15.1.线段的的垂直平分线（第1课时）课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线的性质 （第1课时） 人教版 数学 八年级 上册 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 实际问题 情境导入 什么叫线段的垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线. N M P A′ A 类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 复习旧知 3 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 发现：AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 … 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 探究新知 4 A B l C P 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上． 求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 验证猜想 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. A B P C l 符号语言： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB． 归纳结论 例1: 如图，在△ABC中，DE 是BC 的垂直平分线. 若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______. 13 典例精析 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 实际问题 解决问题 【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 已知：如图，PA = PB． 求证：点P在线段AB 的垂直平分线上． 证明：如图作PC⊥AB ，则∠PCA =∠PCB = 90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 A B P C 验证猜想 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 符号语言：∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l O P 归纳结论 11 例2：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P. (1)求证：PA=PB=PC. (1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线相交于点P， ∴PA=PB，PB=PC， ∴PA=PB=PC. 典例精析 (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ (2)解：∵PA=PC， ∴点P在边AC的垂直平分线上. 由此可得出结论： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点； ②这个点与这个三角形三个顶点的距离相等. *三角形外接圆的圆心 【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等. 探究新知 【注意】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立， 它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 探究新知 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理，例如，关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理. “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 探究新知 例3：写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)同位角相等，两直线平行. (2)如果x=3，那么x2=9. (3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等. 解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等. 成立. (2)逆命题：如果x2=9，那么x=3. 不成立，如：(-3)2=9，-3≠3. (3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值 也相等. 成立. 典例精析 线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 集合 定义 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合 关系 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 课堂小结 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 B 2.如图，∠ACB＝70°，CD是OA的垂直平分线，则∠ACD的度数为　 　.  课堂练习 第1题 第2题 　55°　 3.如图，AB平分∠CBD和∠CAD，则线段　 　垂直平分线段　 　.  　CD　 　AB　 4.下列各命题的逆命题是真命题的是( ) A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C.两直线平行，内错角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等 C 5.已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　 　.  　18°或112°　 6．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点． 求证：(1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 证明： (1)，， 又∵E为的中点，， 在和中， ∴，∴． (2)∵，∴， 又∵，∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中，， ， ， 由（1）可知，， 即． $