15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 专项练习（人教版八年级上册） 核心知识点梳理 一、线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线是线段的一条重要对称轴，线上所有点与线段两端点存在固定等量关系。 二、线段垂直平分线的性质定理（必考） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。核心逻辑：点在垂直平分线上 → 到线段两端距离相等，可直接证线段相等，无需证明三角形全等，简化几何推理。 三、线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。核心逻辑：距两端点相等 → 点在垂直平分线上，是判定直线为垂直平分线的核心依据。 四、核心总结与易错点 1. 性质：线上点→距相等；判定：距相等→线上点，二者互为逆定理，解题需区分条件与结论。 2. 易错陷阱：单个点距离相等只能说明点在垂直平分线上，两点确定一条直线，证明直线是垂直平分线需找两个满足条件的点。 3. 拓展结论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 一、基础选择题（每题4分，共32分） 1. 线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的关系是（） A. 距离不等 B. 距离相等 C. 垂直关系 D. 平行关系 2. 若点P满足PA=PB，则点P一定在（） A. 线段AB上 B. 线段AB的中点 C. 线段AB的垂直平分线上 D. 直线AB上方 3. 下列说法正确的是（） A. 只有线段中点才在垂直平分线上 B. 到线段一端距离相等的点在垂直平分线上 C. PA=PB，则P在AB垂直平分线上 D. 垂直平分线是一条线段 4. 已知直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=6，则PB的长为（） A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法确定 5. 证明一条直线是线段的垂直平分线，至少需要找到几个符合条件的点（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若PA≠PB，则点P一定不在（） A. 线段AB的垂直平分线上 B. 直线AB上 C. 线段AB上方 D. 任意位置 7. 线段AB的垂直平分线与线段AB的交点是（） A. AB的端点 B. AB的中点 C. AB的三等分点 D. 任意点 8. 下列不能判定直线l是线段AB垂直平分线的是（） A. l⊥AB且平分AB B. l上有两点到A、B距离分别相等 C. l过AB中点且垂直AB D. l上一个点到A、B距离相等 二、基础填空题（每题4分，共24分） 9. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的________相等。 10. 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 11. 若直线l垂直平分AB，点P在l上，PA=5，则PB=________。 12. 证明一条直线为线段的垂直平分线，依据是________个点确定一条直线。 13. 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的________的集合。 14. 性质定理：点在垂直平分线上→________；判定定理：________→点在垂直平分线上。 三、解答题（共44分） 15.（12分）简答线段垂直平分线性质与判定的逻辑区别。 16.（16分）已知：直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上。求证：PA=PB。 17.（16分）已知：CA=CB，DA=DB。求证：直线CD垂直平分线段AB。 参考答案及详细解析 一、选择题解析 1. B 解析：线段垂直平分线性质定理，线上点到线段两端端点距离相等。 2. C 解析：判定定理直接应用，到线段两端距离相等的点在垂直平分线上。 3. C 解析：PA=PB满足判定定理，可直接确定点P在AB垂直平分线上。 4. B 解析：P在垂直平分线上，由性质定理得PB=PA=6。 5. B 解析：两点确定一条直线，需两个点满足距两端相等，才可确定整条垂直平分线。 6. A 解析：逆否命题，不满足距两端相等，一定不在垂直平分线上。 7. B 解析：垂直平分线定义，过线段中点且垂直线段，交点为线段中点。 8. D 解析：单个点距离相等只能说明该点在平分线上，无法确定整条直线是垂直平分线。 二、填空题解析 9. 距离 解析：线段垂直平分线性质定理标准内容。 10. 垂直平分线 解析：线段垂直平分线判定定理标准内容。 11. 5 解析：垂直平分线上的点到两端距离相等，PB=PA=5。 12. 两 解析：几何基本公理，两点确定一条直线。 13. 所有点 解析：垂直平分线的集合定义。 14. 距线段两端点相等；距线段两端点相等 解析：性质与判定的核心逻辑互换。 三、解答题解析 15. 解：性质定理：已知点在线段垂直平分线上，推出该点到线段两端端点距离相等（由位置得数量）；判定定理：已知点到线段两端端点距离相等，推出该点在线段垂直平分线上（由数量得位置），二者互为逆定理。 16. 证明：∵直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上，根据线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，∴PA=PB。 17. 证明：∵CA=CB，∴点C在AB的垂直平分线上（垂直平分线判定定理）。∵DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上。∵两点确定一条直线，∴直线CD垂直平分线段AB。 （总字数：1321） 人教版数学（新教材）八年级上册 15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十五章 轴对称 素养目标 1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. (重点) 2. 能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. (难点) 素养目标 新知导入 什么叫线段的垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线. N M P A′ A 类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 3 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【发现】AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 … 4 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 5 探究新知 A B l C P 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上． 求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 归纳总结 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 符号语言： ∵ OA =OB，l⊥AB， ∴ PA =PB． A B l O P 7 探究新知 【思考】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 已知：如图，PA = PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上． 证明：如图作PC⊥AB ，则∠PCA =∠PCB = 90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 A B P C 归纳总结 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 符号语言：∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． A B l O P 10 返回 C 1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC＝2，则ED的长为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．无法确定 举一反三 11 3.［教材习题 变式］［广州越秀区期末］如图， 在中，线段的垂直平分线分别交，于点 ， ，连接，若，，则 的周长为 ( ) A.19 B.20 C.21 D.22 返回 C 2．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD的长为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 C 举一反三 12 返回 8 cm 4．合肥期中如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DM分别交BC，AB于点D，M，边AC的垂直平分线EN分别交BC，AC于点E，N，已知△ADE的周长为8 cm，则BC的长为________． 举一反三 13 探究新知 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. A B l O P 探究新知 【思考】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等. 探究新知 【注意】一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立， 它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 探究新知 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理，例如，关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理. “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 当堂练习 QING JING YIN RU 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 B 2.如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B P A B C D 当堂练习 QING JING YIN RU 3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 (　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB A B C D A 4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°. AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E, 则下列结论不正确的是 (　　) A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B B A B D E C 当堂练习 QING JING YIN RU D 当堂练习 QING JING YIN RU 8. 如图所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . 10 cm A B C D E 7.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______． 10° 当堂练习 QING JING YIN RU 9.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD. A B C D E F 证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE. ∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD. (2) ∵△ADE≌△FCE， ∴ AE＝FE. 又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝BF＝BC＋CF. ∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD. 5.如图，点是内的一点，若 ，则( ) D A.点在 的平分线上 B.点在 的平分线上 C.点在边 的垂直平分线上 D.点在边 的垂直平分线上 返回 举一反三 23 返回 6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且PB＝QC，QB＝RC. 求证：点Q在线段PR的垂直平分线上． 举一反三 24 返回 7. 风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．小淇制作了一个风筝，风筝的骨架示意图如图所示，其中AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：AD垂直平分BC. 举一反三 25 返回 若a＋1>b＋1，则a>b 8．无锡中考请写出命题“若a＞b，则a＋1＞b＋1”的逆命题：________________________． 举一反三 26 返回 9.下列命题的逆命题是真命题的是( ) C A.若两个角是直角，则它们相等 B.若，则 C.两直线平行，同位角相等 D.对顶角相等 举一反三 27 返回 10.下列定理中，有逆定理的是( ) C A.同角的余角相等 B.互为相反数的两个数的绝对值相等 C.直角三角形的两锐角互余 D.全等三角形的对应角相等 举一反三 28 小结 线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 谢谢观看 THANKS 证明：连接PQ.在△BQP和△CRQ中， ∴△BQP≌△CRQ(SAS)．∴QP＝RQ， ∴点Q在线段PR的垂直平分线上． 证明：在△BAD与△CAD中， ∴△BAD≌△CAD(SAS)，∴BD＝CD. 又∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC. $