第三章 函数的概念与性质 综合检测卷-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 第三章函数综合检测卷，立足单元复习，通过基础辨析、性质探究及实际应用情境，考查函数定义域、奇偶性、单调性等核心知识，适配高中数学函数单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域（题1）、幂函数性质（题4）、心形湖抽象函数图象（题5）|结合地域质检题，情境化设计（如“天空之心”湖泊抽象）| |多选题|3/18|函数周期性（题9）、“理想函数”新定义（题11）|新定义辨析，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|复合函数定义域（题12）、奇函数图象解不等式（题13）|数形结合，强化直观想象| |解答题|5/77|“保值区间”新定义（题17）、药剂净化水质应用（题19）|实际问题建模，综合考查数学思维与表达|

第三章　综合检测限时120分钟满分150分 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2024山西太原质检)已知函数f(x)=的定义域为A,集合B={x|-1<x<5},则集合A∩B中整数的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2024北京顺义期中)下列各组函数中,表示同一函数的是(　　) A.y=x,y= B.y=·与y= C.y=|x|,y=()2 D.y=1,y=x0 3.(2025四川泸州期中)已知函数f(x)=若f(a)=3,则a=(　　) A.2 B.-4或2 C.0或2 D.-4或0或2 4.(2024湖南长沙期末)“幂函数y=(m2-m-5)xm的图象分布在第一、二象限”是“m=3或m=-2”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2025河南安阳期末)世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定市康定情歌(木格措)景区,被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊呈现出明亮的蓝绿色,水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰,景色优美迷人.图1是这个“心形湖”的轮廓,其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(　　) 　 A.y=|x| B.y=x C.y= D.y= 6.(2024湖南长沙期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(xy)+1=f(x)+f(y),且 f =0,则f(211)=(　　) A.1 B.11 C.12 D.-1 7.(2024广西贺州期末)若定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x),对任意x1>x2>0,都有<,且f(2)=4,则不等式f(x)<2x的解集为(　　) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞) 8.(2025江苏连云港期中)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(1-x)=3,g(x)-f(3-x)=5,y=g(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈[0,1)时,f(x)=x2+2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值为(　　) A.-5 B.-7 C.-9 D.-11 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2025山西太原期中)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+1)是奇函数,且f(-1+x)=f(-1-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2-1,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)=f(x+4) B.f = C.f(x)在[-5,-4]上单调递增 D.f(x+2)是偶函数 10.(2024四川南充期末)已知函数f(x)=x-1,g(x)=.记max{a,b}=则下列关于函数F(x)=max{f(x),g(x)}(x≠0)的说法正确的是(　　) A.当x∈(0,2)时,F(x)=x-1 B.函数F(x)的最小值为-2 C.函数F(x)在(-1,0)上单调递减 D.若关于x的方程F(x)=m恰有两个不相等的实数根,则-2<m<-1或m>1 11.(2024湖南长沙期末)若函数f(x)同时满足:(1)对于定义域内的任意x,有f(x)+f(-x)=0;(2)对于定义域内的任意x1,x2,当x1≠x2时,有<0,则称函数f(x)为“理想函数”.给出的下列四个函数是“理想函数”的是(　　) A.f(x)=-x2 B.f(x)=-x3 C.f(x)=x- D.f(x)= 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(2025江西赣州月考)若函数f(x)的定义域是[2,5],则函数y=的定义域是　　　　.  13.(2024河南商丘期末)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为　　　　.  14.(2025河北石家庄期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数,设函数g(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025吉林长春期末)已知函数f(x)=是R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2) 判断函数f(x)在R上的单调性(不需要过程,只需写出结果); (3)已知不等式f(t2-3t)+f(3-t)≤0,求实数t的取值范围. 16.(15分)(2024湖北仙桃期末)已知幂函数f(x)=(2m2-m-2)(m∈R)为偶函数. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=f(x)-2(a-1)x+1在区间[0,4]上的最大值为9,求实数a的值. 17.(15分)(2024江西抚州期末)对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在[a,b]上是单调函数,②函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域也为[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间. (1)求函数f(x)=-x2+的所有“保值”区间; (2)函数y=的一个“保值”区间为[m,n],当t变化时,求n-m的最大值. 18.(17分)(2025湖南长沙期末)已知函数f(x)对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-. (1)判断f(x)的奇偶性和单调性; (2)设函数g(x)=f(x2-m)-2f(|x|),若方程g(x)=0有4个不同的解,求实数m的取值范围. 19.(17分)(2024湖北武汉期末)某地发生地质灾害,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mg)的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L-1)满足y=mf(x),其中f(x)=当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg·L-1时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg·L-1且不高于10 mg·L-1时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂质量为4 mg,问自来水达到有效净化一共可持续几天? (2)为了使在7天(从投放药剂时算起)之内的自来水均达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　综合检测 1.C　由x2-3x≥0得x≤0或x≥3,所以A={x|x≤0或x≥3},又B={x|-1<x<5}, 所以A∩B={x|-1<x≤0或3≤x<5},故其中整数元素有0,3,4,共3个. 2.A　对于A,y==x与y=x对应关系相同,且定义域均为R,故二者是同一函数; 对于B,y=·的定义域为{x|x≥1},而y=的定义域为{x|x≥1或x≤0},故二者不是同一函数; 对于C,y=|x|的定义域为R,而y=()2的定义域为{x|x≥0},故二者不是同一函数; 对于D,y=x0的定义域为{x|x≠0},而y=1的定义域为R,故二者不是同一函数. 故选A. 3.B　若a≥0,则f(a)=2a-1=3,解得a=2; 若a<0,则f(a)=a2+4a+3=3,解得a=-4或a=0(舍去). 综上所述,a=2或a=-4. 故选B. 4.C　由幂函数y=(m2-m-5)xm知m2-m-5=1,解得m=3或m=-2, 当m=3时,y=x3的图象分布在第一、三象限与原点, 当m=-2时,y=x-2的图象分布在第一、二象限, 故“幂函数y=(m2-m-5)xm的图象分布在第一、二象限”的充要条件是“m=-2”, 故“幂函数y=(m2-m-5)xm的图象分布在第一、二象限”是“m=3或m=-2”的充分不必要条件.故选C. 5.C　对于A,∵y=|x|=≤=2(当且仅当x2=4-x2,即x=±时取等号),∴y=|x|在(-2,2)上的最大值为2,与题图不符,A错误. 对于B,当x∈(-2,0)时,y=x<0,与题图不符,B错误. 对于C,∵y==,∴当x=±1时,ymax=1,易知y=的图象过点(-2,0),(2,0),(0,0).由-x2+2|x|≥0得|x|(|x|-2)≤0,解得-2≤x≤2,即函数的定义域为[-2,2],关于原点对称, 又=,∴y=为定义在[-2,2]上的偶函数,图象关于y轴对称. 当x∈[0,2]时,y==,易知该函数在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减. 综上所述,y=与题图相符,C正确. 对于D,由-x2+2x≥0得0≤x≤2,∴y=不存在x∈(-2,0)部分的图象,D错误. 故选C. 6.C　令x=y=1,则f(1)+1=f(1)+f(1),解得f(1)=1, 令x=2,y=,则f(1)+1=f(2)+f ,解得f(2)=2, 令x=y=2,则f(22)+1=f(2)+f(2),解得f(22)=3, 令x=22,y=2,则f(23)+1=f(22)+f(2),解得f(23)=4, ……, 依次类推可得f(211)=12. 故选C. 7.B　设g(x)=,x≠0,f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,即f(-x)=-f(x), 故g(-x)==g(x),又g(x)的定义域关于原点对称,所以函数g(x)为偶函数, 由题意得当x1>x2>0时,有g(x1)<g(x2),则函数g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又g(x)为偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增, 由f(2)=4,得g(2)==2,则g(-2)=2, f(x)<2x⇔或 解得x>2或-2<x<0,即不等式f(x)<2x的解集为(-2,0)∪(2,+∞). 故选B. 8.C　由f(x)+g(1-x)=3,得g(1-x)=3-f(x)①, 由g(x)-f(3-x)=5,得g(x)=f(3-x)+5②, 由①有g(x)=3-f(1-x),结合②有3-f(1-x)=f(3-x)+5, 所以f(3-x)+f(1-x)=-2,故f(2+x)+f(x)=-2, 因为y=g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(x)=g(2-x)③, 由①有g(2-x)=3-f(x-1),结合②③有f(3-x)+5=3-f(x-1), 所以f(3-x)+f(x-1)=-2,则f(2-x)+f(x)=-2, 由f(2+x)+f(x)=-2知f(3)+f(5)=f(4)+f(6)=-2, 由f(2-x)+f(x)=-2知f(2-0)+f(0)=-2⇒f(2)=-2-f(0)=-4,且f(2-1)+f(1)=2f(1)=-2⇒f(1)=-1. 综上,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=-1-4-2-2=-9.故选C. 名师点睛　根据题设得到f(2+x)+f(x)=-2,f(2-x)+f(x)=-2是关键. 9.BC　因为f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)=-f(-x+1),则f(x)=-f(2-x), 因为f(-1+x)=f(-1-x),所以f(2-x)=f(x-4),所以f(x)=-f(x-4),故f(x)=-f(x+4),A错误; f =-f =-=,故B正确; 根据函数的性质结合x∈[-1,1]时,f(x)=x2-1,作出函数f(x)的大致图象如下: 由图可知f(x)在[-5,-4]上单调递增,C正确, 由于f(x)的图象不关于直线x=2对称,故f(x+2)不是偶函数,D错误.故选BC. 10.BD　令x-1≥,即≥0, 则或 解得x≥2或-1≤x<0, 令x-1<,即<0, 则或 解得0<x<2或x<-1. 综上,F(x)= 作出函数F(x)的图象,如图, 由图知F(x)的最小值为-2,在(-1,0)上单调递增, -2<m<-1或m>1时,F(x)=m恰有两个不相等的实数根. 所以A、C错,B、D对. 故选BD. 11.BD　对于定义域内的任意x,有f(x)+f(-x)=0,则f(x)为奇函数; 对于定义域内的任意x1,x2,当x1≠x2时,有<0,则f(x)为定义域内的减函数. 对于A,f(x)=-x2的定义域为R,且为偶函数,不符合题意; 对于B,f(x)=-x3的定义域为R,且为奇函数,在R上单调递减,符合题意; 对于C,f(x)=x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递增,不符合题意; 对于D,作出f(x)=的图象, 如图所示: 可知该函数在定义域上为奇函数,且单调递减,符合题意.故选BD. 12.答案　(3,4] 解题思路　令t=2x-3,则2≤t≤5,即2≤2x-3≤5,解得≤x≤4, 由x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3, 所以函数y=的定义域为(3,4]. 故答案为(3,4]. 13.答案　(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2) 解题思路　根据奇函数的图象特征,将f(x)在(-∞,0)上的图象补全,如图所示, 由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,则或结合图象解得x<-2或<x<2或-<x<0, 故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2). 14.答案　4 解题思路　f(x)是定义在R上的奇函数, 则f(-x)=-f(x), g(x)===2+, 设h(x)=g(x)-2=,函数h(x)的定义域为R,关于原点对称, h(-x)===-=-h(x),故h(x)为奇函数, 则h(x)max+h(x)min=0,即M-2+m-2=0,所以M+m=4. 故答案为4. 15.解题思路　(1)由函数f(x)=是R上的奇函数, 得f(0)==0,解得a=1,(2分) 此时f(x)=,其定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)===-f(x), 所以f(x)是奇函数.所以a=1.(5分) (2)函数f(x)在R上单调递增.(8分) 理由如下:由(1)知,f(x)==-1,易知函数y=2x+1在R上单调递增,则函数y=在R上单调递减,所以函数f(x)在R上单调递减 (3)由已知及(2),得函数f(x)是R上单调递减的奇函数, f(t2-3t)+f(3-t)≤0⇔f(t2-3t)≤-f(3-t)=f(t-3), 则t2-3t≥t-3,即t2-4t+3≥0,解得t≤1或t≥3, 所以实数t的取值范围是{t|t≤1或t≥3}.(13分) 16.解题思路　(1)由幂函数可知2m2-m-2=1,解得m=-1或m=,(2分) 当m=-1时,f(x)=x2,函数为偶函数,符合题意; 当m=时,f(x)=x7,函数为奇函数,不符合题意, 故f(x)的解析式为f(x)=x2.(6分) (2)g(x)=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1. 函数图象的对称轴为直线x=a-1,图象开口向上,g(0)=1,g(4)=17-8(a-1),(10分) 由题意得在区间[0,4]上,g(x)max=g(4)=17-8(a-1)=9,解得a=2,经检验a=2符合题意, 所以实数a的值为2.(15分) 17.解题思路　(1)函数f(x)=-x2+在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减, 令区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间,则f(x)在[a,b]上单调,即有a<b≤0或0≤a<b, 当a<b≤0时,f(x)在区间[a,b]上单调递增,则即 于是a,b是方程-x2+=x,即x2+4x-13=0的两个不同的非正实根, 显然ab=-13<0,方程两根异号,与a<b≤0矛盾,即a<b≤0不符合题意;(4分) 当0≤a<b时,f(x)在区间[a,b]上单调递减,则即则有 所以函数f(x)的“保值”区间为[1,3].(7分) (2)由题意知t≠0.令g(x)==2+t-,显然函数g(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增, 由[m,n]是函数g(x)的一个“保值”区间,得[m,n]⊆(-∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),且g(x)在[m,n]上单调递增,(9分) 则即m,n是关于x的方程x2-(2+t)x+t2=0的两个同号的不等根, 于是Δ=[-(2+t)]2-4t2>0,解得-<t<2,所以-<t<2且t≠0. 易得(12分) 因此n-m===≤,当且仅当t=时取等号, 所以当t=时,n-m取得最大值.(15分) 18.解题思路　(1)将x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(0)=0, 将y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),可得f(x)+f(-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数.(3分) ∀x1,x2∈R,且x1<x2, 由f(x+y)-f(x)=f(y),即f(x+y)-f(x)=f((x+y)-x)=f(y),可得f(x2)-f(x1)=f(x2-x1), 因为当x>0时,f(x)<0,且x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0, 所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),所以函数f(x)是R上的减函数.(7分) (2)由(1)易知-f(|x|)=f(-|x|), 即-2f(|x|)=2f(-|x|), 所以g(x)=f(x2-m)-2f(|x|)=f(x2-m)+2f(-|x|)=f(x2-m)+f(-|x|)+f(-|x|)=f(x2-2|x|-m),(10分) 令g(x)=0,即f(x2-2|x|-m)=0=f(0), 又因为函数f(x)是R上的减函数,所以x2-2|x|-m=0,即m=x2-2|x|, 令h(x)=x2-2|x|,则h(x)=(15分) 画出直线y=m及函数h(x)的大致图象如图, 由图可得当m∈(-1,0)时,两图象有4个交点,即函数g(x)有4个零点,故实数m的取值范围为(-1,0).(17分) 19.解题思路　(1)当投放的药剂质量为4 mg时, y= 当0<x≤4时,+8≥4显然成立;(3分) 当x>4时,由≥4,得2x+28≥4(x-1), 所以4<x≤16.(5分) 综上,0<x≤16. 所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(7分) (2)由题意知0<x≤7, y=mf(x)= 当0<x≤4时,y=+2m在区间(0,4]上单调递增,则2m<y≤3m;(10分) 当x>4时,y==+, 其在区间(4,7]上单调递减,则≤y<3m. 综上,≤y≤3m.(14分) 为使4≤y≤10恒成立,只要满足≥4且3m≤10,即≤m≤,(16分) 所以应该投放的药剂质量m的最小值为.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $