专题02 等式与不等式（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期沪教版

**基本信息** 高一上期中等式与不等式专题汇编，涵盖7大高频考点，精选上海多所名校期中真题，注重基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|25题|含一元二次方程根与系数关系、绝对值不等式等|基础题型为主，覆盖高频考点| |单选题|13题|涉及不等式性质、均值不等式等|辨析性强，考查概念理解| |解答题|18题|包括恒成立问题、均值不等式应用（如母婴室造价）|综合应用真题，结合生活情境|

专题02 等式与不等式 7大高频考点概览 考点01 一元二次方程根与系数关系 考点02 不等式的性质 考点03 一元二次不等式 考点04 分式不等式、绝对值不等式、高次不等式 考点05 均值不等式 考点06 恒成立、存在性问题 考点07 均值不等式的应用 地 城 考点01 一元二次方程根与系数的关系 一、填空题 1．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 2．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）若关于的二次方程的两个实根分别为，且满足，则的值为________ ． 3．（25-26高一上·上海育才中学·期中）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 4．（25-26高一上·上海宜川中学·期中）已知是关于的方程的两个根，则 ________. 5．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 6．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知方程有两个实数根、，满足，则实数的值为_____． 7．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）若是关于的方程的两个实根，则最大值为______. 二、解答题 8．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 地 城 考点02 不等式的性质 一、单选题 1．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）下列四个选项中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高一上·上海市曹杨第二中学·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海市延安中学·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海育才中学·期中）若，，，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 二、填空题 6．（25-26高一上·上海市市西中学·期中）如果，，则的取值范围是__________. 7．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）已知满足，则的范围是______. 8．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 9．（25-26高一上·上海中学·期中）已知，，则的取值范围是______. 地 城 考点03 一元二次不等式 一、单选题 1．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）不等式的解集是______． 4．（25-26高一上·上海行知中学·期中）全集，已知集合．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是__________． 5．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）一元二次不等式的解集是，则___________． 6．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是______. 7．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 8．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______ 9．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 三、解答题 10．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)讨论关于的不等式的解集． 11．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知函数，其中. (1)当时，，，且，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 12．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围； (3)若，，讨论此不等式的解集． 地 城 考点04 分式不等式、绝对值不等式、高次不等式 一、填空题 1．（25-26高一上·上海格致中学·期中）不等式的解集为______. 2．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）关于的不等式的解集为____________. 3．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知集合，，则_____. 4．（25-26高一上·上海松江、金山等四校·期中）已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 5．（25-26高一上·上海格致中学·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 6．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）不等式的解集是______. 7．（25-26高一上·上海中学·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 二、解答题 8．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数为何值时，； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 9．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）已知集合为不等式的解集． (1)求集合； (2)若，且，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）已知集合，全集为． (1)求解出集合并用区间表示； (2)求阴影部分表示的集合． 11．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知全集，集合，集合. (1)求集合与集合； (2)求. 12．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）已知实数，集合 (1)用区间表示集合． (2)若，求的取值范围． 地 城 考点05 均值不等式 一、单选题 1．（25-26高一上·上海市松江、金山等四校·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 2．（25-26高一上·上海中学·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 3．（25-26高一上·上海市知行中学·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 4．（25-26高一上·上海华师大第三附属中学·期中）若正实数，满足，则的最大值是______． 5．（25-26高一上·上海市西中学·期中）已知，且，则的最小值是______． 6．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知，，且，则的最大值为______． 7．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）若，且，则的取值范围是___________． 8．（25-26高一上·上海中学·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 9．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知实数满足且，则的最大值是______． 三、解答题 10．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知，都是正实数，证明：. 11．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 12．（25-26高一上·上海格致中学·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 13．（25-26高一上·上海延安中学·期中）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 地 城 考点06 恒成立、存在性问题 一、单选题 1．（25-26高一上·上海曹杨第二中学·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海格致中学·期中）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）已知关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______． 4．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 5．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是_________． 6．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________. 7．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 8．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 地 城 考点07 均值不等式应用 一、填空题 1．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 二、解答题 2．（25-26高一上·上海建平中学·期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，占地面积为平方米.现需要对母婴室三面外墙进行装修.其中外墙正面进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为元；外墙两个侧面普通装修即可，因此外墙侧面每平方米造价元，母婴室墙高米.若游乐场母婴室正面长设为米，该游乐场母婴室的外墙正面和侧面装修的总造价为（元），请问如何设计能使得总造价最低？总造价最低为多少？ 3．（25-26高一上·上海市松江、金山等四校·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 4．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）由于中美贸易战，某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场．该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件，据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． (1)假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ (2)为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 5．（25-26高一上·上海育才中学·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 6．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）“”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）． (1)求“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y（千元）关于产量x（千支）的函数关系式； (2)当产量为多少千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？ 7．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在农庄内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为米，宽为米． (1)若所用篱笆总长为10米，求育苗区面积S关于长的函数表达式（注明定义域）； (2)若育苗区面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值，并指出此时的取值； (3)若使用的篱笆总长为12米，求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式 7大高频考点概览 考点01 一元二次方程根与系数关系 考点02 不等式的性质 考点03 一元二次不等式 考点04 分式不等式、绝对值不等式、高次不等式 考点05 均值不等式 考点06 恒成立、存在性问题 考点07 均值不等式的应用 地 城 考点01 一元二次方程根与系数的关系 一、填空题 1．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的韦达定理即可求得结果. 【详解】因为是一元二次方程的两个根， 所以根据韦达定理得. 所以. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）若关于的二次方程的两个实根分别为，且满足，则的值为________ ． 【答案】或 【分析】根据题意，得到，结合，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的二次方程的两个实根分别为， 可得， 因为，可得， 即，解得或. 即实数的值为或. 故答案为：或. 3．（25-26高一上·上海育才中学·期中）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据韦达定理求解． 【详解】设已知方程两根为，则， 所以，解得或， 又，即或，所以， 故答案为： 4．（25-26高一上·上海宜川中学·期中）已知是关于的方程的两个根，则 ________. 【答案】4 【分析】由条件可得，，然后利用算出答案即可. 【详解】因为是关于的方程的两个根， 所以，，所以 故答案为：4 5．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 【答案】 【分析】由韦达定理得到和，代入解出的值，根据判别式判断是否符合题意. 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得或， 判别式， 当时，，方程无实根，舍去， 当时，，有两个实根，符合条件， 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知方程有两个实数根、，满足，则实数的值为_____． 【答案】 【分析】结合韦达定理得到关于m的方程，在满足原一元二次函数判别式的情况下选取适当的解即可． 【详解】对于方程，由韦达定理可得，， 又， 解得或， 因为方程有两个实数根，需，解得或， 故． 故答案为：． 7．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）若是关于的方程的两个实根，则最大值为______. 【答案】18 【分析】利用可得，再根据韦达定理结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为是关于的方程的两个实根， 则，整理可得，解得， 且，， 可得， 构建，可知其图象开口向下，对称轴， 若，可知在内单调递减，则， 所以最大值为18. 故答案为：18. 二、解答题 8．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 【答案】(1)； (2),,. 【分析】（1）利用求出的范围，韦达定理可得：，结合即可求解； （2）根据韦达定理得，由作差法即可比较大小. 【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， 则，解得：或， 由韦达定理可得：， 所以，解得：或（舍去）； 所以实数的值为 （2）由（1）得或，且， 所以，， 所以， 当时，则， 故， 当时， 则， 故， 综上，，，且. 地 城 考点02 不等式的性质 一、单选题 1．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）下列四个选项中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若 ，当时，可得，所以A不正确； 对于B，若，由不等式的传递性，可得，所以B正确； 对于C，若，根据不等式的性质，可得，所以C正确； 对于D，由，因为，可得，所以， 即，所以D正确. 故选：A. 2．（25-26高一上·上海市曹杨第二中学·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质一一分析选项即可. 【详解】因为，所以，所以A、B错误； 易知，所以，则，即，所以C错误； 而根据同向同正可乘性知，即D正确. 故选：D 3．（25-26高一上·上海市延安中学·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】对选项A和B，结合各个选项的条件，利用作差法，即可求解；对于选项C和D，通过取特殊，即可求解. 【详解】对于A，由， 又，，则，得到，即，故A正确； 对于B，因为，又，，则，故，即B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A. 4．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，比如，那么此时，所以A错误； 对于B： 因为，比如，那么此时，所以B错误； 对于C： 因为，不等式两边同除以一个正数，符号不变，所以C正确； 对于D： 因为，若，则，所以D错误. 故选：C. 5．（25-26高一上·上海育才中学·期中）若，，，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】通过特殊值法、作差法分别分析四个选项的不等关系，从而确定正确选项. 【详解】选项A，取，，满足且，但，，，故A错误. 选项B，因为，所以，又，， 则，即，故B正确. 选项C，，由，得，，而的正负不确定，因此的正负不确定，故C错误. 选项D，若，则，，此时不成立，故D错误. 故选：B 二、填空题 6．（25-26高一上·上海市市西中学·期中）如果，，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围. 【详解】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 7．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）已知满足，则的范围是______. 【答案】 【分析】根据题意可知，结合不等式的性质运算求解即可. 【详解】因为， 且，则，可得， 所以的范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 【答案】 【分析】根据不等式性质分别判断各命题. 【详解】①由，当时，，所以①错误； ②由，即，所以，所以②正确； ③由，当时，，所以③错误； 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海中学·期中）已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 地 城 考点03 一元二次不等式 一、单选题 1．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】首先解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由可推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 2．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）设，若关于的不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式的解集，再利用题意即可得参数范围. 【详解】不等式，因式分解得：， 因为，所以不等式的解集为， 又因为解集恰有3个整数，所以， 解得， 故选：B. 二、填空题 3．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）不等式的解集是______． 【答案】. 【分析】解一元二次不等式即可. 【详解】解不等式得， 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海行知中学·期中）全集，已知集合．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意可得是的真子集，再对分类讨论解出集合，由包含关系，列不等式组求解即得. 【详解】由“”是“”的必要非充分条件，则是的真子集， ， 若，解得，即， 则有且不能同时取等，解得； 若，解得，即， 则有且不能同时取等，解得； 综上可得，的取值范围是. 故答案为：。 5．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）一元二次不等式的解集是，则___________． 【答案】 【分析】先利用一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系求出，最后计算． 【详解】的解集是，不等式的二次项系数为，抛物线开口向上， 不等式解集是方程两根之间的区间， 方程的两根为：，，解得， ． 故答案为：． 6．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集和韦达定理可解得，从而代入所求不等式，解之即可. 【详解】由题意可知方程的两根分别为， 由韦达定理得，，所以， 所以不等式即为，即， 即，解得. 所以所求的解集为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 【答案】． 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 8．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______ 【答案】 【分析】解一元二次不等式可得，从而根据新定义可得. 【详解】因为，所以，解得， 因表示不大于的最大整数，则所以， 不等式的解集为. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用三个二次关系计算参数，再解含参不等式，结合条件计算即可. 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 10．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)讨论关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）由题知的两个根分别是，把代入中，解方程即可； （2）利用一元二次不等式的解法，根据的范围分类讨论可得. 【详解】（1）由题知的两个根分别是，2， 且解得. （2）因为，即， 所以，所以． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 11．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知函数，其中. (1)当时，，，且，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后按照和两种情况分类讨论，利用集合关系列不等式求解即可； （2）按照， ，，和分类讨论，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，或， 又，， ①时，，解得， ②时，或，解得， 综上，或. 所以的取值范围是. （2），即， 当时，则有，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，方程的两根分别为和， 当时，即，解原不等式得或； 当时，即，原不等式即为，解得； 当时，即，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 12．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围； (3)若，，讨论此不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据韦达定理即可求解； （2）根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解； （3）分三种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）由题意可知1和5是方程的两个根且， 所以，，解得，所以. （2）若，则不等式为， 当，不等式即为，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是. （3）若，则不等式为，即， 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为 . 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 地 城 考点04 分式不等式、绝对值不等式、高次不等式 一、填空题 1．（25-26高一上·上海格致中学·期中）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】通过移项、通分将分式不等式转化为整式不等式，再根据零点分区间求解. 【详解】将不等式变形为，通分后得，即. 求解得或，所以不等式的解集为：. 故答案为： 2．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】直接化分式不等式为整式不等式计算即可. 【详解】由得，即，解之得. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知集合，，则_____. 【答案】 【分析】先解分式不等式明确集合，再根据交集的概念求解. 【详解】由，所以. 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海松江、金山等四校·期中）已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】解不等式得或，分，，三种情况，结合的解集列不等式求解即可. 【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得，， ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足， 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； ③当，即时，不等式的解为， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，可知的取值范围为， 故答案为： 5．（25-26高一上·上海格致中学·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先利用韦达定理求、，再对分式不等式因式分解后用穿根法求解. 【详解】由不等式的解集为，可知1和2是方程的根. 根据韦达定理，，，解得，. 将、代入不等式，得,即. 用穿根法分析： 根为，，，. 区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足； 区间：整体为正，满足； 区间：整体为负，不满足； 区间：整体为正，满足. 故解集为. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据根式和分式的意义可得或，且，再分析符号结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得或，且， 因为， 若或1或3，原不等式显然成立； 若，则，，，， 可得，解得或，则； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海中学·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 二、解答题 8．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数为何值时，； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式求出集合，再根据，即可得解； （2）由是的充分不必要条件，所以是的真子集，再分情况讨论即可求解． 【详解】（1）令，即， 有，解得，故， 的解为，， 当时，，， 则，无解； 当或时，，，此时； 当或时，，， 则，解得；综上，； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，， 则或，无解； 当或时，，，此时不符合题意； 当或时，， 则，解得；， 或，解得， 综上所述，a的取值范围为． 9．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）已知集合为不等式的解集． (1)求集合； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项通分，转化为一元二次不等式求解即可； （2）化简集合B，根据包含关系列出不等式组可得答案. 【详解】（1）因为，所以，， 即，解得，所以. （2）由可得，因为，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）已知集合，全集为． (1)求解出集合并用区间表示； (2)求阴影部分表示的集合． 【答案】(1), (2)阴影部分表示为 【分析】（1）分别求解分式不等式和绝对值不等式得到集合； （2）由图可得阴影部分表示，利用集合的补集和交集定义运算即得. 【详解】（1）由，解得，即； 又由，可得. （2）由图知阴影部分表示的集合为， 由（1）可得，故. 11．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知全集，集合，集合. (1)求集合与集合； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可. （2）根据交集的定义进行求解即可. 【详解】（1）集合. 集合. （2）因为，所以. 而集合，所以. 12．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出两不等式后结合交集定义即可得； （2）由交集定义及空集定义计算即可得解. 【详解】（1）若，则对有，解得，即， 对，有， 即，解得或，即或， 则； （2）由可得，则，即， 由，或，则有，解得， 故实数的取值范围为. 13．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）已知实数，集合 (1)用区间表示集合． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据分式不等式和绝对值的定义，求得不等式的解集，即可求得集合； （2）由（1）得或，化简不等式为，分和，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以集合， 又由不等式，可得或，解得或， 所以集合或. （2）解：由（1）知，或， 可得或， 又由不等式，其中， 当时，不等式的解集为空集，即，满足； 当时，解得，即， 要使得，则满足或，解得， 综上可得，实数的取值为. 地 城 考点05 均值不等式 一、单选题 1．（25-26高一上·上海市松江、金山等四校·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 2．（25-26高一上·上海中学·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 3．（25-26高一上·上海市知行中学·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 二、填空题 4．（25-26高一上·上海华师大第三附属中学·期中）若正实数，满足，则的最大值是______． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 5．（25-26高一上·上海市西中学·期中）已知，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】由已知可得，再对变形展开，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知，，且，则的最大值为______． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海中学·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 9．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知实数满足且，则的最大值是______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质分析可知，可解出的范围，再将转化为关于的式子，再结合基本不等式，即可得解. 【详解】由可知， ，不等式两边时乘以，得，解得. 令，即. 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是. 三、解答题 10．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】略 11．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 【答案】(1)当时，取得最小值3； (2)当时，的最小值是4； (3)当时，的最小值为. 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式即可得到最小值； （2）根据题意对所求式子乘，在结合基本不等式即可得到最小值； （3）先配凑出，再将其与所求式子相乘，然后结合基本不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 根据基本不等式，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最小值3； （2）因为, 所以， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 由且，解得， 因此，当时，的最小值是4； （3）因为， 所以，， 因为， ， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以， 因此，当时，的最小值为. 12．（25-26高一上·上海格致中学·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 【答案】（1）；（2）①甲两次均值不等式等号条件不一致，正确最小值为；②乙误用均值不等式，正确最大值为. 【分析】（1）通过构造“1”的代换结合均值不等式求最值，再解不等式得参数范围； （2）分析均值不等式等号条件的一致性，给出正确求解过程. 【详解】（1）因为正实数，满足，则. ， 当且仅当即时取等号. 由恒成立，得，即，解得. （2）①甲的错误：两次使用均值不等式时，等号成立条件不同， 第一次需，第二次需，无法同时满足. 正确解法：由，， 当且仅当时取等号，故最小值为. ②乙的错误：误用均值不等式（应针对和使用，而非和）. 正确解法：由，， 当且仅当即，时取等号，故最大值为. 13．（25-26高一上·上海延安中学·期中）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 【答案】(1) (2)， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故； (3) 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （3）设，构造，利用（2）的结论求解. 【详解】（1）解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是； （2）略 （3）设，由，解得， ，又，则， 构造，由，得，则， 所以由（2）得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以取最小值为，此时m的值为. 地 城 考点06 恒成立、存在性问题 一、单选题 1．（25-26高一上·上海曹杨第二中学·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 可得， 因为恒成立，即恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高一上·上海格致中学·期中）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为“恒成立”，然后根据的正负分类讨论，结合基本不等式求得最值，进而求得的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最小值为， 所以，所以； 当时，只需， 因为 ， 当且仅当，即时取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，， 故选：A. 二、填空题 3．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）已知关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】分参数是否为零结合一元二次不等式恒成立模型讨论可得. 【详解】当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，由一元二次函数性质可得，解得， 综上实数k的取值范围为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质求解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 根据二次函数的图像和性质可得，，解得. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由关于的不等式的解集是， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】由题意可得小于等于的最大值即可. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以在上有解， 所以小于等于的最大值， 令，， 则， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】对任意的，不等式恒成立，等价于求的最小值，利用基本不等式求解出最小值后解一元二次不等式即可. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 则等价于求的最小值， 由，所以， 当且仅当，即等式成立， 所以有， 解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】由已知变形，展开后利用基本不等式求最小值，结合绝对值的三角不等式可得，将问题转化为即可. 【详解】∵, , ， ∴, 当且仅当时等号成立，即的最小值为2， ∵， ∴，解得. 实数的取值范围为. 故答案为： 地 城 考点07 均值不等式应用 一、填空题 1．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【分析】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费，根据题意列不等式组，可得，运算求解即可. 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 二、解答题 2．（25-26高一上·上海建平中学·期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，占地面积为平方米.现需要对母婴室三面外墙进行装修.其中外墙正面进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为元；外墙两个侧面普通装修即可，因此外墙侧面每平方米造价元，母婴室墙高米.若游乐场母婴室正面长设为米，该游乐场母婴室的外墙正面和侧面装修的总造价为（元），请问如何设计能使得总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】正面长为米，侧面长为米，总造价最低，且最低为元 【分析】表示出侧面长后可表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】设游乐场母婴室侧面长为米，则，即， ， 当且仅当时，等号成立，则， 故游乐场母婴室正面长为米，侧面长为米时，总造价最低， 且总造价最低为元. 3．（25-26高一上·上海市松江、金山等四校·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 4．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）由于中美贸易战，某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场．该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件，据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． (1)假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ (2)为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）直接根据题意列出降价后的利润，并解不等式可得； （2）根据题意可得利润的函数，并用基本不等式可得函数的最大值. 【详解】（1）设每件售价降元，现在售价为元，每件产品利润为元， 月销售量为万件，月销售利润为万元，而降价前的月销售利润万元， 因为降价后月总利润不低于原来的月总利润，所以，即，解得， 所以售价元. 故每件每件售价最少为元. （2）总利润包括产品利润和政府补贴，设总利润为万元， 降价元后的利润为万元，政府补贴万元， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立. 故时，该企业下月的月总利润有最大值万元. 5．（25-26高一上·上海育才中学·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 【答案】(1)，2； (2)108 【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， （秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． （2）根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得，所以即，解得 ，所以， 因为， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在108千米小时． 6．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）“”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）． (1)求“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y（千元）关于产量x（千支）的函数关系式； (2)当产量为多少千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？ 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用销售额减去成本就等于利润来分段表达即可； (2)利用分段求函数的最大值，从而可作出判断. 【详解】（1）依题意，“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润为， 则当时，； 当时，. 所以y关于x的函数关系式为； （2）当时，， 因在上单调递增，故； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立.  因， 故当产量为11千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大. 7．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在农庄内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为米，宽为米． (1)若所用篱笆总长为10米，求育苗区面积S关于长的函数表达式（注明定义域）； (2)若育苗区面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值，并指出此时的取值； (3)若使用的篱笆总长为12米，求的最小值． 【答案】(1)； (2)时，所用篱笆总长取得最小值12米； (3)． 【分析】（1）用表示出，再计算面积，并由边长为正得定义域； （2）利用基本不等式求最小值； （3）结合“1”的代换，利用基本不等式求最小值． 【详解】（1）由已知，由得，所以， ， 所以函数式为； （2）由题意，篱笆总长为，当且仅当即时取等号， 所以时，所用篱笆总长取得最小值12米； （3）由已知， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以时，取得最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $