为， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， 当时，，， 解得或， 点追上点后再经过秒或秒，． 14．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）综合与实践 综合实践 数学探究性学习单 背景材料 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离． 任务一 （1）先把下列各数在数轴上表示出来：3.5，，，，，再用“”把这些数从小到大排列起来． 特例研究 （2）数轴上的点，，，，分别表示，，，，3.5，求有理数与3.5对应的两点，之间的距离（表示为）． 任务二 （3）若数轴上，两个不同点分别表示有理数和，求，两点之间的距离． 应用拓展 （4）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】 （1）在数轴上表示， ． （2）；（3）； （4）不变． 理由如下， 经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是，，，， ， ． 所以的值不会随着时间t的变化而改变． 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点间的距离，整式的加减运算等知识点． （1）先化简各数，再用数轴上的点表示出各数，然后根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数比较出各数大小即可； （2）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （4）先表示出A，B，C三点所对应的数分别是，，，然后利用数轴上两点之间的距离公式表示，即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：； （3）解：数轴上M，N两个不同点分别表示有理数m和n，则M，N两点之间的距离为； （4）解：略． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A点表示的数为；B点表示的数为，C点表示的数为4 (2)①秒或秒； ②不存在，理由： 设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，P点表示的数为， ∴，， ∴当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； ∴不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上的翻折等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点． （1）根据数轴上的点的移动左减右加的规律得到A、C两点表示的数，再根据数轴折叠的性质可知点B表示的数即为A、C两点的中点，即可解答； （2）①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离的公式，列出方程解答即可； ②同①分别表示出和，再根据题意列出整式，然后根据项无关得到结果进行对比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位到达A点， ∴A点表示的数为， ∵再向右移7个单位到达C点， ∴C点表示的数为， ∴A、C两点间距离为7， ∵将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B， ∴B点表示的数为； （2）解：①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为， ∴， ∵M与Q相距1个单位长度， ∴，即或， 解得或， ∴当运动时间为秒或秒时，M与Q相距1个单位长度； ②略 16．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 【答案】（1）点表示的数是，点表示的数是14（2）点表示的数为，点表示的数为，、两点间的距离为个单位长度（3）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，、两点间的距离与、两点间距离的差为 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）数轴上点右边的点表示的数是点表示的数加上这两个点的距离，数轴上点左边的点表示的数是点表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点和点表示的数； （2）根据点和点运动的速度，用表示出点和点表示的数，把时代入点和点表示的数，再根据两点间距离公式求出结果即可； （3）先用分别表示出、、、，再分别表示，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，， 所以点表示的数是，点表示的数是14． （2）根据题意可知，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点、点表示的数分别为， 所以此时、两点间的距离为个单位长度． （3）根据题意可知，运动秒后，点表示的数为． 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 当时，所以、两点间的距离为， 、两点间的距离为， 所以、两点间的距离与、两点间距离的差为． 题型六 数轴上单点左右移动规律（共5小题） 17．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 【答案】D 【分析】本题主要考查规律型问题，点M从数轴上1开始移动，奇数次向右移动，偶数次向左移动，移动长度等于移动次数，移动2025次（奇数次）后，净位移为向右1013个单位，因此最终位置为起点加净位移可解答． 【详解】解：∵移动次数为奇数， ∴净位移数（向右）； ∵起点为1， ∴最终位置， 故选：D． 18．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 19．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 20．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 21．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏． 每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果按如下方式进行移动． 若都对或都错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位； 若甲对乙错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向正半轴方向移动个单位； 若甲错乙对，则甲向负半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位． 注：每次移动均从上一次移动结束的位置开始． 前三次游戏如表： 第一次 第二次 第三次 … 甲乙都对 甲对乙错 甲错乙对 … 【问题解决】 (1)从如图所示的位置开始，分别求第一次游戏后甲、乙两人在数轴上的位置所表示的数； (2)从如图所示的位置开始，从前三次游戏看，第几次游戏后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图位置开始进行游戏，请求出共进行了多少次移动游戏，甲与乙的位置会相距个单位？ 【答案】(1)， (2)第二次游戏后甲离原点最近，离原点距离为 (3)次或次 【分析】（1）根据“甲乙都对”的移动规则，在初始位置基础上分别加减移动量，算出移动后甲乙对应的数轴数； （2）按表格顺序逐次算出每次游戏后甲的位置，计算各位置到原点的距离，对比找出最小值； （3）先求出初始距离，根据题意可知每轮距离都减少，分间距减少个和个单位两种情况计算游戏次数． 【详解】（1）解：根据题意可知，第一次甲乙都对， 则甲的位置为，乙的位置为． （2）解：据（1）可知，第一次游戏后，甲的位置为，离原点距离为， 第二次游戏，甲对乙错，甲的位置为，离原点距离为， 第三次游戏，甲错乙对，甲的位置为，离原点距离为， 可知第二次游戏后甲离原点最近，离原点距离为． （3）解：据题可知， 甲乙两人最初相距个单位，甲乙同时答对或答错，距离减少个单位，甲乙一对一错，距离同样减少个单位， 当两人相距个单位时，间距需要减少个或个单位， ，， 故共进行了次或次游戏，甲与乙的位置会相距个单位． 题型七 数轴上三角形运动规律（共3小题） 22．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点位置．若点A表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为___________． 【答案】4049 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻滚为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，每3次翻滚为一个循环组依次循环， ， 翻转2024次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是， 故答案为：4049． 23．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)B (3)①三；② 【分析】（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 24．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三； ． 题型八 数轴上正方形运动规律（共3小题） 25．（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 【答案】B 【分析】计算起点到终点的距离，利用正方形周长为4的周期性，通过余数判断对应顶点即可． 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴正方形周长为4， ∵起点对应数，终点对应数2026， ∴滚动的总距离为， ∵， ∴数轴上的数2026对应的点与正方形滚动1个单位长度后落在数轴上的顶点重合， ∵正方形顺时针滚动，起始点为，则滚动1个单位长度后落在数轴上的点为， ∴数轴上的数2026将与正方形上的字母重合． 26．（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 27．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. 题型九 数轴上圆运动规律（共3小题） 28．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 29．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 30．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， ∵圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第一个点重合，该点表示的数字为0， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字0的点重合， 故选：A． 题型十 数轴上多边形翻折规律（共3小题） 31．（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与顶点的对应关系，归纳出循环规律. 【详解】解：由题意得，正六边形边长为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 由此可知，数轴上的数每个为一个循环周期， ∵， ∴数对应的点与数对应的点相同，即为点. 32．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 33．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 题型十一 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是_____． 关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，）；点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)1，， (2)①，，；②的值不发生变化，；③ 【分析】（1）根据相反数的定义即可得出点表示的数是，再由两点之间的距离公式计算即可得解； （2）①由数轴可得表示的数是，结合题意并根据数轴上两点之间的距离公式得出，进而即可得出表示的数，最后再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解；②由题意可得点表示的数是，再分两种情况：若，若，分别计算即可得解；③由题意可得一次跳跃点表示的数是，结合，点与点位于点的两侧，得出点是的中点，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，点表示的数是， 点与点之间的距离， 点与点的中点表示的数是； （2）解：①由数轴可得，表示的数是， ∵表示的数是6， ∴， ∴， ∴表示的数是， ∴线段的长度为； ②的值不发生变化，，理由如下： 由题意可得：点表示的数是， 若，如图所示： ∵， ∴，即点表示的数是， ∴； 若，如图所示： ∵，点与点位于点的两侧， ∴， ∴，即点表示的数是， ∴； 综上所述，的值不发生变化，； ③∵点表示的数是， ∴一次跳跃点表示的数是， ∵，点与点位于点的两侧， ∴点是的中点， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是， ∴． 35．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 36．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 【答案】（1）①2，；②③；（2）当点在点右侧时，点与点之间的距离为；当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 【分析】本题考查了代数式，数轴上两点之间的距离，理解互为基准变换点是解题的关键； （1）①根据互为基准变换点的定义求解即可； ②根据①中a，b两数可知，； ③根据②即可用含的式子表示． （2）先根据题意求出点表示的数，再根据③的结论即可求出点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，， 故答案为：2，． ②由①中的结论可知与之间的数量关系为， 所以． ③当时，． （2）解：由题意可得，点表示的数为． 因为点与点互为基准变换点， 点与点互为基准变换点， 由②可得点表示的数为． 当点在点右侧时，点与点之间的距离为． 当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 点与点之间的距离为或． 题型十二 数轴定值不变问题（共3小题） 37．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 【答案】(1)，12 (2)7或22 (3)当时，为定值；当时，为定值． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）分两种情况，点在上或在的延长线上，表示出和，再建立方程求解即可； （3）先用表示出点Q，M，N，进而表示出和，再代入得出关系式，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 解得：， 故答案为：，12； （2）解：法一：设点表示的数为，分两种情况： ①当点在线段上时， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， 解得． 综上所述，点表示的数为7或22． 法二：设点表示的数为，由题意得： 或 综上所述，点表示的数为7或22． （3）解：由题意得： 点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ， ①当时，， 此时为定值， 不为定值， ②当时，， 此时，为定值， 不为定值， 答：当时，为定值；当时，为定值． 38．（24-25七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，9，12 (2)①或12；②的值是一个定值，为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值，然后利用数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴A，B两点之间的距离为； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， 中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 39．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2) 证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）略 题型十三 整点覆盖问题（共4小题） 40．（26-27七年级上·全国·单元测试）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，判断墨迹盖住的整数点的个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：由题知，墨迹一共有两处，左侧墨迹在与之间， 所以盖住的整数点为，，，，共4个整数点． 右侧墨迹在与3之间， 所以盖住的整数点为0，1，2，共3个整数点， 所以墨迹盖住的整数点的个数为7． 41．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）在数轴上任取一条长度为2026的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 【答案】C 【分析】分两种情况分析线段端点位置对覆盖整数点个数的影响，分别为端点与整数点重合的情况以及端点与整数点不重合的情况，对比两种情况的整数点个数，确定最大值． 【详解】解：分两种情况讨论： 当线段两端点与数轴上的整数点重合时，设左端点对应整数为，则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点个数为； 当线段两端点不与整数点重合时，设左端点位于整数与之间，则右端点位于整数与之间，此时覆盖的整数点为，，，，个数为； ∵， ∴这条线段最多能覆盖个整数点． 42．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B． 43．（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 题型十四 数轴上找原点问题（共4小题） 44．（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 45．（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 46．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 47．（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【详解】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 题型十五 数轴折叠问题（共3小题） 48．（2025·宁夏吴忠·二模）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴，折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是数轴上两点中点的求法． 根据折叠折痕的位置到和5的距离相等即可确定折痕所对应数即为两点的中点，由此求解． 【详解】解：折叠纸条，数轴上表示的点与表示5的点重合，， ∴折痕与数轴的交点表示的数是2 故答案为2． 49．（25-26六年级上·全国·期中）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示，试回答下列问题． (1)A，B两点之间的距离是_________． (2)观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是_________． (3)若将数轴折叠，使点A与表示的点重合，则点B与表示数_________的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是_________和_________． 【答案】(1)3 (2)6或 (3)0 (4)；1011 【分析】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1） 根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分所求在点A的左边和右边两种情况解答； （3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：A、B之间的距离是； 故答案为：3； （2）解：观察数轴可知：点A表示的数为1， ∴与点A的距离为5的点表示的数是或6； 故答案为：或6； （3）解：∵点A表示的数1与表示的点重合， ∴对称点是表示的点， 设与点B重合的点对应的数是x， 则， 解得， ∴点B与表示数0的点重合； 故答案为：0； （4）解：∵M、N两点之间的距离为2024且互相重合， ∴=， ∵由(3)知对称点为， ∴点M表示的数为，点N表示的数为； 故答案为，． 50．（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合与探究 在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作，线段的中点是． 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，． (1) ______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数______表示的点重合． (3)点P从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①P，Q的中点为M，运动的时间为t（秒），当t为何值时，B，M之间的距离是3？ ②在点Q到达点B后，再以原来的速度向右运动，设运动的时间为t（秒），当t为何值时，点P，Q之间的距离是点C，Q之间的距离的2倍？ 【答案】(1) (2)6 (3)①秒；②秒或秒或36秒 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先求出折痕点对应的数，然后列方程求解即可； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为，则P，Q的中点为M表示的数为，再由数轴上两点之间的距离公式求解； ②分三种情况求解：点Q到达点B前；点Q从点B返回后，到达点C前；点Q从点B返回后，到达点C后． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：折痕点对应的数为． 设点B与数x表示的点重合，由题意，得 ， ∴． 故答案为：6； （3）解：①点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P，Q的中点为M表示的数为， 由题意得，， 解得或（舍）； ②点Q到达点B需秒， 点Q返回点C需秒． 点Q到达点B前， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴； 点Q从点B返回后，到达点C前， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴ ∴； 点Q从点B返回后，到达点C后， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴ ∴； 综上可知，t的值为秒或秒或36秒． 题型十六 数轴上木棒移动问题（共3小题） 51．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为．将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为． (1)木棒的长为___________cm； (2)已知点表示的数为，若木棒在移动过程中，木棒的左端点与点相距，求木棒的右端点与点之间的距离； (3)仿照（1）的方法，借助“数轴”这个工具解决问题：一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁了！”求爷爷现在的年龄． 【答案】(1) (2)当木棒的左端点与点相距时，木棒的右端点与点之间的距离为或 (3)爷爷现在的年龄为岁 【分析】（1）通过木棒移动前后的位置关系，利用两点间的距离求出木棒的长度； （2）当木棒的左端点与点相距时，这句话有两种情况：一种是左端点在点的右侧，另一种是左端点在点的左侧，然后根据已知条件求出结论； （3）将年龄问题转化为数轴上的距离问题，由于两人的年龄差不变，把年龄差看作木棒的长，然后根据小问1的方法，求出年龄差，进而求出爷爷的年龄． 【详解】（1）解：当木棒的右端点移动到点的位置时，木棒的左端点在数轴上对应的数为； 当木棒的左端点移动到点的位置时，木棒的右端点在数轴上对应的数为， 而数轴上对应的数为与数轴上对应的数为两点之间的距离是个木棒的长， 所以木棒的长为： 所以木棒的长度为． （2）解：由题意得点表示的数为，点表示的数为． 当木棒的左端点在点的左边时，左端点表示的数为， 则右端点表示的数为， 所以木棒的右端点与点之间的距离为； 当木棒的左端点在点的右边时，左端点表示的数为， 则右端点表示的数为， 所以木棒的右端点与点的距离为． 综上所述，当木棒的左端点与点相距时，木棒的右端点与点之间的距离为或． （3）解：把小红的年龄看作点表示的数，把爷爷的年龄看作点表示的数，示意图如图． 把两人的年龄差看作是木棒的长， 当木棒的右端点移动到点的位置时，木棒的左端点在数轴上对应的数为； 当木棒的左端点移动到点的位置时，木棒的右端点在数轴上对应的数为， 所以爷爷与小红的年龄差为（岁）． 所以爷爷现在的年龄为（岁）． 答：爷爷现在的年龄为岁． 52．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】(1)21，7 (2)11，18 (3)如下图∶点表示孙子现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒，奶奶像孙子那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为；孙子像奶奶那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为； ∴奶奶比孙子大（岁）， ∵，， ∴孙子现在岁，奶奶现在岁． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求，再根据题意可知，进而可求出的值； （2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （3）根据方法画出图形求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为， ∴， ∵， ∴， 即： （2）解：由（1）可得：点所表示的数是：； 点所表示的数是：； （3）略 53．（26-27七年级上·吉林松原·阶段检测）如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或或 【分析】（）根据题意可得，进而即可求解； （）分点在上和点的左侧两种情况解答即可求解； （）①求出、、三点重合的时间，再表示出点在数轴上对应的数，进而列出方程解答即可求解；②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再分点是两点中点，点是两点中点，点是两点中点三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∴点对应的数是或， 即点对应的数是或； （3）解：①当点对应的数为时，点运动前表示的数是， ∵直尺以个单位秒的速度沿数轴匀速向右运动， ∴两点重合时秒， ∵点从点出发，以个单位秒的速度也沿数轴匀速向右移动， ∴点在数轴上对应的数为， 若三点恰好在同一时刻重合，则， 解得； ②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 综上，的值为或或． $