新定义与创新问题的方法体系（一）数列与计数中的新定义 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列与计数中的新定义问题，涵盖差分数列、进位制、数表与数集等核心考点，按“读定义、算特例、找熟模型”三步逻辑组织知识点，通过考点梳理、方法指导、真题讲解和分层练习，帮助学生构建从定义解读到模型转化的解题框架，突破创新问题难点。 资料以“三步法”为核心教学策略，如差分数列通过逐阶作差判断阶数，进位制数码计数转化为组合数问题，培养学生数学思维与模型观念。设置基础到综合的分层练习，配合例题分步解析，确保学生在有限时间内掌握定义转化技巧，提升抽象与推理能力，为教师提供系统复习路径和精准教学指导。

新定义与创新问题的方法体系（一） 数列与计数中的新定义 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　新定义题的读法 新定义题的共同结构是：先给一个概念或规则，再要求在这个规则下判断、计算或证明。定义本身通常不难，难在读完之后不知道从哪下手。把流程固定成「读定义、算特例、找熟模型」三步，绝大多数题都能找到入口。 读定义要逐字读。凡是「若……则称……」式的一次定义，只要用正向；凡是「……当且仅当……」式的双向定义，两个方向都要用得上。后者常被忽略掉反方向，而命题往往恰好要用那一半。 注意定义里的量词。出现「对任意」时，可以代任何一个满足条件的值；出现「存在」时，只能说明有一个够用，不能当成任意都行。把这两类量词分清楚，证明的方向就不会跑偏。 再看定义是否给出「同时满足两个条件」。「既是加比中项又是减比中项」这类说法，等价于两个相反方向的不等式同时成立，只能取等号 —— 一句话就把定义压成一个等式，这是最常见的一种化简。 第二步是算特例。定义抽象时先代几个具体值，把前若干项或前几种情形列成小表。一来可以验证自己有没有读错，二来规律往往就在表里。新定义压轴题的第一小问常常就是让你算特例，这不是送分，是给后两问铺路。 第三步是找熟悉的模型。差分数列的内核是等差数列，进位制的内核是幂的分解，数表的内核是行列求和，数集的内核是封闭性。认出来之后，就用熟模型的工具去处理，不必再围着定义打转。 要证明「所有元素都在某一侧的同一侧」这种整体性结论，反证法最好用：取集合中的最大数与最小数，它们之差必然比两端到分界点的距离都大，而条件要求这个差仍是集合中某点到分界点的距离，矛盾立刻出现。 例如题目规定「若 称 为加比中项，若 称 为减比中项」。读到「 既是加比中项又是减比中项」，就应立刻写成 ，后面的推导全部建立在这一个等式上。 知识点二　差分数列与 阶等差数列 把数列相邻两项作差，得到的新数列叫原数列的一阶差分数列，记作 。对差分数列再作差就得到二阶差分 ，如此下去得到任意阶差分，并规定 。 如果某个阶数的差分恒等于一个非零常数 ，就称原数列是那一阶的等差数列。注意「非零」二字：差分恒为 0 说明再往下的差分也全是 0，这样的数列会被算成更低阶的等差数列，所以要排除。 判定一个具体数列是几阶等差数列，做法就是逐阶作差，一直算到出现常数为止。作了 次才出现常数，它就是 阶等差数列；同时这一层的公差还会反过来告诉你原数列的下一项是多少。 常见数列与阶数的对应关系要记牢：常数列是 0 阶，一次式 是一阶，二次式 是二阶，三次式是三阶。一般地， 阶等差数列的通项是 的 次多项式，反之亦然。 这条对应关系给出了「设而不求」的做法：判断出阶数后，直接把通项设成相应次数的多项式，再把题目给的几项代进去解方程组。这比逐项作差更适合处理项数多、给出的是抽象条件的情形。 差分与累加互为逆运算。由 累加可得 ，这是「已知差分求原数列」的唯一工具，很多证明题最后都要回到这一步。 条件写成「隔项和」的形式时要会挑 。若题设对一切 都有 ，先代 就得到 ，这已经说明差分是等差数列；剩下未定的常数再用一般情形比较系数定出。 例如数列 ：一阶差分为 ，二阶差分为 ，三阶差分为 。出现常数说明它是三阶等差数列，再把二阶差分延拓一项 ，回推得下一项为 。 知识点三　进位制与数码计数 把一个正整数写成 进制，就是把它表示成 的形式，其中各位数码满足 且最高位数码不为 0。这样的表示是唯一的，这是所有数码计数题的立足点。 在十进制里熟悉的「位数、最高位、各位数字之和」，到了 进制里都是同样的意思。遇到「数 的表示式中 1 的个数」这类新定义，只要把它翻译成「该数的 进制展开中系数为 1 的项有多少个」，就没有新东西了。 两条最常用的变形规则。第一，把一个数左移 位（即乘 ），它的展开式只是在末尾添了 个 0，数码和不变。第二，若再加上一个小于 的数，两段数码位互不重叠，数码和直接相加。 由这两条可以口算很多式子。例如二进制中 是 左移 4 位，再添上 时两段不重叠，所以 ；而 里 的第 2 位与 的最低位重叠，要进位，结果就不再是简单相加。 计数类的问题最后都归结为组合数。例如「二进制中数码和为 3」的数，就是在确定的位数里选出 3 位放 1，个数为 ，其余位置放 0，方案数一目了然。 还有一种「平衡进位制」：允许数码取 、、（记 为 ）。例如 。平衡三进制的表示也是唯一的，判断某个数码出现了几次只需把这个展开写出来。 位 进制的最大数，各位数码都取 ，所以它等于 。比较两个这样的数的大小，只要比较各自的底数与位数相乘后的大小，必要时化成同底数或取对数来比。 例如「 进制中数码出现的次数」这类构造题，先猜出使次数最大的数码或位置，再用组合计数验证猜测；计数验证通过，结论就成立了。 知识点四　数表与数集的性质 数表问题要「先整体、后局部」。第一步算所有数的总和，它常常给出一个把各行、各列绑在一起的等式；第二步再去看单个行和、列和分别能取到多大、多小。 总和为 0 是最常见的情形。这时两行和互为相反数，它们的绝对值必然相等，于是「行和」这一路只剩下一个数要看，讨论量立刻减半。同理，若表中有 行，各行和之和为 0，其中必有一行不小于 0、一行不大于 0。 每列只有 个数、而每个数的绝对值不超过 1 时，列和的取值范围就被卡住了：它的绝对值不超过 。把这一点用到正列与负列上，就能得到「正的列和之和不超过 （负列个数）」这样的估计。 题目要求「若干个数中的最小者尽量大」，就把这件事翻译成两个不等式：记这个最小值为 ，则每一个相关的量都不小于 ，而它们的总和又有上界。一上一下夹一次， 的上界就出来了。 找上界时别忘了用「个数是整数」这条隐藏条件。例如总列数为奇数时，正列个数与负列个数必然不相等，较大的那边至少比一半多一个，这个「多一个」往往正是答案里分母的来源。 数集题的两件武器是反证法与构造法。反证法用来排除「集合里的数分居某点两侧」这种情形；构造法用来证明某个上界确实能取到，两者缺一不可 ——只给上界不给构造，结论是不完整的。 「差封闭」集合有一种很整齐的结构：若集合中的任意两数之差（取绝对值）仍在集合中，设 为集合中最小的正数，则反复作差可得集合中每个数都能被 整除，于是集合只能是 这样一组等差的数。 例如数表题求「两行和与各列和的最小值」的最大值时，先由行的约束得 ，再借「 为奇数」把 顶到 ，上界与构造两边一对就得到答案。 二、方法突破 方法一　数列与计数中的新定义 这一册只做一类题：题目先给一个新定义，再让你按定义判断或计算。所谓「新」只是包装 —— 差分数列、进位制、数表、数集，剥掉外壳都是等差数列、二进制、组合计数这些熟面孔。所以解题流程固定为三步：读定义、算特例、找熟模型。 ★ 读定义要逐字读，尤其是「当且仅当」式的双向定义，反过来那一半最容易漏。出现「既是……又是……」时，两条不等式同时成立，往往直接压成等号；出现「对任意」「存在」时，先想清楚哪个量可以自由取、哪个量被约束住。 ★ 算特例是最省力的排查手段。定义抽象时先代几个具体值，把前若干项或前几种情形列成小表，规律常常一眼可见；这一步还能顺手验证自己有没有读错定义。 ★ 差分数列记住两条。逐阶作差到出现常数为止，作了几次就是几阶等差数列，下一项也就顺势得到；反过来， 阶等差数列的通项是 的 次多项式，所以可以先设成多项式，再用条件比较系数定出各个待定常数。 ★ 条件写成「隔项和」这种对称形式时，先取最简单的 。这一步通常就把递推式拿下来了（例如 ），剩下没定住的常数再用一般情形回代求解，比一上来就硬解快得多。 ★ 进位制里数码计数只需掌握两条：把一个数左移 位相当于乘 ，它的数码和不变；再加上一个不超过 的数时，两段数码互不重叠，数码和直接相加。记住这一点， 这类式子就能口算。 ★ 数表与数集要先「整体后局部」：先看所有数的和给了什么约束（常使两行和互为相反数），再去看单行单列的上下界。证明「所有元素同侧」用反证法取最大最小最快；求集合的结构则用归纳法，或者把条件改写成「对作差封闭」再看最小正数能整除谁。 ★ 做完自查：定义中的条件都用上了吗（漏一条结论就错）？「对任意」的量词有没有当成「存在」用？求出的结论回代原定义验证过了吗？ 例题 例 1-1 【解答】对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列.（1）已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及（2）已知数列满足，对，且，恒成立.ⅰ求证：数列为二阶等差数列;ⅱ令，求证：数列的前n项和 【解析】 （1）把相邻两项作差： 的一阶差分为 ； 再作差得二阶差分 ；再作差得三阶差分 。 三阶差分是常数且不为 0，所以 ，且 是公差为 1 的等差数列。 于是 的下一项为 ，所以 。 （2）（ⅰ）在题设中取 ，得 ， 即 ，整理得 。 所以 是等差数列，公差为 4， 于是 是常数且不为 0，数列 是二阶等差数列。 （ⅱ）由 累加得 ，其中 ， 即 。 把它代入原式（对一切 成立）并比较 的系数，得 ， 它对一切 成立，所以 ，即 。 于是 。 因为 ，所以 ，从而 。 记 ，则 ， 两式相减得 ， 所以 ，从而 。 第 1 步　先算到差分为止 ◈ 逐阶作差是最省事的读法：一口气算到出现常数为止， 与下一项同时到手。 第 2 步　只取 吃下一半 ◈ 条件对一切 成立，先取最简单的 得到递推 ，这就已经是「二阶等差」了。 第 3 步　留给一般 的只有一个待定常数 ◈ 递推解出来只剩 未定，把它代回原式比较系数，一步定出 。 答　(1) ，；(2) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 例 1-2 【解答】设是由个实数组成的行列的数表，其中每个数的绝对值均不大于1，且所有数的和为0．记为的第行各数之和，为的第列各数之和，，并记为，中的最小值． 1 1 0 -1 表1 1 1 表2（1）设数表如表1所示，求的值；（2）设数表如表2所示，求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的2行列数表，求的最大值． 【解析】 （1）表 1 的两行和分别为 与 ，绝对值都是 ； 三列和分别为 、、，绝对值依次为 、、。 取这些数中的最小者，得 。 （2）表 2 中所有数的和为 0，即 ，所以 。 两行和分别为 与 ，它俩的绝对值相等，都是 ； 三列和分别为 、、。 下面说明 。若 ，结论显然； 若 ，则 ，于是 ，、 中至少有一个不超过 0， 不妨设 ，则 ，仍有 。 再说明 1 能取到：取 、，此时两行和为 、，三列和为 、、， 。所以 的最大值为 1。 （3）记 。把 的第 列记为 ，列和 ， 两行和分别为 、。由总和为 0 得 且 。 设 ，列和为正的列有 个、为负的有 个，。 记正列之和为 ，则负列之和为 。 每列的列和都不超过 2（每列两个数，各不超过 1），所以 ； 又正列和不小于 、负列和的绝对值也不小于 ，所以 。 不妨设 （否则把表中每个数都换成它的相反数）。 对正列有 （因为 ），对负列有 ， 所以 ，从而 。 于是 ，即 。 因为 为奇数，所以 ，，于是 。 下面构造说明这个上界能取到。取 列，每列的列和都是 ，并让 ； 再取 列，每列的列和都是 ，其中 ，并让 。 由 可验算 ，所以 ； 两类列的数分别是 与 ，都落在 内。 此时 ，，， 于是两行和的绝对值与各列和的绝对值中的最小值都是 ，即 。 所以 的最大值为 。 第 1 步　两行和一定是对角线 ◈ 总和为 0 直接把两行和绑成相反数，它们的绝对值恒相等 —— 于是 只需看列和那一半。 第 2 步　把「最小者最大」翻成两个不等式 ◈ 记正列之和为 ，由每列两个数都不超过 1 得 ，由每列和都不小于 得 ，一上一下夹出 的上界。 第 3 步　奇数列表长让 ◈ 是奇数，所以两类列的个数必然不等，，这正是 的来源。 答　(1) ；(2) ；(3) 例 1-3 【解答】给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得．（1）若，，且，求；（2）证明：对于任意，都有；（3）若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 【解析】 （1） 有三个元素，所以 且 。 取 、，需要存在 使 。 若 ，则 或 。由 ， 只能是 ，即 。把 逐对验算： 、、，都符合条件。 所以 。 （2）反设存在 、 使 ， 即 中既有比 大的数、也有比 小的数。 取 为 中的最大数、 为最小数，则 ，它比 大，也比 大。 由条件，存在 使 ，于是 ，与 是最大数矛盾； 或 ，与 是最小数矛盾。 所以对任意 、 都有 。 （3）由（2）， 中所有元素都在 的同一侧。因为 ， 所以 时所有元素都不小于 ， 时所有元素都不大于 。 当 时， 是最小数。对 取 、， 条件给出 ，即 。 又 ，所以 。 取 ：，而 ，只能 。 设 （），则 ， 再由 得 。由归纳法 ， 所有元素之和为 。 当 时， 是最小数、 是最大数。记 ， 则 ， 最大，且 。 于是条件变成：任意两个 的差的绝对值仍是某个 ，即集合 对「作差取绝对值」封闭。 设 为 中最小的正数。对任意 ，由封闭性 、、 只要仍为正就还在 中， 反复减下去最终得到 除以 的余数（或 0），而它小于最小的正数 ，只能是 0， 所以 中每个数都是 的倍数。 又若 ，则 （或为 0），所以 直到最大值都在 中， 结合 得 ，其中 。 于是 ， 所以 。 综上， 时和为 ； 时和为 。 第 1 步　拿「最大、最小」这一对开刀 ◈ 要证所有元素同侧，就用反证：跨过 的最大最小之差必然比两端到 的距离都大，条件要求这个差仍是某点到 的距离，一下就顶出矛盾。 第 2 步　 时归纳出等差数列 ◈ 是最小数，把 与 比较即可逐步压出 。 第 3 步　 时换元成「差封闭集」 ◈ 令 ，条件变成 对作差取绝对值封闭；最小的正数 整除所有元素，于是 只能是 。 答　(1) ；(2) 证明见解析；(3) 时为 ， 时为 例 1-4 【解答】现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．（1）若是与的等比中项，求；（2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．（i）求证：是和的减比中项；（ii）当时，求证：． 【解析】 （1） 既是 与 的加比中项、又是减比中项， 说明 同时成立，即 。 由 依次得 、、。 由 是 与 的等比中项得 ，即 ， 所以 ，由 得 。 （2）由 得 ， 结合 累乘得 ，所以 。 同理，由 得 ， 记 ，则 ，累乘得 ， 即 。 （ⅰ）要证 是 与 的减比中项，只需证 ， 即 ，这正是上面得到的不等式。 （ⅱ）记 。由 与 得 ，所以 单调不减， 且 ，故 。 于是 。 因为 ，所以 ， 从而 。 第 1 步　「加比又是减比」就是取等号 ◈ 同时满足 与 ，只能 —— 一句话把两个定义合成一个等式。 第 2 步　两边都化成比值递推 ◈ 取等号得 ， 取不等号得 ，两条都累乘成幂次。 第 3 步　把 的单调性用起来 ◈ 且单调不减，于是 ，剩下就是等比数列求和放缩。 答　(1) ；(2) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 练习 1-1. 【单选】对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则 = （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析　答：C ， 写成二进制是 ，其中等于 1 的 有 6 个， 所以 ，选 C。 1-2. 【单选】设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）. A. (10)=2. B. (16n+5)=ω(4n+3). C. (8n+5)=ω(4n+5). D. 若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 解析　答：C 就是 的二进制表示中数码 1 的个数。 A：，，A 正确。 B： 相当于把 的二进制左移 4 位、再添上 ，数码和比 多 2； 而 相当于把 左移 2 位、再添上 ，数码和也比 多 2，所以相等，B 正确。 C： 是把 左移 3 位再添上 ，数码和为 ； 而 ，数码和为 。 取 ： 即 的数码和为 3， 即 的数码和为 2， 两者不相等，C 错误。 D： 说明 的二进制表示至多 8 位， 的个数为 ，D 正确。 所以错误的结论是 C。 1-3. 【多选】对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：ABC A：， 为 0 的个数是 2，所以 ，A 正确。 B：，中间 项的系数都是 0， 所以 ，B 正确。 C：，相当于把 的表示式每位左移 2 位、末两位补 0， 所以 ，C 正确。 D： 中 ，占据第 0、1 位，而 只占第 2 位及以上，两者不重叠， 所以 ，不等于 ，D 错误。 所以正确的结论是 A、B、C。 1-4. 【多选】我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，，若把位进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：ACD 位 进制的最大数，各位数字都取 ，所以 。 A：，A 正确。 B：，，两者相等，B 错误。 C：，。 因为 时 ，所以前者大于后者，C 正确。 D：，。 记 ，只需比较 与 ，即比较 与 。 由二项式定理，， 所以 ，D 正确。 所以正确的是 A、C、D。 1-5. 【填空】已知，则的最大公约数为__________. 解析　答： 是 12 个 9 组成的数，即 。 由 得 。 是 8 个 6 组成的数，即 ， 代入 得 。 下面说明 与 互质。，而 是奇数； 又 ，所以 ， 即 不整除 。于是 ， 从而 、 的最大公约数为 。 1-6. 【多选】已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对于任意奇数 D. 对于任意整数 解析　答：AC ， 它的十进制表示从低位到高位依次是 ，最高位是 1， 所以 与 一一对应。 当这 个数中恰有 个 6 时，先从 个位置中选 个放 6， 其余 个位置各可取除 6 以外的 9 个数字， 所以 。 A： 时 ，A 正确。 B：。 取 、 得 ，即 ，B 错误。 C：奇数 时，把 取奇数的那些项加起来，得 ， 这里 只遍历奇数。因为 ，所以它小于 ，C 正确。 D：由 得 ， 不等于 ，D 错误。 所以正确的有 A、C。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新定义与创新问题的方法体系（一） 数列与计数中的新定义 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　新定义题的读法 新定义题的共同结构是：先给一个概念或规则，再要求在这个规则下判断、计算或证明。定义本身通常不难，难在读完之后不知道从哪下手。把流程固定成「读定义、算特例、找熟模型」三步，绝大多数题都能找到入口。 读定义要逐字读。凡是「若……则称……」式的一次定义，只要用正向；凡是「……当且仅当……」式的双向定义，两个方向都要用得上。后者常被忽略掉反方向，而命题往往恰好要用那一半。 注意定义里的量词。出现「对任意」时，可以代任何一个满足条件的值；出现「存在」时，只能说明有一个够用，不能当成任意都行。把这两类量词分清楚，证明的方向就不会跑偏。 再看定义是否给出「同时满足两个条件」。「既是加比中项又是减比中项」这类说法，等价于两个相反方向的不等式同时成立，只能取等号 —— 一句话就把定义压成一个等式，这是最常见的一种化简。 第二步是算特例。定义抽象时先代几个具体值，把前若干项或前几种情形列成小表。一来可以验证自己有没有读错，二来规律往往就在表里。新定义压轴题的第一小问常常就是让你算特例，这不是送分，是给后两问铺路。 第三步是找熟悉的模型。差分数列的内核是等差数列，进位制的内核是幂的分解，数表的内核是行列求和，数集的内核是封闭性。认出来之后，就用熟模型的工具去处理，不必再围着定义打转。 要证明「所有元素都在某一侧的同一侧」这种整体性结论，反证法最好用：取集合中的最大数与最小数，它们之差必然比两端到分界点的距离都大，而条件要求这个差仍是集合中某点到分界点的距离，矛盾立刻出现。 例如题目规定「若 称 为加比中项，若 称 为减比中项」。读到「 既是加比中项又是减比中项」，就应立刻写成 ，后面的推导全部建立在这一个等式上。 知识点二　差分数列与 阶等差数列 把数列相邻两项作差，得到的新数列叫原数列的一阶差分数列，记作 。对差分数列再作差就得到二阶差分 ，如此下去得到任意阶差分，并规定 。 如果某个阶数的差分恒等于一个非零常数 ，就称原数列是那一阶的等差数列。注意「非零」二字：差分恒为 0 说明再往下的差分也全是 0，这样的数列会被算成更低阶的等差数列，所以要排除。 判定一个具体数列是几阶等差数列，做法就是逐阶作差，一直算到出现常数为止。作了 次才出现常数，它就是 阶等差数列；同时这一层的公差还会反过来告诉你原数列的下一项是多少。 常见数列与阶数的对应关系要记牢：常数列是 0 阶，一次式 是一阶，二次式 是二阶，三次式是三阶。一般地， 阶等差数列的通项是 的 次多项式，反之亦然。 这条对应关系给出了「设而不求」的做法：判断出阶数后，直接把通项设成相应次数的多项式，再把题目给的几项代进去解方程组。这比逐项作差更适合处理项数多、给出的是抽象条件的情形。 差分与累加互为逆运算。由 累加可得 ，这是「已知差分求原数列」的唯一工具，很多证明题最后都要回到这一步。 条件写成「隔项和」的形式时要会挑 。若题设对一切 都有 ，先代 就得到 ，这已经说明差分是等差数列；剩下未定的常数再用一般情形比较系数定出。 例如数列 ：一阶差分为 ，二阶差分为 ，三阶差分为 。出现常数说明它是三阶等差数列，再把二阶差分延拓一项 ，回推得下一项为 。 知识点三　进位制与数码计数 把一个正整数写成 进制，就是把它表示成 的形式，其中各位数码满足 且最高位数码不为 0。这样的表示是唯一的，这是所有数码计数题的立足点。 在十进制里熟悉的「位数、最高位、各位数字之和」，到了 进制里都是同样的意思。遇到「数 的表示式中 1 的个数」这类新定义，只要把它翻译成「该数的 进制展开中系数为 1 的项有多少个」，就没有新东西了。 两条最常用的变形规则。第一，把一个数左移 位（即乘 ），它的展开式只是在末尾添了 个 0，数码和不变。第二，若再加上一个小于 的数，两段数码位互不重叠，数码和直接相加。 由这两条可以口算很多式子。例如二进制中 是 左移 4 位，再添上 时两段不重叠，所以 ；而 里 的第 2 位与 的最低位重叠，要进位，结果就不再是简单相加。 计数类的问题最后都归结为组合数。例如「二进制中数码和为 3」的数，就是在确定的位数里选出 3 位放 1，个数为 ，其余位置放 0，方案数一目了然。 还有一种「平衡进位制」：允许数码取 、、（记 为 ）。例如 。平衡三进制的表示也是唯一的，判断某个数码出现了几次只需把这个展开写出来。 位 进制的最大数，各位数码都取 ，所以它等于 。比较两个这样的数的大小，只要比较各自的底数与位数相乘后的大小，必要时化成同底数或取对数来比。 例如「 进制中数码出现的次数」这类构造题，先猜出使次数最大的数码或位置，再用组合计数验证猜测；计数验证通过，结论就成立了。 知识点四　数表与数集的性质 数表问题要「先整体、后局部」。第一步算所有数的总和，它常常给出一个把各行、各列绑在一起的等式；第二步再去看单个行和、列和分别能取到多大、多小。 总和为 0 是最常见的情形。这时两行和互为相反数，它们的绝对值必然相等，于是「行和」这一路只剩下一个数要看，讨论量立刻减半。同理，若表中有 行，各行和之和为 0，其中必有一行不小于 0、一行不大于 0。 每列只有 个数、而每个数的绝对值不超过 1 时，列和的取值范围就被卡住了：它的绝对值不超过 。把这一点用到正列与负列上，就能得到「正的列和之和不超过 （负列个数）」这样的估计。 题目要求「若干个数中的最小者尽量大」，就把这件事翻译成两个不等式：记这个最小值为 ，则每一个相关的量都不小于 ，而它们的总和又有上界。一上一下夹一次， 的上界就出来了。 找上界时别忘了用「个数是整数」这条隐藏条件。例如总列数为奇数时，正列个数与负列个数必然不相等，较大的那边至少比一半多一个，这个「多一个」往往正是答案里分母的来源。 数集题的两件武器是反证法与构造法。反证法用来排除「集合里的数分居某点两侧」这种情形；构造法用来证明某个上界确实能取到，两者缺一不可 ——只给上界不给构造，结论是不完整的。 「差封闭」集合有一种很整齐的结构：若集合中的任意两数之差（取绝对值）仍在集合中，设 为集合中最小的正数，则反复作差可得集合中每个数都能被 整除，于是集合只能是 这样一组等差的数。 例如数表题求「两行和与各列和的最小值」的最大值时，先由行的约束得 ，再借「 为奇数」把 顶到 ，上界与构造两边一对就得到答案。 二、方法突破 方法一　数列与计数中的新定义 这一册只做一类题：题目先给一个新定义，再让你按定义判断或计算。所谓「新」只是包装 —— 差分数列、进位制、数表、数集，剥掉外壳都是等差数列、二进制、组合计数这些熟面孔。所以解题流程固定为三步：读定义、算特例、找熟模型。 ★ 读定义要逐字读，尤其是「当且仅当」式的双向定义，反过来那一半最容易漏。出现「既是……又是……」时，两条不等式同时成立，往往直接压成等号；出现「对任意」「存在」时，先想清楚哪个量可以自由取、哪个量被约束住。 ★ 算特例是最省力的排查手段。定义抽象时先代几个具体值，把前若干项或前几种情形列成小表，规律常常一眼可见；这一步还能顺手验证自己有没有读错定义。 ★ 差分数列记住两条。逐阶作差到出现常数为止，作了几次就是几阶等差数列，下一项也就顺势得到；反过来， 阶等差数列的通项是 的 次多项式，所以可以先设成多项式，再用条件比较系数定出各个待定常数。 ★ 条件写成「隔项和」这种对称形式时，先取最简单的 。这一步通常就把递推式拿下来了（例如 ），剩下没定住的常数再用一般情形回代求解，比一上来就硬解快得多。 ★ 进位制里数码计数只需掌握两条：把一个数左移 位相当于乘 ，它的数码和不变；再加上一个不超过 的数时，两段数码互不重叠，数码和直接相加。记住这一点， 这类式子就能口算。 ★ 数表与数集要先「整体后局部」：先看所有数的和给了什么约束（常使两行和互为相反数），再去看单行单列的上下界。证明「所有元素同侧」用反证法取最大最小最快；求集合的结构则用归纳法，或者把条件改写成「对作差封闭」再看最小正数能整除谁。 ★ 做完自查：定义中的条件都用上了吗（漏一条结论就错）？「对任意」的量词有没有当成「存在」用？求出的结论回代原定义验证过了吗？ 例题 例 1-1 【解答】对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列.（1）已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及（2）已知数列满足，对，且，恒成立.ⅰ求证：数列为二阶等差数列;ⅱ令，求证：数列的前n项和 【解析】 第 1 步　先算到差分为止 ◈ 逐阶作差是最省事的读法：一口气算到出现常数为止， 与下一项同时到手。 第 2 步　只取 吃下一半 ◈ 条件对一切 成立，先取最简单的 得到递推 ，这就已经是「二阶等差」了。 第 3 步　留给一般 的只有一个待定常数 ◈ 递推解出来只剩 未定，把它代回原式比较系数，一步定出 。 答　(1) ，；(2) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 例 1-2 【解答】设是由个实数组成的行列的数表，其中每个数的绝对值均不大于1，且所有数的和为0．记为的第行各数之和，为的第列各数之和，，并记为，中的最小值． 1 1 0 -1 表1 1 1 表2（1）设数表如表1所示，求的值；（2）设数表如表2所示，求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的2行列数表，求的最大值． 【解析】 第 1 步　两行和一定是对角线 ◈ 总和为 0 直接把两行和绑成相反数，它们的绝对值恒相等 —— 于是 只需看列和那一半。 第 2 步　把「最小者最大」翻成两个不等式 ◈ 记正列之和为 ，由每列两个数都不超过 1 得 ，由每列和都不小于 得 ，一上一下夹出 的上界。 第 3 步　奇数列表长让 ◈ 是奇数，所以两类列的个数必然不等，，这正是 的来源。 答　(1) ；(2) ；(3) 例 1-3 【解答】给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得．（1）若，，且，求；（2）证明：对于任意，都有；（3）若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 【解析】 第 1 步　拿「最大、最小」这一对开刀 ◈ 要证所有元素同侧，就用反证：跨过 的最大最小之差必然比两端到 的距离都大，条件要求这个差仍是某点到 的距离，一下就顶出矛盾。 第 2 步　 时归纳出等差数列 ◈ 是最小数，把 与 比较即可逐步压出 。 第 3 步　 时换元成「差封闭集」 ◈ 令 ，条件变成 对作差取绝对值封闭；最小的正数 整除所有元素，于是 只能是 。 答　(1) ；(2) 证明见解析；(3) 时为 ， 时为 例 1-4 【解答】现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．（1）若是与的等比中项，求；（2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．（i）求证：是和的减比中项；（ii）当时，求证：． 【解析】 第 1 步　「加比又是减比」就是取等号 ◈ 同时满足 与 ，只能 —— 一句话把两个定义合成一个等式。 第 2 步　两边都化成比值递推 ◈ 取等号得 ， 取不等号得 ，两条都累乘成幂次。 第 3 步　把 的单调性用起来 ◈ 且单调不减，于是 ，剩下就是等比数列求和放缩。 答　(1) ；(2) （ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 练习 1-1. 【单选】对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则 = （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 1-2. 【单选】设正整数 其中，记，则下列说法错误的是（ ）. A. (10)=2. B. (16n+5)=ω(4n+3). C. (8n+5)=ω(4n+5). D. 若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个. 1-3. 【多选】对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 1-4. 【多选】我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，，若把位进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 1-5. 【填空】已知，则的最大公约数为__________. 1-6. 【多选】已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对于任意奇数 D. 对于任意整数 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $