计数原理与二项式 专题 第1讲 二项式定理讲义-2027届高三数学一轮复习

二项式定理 计数原理 · 专题篇 通项与指定项 求展开式中的某一项，只有一个工具 —— 通项公式。把第 项写成 ，再把两个底数都整理成同一个字母的幂，指数就变成一个关于 的一次式。令它等于目标指数、解出 、回代算系数 —— 整个动作就这三步。 第一步最容易错的是指数。底数里出现根式或分式时，先化成幂：、、。幂相乘是指数相加；放在分子上取正、放在分母上取负 ——符号弄丢，后面解出来的 一定是错的。 第二步要盯住「项号与 的错位」。第 项对应的是 ，不是 。这一步差一个，答案就整档偏掉；正向求某一项时错得明显，反向题（已知某一项求参数）里错得更隐蔽。 第三步的系数是三部分相乘：组合数、两个底数各自取幂。组合数只与 、 有关；底数里带的数字要按次数取幂，负号按 的奇偶定 —— 写成 比逐次判断稳妥得多。 解出 之后先看它落在哪里。只有 的整数才对应展开式里真实存在的一项；解出负数、解出比 大的数、解出分数，都说明这个幂次在展开式里根本没有出现。这一步花不了几秒钟，却能挡住一整类白算。 最后分清两个容易混的量。「二项式系数」是 ，只由 和项号决定；「项的系数」还要乘上底数里的数字幂。题目问哪一个，答案就差一个倍数。逆向题（已知常数项、求底数中的字母）无非是把上面五步倒过来走，先定 再解方程。 例1（填空·★★★☆☆） 的展开式中的常数项为_______． 【切入点】求「展开式中的常数项」，只有一条路：写出通项 ，令 的指数等于 ，解出 再回代。 【关键】 的通项为 。令 得 ，所以常数项为 ，故填 。 【易错】三个地方要各归各位。一是通项里的负号跟着 走，写成 ，不能写成 。二是系数 是从 里提出来的，别忘了乘。三是令指数为零时， 的指数是 减 （ 个 、又除了 个 ），写成 是这一档最常见的错。 【答案】 变式1-1（填空·★★★☆☆） 二项式的展开式中，的系数为________. 【切入点】这题 很小，底数里又带着数字系数 与 。通项里的数字要一并取幂，不能只算组合数。 【关键】通项 。令 得 ，所以 的系数为 ，故填 。 【易错】一是 里的 要取 次幂，写成 就少了一个因子。二是 的指数是 ，不是 。三是这题问的是「 的系数」而不是「二项式系数」——后者是 ，与底数里的 、 都无关，两者在这题里数值完全不同。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则 = （ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【切入点】题干只说「第 项与第 项的二项式系数相等」，问的是二项式系数而不是项的系数 ——所以底数 里的 根本不用管。 【关键】 的第 项的二项式系数是 。第 项对应 ，第 项对应 ，于是 。由组合数的对称性 得 ，即 。故选 C。 【易错】一是「第 项」对应 即 。写成 会得到 —— 那正好是选项 A，是本题专门设的陷阱。二是要分清「二项式系数 」与「项的系数」：后者还要乘 ，题目问的是前者。三是 要用得对，两边都是「从 个里取」，所以下标相加等于 。 【答案】C 例2（填空·★★★☆☆） 在的展开式中。的系数为______． 【切入点】求「 的系数」，仍然是写通项定 。区别在于两个底数都带着分数指数（ 与 ），要先把它们统一写成 的幂再算指数。 【关键】、，所以通项 。令 ，即 ，解得 。所以 的系数为 ，故填 。 【易错】一是把 与 换成幂之后，两个指数是相加： 再加 ，不是相乘。二是解 时两边先乘 再移项，不要在分数上直接移。三是 必须是 到 的整数 ——解出非整数就说明该次幂在展开式里不存在。 【答案】 变式2-1（填空·★★★☆☆） 在的展开式中，项的系数为_______. 【切入点】与例题同一套路，只是目标的指数不再是 ，而是 —— 解方程时移项要更细心。 【关键】通项 。令 ，两边乘 得 ，所以 。系数为 ，故填 。 【易错】一是目标指数为负时，方程写成 后先把两边乘 ，直接移项容易把 算成 之外的值。二是系数里 与 要分别算，别提前把符号并进去。三是 这一步要写出来，否则指数容易看错。 【答案】 例3（填空·★★★☆☆） 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【切入点】还是求常数项，底数换成了 与 —— 后者的指数是 ，先把这一步算准，后面就常规了。 【关键】，于是通项 。令 得 ，常数项为 ，故填 。 【易错】一是 的指数：分母是 ，整体是 ；写成 会解出 这种越界的结果。二是 只是算得快一点，下标别写反。三是负号： 是偶数，，结果为正。 【答案】 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知二项式的展开式中的常数项为，则实数 = ______． 【切入点】这是逆向题：常数项已知，求底数里的参数 。做法与正向完全一样 —— 先写通项、定 ，再把已知的常数项代进去解方程。 【关键】通项 。令 得 。常数项为 。由 得 ，所以 ，故填 。 【易错】一是 要算准 ——也可以写成 逐项约。二是符号： 是奇数， 不能丢，丢了会解出 。三是 在实数范围内只有 一个解，因为奇次幂是单调的 —— 这一点要写出来，否则会像偶次方那样去讨论正负两支。 【答案】 两个因式相乘与多项式的展开 两个因式相乘时，不能只盯着带次方的那一个。 的展开式里，每一项都是「从 里取一部分、从 里取一部分」乘出来的。所以要先列全「 里能取到哪几种」，再对每一种去 里找配得上的那一项。 若只有两项（形如 ），那就只有两种取法：取常数项，或取含 的那一项。把这两种取法各自贡献的指数算出来，再分别去 里找相应幂次的系数，最后相加。两种取法都要算，漏掉任何一种结果都会偏小。 如果 自己也带次方，就要双向枚举：设前一个因式取 次、后一个取 次，要求 等于目标次数，把 的每个可能值都算一遍再累加。这类题的错处几乎都在漏项 ——列完取法之后回头核一遍「我列的这些是不是覆盖了所有可能」。 还有一处常被忽略：两个因式里出现的数字系数要一起乘进去。比如前一个因式写成 时，那个 也是系数的一部分；只算组合数，结果会少一半。负号同理 —— 把它跟着次数写成幂，比逐次判断省心。 三项式同理，只是取法变成了分配：含 的项，就是从 个因式里挑 1 个出 、再挑 1 个出 、再挑 1 个出 、剩下的全出常数。先分组、再排列，最后乘起来即可。 最后提醒两点。一是系数要把每个因式里的数字一并乘进去，负号也跟着次数走；二是「两个因式相乘」的题，目标幂次常常只能由两部分的指数相加得到，算之前先把两边的指数各自写出来，再配对，比硬凑稳妥。 例4（填空·★★★☆☆） 在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 【切入点】前一个因式 只有两项，所以从它里面只有两种取法。把这两种取法分别能配出 的情形找出来即可。 【关键】第一种取法：取常数 。这时需要 贡献 ，即 ，乘上 得 。第二种取法：取 （即 ）。这时需要 贡献 ，即 ，乘上 得 。两部分相加得 的系数为 ，故填 。 【易错】一是两种取法必须都算：只算「取常数」那一支会得到 。二是第二种取法里， 贡献的指数是 ，所以 要补上 次，合起来才是 。三是 的系数带符号： 项是 、 项是 ，本题两次都是偶数次，符号都为正 —— 换一题就要重新看了。 【答案】 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【切入点】前一个因式是 ，也是两项，但取法从「常数与 」变成了「 与 」，配对的目标次数随之改变。 【关键】第一种取法：取 ，需要 贡献 ，即 ：。第二种取法：取 ，需要 贡献 ，即 ：。两部分相加得 的系数为 ，故填 。 【易错】一是配对要算准： 配 、 配 ，两次的指数和都等于 。二是 里 的系数是负的（），再乘上前面的 得正 —— 两次符号要一起看。三是本题 很小，也可以把 直接展开来核对。 【答案】 例5（填空·★★★☆☆） 的展开式中，x项的系数为________． 【切入点】与例 1 同一套路，但后一个因式写成了 ——底数是 在前、常数在后，通项的符号要重新算。 【关键】 的通项为 。第一种取法：取常数 ，需要它贡献 ，即 ：。第二种取法：取 （即 ），需要它贡献 ，即 ：。两部分相加得 的系数为 ，故填 。 【易错】一是符号要算两遍：前一个因式里的 自带一个负号， 的系数又带一个 ，两个负号相乘得正 —— 少算一个符号就会得到 。二是 的定法： 得 、 得 ，别把 与目标次数混起来。三是本题问的是「 项的系数」，把两种取法的贡献加起来才是答案。 【答案】 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知，则被4除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【切入点】要求的是一个「系数带权求和」的式子，每个 前面都挂着一个 。这种形状正好是把 代进 之后的样子，只差常数项 。 【关键】记 。把 代入，右边就是 。所以题目要求的和等于 。 【关键】，而 。所以该和等于 。因为 ，所以 ，，即被 除的余数为 。故选 D。 【易错】一是别漏掉 ：题目给的式子从 开始，而 里带着 ，所以要减掉它。二是取模要利用 ，不要真去算 。三是求余数时，「 除以 余 」是不完整的表述 —— 题目问的是 的余数，差一个 。 【答案】D 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项里第一个就是求 ，而 可以从次数反推：左边最高次是 ，右边也到 ，所以先定 ，再逐项验证其余选项。 【关键】A 项： 的最高次项是 ，而右边最高次是 且 ，所以 ，。A 项正确。 【关键】B 项： 是 的系数，来自两部分 —— 乘 的 项：；常数 乘 的 项：。所以 。B 项错误。 【关键】C 项：在恒等式里令 ，右边得 ，左边得 。C 项正确。 【关键】D 项：所求为偶次项系数之和，由 给出。，所以偶次项系数之和为 。D 项正确。故选 ACD。 【易错】一是 A 项不能只数左边的次数： 也贡献一次，所以是 。二是 B 项不要漏掉第二部分： 是「 的系数」，两部分都要算，只算第一部分会得到 。三是 D 项求的是偶次项之和： 给的是偶次项， 给的是奇次项，两式别换。 【答案】ACD 例6（单选·★★★☆☆） 若 的展开式中的系数为80，则正整数 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【切入点】这里不是「一个」展开式，而是一串展开式相加，每一项都贡献一个 的系数。把这一串系数加起来，用组合恒等式化简，再解出 。 【关键】 的 系数是 ，所以题目的条件就是 。由组合恒等式 ，把前面几项扣掉：、 时 ， 时 ， 时 ，合起来扣 。于是 ，即 。而 ，所以 ，。故选 B。 【易错】一是恒等式的下标要去掉前几项：从 起 才有意义，所以扣掉的是 ，不是扣 。二是 要认得出来 ——也可以从 解三次方程，但直接认出来快得多。三是选项里给的 对应 ，正是「忘了扣前两项」会得到的答案。 【答案】B 变式6-1（单选·★★★★☆） 在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】前三题是「两个因式相乘」，这题是四项。含 的项，就是从 个因式里各挑一个出 、、，其余全出常数 。算出系数之后再对 求和，最后取上确界。 【关键】先求 。从 个因式里挑 1 个出 、再从剩下的挑 1 个出 、再挑 1 个出 ，其余 个出 ，所以 。 【关键】于是 。用裂项把它拆开：。求和时中间项相消，得 。 【关键】 随 增大而增大，且始终小于 ，所以 恒成立等价于 ， 的最小值为 。故选 C。 【易错】一是 的阶乘：分母是三个 与 ，别漏掉「其余因式都取常数」这一部分。二是裂项系数是 ，因为相邻两项的「间隔」差 （ 型）。三是恒成立的取等：上确界 取不到，所以 可以等于 ，写「不小于」而不是「大于」。 【答案】C 赋值法与系数和 展开式的系数不是孤立的，它们之间有一组整齐的恒等式。把恒等式里的 换成具体的数，就能一次拿到一大串系数之和 ——这就是赋值法，也是这一类题唯一的核心动作。 最常用的两个赋值是 与 。代入 ，右边就是所有系数之和；代入 ，右边变成「偶次项系数之和减去奇次项系数之和」。两式相加再除以 ，得到偶次项系数之和；两式相减再除以 ，得到奇次项系数之和。 赋值之前要先看一眼缺不缺项。题目给的等式有时从 开始、没有 ，这时 代出来的和要减去 才是题目要的东西。 一般令 单独算，或者直接看常数项。 赋值之前还要分清求的是哪一种和。所有系数之和就是 ；缺了常数项的要在它基础上减去 ；带下标的和要走求导；绝对值之和要先把负号挪出去。形状不同，对应的动作也不同 —— 看错一种，后面全错。 等式右边换过元的题（例如写成 ），先把括号里的整体设成一个新字母，换成 之后就回到标准形状，再赋值。注意赋值点也跟着换元走：原来是 ，换元后可能变成 。 还有两种常见变形要认得出。一是求系数带下标的和（形如 ），它对应的是把展开式求导之后再赋值；二是求 ，先把底数里的负号挪出去让所有系数同号，再赋值。动手之前先看清「求的是哪一种和」。 例7（多选·★★★☆☆） 设，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项都在问「某些系数之和」，所以先把 与 两个赋值点算出来，再逐个选项对照。 【关键】记 。 给的是 ； 给的是 。 【关键】A 项：。A 项错误。B 项：。B 项错误。 【关键】C 项：，，两者之和为 。C 项正确。（也可直接由 看符号相反。） 【关键】D 项：所求是奇次项系数之和，由 给出，即 。D 项正确。故选 CD。 【易错】一是 的符号：底数是 不是 ，所以 。二是 B 项要先扣掉 ，直接答「」就上了当。三是 D 项的两式方向： 是奇次项， 是偶次项，写反了会得到 。 【答案】CD 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若，则 = ______.（用数字作答） 【切入点】这题不要求「所有系数之和」，而是点名要 与 —— 那就分别算：一个看常数项，一个写通项。 【关键】 是常数项，令 得 。 是 的系数，由通项 取 得 。所以 ，故填 。 【易错】一是 不要用赋值法去凑 ——直接把 代进 最快，得 。二是 的通项里， 的指数是 （底数是 而不是 ），所以 就对应 ，别多绕一层。三是符号： 为奇数， 为负。 【答案】 变式7-2（单选·★★★☆☆） 若，则 = （ ） A. -15 B. -2 C. 2 D. 15 【切入点】这题的右边底数交替：奇次项用 、偶次项用 ，赋值法用不上了。但 的展开式很简单，可以把右边整个展开、逐项与 比较。 【关键】把右边展开：。与 逐项比较系数： 【关键】最高次只来自最后一项，所以 ； 的系数为 ，得 ； 的系数为 ，得 ； 的系数为 ，得 ；常数项为 ，得 。所以 。故选 A。 【易错】一是比较的顺序要从高次往低次走：先定 ，再由 项定 ，一路往下降。从低次开始会比较不下去。二是 的展开系数要背准：，符号交替。三是所求是 而不是 ，那个 是题目给的权重，不是 的系数。 【答案】A 例8（多选·★★★☆☆） 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 是同一套骨架，只是次数变成了 （奇数），底数变成了 。赋值点不变，仍算 与 。 【关键】记 。，。 【关键】A 项：。A 项正确。B 项：。B 项错误。 【关键】C 项：，，两者之和为 。C 项正确。 【关键】D 项：所求是偶次项系数之和，由 给出，即 。D 项正确。故选 ACD。 【易错】一是 C 项的下标配对称： 与 的和正好是 ，而 与 符号相反，所以两者相加为零 —— 这是「对称位置符号相反」的直接结果。二是 D 项的次数：，别把指数写成 。三是 B 项「 到 」不含 ，所以是 而不是 。 【答案】ACD 变式8-1（多选·★★★☆☆） 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】右边的底数是 而不是 ，先把整体换成新字母，回到标准形状再谈赋值。 【关键】令 ，则 ，原式化为 。记 。 【关键】A 项：，，，所以该和为 。A 项错误。 【关键】B 项： 是 的系数，来自「 的 项」与「 的 项」：，，所以 。B 项正确。 【关键】C 项：。C 项错误。 【关键】D 项：。，所以 。D 项正确。故选 BD。 【易错】一是换元要彻底：把 代进去之后，左边也要跟着变，漏掉这一步就没法用赋值法。二是赋值点要跟着换元走：原来代入 ，换元后应当代入 （即 ）。三是 D 项用求导能得到 ，但这里的底数是 ，求导后还要注意 时 的符号。 【答案】BD 例9（多选·★★★☆☆） 若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 【切入点】这题四个选项各问一件事：二项式系数的最大项、绝对值之和、系数带下标的和、以及取余。逐个用对应的工具处理，不要试图用一个赋值点解决全部。 【关键】A 项：展开式共 项，二项式系数 在 时取到最大值（ 为偶数时中间项唯一）。第 项对应 ，即第 项。A 项正确。 【关键】B 项：，所以 ，。B 项正确。 【关键】C 项：。，所以 ；又 ，合起来得 。C 项正确。 【关键】D 项：，因为 ，所以 ，余数是 而不是 。D 项错误。故选 ABC。 【易错】一是 A 项的「项号」： 是偶数，中间项是第 项，写成第 项就错了。二是 B 项的绝对值：把底数里的 换成 之后，整个和就是 ，这正是「赋值法用在绝对值上」的标准做法。三是 C 项别漏 ： 从 起，而题目多写了一个 。四是 D 项要看清是「」不是「」，底数里的 也要乘进去。 【答案】ABC 变式9-1（多选·★★★☆☆） 已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中系数最大的项是第2项 【切入点】题干给的是「各项系数之和」，这正是 ；由它先解出 ，再逐项判断其余选项。 【关键】令 得各项系数之和为 。因为 为正整数， 为正，所以 为偶数且 ，得 。 【关键】A 项： 时展开式共 项，不是 项。A 项错误。B 项：二项式系数之和为 。B 项正确。 【关键】C 项：通项 。令 得 ，，所以常数项为 。C 项正确。 【关键】D 项：各项系数为 ，依次为 、、、、、、。最大的是 ，对应 即第 项，不是第 项。D 项错误。故选 BC。 【易错】一是解 时要说明「 为正整数」才能从 直接读出 （若 为奇数，左边为负，不可能等于正数）。二是 A 项的项数是 而不是 。三是 D 项要逐项算出系数再比大小 ——系数的符号是交替的，负数里最大的也只是 ，真正最大的那个正数 容易被漏掉。 【答案】BC 学科网（北京）股份有限公司 $ 二项式定理 计数原理 · 专题篇 通项与指定项 求展开式中的某一项，只有一个工具 —— 通项公式。把第 项写成 ，再把两个底数都整理成同一个字母的幂，指数就变成一个关于 的一次式。令它等于目标指数、解出 、回代算系数 —— 整个动作就这三步。 第一步最容易错的是指数。底数里出现根式或分式时，先化成幂：、、。幂相乘是指数相加；放在分子上取正、放在分母上取负 ——符号弄丢，后面解出来的 一定是错的。 第二步要盯住「项号与 的错位」。第 项对应的是 ，不是 。这一步差一个，答案就整档偏掉；正向求某一项时错得明显，反向题（已知某一项求参数）里错得更隐蔽。 第三步的系数是三部分相乘：组合数、两个底数各自取幂。组合数只与 、 有关；底数里带的数字要按次数取幂，负号按 的奇偶定 —— 写成 比逐次判断稳妥得多。 解出 之后先看它落在哪里。只有 的整数才对应展开式里真实存在的一项；解出负数、解出比 大的数、解出分数，都说明这个幂次在展开式里根本没有出现。这一步花不了几秒钟，却能挡住一整类白算。 最后分清两个容易混的量。「二项式系数」是 ，只由 和项号决定；「项的系数」还要乘上底数里的数字幂。题目问哪一个，答案就差一个倍数。逆向题（已知常数项、求底数中的字母）无非是把上面五步倒过来走，先定 再解方程。 例1（填空·★★★☆☆） 的展开式中的常数项为_______． 变式1-1（填空·★★★☆☆） 二项式的展开式中，的系数为________. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则 = （ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 例2（填空·★★★☆☆） 在的展开式中。的系数为______． 变式2-1（填空·★★★☆☆） 在的展开式中，项的系数为_______. 例3（填空·★★★☆☆） 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知二项式的展开式中的常数项为，则实数 = ______． 两个因式相乘与多项式的展开 两个因式相乘时，不能只盯着带次方的那一个。 的展开式里，每一项都是「从 里取一部分、从 里取一部分」乘出来的。所以要先列全「 里能取到哪几种」，再对每一种去 里找配得上的那一项。 若只有两项（形如 ），那就只有两种取法：取常数项，或取含 的那一项。把这两种取法各自贡献的指数算出来，再分别去 里找相应幂次的系数，最后相加。两种取法都要算，漏掉任何一种结果都会偏小。 如果 自己也带次方，就要双向枚举：设前一个因式取 次、后一个取 次，要求 等于目标次数，把 的每个可能值都算一遍再累加。这类题的错处几乎都在漏项 ——列完取法之后回头核一遍「我列的这些是不是覆盖了所有可能」。 还有一处常被忽略：两个因式里出现的数字系数要一起乘进去。比如前一个因式写成 时，那个 也是系数的一部分；只算组合数，结果会少一半。负号同理 —— 把它跟着次数写成幂，比逐次判断省心。 三项式同理，只是取法变成了分配：含 的项，就是从 个因式里挑 1 个出 、再挑 1 个出 、再挑 1 个出 、剩下的全出常数。先分组、再排列，最后乘起来即可。 最后提醒两点。一是系数要把每个因式里的数字一并乘进去，负号也跟着次数走；二是「两个因式相乘」的题，目标幂次常常只能由两部分的指数相加得到，算之前先把两边的指数各自写出来，再配对，比硬凑稳妥。 例4（填空·★★★☆☆） 在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 例5（填空·★★★☆☆） 的展开式中，x项的系数为________． 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知，则被4除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★☆☆） 若 的展开式中的系数为80，则正整数 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 变式6-1（单选·★★★★☆） 在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 赋值法与系数和 展开式的系数不是孤立的，它们之间有一组整齐的恒等式。把恒等式里的 换成具体的数，就能一次拿到一大串系数之和 ——这就是赋值法，也是这一类题唯一的核心动作。 最常用的两个赋值是 与 。代入 ，右边就是所有系数之和；代入 ，右边变成「偶次项系数之和减去奇次项系数之和」。两式相加再除以 ，得到偶次项系数之和；两式相减再除以 ，得到奇次项系数之和。 赋值之前要先看一眼缺不缺项。题目给的等式有时从 开始、没有 ，这时 代出来的和要减去 才是题目要的东西。 一般令 单独算，或者直接看常数项。 赋值之前还要分清求的是哪一种和。所有系数之和就是 ；缺了常数项的要在它基础上减去 ；带下标的和要走求导；绝对值之和要先把负号挪出去。形状不同，对应的动作也不同 —— 看错一种，后面全错。 等式右边换过元的题（例如写成 ），先把括号里的整体设成一个新字母，换成 之后就回到标准形状，再赋值。注意赋值点也跟着换元走：原来是 ，换元后可能变成 。 还有两种常见变形要认得出。一是求系数带下标的和（形如 ），它对应的是把展开式求导之后再赋值；二是求 ，先把底数里的负号挪出去让所有系数同号，再赋值。动手之前先看清「求的是哪一种和」。 例7（多选·★★★☆☆） 设，则（ ） A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若，则 = ______.（用数字作答） 变式7-2（单选·★★★☆☆） 若，则 = （ ） A. -15 B. -2 C. 2 D. 15 例8（多选·★★★☆☆） 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 变式8-1（多选·★★★☆☆） 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 例9（多选·★★★☆☆） 若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 变式9-1（多选·★★★☆☆） 已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中系数最大的项是第2项 学科网（北京）股份有限公司 $