专题01 集合与逻辑（期中真题汇编，上海专用）高一数学上学期沪教版

**基本信息** 高一数学集合与逻辑期中试题汇编，涵盖6大高频考点，精选上海多所名校期中真题，基础巩固与创新应用梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约10题|集合概念、充要条件|结合生活情境（如“大国崛起”与“小民尊严”的充要关系判断）| |填空|约30题|集合关系、运算|注重基础辨析（如集合子集个数计算、描述法表示阴影区域）| |解答|约8题|集合新定义、综合运算|创新情境设计（如科技节“可分比集合”、“和积平衡集”证明）|

专题01 集合与逻辑 6大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 集合的新定义 考点05 命题及其关系 考点06 充分条件与必要条件 地 城 考点01 集合的概念 一、单选题 1．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 二、填空题 2．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知，则__________． 3．（25-26高一上·上海格致中学·期中）若，则的值为______. 4．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 5．（25-26高一上·上海中学东校·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 6．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）用描述法表示图中的阴影部分的点（含边界）的坐标组成的集合___________. 7．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 地 城 考点02 集合的基本关系 一、填空题 1．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 2．（25-26高一上·上海中学·期中）已知集合，，且，则实数的值为____________________. 3．（25-26高一上·上海中学·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海嘉定区第一中学·期中）所有满足的集合M的个数为______． 5．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数___________． 6．（25-26高一上·上海中学东校·期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 7．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 地 城 考点03 集合的基本运算 一、单选题 1．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）已知集合，．若，则______． 3．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知集合，若，则______． 4．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知集合，，则______． 5．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知全集，集合，则__________. 6．（25-26高一上·上海嘉定区第一中学·期中）集合，，则________. 7．（25-26高一上·上海中学东校·期中）已知集合，，则______． 8．（25-26高一上·上海市徐汇中学·期中）已知集合，若，则实数组成的集合为__________． 9．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 10．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）满足条件的集合的个数为________ 11．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 12．（25-26高一上·上海市西中学·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是______. 13．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知全集，，，，则_____. 三、解答题 14．（25-26高一上·上海行知中学·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 15．（25-26高一上·上海格致中学·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 地 城 考点04 集合新定义 一、单选题 1．（25-26高一上·上海中学东校·期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 3．（25-26高一上·上海市知行中学·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高一上·上海行知中学·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 5．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为____． 6．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为___________． 三、解答题 7．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）由正数组成的集合具有如下性质:若且，则. (1)若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由； (2)试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由. 8．（25-26高一上·上海建平中学·期中）对于集合，其中，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分成两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等就称集合为“可调和集合”. (1)判断集合和是否为“可调和集合”（不必写过程）； (2)求证：集合，其中不是“可调和集合”； (3)若集合，其中是“可调和集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 9．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 10．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 11．（25-26高一上·上海中学·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 12．（25-26高一上·上海华东师范大学附属第三中学·期中）若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． (1)判断是否为“集合”，说明理由； (2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“集合”． 地 城 考点05 命题及其关系 一、填空题 1．（25-26高一上·上海市西中学·期中）已知实数，命题“若，则或”是________命题.（判断真假） 2．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知实数、，“且”的否定是_____. 3．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）“或”的否定形式为______． 4．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 5．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 6．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 地 城 考点06 充分条件与必要条件 一、单选题 1．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 2．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）设是实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·上海复旦大学附中徐汇分校·期中）若a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．（25-26高一上·上海育才中学·期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 5．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 二、填空题 6．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 7．（25-26高一上·上海格致中学·期中）是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入） 8．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 9．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑 6大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 集合的新定义 考点05 命题及其关系 考点06 充分条件与必要条件 地 城 考点01 集合的概念 一、单选题 1．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性进行判断 【详解】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合； 对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合； 对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合； 对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合. 故选：D 二、填空题 2．（25-26高一上·上海行知中学·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】直接根据元素与集合的关系进行求解即可. 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海格致中学·期中）若，则的值为______. 【答案】 【分析】通过分情况讨论集合中元素与的相等关系，结合集合元素的互异性求解的值. 【详解】因为，所以分两种情况讨论： 若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去. 若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 【答案】 【分析】根据常用数集，用列举法写出集合. 【详解】由集合且，得. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海中学东校·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 6．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）用描述法表示图中的阴影部分的点（含边界）的坐标组成的集合___________. 【答案】 【分析】先由图象得到点的范围，再用描述法表示. 【详解】由图可知：阴影部分在第三象限和x，y轴上，且， 所以用集合表示为， 故答案为： 7．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 地 城 考点02 集合的基本关系 一、填空题 1．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 2．（25-26高一上·上海中学·期中）已知集合，，且，则实数的值为____________________. 【答案】0或 【分析】由题意得或，求解并验证即可. 【详解】由， 可得：或， 即或或， 当时，，，，符合； 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时， ，，且，符合； 所以实数a的值为0或， 故答案为：0或 3．（25-26高一上·上海中学·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 4．（25-26高一上·上海嘉定区第一中学·期中）所有满足的集合M的个数为______． 【答案】7 【分析】由集合的包含关系列举求解， 【详解】由题意得集合有 共7个， 故答案为：7 5．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数___________． 【答案】或 【分析】根据集合的子集个数，可推出集合中元素的个数，从而转化为含参方程根的个数，再对含参方程中的参数，分和两种情况进行分类讨论即可. 【详解】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中有1个元素，即方程有且仅有1个实数根. 当时，，满足题意； 当时，一元二次方程有且仅有1个实数根， 所以，解得. 综上所述，实数的取值为或. 故答案为：或. 6．（25-26高一上·上海中学东校·期中）已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 【答案】1012 【分析】根据给定条件，用表示出，得到，再由求出范围即可. 【详解】由，得，即， 整理得，而，则，， 因此，由，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012 7．（25-26高一上·上海曹杨二中·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 【答案】 【分析】将的所有非空子集进行分类，含0的，不含0却含，既不含0，也不含，只含的，进而求出答案. 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 故答案为： 地 城 考点03 集合的基本运算 一、单选题 1．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项. 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 二、填空题 2．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）已知集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用交集概念即可求解. 【详解】因为集合，，，所以， 故答案为： 3．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知集合，若，则______． 【答案】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的定义知. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】令即可得到，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）已知全集，集合，则__________. 【答案】 【分析】根据集合补集的概念，求出结果即可. 【详解】由题意知. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海嘉定区第一中学·期中）集合，，则________. 【答案】 【分析】由并集运算可得. 【详解】由集合，， 得. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海中学东校·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】应用集合的交运算求结果. 【详解】. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海市徐汇中学·期中）已知集合，若，则实数组成的集合为__________． 【答案】 【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果. 【详解】解：因为， 当时，，满足， 当时，， ，或，解得：或， 实数组成的集合为， 故答案为： 9．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 【答案】7 【分析】根据题意结合韦恩图运算求解即可. 【详解】作出韦恩图，如图所示：    可知持有交通卡或有自行车的人数为， 所以既无交通卡又无自行车的人数为. 故答案为：7. 10．（25-26高一上·上海徐汇中学·期中）满足条件的集合的个数为________ 【答案】 【分析】根据集合间的运算结果可得集合的个数. 【详解】由已知， 则， 则集合可能为，，，， 共种情况， 故答案为：. 11．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【分析】先求出集合，再由可知，通过对参数进行分类讨论求出的取值集合. 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 12．（25-26高一上·上海市西中学·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】由得到，由，结合区间的定义得到，列出，计算求解即得实数的取值范围. 【详解】，，， ，，， 实数的取值范围是. 故答案为： 13．（25-26高一上·上海育才中学·期中）已知全集，，，，则_____. 【答案】 【分析】首先用列举法写出全集，然后再根据交集和补集的定义得到集合中含有元素1，3，5，不含4，6，8，对于0，2，7，9利用反证法即可证明集合不含0，2，7，9即可求得. 【详解】由题意得， 可得集合中含有元素3， 可得中含有元素4，6，8，集合中不含元素4，6，8， ，集合含有元素1，5，集合中含元素1，5， 对于元素0，假设集合中含有元素0，则由可知不含元素0， 则必含元素0，与矛盾，同理可得集合中不含元素2，7，9， 综上所述：，故. 故答案为： 三、解答题 14．（25-26高一上·上海行知中学·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助补集与并集定义计算即可得； （2）由题意可得，再分与讨论即可得. 【详解】（1）根据题意可得：，则 （2） 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 15．（25-26高一上·上海格致中学·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接根据补集定义求解； （2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解； （3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解. 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 地 城 考点04 集合新定义 一、单选题 1．（25-26高一上·上海中学东校·期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 2．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 【答案】C 【分析】根据题意，得到，得到，再由，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合为型集合，则， 因为对任意，与至少有一个属于， 则，所以， 又因为，则， 根据集合元素的互异性，可得，所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·上海市知行中学·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 二、填空题 4．（25-26高一上·上海行知中学·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 5．（25-26高一上·上海延安中学·期中）已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为____． 【答案】 【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，即可求解. 【详解】因为的整数解只能是36的约数， 当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，； 当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，； 当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，； 当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，； 当方程的解为，时，； 故集合 由非空集合满足条件：（1），（2）若，则， 即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合， 得这样的集合共有个， 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为___________． 【答案】50 【分析】结合“有序好数对”的定义，确定的关系：和，结合所给集合找出符合条件的数组即可. 【详解】由三个非零且互不相等的实数，满足，且满足， 可得，消去，并整理得， 所以（舍去）或，此时有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，则有， 故这样的数对共50组． 故答案为：50. 三、解答题 7．（25-26高一上·上海南洋模范中学·期中）由正数组成的集合具有如下性质:若且，则. (1)若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由； (2)试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能，所有满足条件的集合为： 【分析】（1）从已知元素和出发，利用集合性质逐步推导即可求解； （2）设，则由性质有，分和两种情况讨论，又由，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，且，所以， 又，所以，由，所以， 由，所以，所以； （2）设，由性质有， 所以或， 当时，所以， 因为，若，则，即， 若时，解得，与矛盾，不满足题意， 当时，则，由， 若时，所以，即，解得（舍去负根）， 即； 若时，，即, 综上所述，集合能有两个元素且， 所有满足条件的集合为：. 8．（25-26高一上·上海建平中学·期中）对于集合，其中，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分成两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等就称集合为“可调和集合”. (1)判断集合和是否为“可调和集合”（不必写过程）； (2)求证：集合，其中不是“可调和集合”； (3)若集合，其中是“可调和集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)都不是； (2)证明见详见； (3)①证明见详见；②7 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论； （2）不妨设，若去掉的元素为，则有①，或者②；若去掉的元素为，则有③，或者④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论； （3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可调和集合”，从而证明结论. 【详解】（1）当去掉集合中的元素3时，剩余元素1、2、5， 显然无法分成两个非空集合，并且两个集合的所有元素之和相等， 故集合不是“可调和集合”； 若两个集合的元素之和相等，则所有元素同时除以2后，元素之和也相等， 所以，若集合是“可调和集合”，则集合也是“可调和集合”， 当去掉元素1时，剩余元素之和为，为奇数， 所以，不可能将剩余元素分成两个非空数集，且元素之和相等， 所以，集合不是“可调和集合”. （2）不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“可调和集合”； （3）①设集合所有元素之和为. 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数. 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数， 此时设，则也是“可调和集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可调和集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②当时，显然任意集合不是“可调和集合”. 当时，第（2）问已经证明集合不是“可调和集合”. 当时，集合，因为： ，，，，， ，， 则集合是“可调和集合”. 所以集合中元素个数的最小值是7. 9．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】(1) 对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. (2)1 【分析】（1）根据“包容”性的定义进行判断即可. （2）根据“包容”性的定义进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 10．（25-26高一上·上海嘉定一中·期中）已知有限集，如果中元素满足，就称为“和积平衡集”． (1)判断集合是否为“和积平衡集”： (2)若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程（系数可用表示），并证明至少有一个大于2； (3)若，且，求所有符合条件的“和积平衡集”． 【答案】(1)是； (2)以为根的一个一元二次方程可为， 是两个不同的正数，且是“和积平衡集”， ， 又和为的两个不同的正根， ， 又，则， 若都小于等于2，则，矛盾， 所以至少有一个大于2； (3). 【分析】（1）根据“和积平衡集”的定义，进行判断即可； （2）根据“和积平衡集”的定义，结合一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设A中的 ，进行分类讨论求解. 【详解】（1）， 又， 满足 集合是“和积平衡集”； （2）略 （3）设中的，且， 由， 当时，由， 而且都为正整数，明显等式不可能成立， 所以，故， 所以， 当时，，所以只能有， 由，得，此时的“和积平衡集”为， 当时， 又，即， 即，与矛盾，所以不满足条件， 所以符合条件的“和积平衡集”有且只有，此时的“和积平衡集”为． 11．（25-26高一上·上海中学·期中）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【答案】(1)，或， (2) (3)当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， ，． 【分析】（1）根据好子集的定义写； （2）根据元素与不能同属于好子集，得到好子集的元素个数最大值； （3）根据（2）的结论判断即可. 【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或. （2）中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．        综上，的好子集S的元素个数的最大值为． （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1． 12．（25-26高一上·上海华东师范大学附属第三中学·期中）若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． (1)判断是否为“集合”，说明理由； (2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“集合”． 【答案】(1)不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． (2)； (3)，其中. 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【详解】（1）不是“一集合”，理由略； （2）设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． （3）若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 地 城 考点05 命题及其关系 一、填空题 1．（25-26高一上·上海市西中学·期中）已知实数，命题“若，则或”是________命题.（判断真假） 【答案】真 【分析】写出原命题的逆否命题，根据逆否命题的真假判断原命题的真假即可. 【详解】命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”， 明显命题“若且，则”为真命题，则其逆否命题也为真命题. 故答案为：真. 2．（25-26高一上·上海建平中学·期中）已知实数、，“且”的否定是_____. 【答案】或 【分析】根据“且”的否定为“或”可得出结论. 【详解】已知实数、，“且”的否定是“或”. 故答案为：或. 3．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）“或”的否定形式为______． 【答案】“且” 【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解. 【详解】由题意“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且”. 4．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 【答案】 【分析】分别求得命题，为真时的范围，根据题意可得命题，一真一假，分真假和假真两种情况，分别求解，综合即可得答案． 【详解】当命题为真时，有，解得． 当命题为真时，有，即，解得． 由题意，与中有且只有一个是真命题，分两种情况： 若真假，则，解得； 若假真，则，解得． 综上可得实数的取值范围是． 故答案为： 5．（25-26高一上·上海华师大三附中·期中）若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据全称量词命题证明为假的方法，构造函数，根据函数最值情况，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】命题“任意，”为假命题，则在上，函数的最小值为非正数， 可知二次函数在上单调递减，所以在处取得最小值， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 【答案】3 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故答案为：3 地 城 考点06 充分条件与必要条件 一、单选题 1．（25-26高一上·上海南汇中学·期中）若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【分析】化简，根据取值得出充分非必要条件 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 2．（25-26高一上·上海七宝中学·期中）设是实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，以及充分不必要条件的性质，证明结果即可. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，， 当时，满足，不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26高一上·上海复旦大学附中徐汇分校·期中）若a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例和反例即可判断. 【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出， 同样时，满足，但此时，故反向也无法推出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（25-26高一上·上海育才中学·期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【分析】分别对充分性和必要性分析得到答案. 【详解】充分性分析：，或，不一定有，则是的不充分条件； 必要性分析：由可以得到，则是的必要条件； 综上可知，是的必要不充分. 故选：B 5．（25-26高一上·上海闵行六校联研·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【分析】由充分、必要条件概念即可判断. 【详解】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​， 这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”. 也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件. 条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分. 因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​ 故选：C​ 二、填空题 6．（25-26高一上·上海复旦附中徐汇分校·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【分析】利用充分性转化为子集关系来求解即可. 【详解】由α是β的充分条件，可得是的子集， 即， 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海格致中学·期中）是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入） 【答案】必要非充分 【分析】通过分析两个条件之间的推出关系，判断充分必要条件. 【详解】若，则一定有，故“”能推出“”； 若，当时，不满足，故“”不能推出“”. 所以是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 8．（25-26高一上·上海松江&金山·期中联考）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海华东模范中学·期中）“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 【答案】必要非充分 【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，所以是的必要非充分. 故答案为：必要非充分. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $