15.1.2 线段的垂直平分线(第1课时)（教学课件）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 人教版八年级上册 15.1.2 线段的垂直平分线 (第1课时) 线段垂直平分线性质 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立 在探究和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识 互逆命题认知 能力培养目标 学习目标 思考：给一条线段a,以a为底边的等腰三角形有几个？如果用三角板和刻度尺，你能画出至少三个吗？ 作图要点：利用三角尺、刻度尺作出线段a的垂直平分线，在垂直平分线上取点，连接可得符合条件的等腰三角形. a a 问题引入 一、线段垂直平分线的性质 你能用不同的方法验证这一结论吗？ 思考：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． A B l P1 P2 P3 合作探究 已知 求证 合作探究 直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. PA=PB. 证明 当点P与点C重合时，显然成立. 当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 应用格式： ∵　点P 在AB 的垂直平分线上， ∴　PA =PB． P A B 作用：见垂直平分线，得线段相等. 知识点一 典例分析 例1 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系? 解 AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC. ∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE， ∴AB=AC=CE. ∴AB+BD=CE+DC=DE. 二、线段垂直平分线的判定 反过来，如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 合作探究 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 合作探究 这些点能组成什么几何图形？ 思考：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合. P A B C l 合作探究 线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识点二 应用格式： ∵　AB =AC，MB =MC， ∴　直线AM 是线段BC 的垂直平分线． A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法. 知识点二 典例分析 例2 如图，AB=AC，MB=MC.直线 AM是线段BC的垂直平分线吗? 为什么? 解 直线 AM是线段BC的垂直平分线.理由如下： ∵AB=AC，MB=MC， ∴点A和点M都在线段BC的垂直平分线上， ∴直线 AM是线段BC的垂直平分线. 答：这两个命题的题设、结论正好相反. 合作探究 思考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系? 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 题设 结论 你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 答：如果原命题成立，那么它的逆命题不一定成立. 知识点三 思考 如果原命题成立，那么它的逆命题也成立吗？ 原命题成立，逆命题成立. 原命题：两直线平行，内错角相等. 逆命题：内错角相等，两直线平行. 原命题成立，逆命题不成立. 原命题：对顶角相等. 逆命题：相等的角是对顶角. 互逆定理 原定理： 逆定理： 例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 典例分析 逆命题 同位角相等，两直线平行. 逆命题 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等. 逆命题 对应角相等的两个三角形全等. 成立 不成立 不成立 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB， FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种. A 无数 巩固练习 3.如图1所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 P A B C D B 巩固练习 巩固练习 4.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC= . 10° 巩固练习 5.下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果x>0，那么x2>0 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D 6.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 巩固练习 7.在锐角三角形ABC内一点P,满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 巩固练习 线段的垂直平分线 性质 内容 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判定 内容 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 作用 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 互逆命题 互逆定理 归纳总结 感受中考 1.(2025·四川)如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点 D，则△BDC的周长为（ ） A.21 B.14 C.13 D.9 C 感受中考 2.(山东)如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D. △BEC≌△DEC C 感受中考 3.（2022·上海）下列说法正确的是（ ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 A $