专题01 一元二次方程的解法11大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版

专题01 一元二次方程的解法 基础·固本强基 题型1直接开平方法求解 题型2 因式分解法 题型3 配方法 题型4 公式法 提升·进阶突破 题型5 选择合适的方法解方程 题型6 一元二次方程根与系数的关系 题型7 根与系数的关系的应用 题型8 根与系数的关系和根的判别式的综合 拔高·压轴破难 题型9 分类讨论解含绝对值的一元二次方程 题型10 用换元法解一元二次方程 题型11 用十字相乘法”分解因式解 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直接开平方法求解（共5小题） 【模型】直接开平方法适用于形如 (mx＋n)²＝p（p≥0）或 (mx＋n)²＝(kx＋h)² 的方程，直接两边开平方“降次”求解。 【步骤】1．把含未知数的完全平方式移到一边，常数移到另一边，化为 (x＋m)²＝n； 2．若 n≥0，两边开平方：x＋m＝±√n； 3．分别解两个一元一次方程。 【易错】易错 1：漏负根——开方后忘记写“±”，只保留正根。 易错 2：n＜0 时仍认为有解（实数范围内无解）。 易错 3：形如 4x²＝9 时，忘记先两边除以 4，直接把 4 开方。 1．（24-25九年级上·广东河源·期中）解方程：． 【答案】，． 【详解】解： ， ∴，． 2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 变形得， 开方，得，或， 解得：，． 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解： 或 解得，． 4．（25-26九年级上·四川广元·期中）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：开平方，得， ，． （2）解：开平方，得， ，． （3）解：整理，得 ， 开平方，得， ，． （4）解：开平方，得，或， 解得，． 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 题型2 因式分解法（共6小题） 【模型】因式分解法依据“若 A·B＝0，则 A＝0 或 B＝0”，把一元二次方程“降次”为两个一元一次方程。常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 【步骤】1．移项：使方程一边为 0； 2．因式分解：把另一边分解为两个一次因式的乘积； 3．令各因式为 0，得两个一元一次方程； 4．分别解出两根。 【易错】易错 1：两边同除以含未知数的因式导致漏根。如解 (x−1)(x＋2)＝2(x−1)，直接除以 (x−1) 会丢根 x＝1。 易错 2：只移项不分解。如 x²＝3x 应化为 x(x−3)＝0，而不是两边除以 x。 易错 3：十字相乘系数或符号出错。 6．（25-26九年级上·广东茂名·期中）解方程：； 【答案】 【详解】解：， ， 或， 解得. 7．（24-25九年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，； （2）解：， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，． 8．（26-27九年级上·北京·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得： ， 因式分解得： ， 故或， 解得：，． 9．（24-25九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 或， 解得，； （2）解： 整理得， 因式分解得， 或， 解得：，． 11．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： 或， ∴，． 题型3 配方法（共4小题） 【模型】配方法通过“添一次项系数一半的平方”把方程化为完全平方式，再用直接开平方法求解。核心模型： 【步骤】1．化二次项系数为 1：两边同除以 a（a≠0）； 2．移项：把常数项移到右边； 3．配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”； 4．左边写成完全平方式，右边合并； 5．用直接开平方法求解。 【易错】易错 1：二次项系数不为 1 时没有先化为 1，直接配方。 易错 2：加的是“一次项系数一半的平方”，而不是“一次项系数的平方”。 易错 3：移项时常数项符号出错。 12．（25-26九年级上·福建泉州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ∴， 13．（25-26九年级上·广东湛江·期中）解方程：； 【答案】， 【详解】解：， ， ， 即， ∴． ∴， ． 14．（25-26九年级上·全国·期中）用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在解一元二次方程 时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 或 第五步： 问： (1)小明第三步配方的依据是 ； A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 (2)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号) (3)请你写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：由题知，第三步配方的依据是完全平方公式， 所以A选项符合题意． 故答案为：A； （2）解：由解题步骤可知， 第二步等式右边漏加了1， 所以第二步出现错误． 故答案为：2； (3)， ， ， ， 则， 所以，． 题型4 公式法（共7小题） 【模型】公式法利用求根公式直接求解，适用于任意一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0），当 Δ＝b²−4ac≥0 时有实数根： 【步骤】1．把方程化为一般形式 ax²＋bx＋c＝0； 2．确定 a、b、c（连同符号）； 3．计算 Δ＝b²−4ac； 4．若 Δ≥0，代入公式求解；若 Δ＜0，方程无实数根。 【易错】易错 1：a、b、c 符号抄错，尤其是含负号的项。 易错 2：Δ＜0 时仍代入公式，误写“无解”之外的结果。 易错 3：公式分母 2a、根号内 b²−4ac 记错或抄错。 16．（25-26九年级上·广东东莞·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴，，， ， ∴， ∴，． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解：， ∴，，， ∴， ∴． 解得：，． 18．（25-26九年级上·河南南阳·期中）解方程∶ 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， 所以， 即，． 19．（25-26九年级上·福建厦门·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴， ∴，． 20．（25-26九年级上·广东河源·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．（25-26九年级上·广东东莞·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， 所以， 所以，． 22．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 即，． （2）解： ， ， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 即，． 提升·进阶突破 题型5 选择合适的方法解方程（共7小题） 【步骤】1．先观察：能否直接开平方？能否因式分解？ 2．再选择：按“直接开方→因式分解→配方→公式”的顺序选定方法； 3．求解并检验结果是否满足原方程。 【易错】易错 1：能直接开方或能因式分解的方程，却用公式法，计算量大且易错。 易错 2：选择因式分解法但移项、分解不规范。 23．（25-26九年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 解得． 24．（25-26九年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 25．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 26．（25-26九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ． 27．（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 28．（25-26九年级上·河南南阳·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴或， ∴． 29．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）计算：请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； 【详解】（1）解： ∴ 直接开方得：或， 解得：，； （2） ， ∴， 解得：，； （3）， 其中， ∴， ∴,， ∴，． 题型6 一元二次方程根与系数的关系（共5小题） 【模型】若 x₁、x₂ 是一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，则 常用变形：， 【步骤】1．把方程化为一般形式，确认 a、b、c； 2．由韦达定理得 x₁＋x₂、x₁x₂； 3．将所求式子用 x₁＋x₂、x₁x₂ 表示后代入。 【易错】易错 1：使用前提是 a≠0 且 Δ≥0，未验证根的判别式。 易错 2：变形符号出错，如 x₁²＋x₂² 忘记减去 2x₁x₂。 30．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知，是方程的两个根，下列正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【详解】解： ， 方程可化为． A. ，若，则，故选项错误，不符合题意； B. ， ，则，故选项错误，不符合题意； C. ，， ，则，故选项正确，符合题意； D. ，， ，，可得，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 31．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【详解】解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 32．（26-27九年级上·全国·期中）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 一元二次方程有一个根为， ∴ ， 两边同乘得：，即 ， ∴ 是方程的一个根； 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 33．（26-27九年级上·天津·期中）已知方程的两根分别为，，则的值是______． 【答案】 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ． 34．（25-26九年级上·四川成都·期中）一元二次方程的两个根分别是m和n，则的值为_____． 【答案】19 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根分别为 和 ， ∴ 由根与系数的关系，得 ，， ∴ ， 故答案为：19． 题型7 根与系数的关系的应用（共6小题） 35．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 36．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的两根记为、， ∴， ∴， 故答案为：2． 37．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是___________．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以） 【详解】解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，有，， 则， 所以， 根据三角形三边关系，第三边必须满足， 即， 且， 因此可以是6． 故答案为：6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以）． 38．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 【答案】 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 39．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且和为实数， 以、为根的二次方程有实数根， 即判别式， 将，代入， 得， 解得， 即的最大值为2． 故答案为：2． 40．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线有两个交点， ∴ ， 整理得 ． ∴ ， 解得 ． 设方程两根为 ，则由根与系数的关系，得 ，． ∵ ， 展开得 ， ∴ ， 即 ， 解得 ． 综上， 的取值范围为 ． 故答案为 ． 题型8 根与系数的关系和根的判别式的综合（共7小题） 41．（26-27九年级上·全国·期中）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）解：根据题意，得，． ， ， ． 42．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． （2）解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 43．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ． 44．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 45．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【详解】(1)证明：已知关于的方程， ∵，， ∴ ， 又∵无论取任何实数，都有 ∴ ∴无论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根； （2）解：已知关于的方程， 由一元二次方程根与系数关系得，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 46．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 47．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 拔高·压轴破难 题型9分类讨论解含绝对值的一元二次方程（共4小题） 48．（24-25九年级上·福建漳州·期中）阅读下面的解题过程，再解答问题． 解方程． 解：当时，原方程化为 解得，（舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（舍去）． ∴原方程的解是，． 根据上述解题过程，解方程． 【答案】， 【难度】0.85 【详解】解： 当时 ∴，（舍去）； 当时 ，（舍去）． ∴原方程的解为，． 49．（24-25九年级上·广东深圳·期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； (1)请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； 当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； ∴这个方程的解是； 故答案为：； （2）解：当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； 当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； ∴方程的解为：． 50．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：分两种情况讨论 （1）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； （2）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； ∴综上所述，原方程的根是，． 51．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 题型10 用换元法解一元二次方程（共5小题） 【模型】当方程中出现重复的、复杂的式子时，把它看成一个整体设为 t，把方程转化为较简单的方程求解，这种方法叫换元法（整体思想）。 【步骤】1．识别重复出现的式子，设为 t； 2．把原方程化为关于 t 的方程并求解； 3．回代 t，解出关于 x 的方程； 4．检验所得 x 是否满足原方程。 【易错】易错 1：换元后忘记回代解 x。 易错 2：换元后 t 的取值范围未考虑，导致增根或漏解。 52．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，，， (2)，， 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 53．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 54．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 55．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 56．（25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 【答案】(1)，；， (2)或或12 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 解得，， ， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 即， 解得，； （2）设，则， 原方程换元为， 解得，， 设，则， 原方程换元为， 解得，， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或或． 题型11 用十字相乘法分解因式解（共5小题） 57．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）解：； （2）. 利用十字相乘法，得 ∴或. ∴，. （3）. 利用十字相乘法，得. ∴或. ∴，. 58．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 【答案】(1)①，；②， (2)①，；②，；③， 【详解】（1）解：① 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； ② 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； （2）解：①原方程化为 ∴或 ∴，； ②原方程化为 ∴或 ∴，； ③原方程化为，即 ∴或 ∴，． 59．（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 60．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． $专题01 一元二次方程的解法 基础·固本强基 题型1直接开平方法求解 题型2 因式分解法 题型3 配方法 题型4 公式法 提升·进阶突破 题型5 选择合适的方法解方程 题型6 一元二次方程根与系数的关系 题型7 根与系数的关系的应用 题型8 根与系数的关系和根的判别式的综合 拔高·压轴破难 题型9 分类讨论解含绝对值的一元二次方程 题型10 用换元法解一元二次方程 题型11 用十字相乘法”分解因式解 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直接开平方法求解（共5小题） 【模型】直接开平方法适用于形如 (mx＋n)²＝p（p≥0）或 (mx＋n)²＝(kx＋h)² 的方程，直接两边开平方“降次”求解。 【步骤】1．把含未知数的完全平方式移到一边，常数移到另一边，化为 (x＋m)²＝n； 2．若 n≥0，两边开平方：x＋m＝±√n； 3．分别解两个一元一次方程。 【易错】易错 1：漏负根——开方后忘记写“±”，只保留正根。 易错 2：n＜0 时仍认为有解（实数范围内无解）。 易错 3：形如 4x²＝9 时，忘记先两边除以 4，直接把 4 开方。 1．（24-25九年级上·广东河源·期中）解方程：． 2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程：． 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）解方程： 4．（25-26九年级上·四川广元·期中）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型2 因式分解法（共6小题） 【模型】因式分解法依据“若 A·B＝0，则 A＝0 或 B＝0”，把一元二次方程“降次”为两个一元一次方程。常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 【步骤】1．移项：使方程一边为 0； 2．因式分解：把另一边分解为两个一次因式的乘积； 3．令各因式为 0，得两个一元一次方程； 4．分别解出两根。 【易错】易错 1：两边同除以含未知数的因式导致漏根。如解 (x−1)(x＋2)＝2(x−1)，直接除以 (x−1) 会丢根 x＝1。 易错 2：只移项不分解。如 x²＝3x 应化为 x(x−3)＝0，而不是两边除以 x。 易错 3：十字相乘系数或符号出错。 6．（25-26九年级上·广东茂名·期中）解方程：； 7．（24-25九年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 8．（26-27九年级上·北京·期中）解方程：． 9．（24-25九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 11．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)； (2)． 题型3 配方法（共4小题） 【模型】配方法通过“添一次项系数一半的平方”把方程化为完全平方式，再用直接开平方法求解。核心模型： 【步骤】1．化二次项系数为 1：两边同除以 a（a≠0）； 2．移项：把常数项移到右边； 3．配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”； 4．左边写成完全平方式，右边合并； 5．用直接开平方法求解。 【易错】易错 1：二次项系数不为 1 时没有先化为 1，直接配方。 易错 2：加的是“一次项系数一半的平方”，而不是“一次项系数的平方”。 易错 3：移项时常数项符号出错。 12．（25-26九年级上·福建泉州·期末）解方程：． 13．（25-26九年级上·广东湛江·期中）解方程：； 14．（25-26九年级上·全国·期中）用配方法解方程： (1)； (2)． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在解一元二次方程 时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 或 第五步： 问： (1)小明第三步配方的依据是 ； A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 (2)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号) (3)请你写出正确的解答过程． 题型4 公式法（共7小题） 【模型】公式法利用求根公式直接求解，适用于任意一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0），当 Δ＝b²−4ac≥0 时有实数根： 【步骤】1．把方程化为一般形式 ax²＋bx＋c＝0； 2．确定 a、b、c（连同符号）； 3．计算 Δ＝b²−4ac； 4．若 Δ≥0，代入公式求解；若 Δ＜0，方程无实数根。 【易错】易错 1：a、b、c 符号抄错，尤其是含负号的项。 易错 2：Δ＜0 时仍代入公式，误写“无解”之外的结果。 易错 3：公式分母 2a、根号内 b²−4ac 记错或抄错。 16．（25-26九年级上·广东东莞·期中）解方程：． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）解方程： 18．（25-26九年级上·河南南阳·期中）解方程∶ 19．（25-26九年级上·福建厦门·期中）解方程：． 20．（25-26九年级上·广东河源·期中）解方程：． 21．（25-26九年级上·广东东莞·期中）解方程：． 22．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1) (2) 提升·进阶突破 题型5 选择合适的方法解方程（共7小题） 【步骤】1．先观察：能否直接开平方？能否因式分解？ 2．再选择：按“直接开方→因式分解→配方→公式”的顺序选定方法； 3．求解并检验结果是否满足原方程。 【易错】易错 1：能直接开方或能因式分解的方程，却用公式法，计算量大且易错。 易错 2：选择因式分解法但移项、分解不规范。 23．（25-26九年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 24．（25-26九年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 25．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 26．（25-26九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) 27．（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 28．（25-26九年级上·河南南阳·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)． 29．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）计算：请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 题型6 一元二次方程根与系数的关系（共5小题） 【模型】若 x₁、x₂ 是一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，则 常用变形：， 【步骤】1．把方程化为一般形式，确认 a、b、c； 2．由韦达定理得 x₁＋x₂、x₁x₂； 3．将所求式子用 x₁＋x₂、x₁x₂ 表示后代入。 【易错】易错 1：使用前提是 a≠0 且 Δ≥0，未验证根的判别式。 易错 2：变形符号出错，如 x₁²＋x₂² 忘记减去 2x₁x₂。 30．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知，是方程的两个根，下列正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 31．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 32．（26-27九年级上·全国·期中）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 33．（26-27九年级上·天津·期中）已知方程的两根分别为，，则的值是______． 34．（25-26九年级上·四川成都·期中）一元二次方程的两个根分别是m和n，则的值为_____． 题型7 根与系数的关系的应用（共6小题） 35．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 36．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 37．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是___________．（写出一个即可） 38．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 39．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 40．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围______． 题型8 根与系数的关系和根的判别式的综合（共7小题） 41．（26-27九年级上·全国·期中）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 42．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 43．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 44．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 45．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且，求的值． 46．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 47．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 拔高·压轴破难 题型9分类讨论解含绝对值的一元二次方程（共4小题） 48．（24-25九年级上·福建漳州·期中）阅读下面的解题过程，再解答问题． 解方程． 解：当时，原方程化为 解得，（舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（舍去）． ∴原方程的解是，． 根据上述解题过程，解方程． 49．（24-25九年级上·广东深圳·期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； (1)请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； (2)解方程． 50．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：． 51．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 题型10 用换元法解一元二次方程（共5小题） 【模型】当方程中出现重复的、复杂的式子时，把它看成一个整体设为 t，把方程转化为较简单的方程求解，这种方法叫换元法（整体思想）。 【步骤】1．识别重复出现的式子，设为 t； 2．把原方程化为关于 t 的方程并求解； 3．回代 t，解出关于 x 的方程； 4．检验所得 x 是否满足原方程。 【易错】易错 1：换元后忘记回代解 x。 易错 2：换元后 t 的取值范围未考虑，导致增根或漏解。 52．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 53．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 54．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 55．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 56．（25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 题型11 用十字相乘法分解因式解（共5小题） 57．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 58．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 59．（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 60．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． $