专题02 实际问题与一元二次方程10大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版

专题02 实际问题与一元二次方程 基础·固本强基 题型1数字问题 题型2 传播问题 题型3 增长率（下降率）问题 题型4 单双循环（握手、比赛）问题 提升·进阶突破 题型5 行程问题（相遇、追及、提速） 题型6 几何图形面积问题 题型7 商品销售利润问题 题型8 工程问题 拔高·压轴破难 题型9 动态几何问题（压轴） 题型10 综合应用与多解讨论（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数字问题（共4小题） 【模型】题干出现“一个两位数，个位数字与十位数字”“个位比十位大几”“两数之积/之和为多少”等。 【步骤】①设十位数字为x（或设个位数字）；②用代数式表示该两位数：十位×10+个位；③根据数字之间的关系（和、积、差）列方程；④解方程，检验数字须为0~9的整数（十位不能为0）。 【易错】①两位数=十位数字×10+个位数字，不能写成两数字相加；②数字必须是0~9的整数，且十位数字不能为0；③“交换位置后的新数”=个位×10+十位，注意顺序。 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】设五个连续整数为，，，，， 前三个数的平方和等于后两个数的平方和， ， 展开得： 左边：， 右边：， ， 移项得：， 与小星方程对比，得， ， ， ，， 由表格数据，当或时，，且验证两组数均满足题意， 第一个数为或． 故选：． 2．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【答案】这3个连续整数为4，5，6 【详解】设这3个连续整数为，，， 由题意可得，， ， 又知， 即， 解得或（舍去）， 故， ，． 故这3个连续整数为4，5，6． 题型2 传播问题（共6小题） 【模型】题干中出现“一个人传染给x人”“某种病/新闻/信息扩散”“一轮传染后总人数”等表述，属于传播问题。其本质是“指数型增长”的离散版本：每一次传播，每个已感染者的“感染源”都会再传染给x个新对象。 【步骤】①设每次每人传播给x人；②第一轮新增x人，总人数为 1+x；③第二轮由这(1+x)人都向外传播，新增 x(1+x) 人，总人数为 (1+x)+x(1+x)=(1+x)²；④根据题目给出的两轮后总人数列方程。 其中 b 为两轮（或一段时间）后的总人数，x 为每人每次传播给的人数。 【易错】①“每人传染给x人”与“共有x人”易混淆，基数永远是1（初始感染源）而非0；②若问“三轮后”，应按 (1+x)³递推，不要只算平方；③解得的人数必须为正整数或非负，负值、小数要结合题意检验。 5．（25-26九年级上·福建厦门·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人． 初始感染者数为1， 第一轮后感染者总数为， 第二轮新增感染者数为， ∵ 第二轮新增210人感染， ∴． 故选：D． 6．（25-26九年级上·广东江门·期中）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了人，列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设平均一个人传染给了x人， 则第一轮传播后，总感染人数为人， 第二轮传播时，已有的位感染者每人再传染人，总人数变为人， ∵经过两次感染后共有144人感染， ∴， 故选：C． 7．（25-26九年级上·广东广州·期中）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故选：C． 8．（25-26九年级上·湖南常德·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． 【答案】5 【详解】由题意，主干有1个，支干有个，小分支有个，故总数为． 整理得． 因式分解得， 解得（舍去）或． 故答案为：5． 9．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1头羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 【答案】 【详解】解：初始有1头羊感染。 经过第一个5小时，这1头羊传染头羊，此时总感染羊数为， 经过第二个5小时，现有头感染羊每头传染x头羊，新感染羊数为， 故总感染羊数变为， 根据题意，经过10小时后总感染羊数为100头， 故列方程可得， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 题型3 增长率（下降率）问题（共5小题） 【模型】题干出现“平均每月/每季增长（下降）百分之几”“连续两次增长（降价）”“两年后达到多少”等，属增长率问题。 【步骤】①设初始量为a，平均增长率为x（下降率为负，记作 a(1-x)²）；②经过连续两次变化后为 a(1±x)²；③由“末量=b”列方程。 【易错】①“增长了百分之几”是增长率，为正值；“下降了百分之几”是下降率，列式用 (1-x)，求出的x也是正值；②“增长到b”表示末量为b，“增长了b”表示比原量多b（末量=a+b），二者要分清；③增长率不能为负，解出负值应舍去；④连续n期则指数为n，不要一律平方。 11．（26-27九年级上·湖南·期中）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每次降息的百分率为x，经过一次降息是，经过两次降息，是， ∴可得：． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 13．（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 14．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 15．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 【答案】 25 【详解】解：从2024年到2026年，经历了2次增长，即， 将数据代入公式，可列出方程：． 解得，． ∵产量是增长的，增长率x大于0， ∴取，即25%． 题型4 单双循环（握手、比赛）问题（共9小题） 【模型】题干出现“两队比赛一次”“每两人握一次手”“互赠礼物”“每两人通话一次”等。关键区别在“单向”还是“双向”。 【步骤】①判断循环类型：单循环（每两个之间只算一次）用组合数；双循环（主客场，A到B与B到A算两次）用排列数；互赠礼物也是双向。 ②设总数为n（队伍/人数），列方程并求解、检验n为正整数。 【易错】①单循环一定要除以2，因为每两队之间的比赛被重复计了两次；②双循环、互赠不除以2；③“每个队都要与其余各队比赛一场”是单循环，“主客场各赛一场”是双循环；④解得n必须是正整数，小数或负值舍去。 16．（25-26九年级下·黑龙江·期中）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 【答案】30 【详解】解：设全班有名学生， 根据题意，列方程得， 整理得， 解得，（舍去）， 则全班有名学生． 17．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 【答案】11 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 18．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·山西临汾·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我市计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【详解】解：设有x个队参赛，每两队之间进行一场比赛，则总比赛场数为 ． 根据题意，总比赛场数为28场， 因此可列方程为 ． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是__________________名． 【答案】30 【详解】设班级学生总人数为x名，则每名同学需发送条祝福短信． 根据题意，得．整理得． 解方程，得． 由于x表示人数，不符合题意，舍去． 则这个班级的学生总人数是名． 故答案为：30． 21．（25-26九年级上·青海西宁·期中）某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为______． 【答案】 【详解】解：赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，所以总比赛场数为， 参赛的每两个队之间都要比赛一场，因此总比赛场数为， 即． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 【答案】 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为． 故答案为：． 23．（25-26九年级上·山西晋中·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，为此某校举办相关知识问答竞赛．已知九年级共举办28场（每两个班级之间比赛一场），则该校九年级一共有________个班级． 【答案】 【详解】解：设该校九年级有个班级，则由题意可得， ， 即， ， 解得或（负值，舍去）， 答：该校九年级一共有个班级， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【答案】有5人参加聚会． 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意， 化简得， 即． 解得或（舍去）． 答：有5人参加聚会． 提升·进阶突破 题型5 行程问题（相遇、追及、提速）（共6小题） 【模型】题干出现“两地相向而行”“同向追及”“速度提高（降低）多少可提前（推迟）到达”“往返平均速度”等。核心是路程、速度、时间三者关系：路程=速度×时间。 【步骤】①设速度或时间中较易表示的一个量为x；②用含x的代数式表示路程（或时间、速度）；③根据“两段时间（或路程）的相等/相差关系”列方程，通常整理后出现一元二次方程；④解方程并检验速度为正值、时间符合实际。 【易错】①相向相遇用“路程和”，同向追及用“路程差”，方向别混淆；②“提前/推迟到达”指的是时间差，列式是“原时间-新时间=提前量”；③速度必须为正，解出的负值或零舍去；④注意单位统一（km/h 对应小时，m/s 对应秒）。 25．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 26．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 29．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 30．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 题型6 几何图形面积问题（共8小题） 【模型】题干涉及长方形、正方形、圆等图形，出现“修一条等宽的小路”“围栏围成花园”“在场地四周留等宽的边框”“动点在边上运动使某图形面积改变”等。 【步骤】①设未知量（如小路宽x）；②用含x的代数式表示所求图形的长、宽或半径；③根据“面积=…/周长=…”列方程；④解方程；⑤检验解是否为正数且符合图形实际（如路宽不能超过场地宽）。 【易错】①面积问题解出的根必须为正数，负根舍去；②路宽、边长等还受场地尺寸限制，如小路宽 x 必须小于场地长、宽，需进一步排除；③表示边长时注意“减2x”（两侧各留一条路）；④动点问题要明确运动时间对应的边长范围（0≤t≤时间上限）。 31．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 【答案】 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 32．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 【答案】1 【详解】解：设小路的宽度为，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：， 解得或（舍去）， ∴小路的宽度为． 33．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 34．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 35．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为18米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2.5米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长40米，设苗圃的一边长为x米．若苗圃的面积为，求x的值． 【答案】10 【详解】解：设苗圃的一边长为x米，则另一边的长为米， 由题意得：， 解得：， ∵墙最大可用长度为18米， ∴， 解得：， ∴． 36．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】8米 【详解】解：设车道的宽度为 依题意得： 解得： 经检验不符合题意，舍去 答：停车场内车道的宽度为8米． 37．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． (1)设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． (2)当x为多少时，鸡舍面积为？ 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解：设鸡舍与墙垂直的一边长为， 因为鸡舍的一边靠墙，另外三边用长的建筑材料围成， 所以平行于墙的一边的长为， 故答案为：； （2）解：根据鸡舍面积为， 可得， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，，符合题意， 答：当时，鸡舍面积为． 38．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用米，位置的墙最大可用米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个米宽的通道（出口处不用栅栏），两个场地分别留出一个米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为米，设实验田的长为米． (1)若实验田（矩形）的面积为平方米，求的值； (2)通过计算说明该实验田的面积能否为平方米． 【详解】（1）解：由题意，的长度为：，则 ， 解得：， ∵， ∴， ∴； (2)该实验田的面积不能为平方米，理由如下： 假设该实验田的面积能为平方米，则 ， ， ∴， ∴方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为平方米． 题型7 商品销售利润问题（共6小题） 【模型】题干出现“每件涨价（降价）x元，销售量就减少（增加）若干件”“总利润达到多少”“售价为多少时利润最大”等。 【步骤】①设售价变化量为x（或直接设售价/销量）；②分别表示涨价（降价）后的单件利润和销售量；③利润=单件利润×销售量，列方程；④解方程并检验利润、销量是否为正。 【易错】①单件利润=售价-进价，售价涨则销量减、售价降则销量增，符号别弄反；②“每涨1元销量减少2件”，涨价x元则减少2x件；③解出两个售价时，要检验是否都在可行范围内、销量是否为非负；④问“售价为多少”，应回答售价而非涨价幅度。 39．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】降价后每盒利润为元，每天销量为盒，即可建立方程． 【详解】解：由题意得，降价后每盒利润为元，每天销量为盒， ∴可得． 40．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】3元 【详解】解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 41．（25-26九年级上·河北沧州·期中）某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每件盈利40元，每天可售出20件．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件．要想平均每天销售这种童装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】20元 【详解】解：设每件童装应降价元，则每件童装实际盈利元． 由题意可得：， 整理得：， 解得：， ∵为扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存， ∴销售量应尽可能大，故应取较大值， 当时更符合题意． 每件童装应降价20元． 42．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． (1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1)降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元 (2)衬衫的单价降了25元 【详解】（1）解：当单价降了15元时，每天盈利为元， 答：降价后商场销售这一批衬衫每天盈利1250元； （2）解：设衬衫的单价降了x元， 由题意得：， 整理得：， ，， ∵尽快减少库存． ， 答：衬衫的单价降了25元． 43．（25-26九年级上·福建泉州·期中）自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【答案】(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元个 【详解】（1）解：当售价为元个时，月销售量为个． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 44．（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． (1)该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ (2)每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 【答案】(1)A型充电器售价200元，B型充电器售价240元． (2)每台B型充电器应降价30元． 【详解】（1）解：设A型充电器售价为x元，则B型充电器售价为元． 根据题意，得 ． 解得． 检验：当时，，且符合题意， 故原方程的解为． ∴B型充电器售价为元． 答：A型充电器售价200元，B型充电器售价240元； （2）解：设每台B型充电器降价m元．降价后每台利润为元． 降价后每月售出台数为台． 根据题意，得． 整理得，． 解得，． ∵要尽快减少库存， ∴选择降价较多的． 答：每台B型充电器应降价30元． 题型8 工程问题（共3小题） 【模型】题干出现“甲单独做需多少天”“两队合作几天完成”“先由甲做若干天再由乙完成”等。核心关系：工作总量=工作效率×工作时间，通常把总量看作1，则效率=1÷单独完成所需时间。 【步骤】①设某一方单独完成所需时间为x；②用 1/x 表示其工作效率，1/(x+a) 表示另一方的效率；③由“合作完成的工作量之和=1”或“分阶段完成的总量=1”列方程；④解方程并检验时间为正数。 【易错】①工作总量常设为单位“1”，效率是时间的倒数，勿混淆“效率”与“时间”；②两人合作时，各阶段效率相加，不是简单相加时间；③分阶段问题要分清每段谁在做、做了多久；④解得的时间必须为正，负值、零舍去。 45．（23-24九年级上·重庆开州·期中）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 46．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加y条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 47．（23-24九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 拔高·压轴破难 题型9 动态几何问题（压轴）（共5小题） 48．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 【答案】(1)3秒钟 (2)2秒钟或4秒钟 【详解】（1）解：设时间为t秒，则 ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：经过3秒钟，． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过2秒钟或4秒钟，的面积等于． 49．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 50．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； (3)不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 51．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为，，； （2）解：∵， ∴， 依题意，， 素 解得： （3）解：设出发秒后、两点间的距离是． 则，，作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：或． 52．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【详解】（1）解：当时，，， 矩形中，，， ，， ， 故答案为：28； (2)在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得，，， ，， 当时， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为； （3）解：由题意知， ， 当恰好是直角三角形时，， ∴， ∴， 解得，， 即t的值为6或． 题型10 综合应用与多解讨论（压轴）（共8小题） 【模型】题干同时涉及多个数量关系（如“面积+篱笆+靠墙”），或需对方程的多个根逐一检验取舍（如“路宽不能超过场地宽”“边长为正”“人数为正整数”），或需判断某个目标值能否达到（借助判别式）。这类题综合性强，是期中压轴高频考点。 【步骤】①识别题目包含的多个条件与限制（如墙长、边长上限、人数为整数）；②设未知量，用代数式表示相关量，列方程；③解方程得到两个根；④对每个根按“是否符合实际意义”逐一检验取舍，能舍则舍、能留则留；⑤如需判断“能否达到某目标值”，将目标代入方程后用判别式判断有无实数解。 【易错】①两个根不是“默认舍一个”，要逐一代入实际条件判断，可能两个都成立、可能都舍、可能留一个；②判别式Δ<0表示无实数解，说明该目标无法达到，不要硬凑答案；③靠墙问题注意墙长限制，路宽注意不能超过场地尺寸；④人数、次数等必须是正整数。 53．（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 54．（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【答案】 （1）长为2，宽为； （2）存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为； （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式， 整理得：， 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为． 55．（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 【详解】（1）解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； (2)不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到； （3）由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 56．（25-26九年级上·广东清远·期中）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B； （2）如图， ； （3）1，3，3，1， 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 57．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【答案】(1)， (2)30千克 (3)当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 与x之间的函数关系式为． 当时，设与x之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得，即， 解得，（不合题意，舍去）． 答：当日该菜品的生产量为30千克． （3）解：设该菜品日销售利润为元． ． ， 当时，有最大值，最大值为1350． 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元． 58．（25-26九年级上·重庆永川·期中）某民宿有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天180元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高15元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，民宿还需要对每个房间支出每天30元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元（x是15的倍数）． (1)填表（无需化简）： 入住的客房数量（间） 每间客房的定价（元） 每间客房的纯收入（元） (2)若该民宿希望每天纯收入为18000元，且能让利于民吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） (3)求该民宿每天纯收入y的最大值以及此时每间客房的定价． 【答案】(1) 填表如下： 入住的客房数量（间） 每间客房的定价（元） 每间客房的纯收入（元） (2)480元 (3)18375元，555元 【难度】0.4 【详解】（1）解：设每间客房的定价提高了x元，则：入住的客房数量为间，每间客房的定价为元，每间客房的纯收入为元 （2）解：每日纯收入为， 令，得方程， 化简得， 解得或， 对应定价分别为元，元， 其中定价480元时入住客房数为间， 定价630元时入住间． 为让利于民、吸引更多游客，应选择较低定价480元，即480元． （3）解：纯收入函数为 此为开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得： 是15的倍数，符合条件 此时定价：，最大纯收入：    ， 答：最大纯收入为18375元，此时每间客房定价为555元． 59．（25-26九年级上·福建漳州·期中）在“制作长方体包装盒”的综合实践课上，老师提供了以下素材和制作方案． 【素材】长为、宽为的长方形纸板，热熔胶． 【制作方案】 方案一：如图所示，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．（图中阴影部分为裁去的余料，下同）      方案二：如图所示，在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来，折成一个无盖的长方体包装盒．    方案三：如图所示，在卡纸的四个角分别减去两个小正方形和两个长方形，再沿虚线折合起来，折成一个有盖的长方体包装盒．    【问题解决】 (1)求方案一制作的无盖长方体包装盒的容积．（忽略纸板的厚度） (2)按方案二制作无盖长方体包装盒，设剪去的小正方形的边长为． （ⅰ）若该包装盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （ⅱ）随着的值按整数值变化，折成的包装盒的容积也随之变化． 小正方形的边长 … … 包装盒的容积 … … 根据表格，若要制作一个容积最大的包装盒，则整数应取何值． (3)按方案三制作有盖长方体包装盒，能否使得长方形底面的长宽比为，若可以，请求出剪去的小正方形的边长的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）当小正方形的边长为时，所得到的包装盒容积最大 (3)按方案三制作有盖长方体包装盒，可以使得长方形底面的长宽比为，减去的小正方形的边长的值为或 【详解】（1）解：包装盒底面 为正方形， 每个小长方形的宽为， 方案一制作的无盖长方体包装盒的容积． （2） 解：（ⅰ）根据题意得， 整理得，即， 解得或（不符合实际意义，故舍去）， 剪去的小正方形的边长为． （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，该包装盒的底面积为， ， 观察表格可知，当小正方形的边长为时，所得到的包装盒容积最大． （3）解：方案三中，该长方体包装盒的底面长，， 若，即，可得： ， 解得； 若，即，可得： ， 解得； 按方案三制作有盖长方体包装盒，可以使得长方形底面的长宽比为，剪去的小正方形的边长的值为或． 60．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． (1)当的面积等于时，求的值； (2)以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①或； ②． 【详解】（1）解：依题得：，，，， ， 当的面积等于时， 即， 解得，， 故或； （2）解：①当时，点在点处，点在点处， 此时， 且根据矩形性质可得， 则此时以为圆心，为半径画，即为以为圆心，为半径画，与线段所在直线相切， 故满足条件； 当时，作交于点， 与线段所在直线相切， ， 在矩形中，， 又， 四边形是矩形， ， 即， 中，， ， 解得，（舍）， 综上，当与线段所在直线相切时，或； ②与线段有两个公共点， ，即，， ，即， 解得或（舍）； 连接， 由图得，当时，与线段才有两个公共点， ， 在矩形中，，， 中，， 即， 又， ， 解得或（舍）． 综上，当与线段有两个公共点时，． $专题02 实际问题与一元二次方程 基础·固本强基 题型1数字问题 题型2 传播问题 题型3 增长率（下降率）问题 题型4 单双循环（握手、比赛）问题 提升·进阶突破 题型5 行程问题（相遇、追及、提速） 题型6 几何图形面积问题 题型7 商品销售利润问题 题型8 工程问题 拔高·压轴破难 题型9 动态几何问题（压轴） 题型10 综合应用与多解讨论（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数字问题（共4小题） 【模型】题干出现“一个两位数，个位数字与十位数字”“个位比十位大几”“两数之积/之和为多少”等。 【步骤】①设十位数字为x（或设个位数字）；②用代数式表示该两位数：十位×10+个位；③根据数字之间的关系（和、积、差）列方程；④解方程，检验数字须为0~9的整数（十位不能为0）。 【易错】①两位数=十位数字×10+个位数字，不能写成两数字相加；②数字必须是0~9的整数，且十位数字不能为0；③“交换位置后的新数”=个位×10+十位，注意顺序。 1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 4．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 题型2 传播问题（共6小题） 【模型】题干中出现“一个人传染给x人”“某种病/新闻/信息扩散”“一轮传染后总人数”等表述，属于传播问题。其本质是“指数型增长”的离散版本：每一次传播，每个已感染者的“感染源”都会再传染给x个新对象。 【步骤】①设每次每人传播给x人；②第一轮新增x人，总人数为 1+x；③第二轮由这(1+x)人都向外传播，新增 x(1+x) 人，总人数为 (1+x)+x(1+x)=(1+x)²；④根据题目给出的两轮后总人数列方程。 其中 b 为两轮（或一段时间）后的总人数，x 为每人每次传播给的人数。 【易错】①“每人传染给x人”与“共有x人”易混淆，基数永远是1（初始感染源）而非0；②若问“三轮后”，应按 (1+x)³递推，不要只算平方；③解得的人数必须为正整数或非负，负值、小数要结合题意检验。 5．（25-26九年级上·福建厦门·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东江门·期中）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了人，列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东广州·期中）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖南常德·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． 9．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1头羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 10．（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 题型3 增长率（下降率）问题（共5小题） 【模型】题干出现“平均每月/每季增长（下降）百分之几”“连续两次增长（降价）”“两年后达到多少”等，属增长率问题。 【步骤】①设初始量为a，平均增长率为x（下降率为负，记作 a(1-x)²）；②经过连续两次变化后为 a(1±x)²；③由“末量=b”列方程。 【易错】①“增长了百分之几”是增长率，为正值；“下降了百分之几”是下降率，列式用 (1-x)，求出的x也是正值；②“增长到b”表示末量为b，“增长了b”表示比原量多b（末量=a+b），二者要分清；③增长率不能为负，解出负值应舍去；④连续n期则指数为n，不要一律平方。 11．（26-27九年级上·湖南·期中）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（     ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 13．（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 题型4 单双循环（握手、比赛）问题（共9小题） 【模型】题干出现“两队比赛一次”“每两人握一次手”“互赠礼物”“每两人通话一次”等。关键区别在“单向”还是“双向”。 【步骤】①判断循环类型：单循环（每两个之间只算一次）用组合数；双循环（主客场，A到B与B到A算两次）用排列数；互赠礼物也是双向。 ②设总数为n（队伍/人数），列方程并求解、检验n为正整数。 【易错】①单循环一定要除以2，因为每两队之间的比赛被重复计了两次；②双循环、互赠不除以2；③“每个队都要与其余各队比赛一场”是单循环，“主客场各赛一场”是双循环；④解得n必须是正整数，小数或负值舍去。 16．（25-26九年级下·黑龙江·期中）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 17．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 18．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 19．（25-26九年级上·山西临汾·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我市计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为__________． 20．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是__________________名． 21．（25-26九年级上·青海西宁·期中）某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为______． 22．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 23．（25-26九年级上·山西晋中·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，为此某校举办相关知识问答竞赛．已知九年级共举办28场（每两个班级之间比赛一场），则该校九年级一共有________个班级． 24．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 提升·进阶突破 题型5 行程问题（相遇、追及、提速）（共6小题） 【模型】题干出现“两地相向而行”“同向追及”“速度提高（降低）多少可提前（推迟）到达”“往返平均速度”等。核心是路程、速度、时间三者关系：路程=速度×时间。 【步骤】①设速度或时间中较易表示的一个量为x；②用含x的代数式表示路程（或时间、速度）；③根据“两段时间（或路程）的相等/相差关系”列方程，通常整理后出现一元二次方程；④解方程并检验速度为正值、时间符合实际。 【易错】①相向相遇用“路程和”，同向追及用“路程差”，方向别混淆；②“提前/推迟到达”指的是时间差，列式是“原时间-新时间=提前量”；③速度必须为正，解出的负值或零舍去；④注意单位统一（km/h 对应小时，m/s 对应秒）。 25．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 27．（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 28．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 29．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 30．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 题型6 几何图形面积问题（共8小题） 【模型】题干涉及长方形、正方形、圆等图形，出现“修一条等宽的小路”“围栏围成花园”“在场地四周留等宽的边框”“动点在边上运动使某图形面积改变”等。 【步骤】①设未知量（如小路宽x）；②用含x的代数式表示所求图形的长、宽或半径；③根据“面积=…/周长=…”列方程；④解方程；⑤检验解是否为正数且符合图形实际（如路宽不能超过场地宽）。 【易错】①面积问题解出的根必须为正数，负根舍去；②路宽、边长等还受场地尺寸限制，如小路宽 x 必须小于场地长、宽，需进一步排除；③表示边长时注意“减2x”（两侧各留一条路）；④动点问题要明确运动时间对应的边长范围（0≤t≤时间上限）。 31．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 32．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 33．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 34．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 35．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为18米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2.5米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长40米，设苗圃的一边长为x米．若苗圃的面积为，求x的值． 36．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 37．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． (1)设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． (2)当x为多少时，鸡舍面积为？ 38．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用米，位置的墙最大可用米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个米宽的通道（出口处不用栅栏），两个场地分别留出一个米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为米，设实验田的长为米． (1)若实验田（矩形）的面积为平方米，求的值； (2)通过计算说明该实验田的面积能否为平方米． 题型7 商品销售利润问题（共6小题） 【模型】题干出现“每件涨价（降价）x元，销售量就减少（增加）若干件”“总利润达到多少”“售价为多少时利润最大”等。 【步骤】①设售价变化量为x（或直接设售价/销量）；②分别表示涨价（降价）后的单件利润和销售量；③利润=单件利润×销售量，列方程；④解方程并检验利润、销量是否为正。 【易错】①单件利润=售价-进价，售价涨则销量减、售价降则销量增，符号别弄反；②“每涨1元销量减少2件”，涨价x元则减少2x件；③解出两个售价时，要检验是否都在可行范围内、销量是否为非负；④问“售价为多少”，应回答售价而非涨价幅度。 39．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 40．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 41．（25-26九年级上·河北沧州·期中）某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每件盈利40元，每天可售出20件．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件．要想平均每天销售这种童装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元？ 42．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降6元，商场平均每天可多售出12件． (1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ 43．（25-26九年级上·福建泉州·期中）自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 44．（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． (1)该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ (2)每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 题型8 工程问题（共3小题） 【模型】题干出现“甲单独做需多少天”“两队合作几天完成”“先由甲做若干天再由乙完成”等。核心关系：工作总量=工作效率×工作时间，通常把总量看作1，则效率=1÷单独完成所需时间。 【步骤】①设某一方单独完成所需时间为x；②用 1/x 表示其工作效率，1/(x+a) 表示另一方的效率；③由“合作完成的工作量之和=1”或“分阶段完成的总量=1”列方程；④解方程并检验时间为正数。 【易错】①工作总量常设为单位“1”，效率是时间的倒数，勿混淆“效率”与“时间”；②两人合作时，各阶段效率相加，不是简单相加时间；③分阶段问题要分清每段谁在做、做了多久；④解得的时间必须为正，负值、零舍去。 45．（23-24九年级上·重庆开州·期中）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 46．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 47．（23-24九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 拔高·压轴破难 题型9 动态几何问题（压轴）（共5小题） 48．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，当运动到点为止． (1)经过几秒钟，？ (2)经过几秒钟，的面积等于？ 49．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 50．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 51．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 52．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 题型10 综合应用与多解讨论（压轴）（共8小题） 【模型】题干同时涉及多个数量关系（如“面积+篱笆+靠墙”），或需对方程的多个根逐一检验取舍（如“路宽不能超过场地宽”“边长为正”“人数为正整数”），或需判断某个目标值能否达到（借助判别式）。这类题综合性强，是期中压轴高频考点。 【步骤】①识别题目包含的多个条件与限制（如墙长、边长上限、人数为整数）；②设未知量，用代数式表示相关量，列方程；③解方程得到两个根；④对每个根按“是否符合实际意义”逐一检验取舍，能舍则舍、能留则留；⑤如需判断“能否达到某目标值”，将目标代入方程后用判别式判断有无实数解。 【易错】①两个根不是“默认舍一个”，要逐一代入实际条件判断，可能两个都成立、可能都舍、可能留一个；②判别式Δ<0表示无实数解，说明该目标无法达到，不要硬凑答案；③靠墙问题注意墙长限制，路宽注意不能超过场地尺寸；④人数、次数等必须是正整数。 53．（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 54．（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 55．（25-26九年级上·山西晋城·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 56．（25-26九年级上·广东清远·期中）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 57．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 58．（25-26九年级上·重庆永川·期中）某民宿有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天180元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高15元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，民宿还需要对每个房间支出每天30元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元（x是15的倍数）． (1)填表（无需化简）： 入住的客房数量（间） 每间客房的定价（元） 每间客房的纯收入（元） (2)若该民宿希望每天纯收入为18000元，且能让利于民吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） (3)求该民宿每天纯收入y的最大值以及此时每间客房的定价． 入住的客房数量（间） 每间客房的定价（元） 每间客房的纯收入（元） 59．（25-26九年级上·福建漳州·期中）在“制作长方体包装盒”的综合实践课上，老师提供了以下素材和制作方案． 【素材】长为、宽为的长方形纸板，热熔胶． 【制作方案】 方案一：如图所示，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．（图中阴影部分为裁去的余料，下同）      方案二：如图所示，在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来，折成一个无盖的长方体包装盒．    方案三：如图所示，在卡纸的四个角分别减去两个小正方形和两个长方形，再沿虚线折合起来，折成一个有盖的长方体包装盒．    【问题解决】 (1)求方案一制作的无盖长方体包装盒的容积．（忽略纸板的厚度） (2)按方案二制作无盖长方体包装盒，设剪去的小正方形的边长为． （ⅰ）若该包装盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （ⅱ）随着的值按整数值变化，折成的包装盒的容积也随之变化． 小正方形的边长 … … 包装盒的容积 … … 根据表格，若要制作一个容积最大的包装盒，则整数应取何值． (3)按方案三制作有盖长方体包装盒，能否使得长方形底面的长宽比为，若可以，请求出剪去的小正方形的边长的值，若不可以，请说明理由． 60．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． (1)当的面积等于时，求的值； (2)以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． $