分段函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2 分段函数 【知识梳理】 一、分段函数 分段函数是指在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=,我们就作不出它的图象. 案例：下面我们来看几个特殊的函数,观察它们有什么特点? （1）画出函数y=|x|=的图象. （2）国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像 二、求分段函数的函数值： ①要先确定求值的自变量属于哪一个区间，然后代入该区间对应的解析式求解； ②当出现ｆ(ｆ(ａ))的形式时，应该从内到外依次求值； ③当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 【题型精讲】 题型一、求分段函数的函数值 例1．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数则=（ ） A． B． C．1 D．2 例3．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 题型二、由分段函数的函数值求自变量x 例4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，若，则________. 例5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，则________；若，则________． 【课堂练习】 一、单选题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，则___________. 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．12 3．（22-23高一上·广东深圳·期末）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 4．（22-23高一上·广东深圳·期中）设，则（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 5．（21-22高一上·广东深圳·阶段检测）若函数，，则__________． 6．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 7．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【课后作业】 一、单选题 1．（22-23高一下·广东深圳·期中）已知函数，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）设函数，若实数满足，则（ ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 3．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 三、填空题 4．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）函数，则的值是________． 5．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数，则____________． 6．（20-21高一上·广东深圳·期中）已知函数，若，则________. 7．（25-26高一上·广东深圳·期末）设函数，则________ 8．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 9．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2 分段函数 【知识梳理】 一、分段函数 分段函数是指在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=,我们就作不出它的图象. 案例：下面我们来看几个特殊的函数,观察它们有什么特点? （1）画出函数y=|x|=的图象. （2）国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像 二、求分段函数的函数值： ①要先确定求值的自变量属于哪一个区间，然后代入该区间对应的解析式求解； ②当出现ｆ(ｆ(ａ))的形式时，应该从内到外依次求值； ③当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 【题型精讲】 题型一、求分段函数的函数值 例1．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】求函数值、求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【详解】，，则． 例2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数则=（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】代入即可求解. 【详解】. 故选：D. 例3．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 题型二、由分段函数的函数值求自变量x 例4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，若，则________. 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分段代入解析式可求答案. 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得. 故答案为：1 例5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，则________；若，则________． 【答案】 或 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】第一空，利用的解析式直接求解即可；第二空，分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【详解】因为，所以； 因为， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得. 综上：或； 故答案为：；或. 【课堂练习】 一、单选题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，则___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求函数值、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用、求分段函数值 【分析】根据分段函数的表达式求出. 【详解】因为函数，所以. 故答案为：. 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．12 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】根据分段函数的解析式直接求值即可. 【详解】由题意知，， ，. 故选：A 3．（22-23高一上·广东深圳·期末）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【详解】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B 4．（22-23高一上·广东深圳·期中）设，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值 【分析】先求得，再代入计算即可得答案. 【详解】解：因为， 所以. 故选：C. 二、填空题 5．（21-22高一上·广东深圳·阶段检测）若函数，，则__________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值 【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得出的值. 【详解】由已知可得，因此，. 故答案为：. 6．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 7．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用、求分段函数值 【分析】作出函数的图象，根据图象判断的解析式，列方程即可. 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以， 所以，解得. 故选：A. 8．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，负根舍去； 当时，，得到，符合题意； 综上所述，或. 故选：D 【课后作业】 一、单选题 1．（22-23高一下·广东深圳·期中）已知函数，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的解析式，可得答案. 【详解】由题意可知： ， ，. 故选：A. 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）设函数，若实数满足，则（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】先确定的定义域，然后根据条件求解出的值，由此可计算出的值. 【详解】由条件可知的定义域为，所以， 当时，，此时无解； 当时，，解得； 所以， 故选：C. 二、多选题 3．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，又，所以. 综上所述或. 故选：AC. 三、填空题 4．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）函数，则的值是________． 【答案】7 【难度】0.94 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用分段函数的解析式，由内而外依次计算即可得解. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为： 5．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数，则____________． 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数函数值的求法直接求解. 【详解】由题意可知，， 又因为，所以. 故答案为:0. 6．（20-21高一上·广东深圳·期中）已知函数，若，则________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【解析】由已知函数为分段函数，并且时函数值为负数，而，所以，解方程可得． 【详解】解：由题意，已知函数为分段函数，并且时函数值为负数，而，所以，故有，解得． 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，关键是明确使得等式成立的方程是对应的分段函数的的解析式，属于基础题． 7．（25-26高一上·广东深圳·期末）设函数，则________ 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求分段函数值 【分析】由分段函数解析式代入计算即可. 【详解】， ， 故答案为：3. 8．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 9．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $