3.4 相似三角形的性质 小节要点验收2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.4 相似三角形的性质 小节要点验收2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．已知，．若的周长为9，则的周长为（     ） A．27 B．18 C．36 D．9 2．若，且相似比为，则对应边上的中线之比为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 4．中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知点D、M是边上的三等分点，且，设、四边形、四边形的面积分别为，则为（   ） A． B． C． D． 6．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，该古城墙的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．米 D．米 7．我国古代数学著作《九章算术》中有一道几何问题，其译文为：今有小城，东西7里，南北9里，各方中央开有城门．出东门15里有树．问出南门多少里见到树？如图，设AH为x里，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（   ）厘米． A． B． C． D． 9．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 10．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止，点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长度为，y与t的函数图象如图2所示，当恰好平分时t的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． 12．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 13．如图，在等边三角形中，点D，点E分别为边上一点，连接，将沿折叠，点A恰好落在边的点F处，若，且的面积，则的面积________． 14．如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 15．如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是________． 三、解答题 16．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画出线段的垂直平分线． (2)在图②中的线段上找一点C，使． 17．如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 18．如图，已知正方形纸片的边长为，将正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与点，不重合），折痕为，折叠后边落在的位置，与交于点．当点位于中点时，与周长的比是多少？ 19．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 20．在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C D C B D B D 1．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且， 的周长 的周长， 的周长为， 的周长为． 2．【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比直接可得出答案． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴对应边上的中线之比等于． 故选：A． 【点睛】考查对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形对应中线之比等于相似比． 3．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】先结合夹角相等，两边成比例，得证，再根据的周长为，的周长为，相似三角形的周长比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 4．【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．根据题意做出图形，点、分别是、的中点，可得，，则可证得，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得的面积与的面积之比为，然后由三角形的周长比等于相似比，证得的周长与的周长之比为，选出正确的结论即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点，如图， ∴，， ∴，故正确； ∵，， 的面积与的面积之比为，故正确； 的周长与的周长之比为，故错误． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、以及相似三角形面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．本题先根据三条直线平行得到 ，得到对应相似比为，然后得到 ，进而可得出，，最后相比即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， 又∵，为的三等分点， ∴， ∴ 设，则 ，， ∴， ∴． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即， ∴米， 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．根据题意证明出是解答本题的关键．由题意易证，即得出结论，即，从而得解． 【详解】解：如图，由题意得，里，里，里， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 故选：B 8．【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用， 过作于点，延长，交于点，则有，，再证明，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：过作于点，延长，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据题意得∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，设AB＝x，利用特殊角的三角函数值可求得，，再根据三角形①的面积是3可得，最后再利用特殊角的三角函数值可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°， 设AB＝x， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∵三角形①的面积是3， ∴， 整理得：， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 10．【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据图像可知，到是4秒，到是4秒，得到，进而算出每个角的度数，可知，根据相似三角形的性质，可算出每段长，最后可得答案． 本题考查了动点问题，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，证明相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图，作的平分线， 由图2可知，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比，由对应边长度求出相似比，再根据周长差列方程求解即可． 【详解】解：两个相似三角形的对应边分别为和， 则相似比为． 故两个三角形的周长比为． 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为 ．由题意， ， 解得． 故较小三角形的周长为． 故答案为：． 12．【答案】/24厘米 【知识点】相似三角形实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 13．【答案】4.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：在等边三角形中，有， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4.5． 14．【答案】或 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 15．【答案】 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】(1)如图，直线即为所求， (2)如图，点C即为所求， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）根据图形可以确定中点，再利用旋转的性质作图即可； （2）利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略． 17．【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， 又， ； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ． 18．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的周长与面积的性质，熟练掌握相似三角形的周长与面积的性质是解题的关键. 根据正方形的性质得到角为直角，再根据折叠的性质得到角相等，进而判定三角形相似，设，根据条件可得到关于的等式，根据相似比即可求得周长比. 【详解】解：如图，四边形是正方形， ， ． 由折叠可知，， ， ， ． 设，则． 由折叠可知，． 是中点， ． ， ， 即， 解得， ． ， ， 与周长的比为． 故答案为：． 19．【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【知识点】相似三角形实际应用、实际问题中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 20．【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $