第29章圆（单元测试）数学新教材人教版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第29章圆（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 个 b 10 6 B C A C A D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.-3 1(答案不唯一) 12.60 13.120° 15 14.2π 15.2 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 【详解】()解：·AC=AC ∴.∠ADC=∠ABC=60°， :AD是⊙0的直径， .∠ACD=90°， .∠CAD=90°-∠ADC=30°： (2)解：如图，连接OC,过点O作0014C于点0， B 0 C ,AD是⊙0的直径，AD=6, .0A=3, 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIAAOO中，∠CAD=30°， 00=)0A=3 2 2, :40-0-og=3v 2, 0014c :4C=2A0=35 .∠AOC=2∠ABC=120°， 5w=Smmone-S.oc=120xx3 35x=3-95 3602 4 9√5 3π 即阴影部分的面积为4. 17. 【答案】(1) 证明：，FA=FE, ∴.∠FAE=∠AEF 又∠FME与∠BCE BE 是 所对的圆周角， .∠FAE=∠BCE. .∠AEF=∠CEB, ∴.∠CEB=∠BCE .CE平分∠ACD, ∴.∠ACE=∠DCE ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° ∴：.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°， .∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE)=90° 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD⊥AB」 (2)解：由(1)知，∠BEC=∠BCE, .BE=BC .FA=FE,FM⊥AB, .MA=ME=OM+OE=2. ∴.OB=OA=MA+OM=3, .AB=OA+OB=6,BC=BE=OB-OE=2. ∠ACB=90°， :4C=VAB-BC=6-2=42 18. 【详解】解：由思意得，劣B的长350627cm 劣的长52.9m. ∴花边的长度为2×36-27)+(2x×12-9m)=60x(cm) 135π×362 =486π(cm2) (2)解：由题意得， S小扇形0AB 360 S小扇形OcD 135π×12=54π(cm2)）, 360 :.S=S阴影=(x×362-S0形0aB）(r×12-S小0形0cD） =(1296π-486π)-(144π-54π) =720π(cm2) 19. 【答案】(1) 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点是 的中点， B C.∠ABC=90°MAC ∴.BM=AM=MC .∠A=∠ABM, :四边形ABED是圆内接四边形， :∠MDE=∠ABM,∠MED=∠A, ∴.∠MDE=∠MED. ∴.MD=ME (2) 是等边三角形， B COA=OD∠A=60°∴.△AOD .∠AOD=60°， :∠MED=∠A=60°，MD=ME, ∴△MDE为等边三角形， .MD=ME=DE,∠MDE=60°=∠A, DE∥AB, ∠ODE=∠AOD=60°， ..OD=OE ∴.△ODE是等边三角形， ∴OD=OE=DE ..OD=OE EM=DM, ∴.四边形ODME是菱形. 20 【详解】(1)解：连接OA, 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A 由题意得：AD=7AB=30米，OD=-18)米， RtAADO 2=302+(r-18)2 在 中，有 解得3 米 (2)解：连接OA :0E=OP-PE=30米， :在R△AE0中，4E=V0-0E=16(米)， .AB=32 米 AB′=32>30 ∴不需要采取紧急措施 21. 【答案】(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补 (2)证明：如图2，连接CA,CE,CF,BC, 0。 B 于点D, 图2 ,CD⊥AB DE=AD .CA=CE, .∠CAE=∠CEA, CF=CA ∴.CF=CA,∠CBF=∠CBA. ,四边形ABFC内接于OO, .∠CAB+∠CFB=180° 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠CEA+∠CEB=180°， ∴.∠CFB=∠CEB 在△CFB和△CEB中， [∠CFB=∠CEB ∠CBF=∠CBA BC=BC ∴.△CFB≌△CEB(AAS), .BF=BE 22. 【答案】(1)证明：，AB是直径， ∴.∠ACB=∠BDA=90° .∠DAB=∠CBA, ∴.AC=BD(相等的圆周角所对的弦相等)， AC=BD 在Rt△CAB和RtDBA中， AB=BA, ∴.△CAB≌DBACHL): (2)解：如图，过D作DH⊥AB于H, B :半圆O中，直径AB=8, ..OA=OD=4. ∠DAB=15°， ∴.∠AD0=15°， ∴.∠DOB=∠DAB+∠ADO=30°. 30m×42_4 :DH=20D=2,Sam-360 元， 1 1 Sop=20AxDH=×4x2=4 2 2 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 S阴影部分=S第形D0B+S。40D=7兀+4； 3 (3)解：①如图2，连接OC,OD,OM,过M作ME⊥AB于E. 0 0 图2 直径AB=8,弦CD=4, ..OC=OD=CD=4. .△COD是等边三角形， M是CD的中点， CM-CD-2.OMLCD, OM=VOC-CM-2 ME=VOM-OE-12-0E ∴当OE最大时，ME最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图3. D A万 O 图3 ,△COD是等边三角形，M是CD的中点， .∠MOC=30°， :ME-O山=5，即点3到B的距离的0小值是5： ②如图4. 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M 0 图4 0M=2V5 由①知， ∴.M的轨迹是以O为圆心， 2V5 为半径的弧， 当C与A重合时，∠AOM=30°， 同理，当D与B重合时，∠BOM'=30°， :.∠MOM'=180°-30°-30°=120° 120元×2√34V3 ∴.点M的运动路径长为180 3元 23 八D A S 【答案】(1) R B C 图1 (2)解：如图1，连接OE、CO、AP、AC,设AP交CO于点R,CO交DP于点S, 四边形ABCD为正方形， 4D=CD∠ADC=90、40=)4C 2 由旋转的性质得：DP=DQ、∠PDQ=90°， ∴.∠CDQ=∠PDQ+∠CDP=90°+∠CDP ∠ADP=∠ADC+∠CDP=90°+∠CDP, .∠ADP=∠CDQ, 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ADP和△CDO中， AD-CD ∠ADP=∠CDQ DP=DO ∴.△ADP2aCDQ(SAS) ,AP=CQ∠DPA=∠DQC 在△DQS中，∠PD2+∠D0C+∠DS2=180°， 在aPSR中，∠SRP+∠DPA+∠PSR=180°， .∠DSQ=∠PSR ∴.∠SRP=∠PDQ=90° AP⊥CQ 点F是CP的中点，点O是AC的中点， ∴OF是△ACP的中位线： OF∥AP、 OF=1 AP 2 A0 AC 点E是的中点，点O是的中点， ∴.OE_△ACQ 是 的中位线， 0EIcQ、0E=)c0, 2 AP⊥CQAP=CQ .OE⊥OF、OE=OF, ∴△OEF为等腰直角三角形， ∠0FE=L0EF=45°： 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)不变；理由： 如图l,连接OE、CO、AP、AC,设AP交CO于点R,CO交DP于点S, 四边形ABCD为正方形， 1 ·AD=CDN∠ADC=90°、A0=)AC, 2 由旋转的性质得：DP=DQ、∠PDQ=90° ∴.∠CDQ=∠PDQ+∠CDP=90°+∠CDP ∠ADP=∠ADC+∠CDP=90°+∠CDP, ∠ADP=∠CDQ, 在△ADP和△CDQ中， (AD=CD ∠ADP=∠CDQ DP=DO ∴.△ADP≌ACDQ(SAS) .AP=CQ∠DPA=∠DQC 在△DQS中，∠PD0+∠D0C+∠DSg=180°， 在aPSR中，∠SRP+∠DPA+∠PSR=180°， :∠DSQ=∠PSR .∠SRP=∠PDQ=90° .AP⊥CQ 点F是CP的中点，点O是AC的中点， OF是△ACP的中位线， 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OF∥AP、 AP, A0 点E是 的中点，点O是的中点， ∴.OE△ACQ 的中位线， 0EICQ、 0E=C0, 2 .AP⊥CQAP=CQ .OE⊥OF、OE=OF, .△OEF为等腰直角三角形， 在Rt△OEF中，由勾股定理得： EF=0E+0F2=OF2+0F2-20F EF=2 OF EF F的值不变： (4)解：如图2，过点D作DH⊥PO于点H, 以点D为圆心，分别以DH、DP为半径作圆，则点N在图示的圆环部分， 四边形 是正方形， 图2 ABCD .AD=AB=4, 点M是AD的中点， :.MD-14D-ix4-2. 1 2 由旋转的性质得：DQ=DP=3、∠PDQ=90° 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△PDQ 是等腰直角三角形， 由勾股定理得： P0=VD02+Dp=V32+32=3√2 :DH⊥PQ 点H为P的中点， 1-p= 32 2, DH-DM=32-2 .MN的最小值 2 ,MN的最大值为DM+DP=2+3=5. 24 【详解1（山解：①抛物线”=-+c+c与轴交于1(-1,0），点23 在该抛物线上， [-1-b+c=0 b=2 -4+2b+c=3,解得c=3, y=-x2+2x+3 抛物线的表达式是 令y=0,即-x2+2x+3=0, 解得=1专3 ·点B的坐标是 3,0) ②如图，连接欲，B,过点E作Bm∥) 轴，交于点H。 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 交点的坐标为 ，点的坐标为，点的坐标为 G .A （-1,0）B (3,0)c (0,3) ∴AB=4又点F到x轴的距离为h, .S△ABF 1 ×4h=2h又S60e=2h, .S.4BF =S.ADF .AF∥BC 设直线BC的表达式为y=a+a, 3k+a=0 k=-1 将B(3,0),C(0,3)代入，得a=3,解得a=3, BC =-x+3 直线的表达式为 :FC,可设直线4的表达式为=-+1，将4-10)代入，得=-， ,y=-x-1 六直线4F的表达式为' y=-x2+2x+3 联立y=-x-1,得-x2+2x+3=-x-1, 解得=-】专=4 (4,-5) 点的坐标为 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点E的坐标为m-m+2m+3),点的坠标为m,m-), .EH=-m2+2m+3-(-m-1)=-m2+3m+4 5(-m2+3m+4到x[4-(训=-m㎡+3m+4k5, 125 S平行四边形60r=2S公r=-5m2+15m+20=-5m-3+ 4 3 :当m .125 2时，S平行四边形G取得最大值，最大值为4， 125 :平行四边形ABGF面积的最大值为4. (2)解，”抛物线'=-r+r+C与辅交于1(-10叭 .-1-b+c=0即b=c-1, ∴.y=-x2+(c-1)x+c 得专1 少0 （舍去)，5=c 点”的坐标为 (c,0)c>-1 当x=0时，y=C,即点C的坐标为(0，C), 可得直线BC的表达式为y=-x+C 如图，以40 △AOO △A00, 为斜边作等腰直角 和等腰直角 分别以0,0为圆心，以O0和0,0 的长为半径作 0，⊙0，与坐标轴的交点分别为 (-1,0) 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O(0,0)M(0,1)N(0,-1) “圆心角 ∠A00=∠A0,0=90° ∴当点P在优弧AM0和优弧ANO上（异于A,O)时，圆周角∠APO=45°， :当直线BC与优弧AM0和优弧ANO共有两个交点（异于A,O)时，使∠APO=45°的点P恰有两个. c>-1,c≠0， “当直线8C与0相交时，符合题意 直线8BC:y=-x+c过点M(0,1)或4(.0时恰好与o0相切， 将M(01代入直线BC的表达式y=-+c,得e=1, 将1-10)代入直线BC的表达式=-+c,得e=, ∴c的取值范围是-1<c<0或0<c<1. b=c-1, ∴b的取值范围是-2<b<-1或-1<b<0. 15/15………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第29章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，若是的直径，，则的长为（     ）． A．10 B．5 C．15 D． 3．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 5．下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 8．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 10．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 12．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 13．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 15．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 17．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 18．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 19．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 20．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 21．阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 22．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 23．已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． (1)若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； (2)作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第29章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．如图，若是的直径，，则的长为（     ）． A．10 B．5 C．15 D． 【答案】B 【分析】根据“直径所对圆周角为直角”得，利用含角的直角三角形性质计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 3．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 5．下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据圆的相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①∵直径的两端点在圆上，是连接圆上两点的线段，∴直径是弦，①正确； ②∵圆的对称轴是直线，直径是线段，∴②错误； ③∵三角形的外心到各顶点的距离相等，∴到各边距离相等的结论不成立，③错误； ④∵当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴④错误； ⑤∵同圆中一条弦所对的圆周角有两类，两角互补，∴相等的弦所对的圆周角不一定相等，⑤错误； 综上，正确的语句共1个． 6．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 7．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 8．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 9．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 10．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】确定过 三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长． 【详解】解：在矩形 中，，， 设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点， 则点在的垂直平分线上 ∴ 在中， 在 中，，即 解得， 过作交延长线于， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴ 在中， ∵ ∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置， ∴ 在中，，， 弧的长即为 ． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 【答案】 1 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可． 【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件； ，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题． 12．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 【答案】 【分析】根据题意可知为圆心，、为圆上的点，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， ． 13．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 15．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 17．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 18．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 19．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) ，点是的中点，， ， 四边形是圆内接四边形， ，， ， ． (2) ，，是等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， , ， 是等边三角形， , ， 四边形是菱形． 【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用圆内接四边形的性质，最后用等腰三角形的判定即可得到结论； （2）先利用等边三角形的判定，再利用菱形的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 21．阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 【答案】(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补 (2)证明：如图2，连接， 于点D，． ， ， ， ，． ∵四边形内接于， ． ， ， 在和中， ， 【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可； （2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补． （2）略． 22．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【答案】(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为． 23．已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】(1) (2)45 (3)不变；理由： 如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 的值不变； (4)，5 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质和旋转的性质证明，进而得到、，根据三角形内角和定理得到，再利用三角形中位线定理求出是等腰直角三角形，从而求出的度数； （3）同（2）证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，从而求出的值； （4）过点D作于点H，以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出长，根据直角三角形斜边中线的性质求出长，从而求出的最大值和最小值． 【详解】（1）略； （2）解：如图1，连接、、、，设交于点R，交于点S， 四边形为正方形， 、、， 由旋转的性质得：、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 在中，， 在中，， ， ， ， 点F是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 点E是的中点，点O是的中点， 是的中位线， 、， 、， 、， 为等腰直角三角形， ； （3）略； （4）解：如图2，过点D作于点H， 以点D为圆心，分别以、为半径作圆，则点N在图示的圆环部分， 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 由旋转的性质得：、， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， 点为的中点， ， 的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的运用是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． (1)若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； (2)作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 【答案】(1)①，点的坐标是；②平行四边形面积的最大值为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数综合题（待定系数法求解析式、平行四边形面积最值、定角存在性问题），解题的关键是熟练运用待定系数法、坐标法求图形面积、构造辅助圆解决定角问题． （1）①利用已知点坐标代入解析式，解方程组求出函数表达式，再令解方程求出点B坐标；②由三角形面积关系证得，求出直线的解析式，联立抛物线方程求出点F坐标，设动点E坐标，以铅垂高法表示三角形面积，再由平行四边形面积是对应三角形面积的2倍，配方求最值； （2）由A点坐标得到b、c的关系式，构造以为斜边的等腰直角三角形对应的辅助圆，利用直线与圆的交点个数，求出参数的取值范围． 【详解】（1）解：①抛物线与轴交于，点在该抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式是， 令，即， 解得，， 点的坐标是． ②如图，连接，，过点作轴，交于点． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 又点到轴的距离为， 又， ， ． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． ，可设直线的表达式为，将代入，得， 直线的表达式为． 联立，得， 解得，， 点的坐标为． 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 平行四边形面积的最大值为． （2）解：抛物线与轴交于， 即， ， 令，得（舍去），， 点的坐标为，， 当时，，即点的坐标为， 可得直线的表达式为． 如图，以为斜边作等腰直角和等腰直角， 分别以，为圆心，以和的长为半径作，，与坐标轴的交点分别为，，，． 圆心角， 当点在优弧和优弧上（异于，）时，圆周角， 当直线与优弧和优弧共有两个交点（异于，）时，使的点恰有两个． ，， 当直线与相交时，符合题意． 直线过点或时恰好与相切， 将代入直线的表达式，得， 将代入直线的表达式，得， 的取值范围是或． ， 的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第29章 圆 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，若是的直径，，则的长为（     ）． A．10 B．5 C．15 D． 3．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 5．下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 8．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 10．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 12．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 13．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 15．在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 17．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 18．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 19．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 20．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 21．阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 22．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 23．已知：点O是正方形对角线的交点，P是平面内一点（不与点D重合），连接，将以D为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．E、F分别是，的中点，连接，． (1)在图1中补全图形； (2)直接写出图1中； (3)当点P在正方形外，时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； (4)如图2，若,，点M是中点，点N是线段上的一个动点，在点P绕点D旋转的过程中，线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． (1)若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； (2)作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $