第30讲 二项式定理及其应用（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦二项式定理及其应用，涵盖二项式定理、二项式系数性质两大核心知识点及求特定项系数、常数项等七大题型，通过命题透视、知识解构、题型破译构建系统知识框架，结合考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型拆解为核心，提炼“比值定增减，临界点最大”等速记口诀，融入数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型意识），设计基础演练与重难创新分层练习，配合真题溯源与课本典例迁移，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第30讲 二项式定理及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 二项式定理 知识点2 二项式系数的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 求展开式中的特定项系数 题型2 求展开式中的常数项 题型3 含参问题——已知系数条件反求参数 题型4 二项式系数（项的系数）的最值问题 题型5 赋值法求系数和 题型6 多个二项式乘积/和的展开式问题 题型7 二项式定理的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指定项的系数 秋考第6题 春考第5题 / 秋考第6题 春考第4题 由项的系数确定参数 / 春考第6题 / 考情分析 1. 考查内容聚焦 从考点分布看，上海卷对二项式定理的考查高度集中在三个方向： ① 通项公式的应用——求展开式中的特定项（指定幂次项、常数项）的系数，这是最高频考点，占比超过60%； ② 含参问题——已知某系数条件反求参数（a、n等），或先求参数再解决后续问题； ③ 二项式系数的性质——系数和（赋值法）、系数最大值、奇偶项系数关系等。 2. 难度与设问梯度 整体难度中等偏下，以Ⅰ层（直接应用通项公式）和Ⅱ层（含参计算、赋值法）为主。设问方式多为求某一项的系数、已知条件求参数、求展开式中系数最大值等直接型问法，不设置审题障碍。计算量适中，核心考查组合数运算和指数运算的准确性。 复习目标 1. 熟记二项式定理及展开式的通项公式，理解二项式系数与项的系数的区别； 2. 掌握二项式系数的四条基本性质（对称性、增减性与最大值、各二项式系数和、奇偶项系数和相等）； 3. 熟练运用赋值法求各类系数和（全体系数和、奇数项和、偶数项和、系数绝对值和）。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 (k＝0，1，…，n) 自主检测 1．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）的二项展开式中第4项是________. 知识点2 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值： ①当k<时，随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，随k的增加而减小. ②当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋…＋＝2n. 自主检测 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 题●型●破●译 题型1 求展开式中的特定项系数 例1（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 【变式训练1-1】（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【变式训练1-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为______. 题型2 求展开式中的常数项 例2-1展开式中的常数项为______. 例2-2（2026·上海·三模）若的展开式中的常数项是________． 例2-3（2026·上海杨浦·模拟预测）已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 方法技巧 令通项中 x 的指数为 0，解出 r 后代入计算。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为______. 【变式训练2-2】已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为______. 【变式训练2-3】已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 题型3 含参问题——已知系数条件反求参数 例3（25-26高三下·上海青浦·期中）已知 ，若 ，则 _______. 方法技巧 先用通项公式将系数表示为参数的函数，再根据已知条件列方程求解。 【变式训练3-1】已知，则的值是（   ） A．20 B．80 C．160 D．240 【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m=______． 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，若，则的值为__________. 题型4 二项式系数（项的系数）的最值问题 例4-1（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 例4-2（24-25高三上·上海·期中）的展开式中，系数最小的项为__________. 例4-3（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知，且，当时，正整数k的最小值为______ . 方法技巧 【速记口诀】比值定增减，临界点最大——通过相邻两项系数的比值判断增减趋势，比值从 ≥1 变为 <1 的转折点即为最大值位置。 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）在的展开式中系数最大的项是第________项． 【变式训练4-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为________________． 【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，若，且，当，则正整数的最大值为______. 题型5 赋值法求系数和 例5-1（2026·上海浦东新·三模）若，求的值___________． 例5-2（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，则________. 例5-3（25-26高三上·上海·期末）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 例5-4已知，则_______（用数字作答）． 方法技巧 【变式训练5-1】（2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. 【变式训练5-2】（2026·上海闵行·二模）若，则______. 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海·单元测试）若，则__________. 【变式训练5-4】已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11． (1)求n的值； (2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (3)设，求的值． 题型6 多个二项式乘积/和的展开式问题 例6-1（25-26高三上·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 例6-2（25-26高三上·上海·期中）在展开式中，含有项的系数为______.（结果用数值表示） 方法技巧 分类讨论法——分析目标项可由哪些组合相乘得到，分别计算后求和。 【变式训练6-1】（2025·上海普陀·一模）的展开式中含项的系数是___________． 【变式训练6-2】（25-26高三下·上海宝山·期中）若，则__________. 题型7 二项式定理的综合应用 例7若，则被10除所得的余数为__________. 方法技巧 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式. (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【变式训练7-1】（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为_______. 【变式训练7-3】（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 2．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 3．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 4．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含的项． 2．求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． 3．已知，求的值． 4．已知．若的展开式中末三项的二项式系数的和为92，试判断展开式系数组成的数列，，…，的单调性，并求其最大项． 5．已知，的展开式中含x项的系数为11，那么当m，n为何值时，含的项的系数取最小值？ 6．在的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． 7．从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 8．（1）求的展开式中的常数项； （2）若的展开式中的系数为，求a的值； （3）求的展开式中的常数项； （4）若的展开式中各项系数之和为128，求展开式中的系数． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（24-25高三上·上海金山·期末）的二项展开式中，项的系数为________． 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 则 _______. 3．（2025·上海嘉定·一模）在的二项展开式中，各项系数的和是_____. 4.（25-26高三下·上海·开学考试）若，求__________. 5．（2025·上海奉贤·二模）在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 6．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为___________. 7．（2025·上海虹口·一模）的二项展开式中的系数是___________ 8．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 9．（2026·上海浦东新·三模）展开式中的系数为______________． 10．（2026·上海·三模）二项式的展开式中常数项为第__________项． 11．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达） 12．已知对于任意给定的实数，都有. (1)求的二项展开式中的系数； (2)求. 重难·创新演练 1．（2025·上海·模拟预测）由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 2．（2025·上海徐汇·一模）已知，则__________． 3．（2025·北京东城·二模）已知，则实数_____ 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，满足，若，则__________． 5．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 6.已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 二项式定理及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 二项式定理 知识点2 二项式系数的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 求展开式中的特定项系数 题型2 求展开式中的常数项 题型3 含参问题——已知系数条件反求参数 题型4 二项式系数（项的系数）的最值问题 题型5 赋值法求系数和 题型6 多个二项式乘积/和的展开式问题 题型7 二项式定理的综合应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指定项的系数 秋考第6题 春考第5题 / 秋考第6题 春考第4题 由项的系数确定参数 / 春考第6题 / 考情分析 1. 考查内容聚焦 从考点分布看，上海卷对二项式定理的考查高度集中在三个方向： ① 通项公式的应用——求展开式中的特定项（指定幂次项、常数项）的系数，这是最高频考点，占比超过60%； ② 含参问题——已知某系数条件反求参数（a、n等），或先求参数再解决后续问题； ③ 二项式系数的性质——系数和（赋值法）、系数最大值、奇偶项系数关系等。 2. 难度与设问梯度 整体难度中等偏下，以Ⅰ层（直接应用通项公式）和Ⅱ层（含参计算、赋值法）为主。设问方式多为求某一项的系数、已知条件求参数、求展开式中系数最大值等直接型问法，不设置审题障碍。计算量适中，核心考查组合数运算和指数运算的准确性。 复习目标 1. 熟记二项式定理及展开式的通项公式，理解二项式系数与项的系数的区别； 2. 掌握二项式系数的四条基本性质（对称性、增减性与最大值、各二项式系数和、奇偶项系数和相等）； 3. 熟练运用赋值法求各类系数和（全体系数和、奇数项和、偶数项和、系数绝对值和）。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 (k＝0，1，…，n) 自主检测 1．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）的二项展开式中第4项是________. 【答案】 【详解】由题意可知：的二项展开式中第4项是. 故答案为：. 知识点2 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值： ①当k<时，随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，随k的增加而减小. ②当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋…＋＝2n. 自主检测 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 【答案】 【详解】因为二项式系数最大的有且仅有第4项， 由二项式系数的性质可知：展开式有7项， 所以， 故答案为：6 题●型●破●译 题型1 求展开式中的特定项系数 例1（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 【变式训练1-1】（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【答案】 【详解】当时，，所以. 展开式中，的系数为. 【变式训练1-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 【答案】 【详解】二项式的展开式共有项， 由题意展开式共7项，故，解得， 二项式的展开式通项为， 化简得， 令 ，解得， 所以含的项的系数为. 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海嘉定·阶段检测）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为______. 【答案】 【详解】依题意可得，所以， 则展开式的通项为 ，， 令，解得，所以展开式中的系数为. 故答案为： 题型2 求展开式中的常数项 例2-1展开式中的常数项为______. 【答案】375 【详解】展开式的通项为， 令，解得，故常数项为. 故答案为： 例2-2（2026·上海·三模）若的展开式中的常数项是________． 【答案】 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 例2-3（2026·上海杨浦·模拟预测）已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 【答案】1120 【详解】因为的展开式共有9项， 所以， 则展开式中的常数项为． 方法技巧 令通项中 x 的指数为 0，解出 r 后代入计算。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为______. 【答案】160 【详解】由二项式定理可知展开式通项为， 令，得，此时. 所以常数值为160. 【变式训练2-2】已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为______. 【答案】 【详解】的二项展开式中各项系数和为，即，． 设的二项展开式的通项为， 令，得，故展开式中常数项的值为． 故答案为：． 【变式训练2-3】已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【详解】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 题型3 含参问题——已知系数条件反求参数 例3（25-26高三下·上海青浦·期中）已知 ，若 ，则 _______. 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【详解】二项式展开式的通项公式为，为的系数， 令，解得，此时； ，，解得. 方法技巧 先用通项公式将系数表示为参数的函数，再根据已知条件列方程求解。 【变式训练3-1】已知，则的值是（   ） A．20 B．80 C．160 D．240 【答案】C 【详解】展开式的通项为， 又， 所以，故. 故选：C. 【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m=______． 【答案】 【详解】展开式中含的项为，含的项为， 所以由题意可得，解得. 故答案为：． 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，若，则的值为__________. 【答案】6 【详解】根据二项式定理展开式得：， ， ， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即，解得， 所以的值为 故答案为： 题型4 二项式系数（项的系数）的最值问题 例4-1（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 【答案】5 【详解】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 例4-2（24-25高三上·上海·期中）的展开式中，系数最小的项为__________. 【答案】 【详解】二项式的展开式的通项是， 展开式中各项的系数为， 由二项式系数的性质知的值最大，则展开式中各项的系数中最小， 则系数最小的项为. 故答案为：. 例4-3（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知，且，当时，正整数k的最小值为______ . 【答案】51 【详解】因为展开后按x升幂排列， 则第项为， 由题知， 因为，要使，则， 故k为奇数，故，， 故，解得， 又k为奇数，所以正整数k的最小值为 故答案为： 方法技巧 【速记口诀】比值定增减，临界点最大——通过相邻两项系数的比值判断增减趋势，比值从 ≥1 变为 <1 的转折点即为最大值位置。 【变式训练4-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）在的展开式中系数最大的项是第________项． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数， 由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数， 故展开式中系数最大的项是第项. 故答案为：. 【变式训练4-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为________________． 【答案】 【详解】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项， 第五项的系数为. 故答案为： 【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，若，且，当，则正整数的最大值为______. 【答案】 【详解】因为展开后按升幂排列， 则第项为， 由题知，因为， 要使，则为奇数，且，即为奇数，且，所以正整数的最大值为. 故答案为： 题型5 赋值法求系数和 例5-1（2026·上海浦东新·三模）若，求的值___________． 【答案】 【详解】令，则. 例5-2（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，则________. 【答案】80 【详解】由， 当时，，当时，， 所以 例5-3（25-26高三上·上海·期末）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 代入可得， 令，可得展开式各项系数和为. 故答案为：. 例5-4已知，则_______（用数字作答）． 【答案】 【详解】由， 令得，，① 令得，，② ①②得，， . 故答案为：. 方法技巧 【变式训练5-1】（2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. 【答案】 【详解】将原式左右两侧同时求导，得， 令，则. 【变式训练5-2】（2026·上海闵行·二模）若，则______. 【答案】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海·单元测试）若，则__________. 【答案】-2 【详解】由 令，则，即； 令，则，即； . 故答案为：-2. 【变式训练5-4】已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11． (1)求n的值； (2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (3)设，求的值． 【详解】（1）因为，所以，解得： （2）二项式系数之和为， 令，可得各项系数之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的差为 （3）设，则 所以 题型6 多个二项式乘积/和的展开式问题 例6-1（25-26高三上·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 例6-2（25-26高三上·上海·期中）在展开式中，含有项的系数为______.（结果用数值表示） 【答案】 【详解】因为的展开式通项为， 由题意可知在展开式中，含有项的系数为. 故答案为：. 方法技巧 分类讨论法——分析目标项可由哪些组合相乘得到，分别计算后求和。 【变式训练6-1】（2025·上海普陀·一模）的展开式中含项的系数是___________． 【答案】 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为： 【变式训练6-2】（25-26高三下·上海宝山·期中）若，则__________. 【答案】 【详解】因为的二项展开式的通项公式为， 的二项展开式的通项公式为， 则的展开式的通项为， 令，则，或， 所以. 题型7 二项式定理的综合应用 例7若，则被10除所得的余数为__________. 【答案】 【详解】令，可得， 所以被10除所得的余数为. 故答案为：. 方法技巧 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式. (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【变式训练7-1】（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 【答案】7 【详解】 . 所以被8除所得的余数为7. 【变式训练7-2】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为_______. 【答案】 【详解】对数列：当时，， 当时，，所以， 两式相减得：. 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. 所以.所以. 对函数： 令得：；令得：； 令得：；令得：… 所以函数为周期函数，且周期为4. 又因为：.（） 所以. 故答案为： 【变式训练7-3】（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 【答案】 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 【答案】15 【详解】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 2．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 【答案】1 【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴． 故答案为：1 3．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 4．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 5．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含的项． 【答案】 【详解】因为二项式系数之和为1024，可得，所以， 则二项式的展开式的通项为， 令，可得，所以含的项为． 2．求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． 【答案】常数项的值为160，二项式系数为 【详解】因为， 所以展开式中的第项为． 要得到常数项，必须有，从而有， 因此常数项是第4项，且． 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为． 3．已知，求的值． 【答案】 【详解】令得①， 令得②， ①+②得：，所以； ①-②得，所以， 所以. 4．已知．若的展开式中末三项的二项式系数的和为92，试判断展开式系数组成的数列，，…，的单调性，并求其最大项． 【答案】展开式系数组成的数列先单调递增，再单调递减，其中当时，展开式中系数最大，最大项为. 【详解】由的展开式中末三项的二项式系数的和为， 因为末三项的二项式系数分别为 ，所以， 即，解得或（舍去）， 所以展开式的通项为， 设第项与第项的系数分别为和， 令，解得， 即当且时，都有，当且时，都有， 所以展开式系数组成的数列先单调递增，再单调递减， 其中当时，展开式中系数最大，最大项为. 5．已知，的展开式中含x项的系数为11，那么当m，n为何值时，含的项的系数取最小值？ 【答案】或 【详解】展开式中通项公式为：，则含x项的系数为， 展开式中通项公式为：，则含x项的系数为 由题意可得 当中有一个为1时，不妨设，则，则的展开式中含的项的系数为 当都大于或等于2时，则的展开式中含的项的系数为 由于，当或时，此时含的项的系数取最小值25. 综上当或时，含的项的系数取最小值 6．在的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得二项式系数最大的项为第11项，即. （2）设系数绝对值最大的项是第项，于是，化简得，解得， 因为，所以，即是系数绝对值最大的项. （3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第项的系数最大， 所以，化简得， 解得，即第9项系数最大，. 7．从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 【答案】(1) (2) ， ． (3) 由（2）得． 令得． 为正整数，此时，中间两项的二项式系数最大； ②若是偶数，则当时，是递增的，故最大，所以中间一项的二项式系数最大． 8．（1）求的展开式中的常数项； （2）若的展开式中的系数为，求a的值； （3）求的展开式中的常数项； （4）若的展开式中各项系数之和为128，求展开式中的系数． 【详解】（1）设的展开式通项为： ， 则， 当时，； 故的展开式中的常数项为672； （2）设的展开式通项为： ， 则， 当时，结合题意知此时； 故a的值为2； （3）设的展开式通项分别为： ， 则， 当时，， 当时，， 当时， 故的展开式中的常数项为； （4）令，则由题意可知， 设的展开式通项为，则， 当时，，故展开式中的系数为21. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（24-25高三上·上海金山·期末）的二项展开式中，项的系数为________． 【答案】135 【详解】的通项为 使，解得，即得项的系数为. 故答案为：135. 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 则 _______. 【答案】5 【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项， 故， 故 故答案为： 3．（2025·上海嘉定·一模）在的二项展开式中，各项系数的和是_____. 【答案】 【详解】令，则，则各项系数的和为. 故答案为： 4.（25-26高三下·上海·开学考试）若，求__________. 【答案】 【详解】令， 又， ， 故． 5．（2025·上海奉贤·二模）在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【详解】通项为， 故当时，常数项为. 故答案为： 6．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为___________. 【答案】135 【详解】由题，二项展开式的通项为. 令，得. 所以常数项为. 故答案为：135. 7．（2025·上海虹口·一模）的二项展开式中的系数是___________ 【答案】 【详解】根据二项式定理，的通项为， 当，即， 将代入系数部分得：. 故答案为：. 8．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 9．（2026·上海浦东新·三模）展开式中的系数为______________． 【答案】0 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中含项有，即展开式中的系数为. 10．（2026·上海·三模）二项式的展开式中常数项为第__________项． 【答案】 【详解】展开式的第项为：，其中 令，得到，故展开式中常数项为第项. 11．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达） 【答案】 【详解】因为的展开式的通项为：， 又因为展开式中常数项是， 令，得， 所以，解得， 所以，即为， 在中令， 得所以项系数和为. 12．已知对于任意给定的实数，都有. (1)求的二项展开式中的系数； (2)求. 【详解】（1）的二项展开式中， 含的项为第3项， 所以，的二项展开式中的系数为19800. （2）令x-1=1，则x=2 代入有，. 令x-1=-1，则x=0， 代入有，. 两式联立可得，. 重难·创新演练 1．（2025·上海·模拟预测）由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，， 令，， 令（虚数单位，），， 令，， 将，得到 ， 又， ， ， ， 则转化为 ， 即， 即， 即，故选项D正确. 2．（2025·上海徐汇·一模）已知，则__________． 【答案】 【详解】二项式展开式的通项公式为：， 由于， 则当时，； 故答案为： 3．（2025·北京东城·二模）已知，则实数_____ 【答案】 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，满足，若，则__________． 【答案】 【详解】由概率的性质可知， 将其代入，可得， 由正态分布的对称性可知和关于直线对称，所以. 将代入， 可得， 对上式求导可得， 即. 令，则上式可化为， 所以. 5．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 【详解】（1）展开式末三项的二项式系数分别为 则，即； 整理可得， 解得：（舍）或， 令， 故， 故 （2）由（1）知，则展开式通项为 设第项即为系数最大的项， 所以，整理可得， 解得； 因此系数最大的项为或． 6.已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由可得， 令可得， 所以展开式中所有项的系数之和为1； （2）若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项； （3）设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $