第二十五章一元二次方程单元检测2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026—2027学年九年级数学上册单元测试卷 （第二十五章　一元二次方程） 满分：100分　　　测试时间：90分钟　 注意事项： 1．本试卷共三个大题、22个小题，满分100分，考试时间90分钟。 2．答题前，请将班级、姓名、考号填写在指定位置；答案请写在试卷相应位置。 3．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2＋－2＝0　　B．2x2－x－3＝0　　C．x2＋2y－1＝0　　D．ax2＋bx＋c＝0 2．将方程 3x2－2＝4x＋1 化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，4，3　　B．3，－4，－3　　C．3，－4，3　　D．3，4，－3 3．用配方法解方程 x2－4x－3＝0，下列配方结果正确的是（　　） A．(x－2)2＝7　　B．(x－2)2＝3　　C．(x＋2)2＝7　　D．(x＋2)2＝3 4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2－2x＝0　　B．x2＋2x－1＝0　　C．x2＋2x＋2＝0　　D．x2－2x＋1＝0 5．已知 x1、x2 是方程 x2－3x－1＝0 的两个实数根，则 x1＋x2 与 x1·x2 的值分别是（　　） A．3，1　　B．－3，1　　C．3，－1　　D．－3，－1 6．方程 x(x－2)＋x－2＝0 的根是（　　） A．x＝2　　B．x＝－1　　C．x1＝2，x2＝－1　　D．x1＝－2，x2＝1 7．2026年，我国新能源汽车出口延续高速增长态势。某车企2024年出口新能源汽车8万辆，2026年出口12.5万辆。设该车企这两年出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．8(1＋x)＝12.5 B．8(1＋2x)＝12.5 C．8(1＋x)2＝12.5 D．12.5(1－x)2＝8 8．某人工智能学习课上，发起人先将课程链接转发给x名同学，这x名同学每人又各自将链接转发给x名同学（每轮转发对象互不重复）。若把发起人计算在内，两轮转发后共有111人收到链接，则下列方程正确的是（　　） A．x＋x2＝111　　B．1＋x＋x2＝111　　C．x(1＋x)＝111　　D．x2＝111 9．若 x＝2 是关于 x 的方程 x2－3x＋m＝0 的一个根，则 m 与该方程的另一个根分别是（　　） A．2，1　　B．－2，－1　　C．2，－1　　D．－2，1 10．若关于 x 的方程 (m－2)x2＋2x－1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＞1　　B．m≥1　　C．m≥1 且 m≠2　　D．m≤1 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。请将答案填在题中横线上。 11．写出一个二次项系数为 2，且有一个根为 0 的一元二次方程：__________________．（答案不唯一） 12．填空：x2－6x＋______＝(x－______)2． 13．若关于 x 的方程 x2－3x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k＝______． 14．2026年，消费品以旧换新政策持续带动手机消费。某品牌手机经连续两次降价销售，售价由 4 000 元降至 3 240 元，则平均每次降价的百分率为______． 15．已知 x1、x2 是方程 x2－5x－6＝0 的两个实数根，则 x12＋x22＝______． 16．已知等腰三角形的两边长恰好是方程 x2－6x＋8＝0 的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： （1）x2－4x－5＝0；（4分） （2）用配方法解：x2＋4x－1＝0．（4分） 18．（8分）解下列方程： （1）2x2－5x＋2＝0；（4分） （2）(2x＋1)2＝3(2x＋1)．（4分） 19．（8分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－(k＋2)x＋2k＝0． （1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个实数根；（4分） （2）若该方程的一个根为 3，求 k 的值及该方程的另一个根．（4分） 20．（8分）如图，某小区有一块长 20 m、宽 12 m 的矩形空地，计划在其中修建两条互相垂直且宽度相同的道路，剩余部分铺建草坪。若草坪的面积为 180 m2，求道路的宽。 21．（10分）2026年，随着我国航天任务密集实施，航天主题文创产品持续热销。某商店销售一款航天纪念徽章，进价为 40 元/枚。当售价为 60 元/枚时，平均每天可售出 100 枚；市场调查发现，售价每上涨 1 元，平均每天就少售出 2 枚（售价可上涨，也可不涨）。 （1）若某天该徽章平均每天售出 90 枚，求当天的售价；（4分） （2）要使销售该徽章平均每天获利 2 250 元，同时尽可能让利于顾客，该徽章的售价应定为多少元/枚？（6分） 22．（10分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋2)x＋m2＋2m＝0 的两个实数根为 x1、x2． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（4分） （2）若 x12＋x22＝34，且两根均为正数，求 m 的值．（6分） 2026—2027学年九年级数学上册单元测试卷 （第二十五章　一元二次方程）参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C C C B A B 1．B A 项含分式 ，不是整式方程；B 项 2x2－x－3＝0 符合“一个未知数、最高次数为 2、整式方程”，是一元二次方程；C 项含 x、y 两个未知数，是二元方程；D 项当 a＝0 时不是二次方程（未注明 a≠0），不规范．故选 B． 2．B 移项合并得一般形式 3x2－4x－3＝0，故二次项系数为 3，一次项系数为 －4，常数项为 －3，注意移项要变号、系数必须带符号．故选 B． 3．A x2－4x－3＝0，移项得 x2－4x＝3；两边加上一次项系数一半的平方 4，得 x2－4x＋4＝3＋4，即 (x－2)2＝7．故选 A． 4．C 逐一计算判别式：A 中 Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根；B 中 Δ＝22－4×1×(－1)＝8＞0，有两个不相等的实数根；C 中 Δ＝22－4×1×2＝－4＜0，没有实数根；D 中 Δ＝(－2)2－4＝0，有两个相等的实数根．故选 C． 5．C 由根与系数的关系：x1＋x2＝－b/a＝3，x1·x2＝c/a＝－1．故选 C． 6．C 提取公因式 (x－2)：x(x－2)＋(x－2)＝0，即 (x－2)(x＋1)＝0，所以 x－2＝0 或 x＋1＝0，得 x1＝2，x2＝－1．易错点：不能两边同除以 (x－2)，会丢根．故选 C． 7．C 2024 年出口 8 万辆，经两年增长（两个增长率 x），2026 年为 8(1＋x)2 万辆，由“2026 年出口 12.5 万辆”得 8(1＋x)2＝12.5．故选 C．B 项误把两年增长当作一次增长；D 项把已知量与未知量颠倒． 8．B 第 1 轮收到链接（不含发起人）的有 x 人，第 2 轮收到链接的有 x2 人；把发起人计算在内共 1＋x＋x2 人，由总数 111 得 1＋x＋x2＝111，解得 x＝10．故选 B． 9．A 把 x＝2 代入方程：4－6＋m＝0，得 m＝2；方程为 x2－3x＋2＝0，两根之和为 3，另一根为 3－2＝1．故选 A． 10．B 分两类：①当 m－2＝0，即 m＝2 时，方程为 2x－1＝0，是一次方程，有实数根 x＝；②当 m－2≠0 时，是二次方程，Δ＝22－4(m－2)×(－1)＝4m－4≥0，得 m≥1．综上 m≥1（含 m＝2），故选 B．易错点：漏掉二次项系数可为 0 的情形而误选 C． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．如 2x2－x＝0（答案不唯一） 二次项系数为 2 且有一个根为 0 的方程形如 2x2＋ax＝0（a≠0），如 2x2－x＝0、2x2＋3x＝0 等；检验：x＝0 代入成立、二次项系数为 2 即可． 12．9；3 加上一次项系数一半的平方 (－3)2＝9：x2－6x＋9＝(x－3)2． 13．k＝ 有两个相等的实数根 ⇔ Δ＝0：Δ＝(－3)2－4k＝0，解得 k＝． 14．10% 设平均每次降价的百分率为 x，则 4 000(1－x)2＝3 240，(1－x)2＝0.81，1－x＝±0.9，x＝0.1 或 x＝1.9（不合题意，舍去），故平均每次降价 10%． 15．37 x1＋x2＝5，x1x2＝－6；x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25－2×(－6)＝37． 16．10 方程 x2－6x＋8＝0 因式分解为 (x－2)(x－4)＝0，两根为 2 和 4．等腰三角形两边长为 2、4，第三边只能为 2 或 4：若三边为 2、2、4，则 2＋2＝4，不能构成三角形（舍去）；若三边为 2、4、4，满足 2＋4＞4，能构成三角形，周长为 2＋4＋4＝10． 三、解答题（共 52 分） 17．（8分） （1）（4分）因式分解法：x2－4x－5＝(x－5)(x＋1)＝0，则 x－5＝0 或 x＋1＝0， 解得 x1＝5，x2＝－1． （2）（4分）配方法：移项得 x2＋4x＝1；配方得 x2＋4x＋4＝1＋4，即 (x＋2)2＝5； 开平方得 x＋2＝±，解得 x1＝－2＋，x2＝－2－． 18．（8分） （1）（4分）公式法：a＝2，b＝－5，c＝2，Δ＝(－5)2－4×2×2＝25－16＝9＞0， x＝＝，解得 x1＝2，x2＝． （2）（4分）移项得 (2x＋1)2－3(2x＋1)＝0，因式分解得 (2x＋1)(2x－2)＝0， 则 2x＋1＝0 或 2x－2＝0，解得 x1＝－，x2＝1． 易错点：不能在方程两边直接同除以 (2x＋1)，否则会丢掉 x＝－ 这个根． 19．（8分） （1）（4分）证明：a＝1，b＝－(k＋2)，c＝2k， Δ＝[－(k＋2)]2－4×1×2k＝k2＋4k＋4－8k＝k2－4k＋4＝(k－2)2． 因为无论 k 取何值，都有 (k－2)2≥0，即 Δ≥0，所以该方程总有两个实数根． （2）（4分）把 x＝3 代入方程：9－3(k＋2)＋2k＝0，化简得 3－k＝0，解得 k＝3． 当 k＝3 时，方程为 x2－5x＋6＝0，即 (x－2)(x－3)＝0， 所以另一根为 x＝2（也可由根与系数关系：另一根＝5－3＝2）． 20．（8分） 解：设道路的宽为 x m．由题意，把两条道路分别平移到矩形的一侧，草坪可拼成长 (20－x) m、宽 (12－x) m 的新矩形， 列方程：(20－x)(12－x)＝180． 整理得 x2－32x＋60＝0，因式分解得 (x－2)(x－30)＝0， 解得 x1＝2，x2＝30． 检验：x＝30＞20，不符合实际，舍去；所以 x＝2． 答：道路的宽为 2 m． 21．（10分） 解：（1）（4分）设售价上涨 x 元，则 100－2x＝90，解得 x＝5， 此时售价为 60＋5＝65（元/枚）． 答：当天的售价为 65 元/枚． （2）（6分）设售价上涨 x 元，则每枚利润为 (60＋x－40)＝(20＋x) 元，每天售出 (100－2x) 枚， 列方程：(20＋x)(100－2x)＝2 250． 整理得 2 000＋60x－2x2＝2 250，即 x2－30x＋125＝0， 因式分解得 (x－5)(x－25)＝0，解得 x1＝5，x2＝25． 当 x＝25 时，售价为 85 元/枚，每天仅售出 50 枚；当 x＝5 时，售价为 65 元/枚，每天售出 90 枚． 由“尽可能让利于顾客”，取 x＝5，售价为 65 元/枚． 答：该徽章的售价应定为 65 元/枚． 22．（10分） （1）（4分）证明：a＝1，b＝－(2m＋2)，c＝m2＋2m， Δ＝(2m＋2)2－4(m2＋2m)＝4m2＋8m＋4－4m2－8m＝4＞0， 所以无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）（6分）由根与系数的关系：x1＋x2＝2m＋2，x1x2＝m2＋2m， 所以 x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝(2m＋2)2－2(m2＋2m)＝4m2＋8m＋4－2m2－4m＝2m2＋4m＋4． 由 x12＋x22＝34 得 2m2＋4m＋4＝34，即 m2＋2m－15＝0， 因式分解得 (m－3)(m＋5)＝0，解得 m＝3 或 m＝－5． 当 m＝3 时，方程为 x2－8x＋15＝0，两根为 3、5，均为正数，符合题意； 当 m＝－5 时，x1＋x2＝－8＜0，两根不全为正数，不符合题意，舍去． 综上，m＝3． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $