专题06 旋转中的常见类型与几何模型7大题型48题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版

专题06 旋转中的常见类型与几何模型 基础·固本强基 题型1 旋转的基本性质识别 题型2 旋转中的线段与角度计算 题型3 旋转作图 提升·进阶突破 题型4 手拉手模型（共顶点旋转·旋转全等） 题型5 半角模型（90° 内含 45°） 题型6 旋转 90° 构造全等（等腰直角三角形 / 正方形） 拔高·压轴破难 题型7 费马点模型（旋转 60°） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 旋转的基本性质识别（共6小题） 【步骤】抓住“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”“对应点到旋转中心距离相等”这两个核心，先确定旋转中心和对应点，再逐一识别。 【易错】易错提醒：旋转角是“对应点与旋转中心连线所成的角”，不是原图形中的任意角。 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是或． 故选：D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 3．（25-26九年级上·北京大兴·期中）我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【答案】90 【详解】解：连接，如图， ∵顺时针旋转得到， ∴可知点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D， ∵点O是大正方形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为： ． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 【答案】 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 【答案】点 【详解】解：根据旋转的定义，结合图形上的对应点到点的距离相等， ∴旋转中心为点， 故答案为：点． 6．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，点 D 在边 上，连接，将绕某点旋转得到，且点B，C，在同一条水平线上．已知． (1)旋转中心是点 ，旋转角度是； (2)求的长． 【答案】(1)C， (2) 【详解】（1）解：旋转中心是点C，旋转角度是； 故答案为：C；120 （2）解：∵， ∴，． 由旋转的性质可得：， ∴． 题型2 旋转中的线段与角度计算（共9小题） 【步骤】旋转后对应点到旋转中心距离相等、旋转角为定值；旋转 90° 常转化为“直角”，再配合勾股定理求线段。 【易错】旋转 90° 后 AC 与 A′C 垂直；对应点到旋转中心距离相等，不要把 A′ 的位置认错。 7．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 8．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（26-27九年级上·云南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的定义得和均为旋转角， ， ， ． 10．（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ，， ， 的度数为20度． 11．（26-27九年级上·贵州·期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，， ， ， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·青海·期中）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·福建·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， ， ， ， ， ∴在中，． 14．（26-27九年级上·海南·期中）如图，在中，，，，可以由绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为______． 【答案】6 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由旋转性质得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（26-27九年级上·贵州·期中）已知，，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，则的长为______； (2)当点落在直线上时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴． （2）解：如图：当点落在线段上时， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点落在的延长线上时，此时， ∴； 综上所述，的长为或． 题型3 旋转作图（共6小题） 【步骤】按“定中心—定对应点—连线”三步进行，作图时用垂线与等距确定对应点。 【易错】旋转方向（顺时针/逆时针）决定对应点截取的方向；截取长度必须等于对应点到旋转中心的距离。 16．（26-27九年级上·江西·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，点在格点上． (1)将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，请画出线段．（点的对应点为点） (2)以线段为一边，作一个正方形，且点，也为格点．（作出一个正方形即可） 【详解】 (1) (2) 17．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点、对应点分别是、． (1)请在图中画出； (2)画出，使与关于原点成中心对称； 【详解】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 18．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【详解】(1) 解：所求图形，如图所示． (2) 解：如图，为所求． 19．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，的顶点坐标分别为，，， (1)画出关于轴的对称图形； (2)将绕原点顺时针旋转，得到； (3)的面积是 ． 【详解】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； （3）解：． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，画出； (2)绕原点O逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求作三角形： (2)如图，即为所求作三角形： (3) 【详解】（1）解：向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，得到对应点坐标为，，，即为所求作三角形： （2）解：绕原点O逆时针方向旋转得到，得到对应点坐标为，，，即为所求作三角形： （3）解：如图，连接，，分别作，垂直平分线，两垂直平分线交点即为旋转中心P，此时点P坐标为． 21．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【详解】(1)解：如图，即为所求；点的坐标为； (2)解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求，由图可知. 提升·进阶突破 题型4 手拉手模型（共顶点旋转·旋转全等）（共6小题） 【模型】两个等腰三角形（等边三角形、等腰直角三角形）或两个正方形共一个顶点，其中一个三角形绕公共顶点旋转，形成“手拉手”结构。 【步骤】①找公共顶点（即旋转中心）；②认准两条“长边”，证 △OAC≌△OBD（SAS）：公共顶点处两组等边＋一组等角；③由全等得对应边、对应角相等；④用“拉手边夹角＝旋转角”及八字形倒角求目标角。 【易错】①对应顶点、对应边认错，导致 SAS 用错；②误以为拉手边夹角等于等腰三角形的顶角——其实等于旋转角；③等腰三角形不一定是等边三角形，旋转角未必等于顶角。 22．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 23．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 【答案】 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴是直角三角形，， ∴． （2）如图所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ， 由（1）知， ∴； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得， ∴， 则． 24．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，    ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（22-23九年级上·山东德州·期中）把两个等腰直角三角形和按图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为． (1)如图，与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图，中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图，当点在线段上时，求证：； (4)当旋转角______填度数时，的面积最大． 【详解】（1）解：结论：，且，理由如下： ，， ， ； ，点，分别在，上， ； 故答案为：；； (2)解：成立， 证明：根据旋转的性质可得：，，， ， ， 作的延长线交于点，交于点， ， ， ， ， ； (3)证明：如图中，当点在线段上时， ，， ， 又，， ≌， ， ， ； （4）解：由题意知，点的轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大， 当时，的面积最大， 旋转角为或， 故答案为：或． 26．（25-26九年级上·江西上饶·期末）【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【详解】（1），理由如下： 和都是等边三角形， ，，，， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①；② 理由：由（1）可知绕点逆时针旋转得到， 则， ，； 等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：①；②； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质知， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 27．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，．，点始终在的上方，且，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线交直线于点．    (1)如图，当时，求证； (2)当点为边的中点时，连接，求的最大值； (3)如图，若，时，求的面积． 【详解】(1)证明：如图，∵，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ，， ， （2）解：如图，取中点，连接、，   ， ． ， 点为的中点， 当、、三点共线时，最大 此时，； （3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，于点，   ， ， ， ， ． 题型5 半角模型（90° 内含 45°）（共6小题） 【模型】正方形（或等腰直角三角形）中，90° 的角内有一个 45° 的角，45° 角的顶点在直角顶点处且可绕其旋转。 【步骤】①将 △ADF 绕点 A 顺时针旋转 90° 至 △ABG；②证半角所对的两个三角形全等（SAS：公共边＋旋转等边＋45° 等角）；③由全等代换线段，得到线段和关系。 【易错】①旋转方向选错，导致旋转后图形位置错误；②旋转后“半角邻边”拼接的位置要找准；③结论 EF=BE+DF 只在 45° 恰为 90° 之半时成立。 28．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【详解】(1)如图所示： (2) (3)证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 29．问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 30．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【详解】(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中， ∵， ∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； (2)∠DAE＝∠BAC． 理由如下：在△ADE和△AE中， ， ∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝ ， ∴DE＝BD． 31．（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，， ， ，求的长． 【详解】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 32．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； (2)当时，仍有；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：．理由如下： 把绕点A顺时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 33．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，    ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴ 题型6 旋转 90° 构造全等（等腰直角三角形 / 正方形）（共5小题） 【模型】题中含等腰直角三角形或正方形，存在“共端点且相等”的两条线段（等腰直角三角形的腰、正方形的相邻边），把其中一条所在图形绕公共端点旋转 90°，构造全等或新的等腰直角三角形。 【步骤】①识别共端点的相等线段（旋转基础）；②绕公共端点旋转 90°；③用全等转移线段与角，把问题化归到直角三角形或特殊三角形。 【易错】①注意旋转方向及旋转后点的对应位置；②不要忽略旋转后出现的等腰直角三角形与垂直关系。 34．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （1）如图1，在等腰中，，，点，在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出．”小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 请你根据小波的叙述把图补画完整，并帮助小波证明他的结论； 【情境理解应用】 （2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形中，度， ，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请你帮小红把求长的过程写出来． 【详解】（1）如图所示： 证明：∵ ∴； ∵绕点 A逆时针旋转 得到 连接 ， 则，， ∴，， ∴； ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：作于G，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 35．已知在中，，，于． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．求证：； (2)如图，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 【详解】(1)证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵，，于， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①证明：过点作交于点，连接， 由（）知为的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【知识技能】（1）如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长． 【数学理解】（2）如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明： ． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，正方形边长为3， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上截取，连接， 根据旋转可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，将绕点B逆时针旋转一周， ∴点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动， 当时，如图， 过点B作， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图， 过点B作， 则， ∴， ∴， ∴． 综上，是． 37．已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM． （1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是　　． （2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【详解】解：（1）由题意可得： ∵为的中点 ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴且 （2）成立，延长至点，使得，连接，如下图： 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴且 38．在正方形中，点是边上的点，点在的延长线上，将线段绕点顺时针旋转90度，得到线段，连接． (1)如图1，连接，判断线段与线段的数量关系． (2)如图2，若正好经过点， ①证明：； ②直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； (3)如图3，当经过点时，若，，请直接写出此时正方形边的长度． 【详解】(1)解：， 证明：四边形是正方形， ，， 线段绕点顺时针旋转，到线段， ，， ， ， ； (2)①证明：，， ， ， ， ， ； ②解 ∶； 理由如下：如图2，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． （3）解：如图4，连接，过点作于， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 正方形的边长为． 拔高·压轴破难 题型7 费马点模型（旋转 60°） 【模型】三角形内一点 P，求 PA+PB+PC 的最小值。取最小值时 P 为费马点，满足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。 【易错】①旋转角必须是 60°（构造等边三角形），而不是其他角；②旋转对象的选择要保证能把三条线段“接”成一条折线；③取等条件（共线）需说明。 39．我们知道：在中，最大角的度数如果小于，那么在的内部存在一点，到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点称为费马点．关于点还有如下两个结论：①当最小时，；②以的任意一边向外作等边三角形，例如：如图所示，以边向外作等边，连接，那么点在线段上．已知在中，，（），点是的费马点，那么________（用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：设与相交于O，设点P为费马点，连接、，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 即． 40.【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 41．（23-24九年级上·福建厦门·期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间线段最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”． （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； （3）解：根据题意可得： 总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为， ∴总铺设成本最少为万元． 故答案为：．    42．定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．    (1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ； (2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证： ①点是的费马点； ②． 【详解】（1）解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，    ∴是等边三角形，是等边三角形， ∵点是高为的等边的费马点， ∴， ∴ ∴四点共线， ∵ ∴在的垂直平分线上， ∴， ∴， 如图所示，延长交于点    ∵点是高为的等边的费马点， ∴， ∴， ∴，则 ∴ ∵ ∴ ∴, 故答案为：． (2)，理由如下， 如图所示，延长至，使得，连接，    ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 又， ∴ ， ∴， ∴， 即； (3)①证明：如图，作A于，于设交 于．    ，都是等边三角形， ，，， ， )， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是就是费马点． ②证明：在线段上取一点，使得，连接．    ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 43.定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． (2)如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． (3)能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 44．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PAP′＝60°， ∴△APP′为等边三角形， PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°， 由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5， ∵32+42=52 ∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°； 故答案为：150°； (2)证明：∵点P为△ABC的费马点， ∴， ∴， 又∵， ∴APD为等边三角形 ∴，， ∴， ∴， 在△APC和△ADE中， ∴ (ASA)； ∴， ∵， ∴BE＝PA＋PB＋PC； （3）解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， 把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B， ∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B， ∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP， ∴△BPP′是等边三角形， ∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°， ∴C、P、A′、P′四点共线， 在Rt△A′BC中，， ∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝． 45．（25-26九年级上·河南焦作·期中）数学家和物理学家也会进行学术交流，有一次法国数学家费马向意大利物理学家托里拆利提出了这样一个问题：在所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．由此后人把满足这样条件的点称为费马点．如图1，当三个内角均小于时，点在内部，当时，发现有最小值．此时点即为费马点． (1)爱思考的脑子可能会想为什么．学过旋转之后小哲尝试了这样的操作：如图1，将绕点顺时针旋转______得到，连接可得为等边三角形，______，由旋转可得______，因此． (2)就图1请说明为什么当时，最小． (3)如图2，在直角三角形内部有一动点．，，连接、、．若，的最小值为______． 【详解】（1）如图1，将绕点顺时针旋转 得到，连接可得为等边三角形， ，由旋转可得 ，因此 故答案为：60，，． (2)解： 当时， 依题意，可得，为等边三角形， ∴， ∴四点共线， ∴等于的长，根据两点距离最短，最小 （3）解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点， 在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ， ， ， 当、、、共线时，的值最小， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 46．【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，，则”． 【材料2】定义：若为内一点，满足，则点叫做的费马点． (1)如图1，若点是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为 ； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点，连接，求证：点是的费马点； (3)应用探究：已知有三个村庄的位置如图3所示，其中村庄到两个村庄的距离相等，且满足，请在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时 ． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， 点是的费马点， ， ， ． 是等边三角形， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点是三边的垂直平分线的交点， ．， ， ， ， ． 故答案为：9； (2)证明：与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． 设与交于点，交于点， 在和中， ， ， 且， ， ， 同理可得，． 过点分别作，， ， ，， ． ，， 平分． ， ， ， ， ， ， 点是的费马点； （3）解：如图，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与均为等边三角形， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， 当四点共线时，为最小值， 此时， ，． ， ， ． ， 点是的费马点，即污水处理站的位置． 由题意得，， 是的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 47．【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【详解】第一步： 证明：∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步： 证明：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 48．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 【详解】（1）解：连接，    ∵将绕顶点A逆时针旋转60°到 ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：150； (2)①解：， 证明：∵，， ∴， 将将绕点逆时针旋转，得到，连接，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又，， ∴， ∴， ∴； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，    则：，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． $专题06 旋转中的常见类型与几何模型 基础·固本强基 题型1 旋转的基本性质识别 题型2 旋转中的线段与角度计算 题型3 旋转作图 提升·进阶突破 题型4 手拉手模型（共顶点旋转·旋转全等） 题型5 半角模型（90° 内含 45°） 题型6 旋转 90° 构造全等（等腰直角三角形 / 正方形） 拔高·压轴破难 题型7 费马点模型（旋转 60°） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 旋转的基本性质识别（共6小题） 【步骤】抓住“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”“对应点到旋转中心距离相等”这两个核心，先确定旋转中心和对应点，再逐一识别。 【易错】易错提醒：旋转角是“对应点与旋转中心连线所成的角”，不是原图形中的任意角。 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26九年级上·北京大兴·期中）我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 5．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 6．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，点 D 在边 上，连接，将绕某点旋转得到，且点B，C，在同一条水平线上．已知． (1)旋转中心是点 ，旋转角度是； (2)求的长． 题型2 旋转中的线段与角度计算（共9小题） 【步骤】旋转后对应点到旋转中心距离相等、旋转角为定值；旋转 90° 常转化为“直角”，再配合勾股定理求线段。 【易错】旋转 90° 后 AC 与 A′C 垂直；对应点到旋转中心距离相等，不要把 A′ 的位置认错。 7．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·云南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 11．（26-27九年级上·贵州·期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A． B． C． D． 12．（26-27九年级上·青海·期中）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 13．（26-27九年级上·福建·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为______． 14．（26-27九年级上·海南·期中）如图，在中，，，，可以由绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且A、、在同一条直线上，则的长为______． 15．（26-27九年级上·贵州·期中）已知，，，，将绕点旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，则的长为______； (2)当点落在直线上时，求的长． 题型3 旋转作图（共6小题） 【步骤】按“定中心—定对应点—连线”三步进行，作图时用垂线与等距确定对应点。 【易错】旋转方向（顺时针/逆时针）决定对应点截取的方向；截取长度必须等于对应点到旋转中心的距离。 16．（26-27九年级上·江西·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，点在格点上． (1)将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，请画出线段．（点的对应点为点） (2)以线段为一边，作一个正方形，且点，也为格点．（作出一个正方形即可） 17．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点、对应点分别是、． (1)请在图中画出； (2)画出，使与关于原点成中心对称； 18．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 19．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，的顶点坐标分别为，，， (1)画出关于轴的对称图形； (2)将绕原点顺时针旋转，得到； (3)的面积是 ． 20．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，画出； (2)绕原点O逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 21．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 提升·进阶突破 题型4 手拉手模型（共顶点旋转·旋转全等）（共6小题） 【模型】两个等腰三角形（等边三角形、等腰直角三角形）或两个正方形共一个顶点，其中一个三角形绕公共顶点旋转，形成“手拉手”结构。 【步骤】①找公共顶点（即旋转中心）；②认准两条“长边”，证 △OAC≌△OBD（SAS）：公共顶点处两组等边＋一组等角；③由全等得对应边、对应角相等；④用“拉手边夹角＝旋转角”及八字形倒角求目标角。 【易错】①对应顶点、对应边认错，导致 SAS 用错；②误以为拉手边夹角等于等腰三角形的顶角——其实等于旋转角；③等腰三角形不一定是等边三角形，旋转角未必等于顶角。 22．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 23．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 24．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 25．（22-23九年级上·山东德州·期中）把两个等腰直角三角形和按图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为． (1)如图，与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图，中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图，当点在线段上时，求证：； (4)当旋转角______填度数时，的面积最大． 26．（25-26九年级上·江西上饶·期末）【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 27．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，．，点始终在的上方，且，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线交直线于点．    (1)如图，当时，求证； (2)当点为边的中点时，连接，求的最大值； (3)如图，若，时，求的面积． 题型5 半角模型（90° 内含 45°）（共6小题） 【模型】正方形（或等腰直角三角形）中，90° 的角内有一个 45° 的角，45° 角的顶点在直角顶点处且可绕其旋转。 【步骤】①将 △ADF 绕点 A 顺时针旋转 90° 至 △ABG；②证半角所对的两个三角形全等（SAS：公共边＋旋转等边＋45° 等角）；③由全等代换线段，得到线段和关系。 【易错】①旋转方向选错，导致旋转后图形位置错误；②旋转后“半角邻边”拼接的位置要找准；③结论 EF=BE+DF 只在 45° 恰为 90° 之半时成立。 28．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 29．问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 30．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 31．（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，， ， ，求的长． 32．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 33．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 题型6 旋转 90° 构造全等（等腰直角三角形 / 正方形）（共5小题） 【模型】题中含等腰直角三角形或正方形，存在“共端点且相等”的两条线段（等腰直角三角形的腰、正方形的相邻边），把其中一条所在图形绕公共端点旋转 90°，构造全等或新的等腰直角三角形。 【步骤】①识别共端点的相等线段（旋转基础）；②绕公共端点旋转 90°；③用全等转移线段与角，把问题化归到直角三角形或特殊三角形。 【易错】①注意旋转方向及旋转后点的对应位置；②不要忽略旋转后出现的等腰直角三角形与垂直关系。 34．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （1）如图1，在等腰中，，，点，在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出．”小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 请你根据小波的叙述把图补画完整，并帮助小波证明他的结论； 【情境理解应用】 （2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形中，度， ，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请你帮小红把求长的过程写出来． 35．已知在中，，，于． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．求证：； (2)如图，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点． ①求证：； ②若，，求的长． 36．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【知识技能】（1）如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长． 【数学理解】（2）如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明： ． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度． 37．已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM． （1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是　　． （2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 38．在正方形中，点是边上的点，点在的延长线上，将线段绕点顺时针旋转90度，得到线段，连接． (1)如图1，连接，判断线段与线段的数量关系． (2)如图2，若正好经过点， ①证明：； ②直接用等式表示线段，和的数量关系为 ； (3) 如图3，当经过点时，若，，请直接写出此时正方形边的长度． 拔高·压轴破难 题型7 费马点模型（旋转 60°） 【模型】三角形内一点 P，求 PA+PB+PC 的最小值。取最小值时 P 为费马点，满足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。 【易错】①旋转角必须是 60°（构造等边三角形），而不是其他角；②旋转对象的选择要保证能把三条线段“接”成一条折线；③取等条件（共线）需说明。 39．我们知道：在中，最大角的度数如果小于，那么在的内部存在一点，到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点称为费马点．关于点还有如下两个结论：①当最小时，；②以的任意一边向外作等边三角形，例如：如图所示，以边向外作等边，连接，那么点在线段上．已知在中，，（），点是的费马点，那么________（用含的式子表示）． 40.【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 41．（23-24九年级上·福建厦门·期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    42．定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．    (1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ； (2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证： ①点是的费马点； ②． 43.定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 44．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 45．（25-26九年级上·河南焦作·期中）数学家和物理学家也会进行学术交流，有一次法国数学家费马向意大利物理学家托里拆利提出了这样一个问题：在所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．由此后人把满足这样条件的点称为费马点．如图1，当三个内角均小于时，点在内部，当时，发现有最小值．此时点即为费马点． (1)爱思考的脑子可能会想为什么．学过旋转之后小哲尝试了这样的操作：如图1，将绕点顺时针旋转______得到，连接可得为等边三角形，______，由旋转可得______，因此． (2)就图1请说明为什么当时，最小． (3)如图2，在直角三角形内部有一动点．，，连接、、．若，的最小值为______． 46．【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，，则”． 【材料2】定义：若为内一点，满足，则点叫做的费马点． (1)如图1，若点是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为 ； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点，连接，求证：点是的费马点； (3)应用探究：已知有三个村庄的位置如图3所示，其中村庄到两个村庄的距离相等，且满足，请在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小，请直接写出此时 ． 47．【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 48．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． $