第三章 函数的概念与性质单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一函数的概念与性质 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（     ） A．1 B． C．4 D． 5．下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 6．已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的解析式是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列选项的两个函数为同一函数的有（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 三、填空题 12．已知一次函数，且的值随值的增大而减小，则的取值范围为________． 13．设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 14．已知函数，则______． 四、解答题 15．已知是上的奇函数，且当时，，求： (1)； (2)时的表达式； (3)的表达式. 16．已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 17．设，当时，对应值的集合为． (1)求的值． (2)若，求该函数的最值． 18．（1）设，，且，求的最小值． （2）已知是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． 19．“这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销．已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件该产品，可获得万元的代加工费，且，已知该工厂代加工20万件该产品时，获得的利润为90万元． (1)求该工厂代加工该产品的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数表达式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一函数的概念与性质 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C B A A A ACD BCD 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】由题意得，解得，故定义域为 2．A 【详解】已知函数，令，则. 3．A 【详解】分析充分性： 若，则函数， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，充分性成立； 分析必要性： 为开口向下的二次函数， 对称轴为直线， 若函数在上单调递减， 则，因此必要性不成立. 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 4．C 【详解】函数是定义在上的偶函数，对任意的都有， 则有. 又函数满足对任意的都有，有. 当时，，故. 5．B 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 6．A 【分析】应用函数单调性定义求解. 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 7．A 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 8．A 【详解】当时，， 当时，，则， 是定义在上的奇函数， ， ，即， 当时，，则， 当时，，则， 综上，在上的解析式是． 9．ACD 【分析】由于对于任意的，都有，采用赋值法求解逐项判断即可得结论. 【详解】对于任意的，都有， 令，得， 因为，所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C正确； ，故D正确． 10．BCD 【分析】根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数. 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； 11．ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 12． 【分析】根据一次函数的性质，随的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可. 【详解】一次函数，且的值随值的增大而减小， ， 解得：. 13． 【详解】由图可知在上，的解集为， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上，的解集为， 所以不等式的解集为. 14． 【分析】令内层表达式求出对应的值，代入已知解析式即可计算． 【详解】令，解得， 将代入得：． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据奇函数性质求解即可； （2）根据奇函数的对称性求解即可； （3）结合（1）（2）直接写出解析式即可. 【详解】（1）解：是上的奇函数，，即. （2）解：时，，， 为奇函数，， ，. （3）解：由（1）（2），得的表达式为 16．(1) ； (2)2或0 (3)图象： 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象． 【详解】（1）由，知. （2）由于， 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍） 综上可得或0 （3）根据分段函数解析式，分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数在区间内的图象如下所示： 17．(1) (2)，． 【详解】（1）由题意知，即，则为其两根， 由根与系数的关系知：，得， ，得． （2）由（1）知：， 因为，所以当时，， 又因为， 所以当时，． 18．（1）；（2） 【分析】（1）将代入目标式，利用基本不等式求最小值，并验证等号成立的条件； （2）利用奇函数，将时的函数值转化到的已知区间求解，并补出时的函数值． 【详解】（1）因为，且，所以 当且仅当，即时取等号， 由得． 所以的最小值为． （2）因为函数是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，所以， 由奇函数的性质得． 因此 19．(1) (2)代加工量为30万件时，该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）根据，可得，进而结合题意求函数解析式； （2）分和两种情况，利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 由题可知时，，解得， 所以. （2）当时，， 所以此时当时，取最大值55； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以此时当时，取最大值为95， 且，所以当代加工量为30万件时， 该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元． 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $