第1章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 九年级上册第1章一元二次方程单元卷，知识覆盖全面，结合芯片研发、充电桩组网等时代情境，通过基础题与新定义题梯度设计，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、系数、配方、根的判断|用表格数据定位方程根（第4题）| |填空题|6/18|根的性质、参数取值、增长率|借a+b+c=0推导方程根（第11题）| |解答题|9/72|解法、韦达定理、应用题、新定义|网店利润建模（第20题）、“差1方程”新定义探究（第25题）|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C B A D A B C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．2026 13．2 14． 15．1 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， 2分 ∴， 解得， ． 4分 18．【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 3分 ． 6分 19．【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 2分 正确解答： ， ， 4分 或 解得，． 6分 20．【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； 3分 （2）解：根据题意可得，， 5分 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 8分 21．【详解】（1）解：由题意得， 2分 ， 解得； 4分 （2）解：由题意得，， 6分 ∵ ， 解得，符合题意． 8分 22．【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 2分 4分 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． 7分 （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 10分 23．【详解】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， 3分 ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． 5分 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 7分 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 10分 24．【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 2分 因此总利润； 4分 （2）解： 将代入 得 整理得 解得， 7分 当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵ ∴ 答：销售单价应为元． 10分 25．【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， 3分 ∵， ∴方程不是“差1方程”； 4分 （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， 5分 ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ 7分 ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程含有2个未知数，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，∴ A错误； B、方程含有2个未知数，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，∴ B错误； C、方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，∴ C错误； D、方程整理为，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，∴ D正确． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 4．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 5．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 6．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 7．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 8．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：当腰长为3时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，解得， 则三角形三边为3，3，1， ∵， ∴符合题意； 当底边长为3时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，解得， 则三角形三边为2，2，3， ∵， ∴符合题意； 综上，k的值为3或4， 故选：B． 9．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【详解】解：∵方程的两根为 ∴根据根与系数的关系得， ∵ ∴两边平方得 由完全平方公式变形得 代入得 整理得 解得 ∵方程有两个实数根， ∴判别式 当时，，符合要求 当时，，符合要求 ∴的值为或． 10．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 12．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 13．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 14．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 【答案】 【详解】解：∵今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数， ∴明年产量为件， ∴第三年年产量为件， ∵第三年的产量达到800件， ∴． 15．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 根据根的定义，得，即，同理可得， 化简已知等式的两个因式：，， 代入，得：， 整理得：，解得或， 原方程有两个实数根， 根的判别式，即，解得， 满足题意，且符合等式的解为． 16．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）用公式法解一元二次方程：． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， 2分 ∴， 解得， ． 4分 18．（6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 3分 ． 6分 19．（6分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 2分 正确解答： ， ， 4分 或 解得，． 6分 20．（8分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； 3分 （2）解：根据题意可得，， 5分 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 8分 21．（8分）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【详解】（1）解：由题意得， 2分 ， 解得； 4分 （2）解：由题意得，， 6分 ∵ ， 解得，符合题意． 8分 22．（10分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 2分 4分 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． 7分 （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 10分 23．（10分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【详解】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， 3分 ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． 5分 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 7分 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 10分 24．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 2分 因此总利润； 4分 （2）解： 将代入 得 整理得 解得， 7分 当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵ ∴ 答：销售单价应为元． 10分 25．（10分）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， 3分 ∵， ∴方程不是“差1方程”； 4分 （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， 5分 ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ 7分 ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 10分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 4．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 9．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 10．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 12．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 13．若关于的方程是一元二次方程，则________． 14．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 15．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 16．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）用公式法解一元二次方程：． 18．（6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围． 19．（6分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 20．（8分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 21．（8分）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 22．（10分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 23．（10分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 25．（10分）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 4．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 9．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 10．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 12．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 13．若关于的方程是一元二次方程，则________． 14．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 15．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 16．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）用公式法解一元二次方程：． 18．（6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围． 19．（6分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 20．（8分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 21．（8分）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 22．（10分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 23．（10分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 25．（10分）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $