第03讲 二项式定理（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦二项式定理核心考点，涵盖特定项求解、系数和计算、二项式系数性质等高考高频内容，按考情解读、知识梳理、重难突破、分层集训的逻辑架构系统整合知识点。通过考点分类讲解、方法技巧归纳、真题实战演练等环节，帮助学生构建解题路径，突破符号处理、赋值法应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用问题驱动与分层教学相结合的策略，如在三项展开式教学中引导学生转化为二项式乘积模型，培养数学思维与转化能力。设置基础演练、能力进阶、真题实战三级训练体系，配合方法技巧总结，助力学生高效掌握通项公式应用、系数最值判定等关键技能，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 计数原理 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 二项式定理相关gain 知识2 二项式系数的性质 知识3 系数之和（赋值法） 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 求二项展开式的特定项 方法技巧 二项展开式通项公式 考点02 求二项展开式的特定项系数 考点03 两个二项式之积 考点04 三项展开式的特定项（或系数） 方法技巧 三项展开系数 考点05 二项式系数和、系数和 方法技巧 二项式系数、系数和 考点06 二项展开式中奇偶项系数和 方法技巧 二项展开式中奇偶项系数和 考点07 二项式系数的最值 考点08 系数最值 方法技巧 项的系数最值方法 考点09 整除、余数问题 考点10 近似计算问题 考点11 杨辉三角问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 能用计数原理证明二项式定理；能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 二项式定理 北京卷第4题 上海卷第4题、北京卷第12题、天津卷第11题 上海卷第6题、北京卷第4题 考情解读 二项式定理在高考中几乎年年考查，以选择题或填空题为主，分值为5分。命题热点集中在三个方面：求展开式中的特定项（含常数项、有理项）或特定项的系数；利用赋值法求系数和问题；二项式系数的性质与最值问题。近年试题在保持“通项公式”核心考点的同时，开始向综合性方向发展，如将二项式定理与函数、不等式、导数等知识交汇命题。难度以中等为主，计算量适中，关键在准确应用通项公式并注意符号处理。 备考策略 建议将复习重点放在通项公式的灵活应用上，通过分类训练（求特定项、系数和、整除问题等）帮助学生建立清晰的解题路径。同时注意二项式系数与系数的区别，以及赋值法的技巧。在教学中应强调二项式定理作为计数原理应用的“工具性”价值。 知识・归纳梳理 知识1 二项式定理相关概念 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 知识2 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 知识3 系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 重难・核心突破 考点01 求二项展开式的特定项 典例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【解题思路】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【解答过程】由题意得，二项展开式的通项为，， 令，则. 故选：C. 典例2．（2026·江西·模拟预测）展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据展开式通项公式写出第项即可. 【解答过程】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 方法技巧 二项展开式通项公式 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:. 【考法预测1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】C 【解题思路】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项. 【解答过程】由题意， 在中，展开式的通项为， 令，解得， ∴展开式中常数项是. 故选：C. 【考法预测2】（2026·内蒙古赤峰·三模）展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 【答案】A 【解题思路】先写出展开式的通项，然后令的指数为，得到的值，即可求解. 【解答过程】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为. 故选：. 考点02 求二项展开式的特定项系数 典例1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中第三项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理即可求出答案. 【解答过程】的展开式中第三项为， 所以所求系数为. 故选：C. 典例2．（2026·广西柳州·模拟预测）二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式即得. 【解答过程】的展开式的通项为， ， 则含的项的系数是. 故选：A. 【考法预测1】（2026·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【解答过程】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 【考法预测2】（2026·吉林·模拟预测）设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】在二项展开式的通项公式，根据与的项系数相等，求得实数的值. 【解答过程】二项式的展开式的通项公式为， 根据与的项系数相等， 则， 解得. 故选：C. 考点03 两个二项式之积 典例1．（2026·河北·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 的通项为， 令，可得； 的展开式通项为， 令，可得. 所以，展开式中的系数为. 故选：D. 典例2．（2026·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，进而结合展开式中的通项列方程求解即可. 【解答过程】由， 而展开式中的通项为， ， 令，得；令，得， 则的展开式中项的系数为 ，解得. 故选：A. 【考法预测1】（2026·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【解答过程】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 【考法预测2】（2026·江西新余·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．90 B． C． D．50 【答案】B 【解题思路】先确定二项式的通项，再根据乘法分配律计算得展开式中的系数即可. 【解答过程】二项式的通项为， 展开式中系数为. 故选：B. 考点04 三项展开式的特定项（或系数） 典例1．（2026·湖北武汉·模拟预测）在的展开式中，的系数为（   ） A．90 B．60 C．30 D．20 【答案】A 【详解】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出， 即，所以的系数为. 故选：A 典例2．（2026·广东茂名·模拟预测）若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 【答案】D 【详解】解法1：， 与的展开式通项分别为： ，． 由题意知且，解得或或， 因此， 故选：D． 解法2：表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，选或或2． 设选的有a个，选的有b个，那么选2的有个，故有，解得或， 即选2个、3个2，或者选1个、4个2，因此含项的系数为， 故选：D． 方法技巧 三项展开系数 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 【考法预测1】（2026·辽宁·模拟预测）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 【答案】1 【详解】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 【考法预测2】（25-26高二上·山东德州·阶段练习）在的展开式中，的系数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意的系数可以成从6个含有的括号中，其中3个选，剩下3个里1个选，剩下2个选， 所以， 故选：A. 考点05 二项式系数和、系数和 典例1．（2026高二·河南洛阳·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是 . 【答案】16 【详解】因为在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096， 所以，令得， 即，解得， 所以展开式中二项式系数和为． 故答案为：16. 典例2．（2026高二·湖北武汉·期末）已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数和； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)，常数项为60 (2)1 (3) 【详解】（1）由题意可得解得， 所以该二项式为， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． （2）取，故展开式中所有项的系数和， （3）由于，故展开式中二项式系数最大为，故二项式系数最大的项为 ． 方法技巧 二项式系数和、系数和 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 【考法预测1】（2026·浙江温州·模拟）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】令，则可得. 又，则． 故选：D． 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为（    ） A． B． C．60 D．30 【答案】C 【详解】因为的展开式的各二项式系数的和为，所以，即. 展开式的通项为. 令，解得，所以. 故选：C. 考点06 二项展开式中奇偶项系数和 典例1．（2026·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由赋值法可得. 【解答过程】设， 则， ， 因此，. 故选：C. 典例2．（2026·河南开封·二模）若 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】使用赋值法，当分别取和时，得到和，联立解得. 【解答过程】令，得①； 令，得②； 得：. 故选：C. 方法技巧 二项展开式中奇偶项系数和 ，令得系数和：①； 令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和． 【考法预测1】（2026·四川巴中·三模）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，分别令、，将所得等式联立可得的值. 【解答过程】设， 令可得， 令可得， 上述两式子相加得，，故， 展开式中，的偶数次幂的项的系数和为. 故选：D. 【考法预测2】（2026·广东江门·一模）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【答案】B 【解题思路】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【解答过程】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得， 故选：B. 考点07 二项式系数的最值 典例1．（2026高二·河南许昌·期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)1 (2)180 (3) 【详解】（1）由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． （2）由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． （3）要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 典例2．（2026高二·山东青岛·期末）若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即． 故选：B. 【考法预测1】（2026·安徽滁州·模拟预测）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】1120 【详解】奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，则的展开式中二项式系数之和为256， 即，解得，二项式系数最大的项为， 故二项式系数最大的项的系数为1120． 【考法预测2】（2026·河南郑州·模拟预测）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 ． 【答案】 【详解】因为二项式只有第五项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，所以， 则二项式展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 考点08 系数最值 典例1．（2026高二·江西南昌·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示） 【答案】20412 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 典例2．（2026高二·浙江杭州·期末）在（n为正整数）的展开式中， (1)若，求展开式中无理项的个数； (2)若，求展开式中系数最大的项 【答案】(1)15个 (2) 【详解】（1）若，则，即，解得或（舍去）． 则的通项为，且， 所以当，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29时，为无理项（无理项指的是x的指数不为整数的项）， 所以共有15个无理项． （2）设的通项为， 且， 因为系数为，所以最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为.． 方法技巧 项的系数最值方法 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 【考法预测1】（2026·安徽合肥·模拟预测）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 【考法预测2】（2026·河南开封·模拟预测）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由二项式定理得的通项为， 则第3项为，第5项为， 因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 考点09 整除、余数问题 典例1．（2026·河南洛阳·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】令得，令得，两式相减即可得，即 利用二项式定理即可求解. 【解答过程】令得，令得， 两式相减得 ， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以 被8整除的余数为4. 故选：C. 典例2．（2026·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】将合理变形，再利用二项式定理展开，进而得到的取值即可. 【解答过程】由题意得, ， 而一定能被整除， 只需保证能被整除即可，而， 得到， 故， 而一定能被整除，只需保证能被整除即可， 若使最小，则满足，解得，故C正确. 故选：C. 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）设为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对同余，记为，已知，则的值可以是（    ） A．2020 B．2013 C．2022 D．2021 【答案】D 【详解】， ， 即，因为个位为3，个位为9，个位为7，个位为1，个位为3， 所以个位为1，所以个位也是1， ，的个位也是1． 故选：D． 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 【答案】C 【详解】因为， 又 所以 所以a除以10的余数就等于除以10的余数，即为3， 而给定的五个数中，只有2023除以10后余数为3，所以. 故选：C 考点10 近似计算问题 典例1．（2026高二·河北·一模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【解答过程】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 典例2．（2026·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理即可估算近似值. 【解答过程】由题意可知 故选：C. 【考法预测1】（2026·安徽合肥·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【答案】C 【详解】． 故选：C． 【考法预测2】（2026·河北衡水·模拟预测） （精确到0.01） 【答案】30.84 【分析】先利用二项式定理将原式化为，再变形为，利用二项式定理展开，并近似计算． 【详解】原式 故答案为：30.84． 考点11 杨辉三角问题 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（    ） A．第8行的第8个数是8 B．第2026行中，第1014个数最大 C．第10行中，第5个数与第6个数之比为 D．第行所有数字的平方和为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，依题意，第8行的第8个数是，所以A正确； 对于选项B，由题图可知，第行有个数字，如果是奇数， 则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大， 故第2026行中，第1014个数最大，故B正确； 对于选项C，第10行是的展开式的二项式系数， 所以第5个数与第6个数之比为，故C错误； 对于选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为， 构造等式， 在等式左边展开式中的系数为 ， 等式右边展开式中的系数为， 故第行所有数字的平方和为，故D正确. 故选：ABD. 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，因，而，故D正确． 故选：D． 【考法预测1】（2026·江苏苏州·模拟预测）（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】ABC 【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，由“杨辉三角”可得，第行的第个数为， 对于A，根据， 则，故A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，故B错误； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为， 则两个数的比为，故D正确. 故选：ABC. 【考法预测2】（2026·浙江宁波·模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 拔高・分层集训 基础演练 1．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 2．的展开式中的系数为（    ） A．210 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项求出含的项即可得出结果. 【详解】已知展开式中第项为， 令，解得； 所以含的项为. 因此展开式中的系数为. 故选：D 3．若，则等于（　　） A．4 B． C．32 D． 【答案】D 【分析】利用二项式的通项公式赋值即可. 【详解】的通项公式为：， 令得：， 所以. 故选：D 4．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 【答案】B 【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案． 【详解】四项中不存在， 对于其余部分 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 故选：B. 5．展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 【答案】A 【分析】根据多项式展开式系数的计算直接求解即可． 【详解】根据题意， 展开式中项为， 所以展开式中的系数为． 故选：A． 6．的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】A 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式中的通项为， 取，可得的系数为. 故选：A． 7．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 8．（多选）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的性质和通项公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，的二项展开式共有8项，则 ，即，故A错误； 对于B，二项式展开式中各项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C，因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，因，则第5项的系数是35，故D错误. 故选：BC. 9．（多选）二项式的展开式中含的项的系数是60，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是 C．展开式中一定有含的项 D．展开式中的常数项是 【答案】ABD 【分析】由含的项的系数是60，求得，再结合通项公式逐个判断即可. 【详解】的通项公式为， 令，可得，解得，A正确， 故通项公式为：， 令，可得项的系数为，B正确， 由，得不符合题意，所以展开式中一定不含的项，C错误， 对于D,令，可得展开式中的常数项是，D正确， 故选：ABD 10．若为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是 ． 【答案】 【分析】求出第六十百分位数，再利用二项式定理求出常数项. 【详解】由，数据1，2，4，8，9，10的第六十百分位数是8， 所以二项式的展开式的常数项是. 故答案为：70 11．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 12．已知的展开式的所有系数之和为，则 ． 【答案】 【分析】利用赋值法，令即可构造方程求得结果. 【详解】的展开式的所有系数之和为， 令，则，解得：. 故答案为：. 13．展开式中的常数项是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的通项公式为，进而求得展开式的常数项，得到答案. 【详解】由二项式的展开式的通项公式为， 所以， 所以当时有常数项，当时有常数项， 所以所求展开式的常数项为. 故答案为：. 14．已知，则 . 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项求，计算比值. 【详解】因为， 所以二项展开式通项， 所以，， 所以， 故答案为：. 15．若，则 ．（用数字作答） 【答案】729 【分析】与的展开式的所有项系数和相等，故令即可求解． 【详解】由题设的通项公式为，所以， 所以与的展开式的所有项系数和相等， 令，则． 故答案为：729． 16．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】由二项展开式通项公式即可求解. 【详解】的通项公式为， 令，则， 则系数为， 故答案为： 能力进阶 1．（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n； （4）求的展开式中的系数； （5）求的展开式中的系数． 【答案】（1）；（2）；（3）或23；（4）135；（5）30. 【详解】（1）的展开式中按的升幂排列的第3项，即展开式中含的项， ． （2）展开式的通项公式为：； 令可得：； 故展开式的常数项为：． （3）展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，， ； 化简得， 即：， 解得或23． （4）， 展开式中含的系数为：的含的系数加上其含的系数加上其含项的系数， 展开式的通项为， 令，3，2分别得展开式含，，项的系数为，，， 故展开式中含的系数为：， （5） 设其展开式的通项公式为， 令， 得的的通项公式为， 再，得， 的展开式中，的系数为． 即的展开式中，的系数为30． 2．用二项式定理证明能被8整除．（提示：．） 【答案】见解析 【详解】证明： 能被8整除. 所以能被8整除. 3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. 【答案】120 【详解】由题意可知，由二项式系数的性质可得， 故这两项的二项式系数为. 4．用二项式定理证明： （1）能被整除； （2）能被1000整除. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）， 上式中的每一项都可以被整除，故能被整除； （2） ， 上式中的每一项都可以被整除，故能被1000整除. 5．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数. （1）的含的项； （2）的常数项. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）的展开式的通项公式为， 令，可得，即含的项的系数为. （2）的通项公式为， 令，得，即常数项为. 真题实战 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 2．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 3．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 4．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 5．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 6．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 7．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 计数原理 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 二项式定理相关gain 知识2 二项式系数的性质 知识3 系数之和（赋值法） 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 求二项展开式的特定项 方法技巧 二项展开式通项公式 考点02 求二项展开式的特定项系数 考点03 两个二项式之积 考点04 三项展开式的特定项（或系数） 方法技巧 三项展开系数 考点05 二项式系数和、系数和 方法技巧 二项式系数、系数和 考点06 二项展开式中奇偶项系数和 方法技巧 二项展开式中奇偶项系数和 考点07 二项式系数的最值 考点08 系数最值 方法技巧 项的系数最值方法 考点09 整除、余数问题 考点10 近似计算问题 考点11 杨辉三角问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 能用计数原理证明二项式定理；能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 二项式定理 北京卷第4题 上海卷第4题、北京卷第12题、天津卷第11题 上海卷第6题、北京卷第4题 考情解读 二项式定理在高考中几乎年年考查，以选择题或填空题为主，分值为5分。命题热点集中在三个方面：求展开式中的特定项（含常数项、有理项）或特定项的系数；利用赋值法求系数和问题；二项式系数的性质与最值问题。近年试题在保持“通项公式”核心考点的同时，开始向综合性方向发展，如将二项式定理与函数、不等式、导数等知识交汇命题。难度以中等为主，计算量适中，关键在准确应用通项公式并注意符号处理。 备考策略 建议将复习重点放在通项公式的灵活应用上，通过分类训练（求特定项、系数和、整除问题等）帮助学生建立清晰的解题路径。同时注意二项式系数与系数的区别，以及赋值法的技巧。在教学中应强调二项式定理作为计数原理应用的“工具性”价值。 知识・归纳梳理 知识1 二项式定理相关概念 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有 项， 其中各项的系数叫做 ， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 知识2 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得 1 当n是 时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 知识3 系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 重难・核心突破 考点01 求二项展开式的特定项 典例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 典例2．（2026·江西·模拟预测）展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 二项展开式通项公式 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:. 【考法预测1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【考法预测2】（2026·内蒙古赤峰·三模）展开式中的常数项为（   ） A． B． C．250 D．1250 考点02 求二项展开式的特定项系数 典例1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中第三项的系数是（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·广西柳州·模拟预测）二项式的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．10 C． D．5 【考法预测1】（2026·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【考法预测2】（2026·吉林·模拟预测）设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 考点03 两个二项式之积 典例1．（2026·河北·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·湖南·三模）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【考法预测2】（2026·江西新余·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．90 B． C． D．50 考点04 三项展开式的特定项（或系数） 典例1．（2026·湖北武汉·模拟预测）在的展开式中，的系数为（   ） A．90 B．60 C．30 D．20 典例2．（2026·广东茂名·模拟预测）若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 方法技巧 三项展开系数 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 【考法预测1】（2026·辽宁·模拟预测）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为 ． 【考法预测2】（25-26高二上·山东德州·阶段练习）在的展开式中，的系数是（      ） A． B． C． D． 考点05 二项式系数和、系数和 典例1．（2026高二·河南洛阳·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是 . 典例2．（2026高二·湖北武汉·期末）已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数和； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 方法技巧 二项式系数和、系数和 二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：． 【考法预测1】（2026·浙江温州·模拟）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为（    ） A． B． C．60 D．30 考点06 二项展开式中奇偶项系数和 典例1．（2026·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·河南开封·二模）若 则 （    ） A． B． C． D． 方法技巧 二项展开式中奇偶项系数和 ，令得系数和：①； 令得奇数项系数和减去偶数项系数和：②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和． 【考法预测1】（2026·四川巴中·三模）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·广东江门·一模）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 考点07 二项式系数的最值 典例1．（2026高二·河南许昌·期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 典例2．（2026高二·山东青岛·期末）若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【考法预测1】（2026·安徽滁州·模拟预测）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为 ． 【考法预测2】（2026·河南郑州·模拟预测）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 ． 考点08 系数最值 典例1．（2026高二·江西南昌·期末）在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示） 典例2．（2026高二·浙江杭州·期末）在（n为正整数）的展开式中， (1)若，求展开式中无理项的个数； (2)若，求展开式中系数最大的项 方法技巧 项的系数最值方法 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小． 【考法预测1】（2026·安徽合肥·模拟预测）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【考法预测2】（2026·河南开封·模拟预测）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 考点09 整除、余数问题 典例1．（2026·河南洛阳·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 典例2．（2026·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考法预测1】（2026·安徽安庆·模拟预测）设为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对同余，记为，已知，则的值可以是（    ） A．2020 B．2013 C．2022 D．2021 【考法预测2】（2026·河北邯郸·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 考点10 近似计算问题 典例1．（2026高二·河北·一模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 典例2．（2026·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·安徽合肥·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【考法预测2】（2026·河北衡水·模拟预测） （精确到0.01） 考点11 杨辉三角问题 典例1．（2026高二·河北石家庄·期末）（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（    ） A．第8行的第8个数是8 B．第2026行中，第1014个数最大 C．第10行中，第5个数与第6个数之比为 D．第行所有数字的平方和为 典例2．（2026高二·山东菏泽·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【考法预测1】（2026·江苏苏州·模拟预测）（多选）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【考法预测2】（2026·浙江宁波·模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 拔高・分层集训 基础演练 1．的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 2．的展开式中的系数为（    ） A．210 B． C．10 D． 3．若，则等于（　　） A．4 B． C．32 D． 4．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 5．展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 6．的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 7．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 8．（多选）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 9．（多选）二项式的展开式中含的项的系数是60，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是 C．展开式中一定有含的项 D．展开式中的常数项是 10．若为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是 ． 11．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 12．已知的展开式的所有系数之和为，则 ． 13．展开式中的常数项是 ． 14．已知，则 . 15．若，则 ．（用数字作答） 16．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 能力进阶 1．（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项； （2）求的展开式的常数项； （3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n； （4）求的展开式中的系数； （5）求的展开式中的系数． 2．用二项式定理证明能被8整除．（提示：．） 3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. 4．用二项式定理证明： （1）能被整除； （2）能被1000整除. 5．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数. （1）的含的项； （2）的常数项. 真题实战 1．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 2．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________． 3．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 4．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 5．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 6．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 7．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $